ｂｕｔ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１教科書の最初の ＬＥＳＳＯＮ に、
　　Ｋｅｎ　　 ： Ｉ’ｍ　ｔｉｒｅｄ． Ａｒｅ　ｙｏｕ？
　　　　　　　　　（くたびれた。きみは。）
Ｍｅｉｌｉｎｇ ： Ｎｏ．Ｉ’ｍ　ｎｏｔ　ｔｉｒｅｄ． Ｂｕｔ　Ｉ’ｍ　ｈｏｔ．
　　　　　　　　　（いいえ。疲れていません。でも暑いです。）
という会話文があります。

ここに出てくる ｂｕｔ は 「しかし」 を意味するお馴染みの 接続詞 ですが、教科書をしばらく読み進めると、「海外の公園などで見られる看板」 の写真が掲載してあって、そこに、

ＰＬＥＡＳＥ　ＴＡＫＥ　
ＮＯＴＨＩＮＧ　ＢＵＴ
　ＰＩＣＴＵＲＥＳ
ＬＥＡＶＥ　ＮＯＴＨＩＮＧ
ＢＵＴ　ＦＯＯＴＰＲＩＮＴＳ
（写真以外とらないでください。
足跡以外残さないでください。）

という文言を見つけることができます。

この看板の ＢＵＴ は、お馴染みの接続詞 「しかし」 ではなく、「～を除いて」 を意味する 前置詞 で、その用法を オックスフォード実例現代英語用法辞典 で調べてみると、
ａｌｌ、ｎｏｎｅ、ｅｖｅｒｙ、ａｎｙ、ｎｏ（それに、ｅｖｅｒｙｔｈｉｎｇ、ｅｖｅｒｙｂｏｄｙ、ｎｏｔｈｉｎｇ、ｎｏｂｏｄｙ、ａｎｙｗｈｅｒｅ など）の後で「～を除いて」の意味で用いるとあり、例文として、

Ｈｅ　ｅａｔｓ　ｎｏｔｈｉｎｇ　ｂｕｔ　ｈａｍｂｕｒｇｅｒｓ．
（彼はハンバーガーしか食べない）

Ｉ’ｖｅ　ｆｉｎｉｓｈｅｄ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｊｏｂｓ　ｂｕｔ　ｏｎｅ．
（私は１つを残して全部の仕事を終えた）

Ｅｖｅｒｙｂｏｄｙ’ｓ　ｈｅｒｅ　ｂｕｔ　Ｇｅｏｒｇｅ．
（ジョージ以外はみんないます）
が挙げてあります。

これらの 接続詞、前置詞 以外にも、ｂｕｔ には、副詞、代名詞、名詞、動詞 があり、例えば、 ウィズダム英和辞典 の 動詞 の ｂｕｔ には、「＜人＞に『しかし』と言う」を表すとあり、
Ｂｕｔ　ｍｅ　ｎｏ　ｂｕｔｓ．
（「しかし、しかし」と言わないでください。 弁解［議論］はもうたくさんです。）
という例文が挙げてあります。（前の ｂｕｔ が 動詞 、後が 名詞 です）


辞書で ｂｕｔ を調べてみるといいかもしれません。

日本数学オリンピックの難しい問題（２１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年日本数学オリンピック本選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「ＡＢ＜ＡＣなる三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、ＡＣ上（端点を含まない）に点Ｄ、Ｅがあり、ＣＡ＝ＣＤ、ＢＡ＝ＢＥをみたしている。三角形ＡＤＥの外接円を ω とし、さらに直線ＢＣに関してＡと対称な点をＰとおく。直線ＰＤと ω の交点のうちＤでない方をＸ、直線ＰＥと ω の交点のうちＥでない方をＹとするとき、直線ＢＸと直線ＣＹが ω 上で交わることを示せ。
　ただし、ＳＴで線分ＳＴの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１のように、直線ＢＸと直線ＣＹの交点がＸに対してＢと反対側にある場合やＸと一致またはＢと同じ側にある場合が考えられますが、今回は図１のような場合を調べます。（多分、いずれの場合も同じように解けると思います）

図２のように、
ＢＡ＝ＢＥから、∠Ａ＝∠ＢＥＡ
ＣＡ＝ＣＤから、∠Ａ＝∠ＣＤＡ
∠Ａ＝∠ＢＰＣ
なので、四角形ＰＢＤＣと四角形ＰＢＥＣは円に内接し、したがって、Ｐ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅは同一円周上の点になります。

▲図２．Ｐ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅは同一円周上の点です

次に、△ＡＢＣと△ＡＸＹが相似であることを示しましょう。

図３のように、四角形ＡＸＹＥは ω に内接しているので、∠ＡＸＹ＝∠ＣＥＹ＝∠ＣＥＰです。

▲図３．∠ＡＸＹ＝∠Ｂを示します

すると円周角の定理から∠ＣＥＰ＝∠ＣＢＰで、さらに、△ＡＢＣと△ＰＢＣは直線ＢＣを対称の軸とする対称な図形なので、∠ＣＢＰ＝∠Ｂです。

したがって、∠ＡＸＹ＝∠Ｂが成り立ちます。

続いて図４のように、円周角の定理から、∠ＡＹＸ＝∠ＡＤＸで、対頂角は等しいので、∠ＡＤＸ＝∠ＢＤＰです。

▲図４．∠ＡＹＸ＝∠Ｃを示します

すると円周角の定理から、∠ＢＤＰ＝∠ＢＣＰで、さらに、△ＡＢＣと△ＰＢＣは直線ＢＣを対称の軸とする対称な図形なので、∠ＢＣＰ＝∠Ｃです。

したがって、∠ＡＹＸ＝∠Ｃが成り立ちます。

以上から、△ＡＢＣ∽△ＡＸＹで、すると図５のように、∠Ａ＝∠ＸＡＹから、∠ＸＡＢ＝∠ＹＡＣです。

▲図５．∠ＸＡＢ＝∠ＹＡＣです

さらに、△ＡＢＣ∽△ＡＸＹなので、ＡＢ：ＡＸ＝ＡＣ：ＡＹで、これと∠ＸＡＢ＝∠ＹＡＣから、△ＡＢＸ∽△ＡＣＹです。

したがって、∠ＡＢＸ＝∠ＡＣＹが成り立ちます。

次に図６のように、直線ＣＹと直線ＢＸの交点をＺ、直線ＣＹと直線ＡＢの交点をＱとします。

▲図６．直線ＣＹと直線ＢＸの交点をＺ、直線ＣＹと直線ＡＢの交点をＱとします

ここで、△ＱＢＺと△ＱＣＡに着目すると、∠ＱＢＺ＝∠ＱＣＡ、∠ＢＱＺ＝∠ＣＱＡ（対頂角）から△ＱＢＺ∽△ＱＣＡです。

したがって、∠ＢＺＱ＝∠ＣＡＱ＝∠Ａが成り立ちます。

すると図７のように、∠ＢＺＱ＝∠ＸＺＹ、∠Ａ＝∠ＸＡＹなので、∠ＸＺＹ＝∠ＸＡＹが成り立ち、このとき円周角の定理の逆から、Ｚは ω 上にあります。

▲図７．∠ＸＺＹ＝∠ＸＡＹからＺは ω 上にあります

ＸとＺの位置関係が異なる場合も同様です。


楽しい問題です。

ｔｏｏ と 「，」（コンマ） のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書の最初の Ｌｅｓｓｏｎ に
Ｎｉｃｅ　ｔｏ　ｍｅｅｔ　ｙｏｕ　ｔｏｏ，Ｋｕｍｉ．
（久美、こちらこそはじめまして。）
という定型の英語の挨拶が登場します。

このページには、 ｔｏｏ ついての注釈があって、そこには、
Ｎｉｃｅ　ｔｏ　ｍｅｅｔ　ｙｏｕ，ｔｏｏ．
のように ｔｏｏ の前に「，」（コンマ）をつける書き方もあることを紹介しています。

これについて、 現代英語語法辞典 には、普通 ｔｏｏ は、文または節の終わりに置いて ｔｏｏ の前に コンマ を入れるが、くだけた表現では略される とあります。

さらに ウィズダム英和辞典 の 語法解説 には、ｔｏｏ の前（後）の コンマ は解釈にあいまいさが生じない限り しばしば省略される が、コンマ の有無によって解釈が変わってしまう場合は注意が必要と記しています。

その具体例として、
Ｔｈｅ　ｐｏｌｉｃｅ　ｔｏｏ　ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ　ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ...
を挙げ、文中の ｔｏｏ の被修飾語が ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ とすると、「 警察はあまりにも頻繁に...だと決めてかかる」と解されるのに対し、被修飾語が ｔｈｅ　ｐｏｌｉｃｅ とすると、「警察もまた頻繁に...だと決めてかかる」となるように、被修飾語のとり方により異なる解釈になるので、 ｔｈｅ　ｐｏｌｉｃｅ を修飾するときは コンマ をつけて、
Ｔｈｅ　ｐｏｌｉｃｅ，ｔｏｏ，ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ　ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ...
とする方が良いとしています。

ちなみに、 オックスフォード現代英英辞典 に挙げてある例文は、
Ｃａｎ　Ｉ　ｃｏｍｅ　ｔｏｏ？
（私も行っていいですか）
Ｗｈｅｎ　Ｉ’ｖｅ　ｆｉｎｉｓｈｅｄ　ｐａｉｎｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｂａｔｈｒｏｏｍ，　Ｉ’ｍ　ｇｏｉｎｇ　ｔｏ　ｄｏ　ｔｈｅ　ｋｉｔｃｈｅｎ　ｔｏｏ．
（風呂場を塗り終えたら台所も塗るつもりだ）
で、コンマ なしです。


どうやら特別な事情がない場合は コンマ なしが大勢のようです。

中学生でも手が届く京大入試問題（３３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３０年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「整数が書かれている球がいくつか入っている袋に対して、次の一連の操作を考える。
ただし、各球に書かれている整数は１つのみとする。

（ⅰ） 袋から無作為に球を１個取り出し、その球に書かれている整数をｋとする。
（ⅱ） ｋ≠０ の場合、整数ｋが書かれた球を１個新たに用意し、取り出した球とともに袋に戻す。
（ⅲ） ｋ＝０ の場合、袋の中にあった球に書かれていた数の最大値より１大きい整数が書かれた球を１個新たに用意し、取り出した球とともに袋に戻す。

整数０が書かれている球が１個入っており他の球が入っていない袋を用意する。

この袋に上の一連の操作を繰り返しｎ回行った後に、袋の中にある球に書かれているｎ＋１個の数の合計をＸｎとする。例えば、Ｘ1 はつねに１である。以下ｎ≧２として次の問いに答えよ。

（１）
　　
である確率を求めよ。

（２）
　　
である確率を求めよ。」
です。

まず初めに、Ｘｎを見積もってみましょう。

最初、袋の中には整数０が書かれた球しか入っていないので、１回目の操作では、それを取り出し、新たに整数１を書いた球と一緒に袋に戻すことになります。

２回目以降の操作で、整数１が書かれた球を取り出し続けた場合、Ｘｎは１ずつ増えていくので、ｎ回目の操作後のＸｎは、
Ｘｎ＝０＋１＋１＋・・・＋１＝ｎ　（１がｎ個並びます）
で、これがＸｎの最小値になります。

一方、２回目以降の操作で、整数０が書かれた球を取り出し続けた場合、Ｘｎは１、２、３、・・・ｎと増えていくので、ｎ回目の操作後のＸｎは、
Ｘｎ＝０＋１＋２＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）/２
で、これがＸｎの最大値になります。

以上から、

が成り立ちます。

それでは（１）に取り掛かれましょう。


で、Ｘｎは整数であることから、Ｘｎは最大値または最大値－１になります。

Ｘｎが最大値になるのは、整数０が書かれた球をｎ回続けて取り出した場合なので、その確率Ｐ1は、

です。

また、Ｘｎが最大値－１になるのは、整数０が書かれた球をｎ－１回続けて取り出し、ｎ回目に整数ｎ－１が書かれた球を取り出した場合なので、その確率Ｐ2は、

です。

したがって、Ｘｎ≧（ｎ＋２）（ｎ－１）/２になる確率Ｐ3は、

で、これが答えです。

続いて（２）です。

（１）と同じように、
Ｘｎ≦ｎ＋１
から、Ｘｎは最小値または最小値＋１になります。

Ｘｎが最小値になるのは、２回目以降、整数１が書かれた球をｎ－１回続けて取り出した場合なので、その確率Ｐ4は、

です。

また、Ｘｎが最小値＋１になるのは、２回目以降、整数１が書かれた球をｎ－２回（ｎ≧３）、整数０が書かれた球を１回取り出した場合です。

ここで、整数０が書かれた球をｋ回目の操作で取り出した場合を考えると、その確率Ｐ5は、

になり、このときｋはｎ－１通り可能なので、Ｘｎが最小値＋１になる確率Ｐ6は、

です。

したがって、Ｘｎ≦ｎ＋１ （ｎ≧３）になる確率Ｐ7は、

で、ここでｎ＝２のとき、Ｐ2＝２/ｎ＝１に対し、Ｘ2＝２または３、ｎ＋１＝３で、必ずＸｎ≦ｎ＋１を満たすので、ｎ＝２のときも成り立ちます。


楽しい問題です。

ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書の最初の Ｌｅｓｓｏｎ に、
Ｗｅ　ｍｕｓｔ　ｈｅｌｐ　ｅａｃｈ　ｏｔｈｅｒ．
（私たちは、お互いに助け合わなければなりません）
という文が出てきます。

この ｅａｃｈ　ｏｔｈｅｒ は 副詞 ではなく 代名詞 で、 現代英語語法辞典 によると、「相互代名詞」（Ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ　ｐｒｏｎｏｕｎ）と呼ばれるそうです。

したがって、上記の例文の ｈｅｌｐ のような 他動詞 の場合は、そのまま 目的語 とすることができるのに対し、自動詞 の場合は、例えば、
○ Ｔｈｅｙ　ｔａｌｋｅｄ　ｗｉｔｈ　ｅａｃｈ　ｏｔｈｅｒ．
　（彼らはお互いに語り合った）
× Ｔｈｅｙ　ｔａｌｋｅｄ　ｅａｃｈ　ｏｔｈｅｒ．
のように、しかるべき 前置詞 が必要になります。

さらに、
Ｃｈａｒｌｉｅ　ａｎｄ　Ｉ　ｗｏｕｌｄ　ｓｐｅｎｄ　ｔｈｅ　ｎｉｇｈｔ　ａｔ　ｅａｃｈ　ｏｔｈｅｒ’ｓ　ｈｏｕｓｅ．
（チャーリーと私はよくお互いの家に泊まったりしたものだった）　
のように、所有格 にすることができます。

ただし、
× Ｔｈｅｙ　ｋｎｏｗ　ｗｈａｔ　ｅａｃｈ　ｏｔｈｅｒ　ｉｓ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ．
（彼らはお互いが考えていることを知っている）
のように、 ｅａｃｈ　ｏｔｈｅｒ を 主語 に用いることはできず、《非標準・まれ》な用例になります。


頭に入れておくといいかもしれません。

中学生でも手が届く東大入試問題（１０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３０年度東大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「数列
　　
を、
　　
で定める。

（１）ａ7と１の大小を調べよ。
（２）ｎ≧２とする。

を満たすｎの範囲を求めよ。
（３）ａｎが整数となるｎ≧１をすべて求めよ。」
です。

早速（１）から取り掛かりましょう。


で、

が答えです。

次に（２）です。


から

です。

ここで、

から

で、これを整理して解くと、

です。

ｎ≧２から

で、ｎは整数なので、ｎ≧４ です。

最後の（３）です。

（２）から ｎ≧４のとき、

であり、また、

から

です。

さらに（１）から

なので、
ｎ≧７ のａｎは整数ではありません。

ここで、

を計算すると、

から、ａｎが整数になるのは、ｎ＝１、２ で、これが答えです。


簡単な問題です。

Ｙｏｕ’ｒｅ ｒｉｇｈｔ． のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
　Ｋａｎ ： Ｉｔ’ｓ　ｄｅｌｉｃｉｏｕｓ！　Ｈａｖｅ　ｓｏｍｅ．
　　　　（すごく美味い。少し食べみな。）
Ｃｈｉｎ ： Ｙｏｕ’ｒｅ　ｒｉｇｈｔ．Ｉｔ’ｓ　ｄｅｌｉｃｉｏｕｓ．　Ｉｔ’ｓ　ｓｕｇａｒ！
　　　　（そのとおりだ。すごく美味い。砂糖だ。）
という小僧さんの観と珍との会話があります。

この Ｙｏｕ’ｒｅ　ｒｉｇｈｔ． は、「あなたの言う通りだ」を表し、 同じ意味の用例の
‘Ｉｔ’ｓ　ｎｏｔ　ｅａｓｙ．’‘Ｙｅａｈ，ｙｏｕ’ｒｅ　ｒｉｇｈｔ．’
（「簡単ではないよ。」「ああ、そのとおりだ。」）
が、 オックスフォード現代英英辞典 に載っています。

一方、ウィズダム英和辞典 には、「（謝るときに）ごもっともです、悪いのはこちらです」を表すことも記されています。

ちなみに単語の並びが異なる言葉に、 Ｒｉｇｈｔ（↘）ｙｏｕ　ａｒｅ（↗）． という表現があって、これは、「《イギリス英語・くだけた話し言葉》で、（相手の発言や依頼に同意して） わかった, ごもっとも, 承知した」を表す言葉で、例えば、
“Ｐｉｃｋ　ｈｉｍ　ｕｐ　ａｔ　ｔｈｅ　ｈｏｔｅｌ．”
（ホテルで彼を拾って来いよ）
“Ｒｉｇｈｔ　ｙｏｕ　ａｒｅ．”
（がってんだ）
のように使われます。

ここでの ｒｉｇｈｔ は、オックスフォード現代英英辞典 では、間投詞 に分類されていて、用例に、
‘Ｉ’ｌｌ　ｈａｖｅ　ａ　ｗｈｉｓｋｙ　ａｎｄ　ｓｏｄａ．’‘Ｒｉｇｈｔ　ｙｏｕ　ａｒｅ，ｓｉｒ．’
（ウイスキーソーダを一つ。かしこまりました。）
を挙げています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２０７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３０年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「 ａ、ｂ、ｃ を自然数とする。
１） ａ＋ｂ＋ｃ＝２０ となる（ａ，ｂ，ｃ）の組は何通りか。
２） ａ＋ｂ＋ｃ≦２０ となる（ａ，ｂ，ｃ） の組は何通りか。」
です。



１）では、下図のように、２０個の球を並べて、球と球の間の２ヶ所に仕切りを入れることを考えましょう。

▲図．２０個の球を並べて球と球の間の２ヶ所に仕切りを入れます

このとき、２０個の球は３つに分割され、左、中央、右の球の個数をそれぞれａ、ｂ、ｃとすれば、２個の仕切りの入れ方が（ａ，ｂ，ｃ）の組の個数になります。

つまり、仕切りを入れることができる１９ヶ所から２ヶ所選ぶ選び方が（ａ，ｂ，ｃ）の組の個数になるので、

から、１７１（通り）が答えです。

２）は１）と同じように、球を２０個、１９個、・・・、３個並べて、２ヶ所に仕切りを入れることを考えます。

すると、それぞれの場合の仕切りの入れ方は、

になり、ａ＋ｂ＋ｃ≦２０ となる（ａ，ｂ，ｃ） の組は、

です。

この式の各項を

で置き換えて計算すると、

になり、ａ＋ｂ＋ｃ≦２０ となる（ａ，ｂ，ｃ） の組は １１４０（通り）で、これが答えです。


を知っていれば、より簡単に計算できます。


簡単な問題です。

規則動詞の過去形・過去分詞形 のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の塾生が通う中学校で不規則動詞の小テストがあったのですが、規則動詞 の変化にも面白いものがあります。

Ｆｏｒｅｓｔ の 「一般動詞の過去形・過去分詞形」 という項に、
・規則動詞の多くは原形の語尾に－ｅｄをつけて過去形と過去分詞形を作る
　ｌｉｓｔｅｎ－ｌｉｓｔｅｎｅｄ－ｌｉｓｔｅｎｅｄ

・－ｅで終わる同志は語尾に－ｄだけつける
　ｈｏｐｅ－ｈｏｐｅｄ－ｈｏｐｅｄ

・＜子音字＋ｙ＞で終わる動詞はｙをｉに変えて－ｅｄをつける
　ｃａｒｒｙ－ｃａｒｒｉｅｄ－ｃａｒｒｉｅｄ

・＜母音字＋ｙ＞で終わる動詞はそのまま－ｅｄをつける
　ｐｌａｙ－ｐｌａｙｅｄ－ｐｌａｙｅｄ

・＜１母音字＋１子音字＞で終わる動詞は最後の子音を重ねて－ｅｄをつける
　ｓｔｏｐ－ｓｔｏｐｐｅｄ－ｓｔｏｐｐｅｄ

・＜２母音字＋１子音字＞で終わる１音節の動詞はそのまま－ｅｄをつける
　ｌｏｏｋ－ｌｏｏｋｅｄ－ｌｏｏｋｅｄ

・＜１母音字＋１子音字＞で終わる動詞でも、最終音節にアクセントがないものはそのまま－ｅｄをつける
　ｖｉｓｉｔ－ｖｉｓｉｔｅｄ－ｖｉｓｉｔｅｄ
とあります。

ここまでの 規則動詞変化 については、例に挙げた中学英語教科書に頻出の動詞を見れば、細かい規則の知識の有無にかかわらず、それらの過去形・過去分詞形を上手く処理しているわけですが、さらに、もう１つ分類があります。

それは、
・原形の語尾が－ｃで終わる動詞はｋを加えて－ｅｄをつける
というもので、これに該当する動詞は中学英語教科書に登場しないようで、具体的には、
ｐａｎｉｃ　－ｐａｎｉｃｋｅｄ　－ｐａｎｉｃｋｅｄ　　　（＜人＞をうろたえさせる）
ｐｉｃｎｉｃ－ｐｉｃｎｉｃｋｅｄ－ｐｉｃｎｉｃｋｅｄ　　（＜人が＞ピクニックをする）
ｆｒｏｌｉｃ－ｆｒｏｌｉｃｋｅｄ－ｆｒｏｌｉｃｋｅｄ　　（＜子供・動物なんどが＞はしゃぐ）
などがあります。

ちなみに、これらの －ｉｎｇ形 は、
ｐａｎｉｃ－ｐａｎｉｃｋｉｎｇ
のようになります。


頭に入れておくとよいでしょう。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２０６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３０年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃを頂点とする４面体の３つの線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＣが互いに直交し、それぞれの長さがａ、ｂ、ｃであるとき、頂点Ｏから平面ＡＢＣへ下ろした垂線の長さを求めよ。」
です。

点（ｘ1，ｙ1，ｚ1）から平面ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０へ下ろした垂線の長さが、

になることを知っていれば簡単です。

図１のように、空間座標に４面体ＯＡＢＣをおくと、平面ＡＢＣは、

で、これを整理すると、

になります。

▲図１．空間座標に４面体ＯＡＢＣをおきました

原点Ｏから平面ＡＢＣに下ろした垂線の長さは、

で、これが答えです。

点から平面に下ろした垂線の長さの関係を利用しなくても次のように解くことができます。

４面体ＯＡＢＣで、底面を△ＯＡＢと考えると、∠ＡＯＢ＝９０°なので、その面積Ｓ（ＯＡＢ）は、
Ｓ（ＯＡＢ）＝ａｂ/２
です。

このとき、∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝９０°から高さはｃになり、４面体ＯＡＢＣの体積Ｖ（ＯＡＢＣ）は、
Ｖ（ＯＡＢＣ）＝ａｂ/２×ｃ×１/３＝ａｂｃ/６　　　　　　　（★）
になります。

次に、△ＡＢＣを底面として４面体ＯＡＢＣの体積を表します。

図２に示すように、ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの長さは、三平方の定理から、

です。

▲図２．△ＡＢＣを底面として４面体ＯＡＢＣの体積を表します

そこで図３のように、ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＤ、ＢＤ＝ｘ、ＡＤ＝ｙとすると、三平方の定理から

が成り立ち、これらから

です。

▲図３．△ＡＢＣに注目します

したがって、△ＡＢＣの面積Ｓ（ＡＢＣ）は、

になります。

ここで、Ｏから平面ＡＢＣに下ろした垂線の足をＨ、ＯＨの長さをｈとすると、４面体ＯＡＢＣの体積Ｖ（ＯＡＢＣ）は、

で、これは（★）と等しいので、

が成り立ちます。

これをｈについて解くと、

になり、前の答えと同じになりました。


簡単な問題です。

Ｍｅ ｔｏｏ． のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

近頃、世の中を騒がしている言葉に Ｍｅ　ｔｏｏ． がありますが、これは中１の教科書にも
　　　　Ｋｅｎ ： Ｉ’ｍ　ｈｕｎｇｒｙ．
　　　　　　　　（お腹減ったよ。）
Ｍｅｉｌｉｎｇ ： Ｍｅ　ｔｏｏ．　Ｗｈａｔ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｈａｖｅ？
　　　　　　　　（私も。何もっているの。）
という会話文で登場します。

この Ｍｅ　ｔｏｏ． を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、「話し言葉で相手の発言内容を繰り返して肯定する決まり文句」という説明があって、例文として、
Ａ ： Ｉ’ｍ　ｔｉｒｅｄ．
　　（憑かれたよ。）
Ｂ ： 《くだけた話言葉》Ｍｅ　ｔｏｏ．
　　（私もよ。）
が挙げられています。

そして、より硬い表現として、
≒ Ｉ　ａｍ　ｔｏｏ． （× Ｉ’ｍ　ｔｏｏ．）
や
≒ Ｓｏ　ａｍ　Ｉ．
を挙げています。

また Ｆｏｒｅｓｔ には、
“Ｉ　ｃａｎ’ｔ　ｅａｔ　ｒａｗ　ｆｉｓｈ．”
（私は生の魚を食べられません。）
“Ｍｅ，ｎｅｉｔｈｅｒ．（≒ Ｉ　ｃａｎ’ｔ，ｅｉｔｈｅｒ．）”
（私もですよ。）
のように、相手の否定的発言内容を繰り返して自分もそうではないときの口語表現として、 Ｍｅ　ｎｅｉｔｈｅｒ． を挙げています。


頭に入れておくと役に立つことがあるかもしれません。

ジュニア数学オリンピックの難しい問題（２０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年ジュニア数学オリンピック本選に出題された最小値を求めるを取り上げます。

問題は、
「５人の人がいる。すべての２人組に対して年令差を計算したところ、それらはすべて異なる正の整数値であった。最も年上の人と最も年下の人の年令差としてありうる最小の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１のように、５人の人を若い順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとし、ＡとＢ、ＢとＣ、ＣとＤ、ＤとＥの年令差をそれぞれｐ、ｑ、ｒ、ｓとしましょう。

▲図１．５人をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、年令差をｐ、ｑ、ｒ、ｓとしました

ここで ｐ、ｑ、ｒ、ｓの順に可能な最小値を入れて、ＡとＥのおよその年令差を見積もりましょう。

まず図２のように、ｐ＝１、ｑ＝２とすると、ｐ＋ｑ、つまりＡとＣの年令差は３になります。

▲図２．ｐ＝１、ｑ＝２としました

するとｒに入れることが可能な最小値は４になり、図３のように、ＡとＤ、ＢとＤの年令差はそれぞれ７と６になります。

▲図３．ｒ＝４としました

このとき、ｓに入れることが可能な最小値は５になり、図４のように、ＡとＥ、ＢとＥ、ＣとＥの年令差はそれぞれ１２、１１、９になります。

▲図４．ｓ＝５としました

以上から、最も年上の人と最も年下の人の年令差は１２以下で、
ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ≦１２
が成り立ちます。

一方、ｐ、ｑ、ｒ、ｓは互いに異なる正の整数なので、
ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ≧１＋２＋３＋４＝１０
で、これらをまとめると、
１０≦ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ≦１２
になります。

ここで、すべての２人組の年令差がすべて異なる正の整数になるということについて調べましょう。

例えば、ＡとＢの年令差と、ＡとＣの年令差のように明らかに異なるものを除くと、考えなければならない年令差は、
ｐ、ｑ＋ｒ、ｒ＋ｓ、ｑ＋ｒ＋ｓ
ｑ、（ｒ＋ｓ）
ｒ、ｐ＋ｑ
ｓ、（ｐ＋ｑ）、（ｑ＋ｒ）、ｐ＋ｑ＋ｒ
で、これらがすべて異なる値にならなければなりません。

そこで、ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝１０の場合、上の重複していない５個の式（（　）を除いたもの）が異なる値をとることができるか調べてみましょう。

ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝１０になるｐ、ｑ、ｒ、ｓの組合せは、１、２、３、４の並び替えで、これらのなかの２つの和で互いに異なるものは、３、４、５、６、７です。

これらの５個の整数のうち、ｐ、ｑ、ｒ、ｓの値である１、２、３、４と異なるものは、５、６、７の３個で、１２個の式のなかの２つの和ｐ＋ｑ、ｑ＋ｒ、ｒ＋ｓは、５、６、７の並び替えになります。

このとき、（ｐ＋ｑ）＋（ｑ＋ｒ）＋（ｒ＋ｓ）＝ｐ＋２ｑ＋２ｒ＋ｓ＝１８で、これから、ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝１０を引くと、ｑ＋ｒ＝８になり、ｑ＋ｒ＝５、または、６、または、７と矛盾します。

したがって、ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝１０の場合、すべての２人組の年令差がすべて異なる正の整数になることはありません。

続いて、ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝１１の場合です。

この場合、図５のように、ｐ＝２、ｑ＝５、ｒ＝１、ｓ＝３のとき、すべての２人組の年令差がすべて異なる正の整数になります。

▲図５．すべての２人組の年令差がすべて異なる

以上から、最も年上の人と最も年下の人の年令差としてありうる最小の値は １１ で、これが答えです。


見通しのよい問題です。

Ｐａｒｄｏｎ？ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書の最初の Ｌｅｓｓｏｎ に、
Ｋｕｍｉ ： Ｈｅｌｌｏ． Ｉ　ａｍ　Ｔａｎａｋａ　Ｋｕｍｉ．
　　　　　（こんにちは。田中久美です。）
Ｐａｕｌ ： Ｐａｒｄｏｎ？
　　　　　（すみませんがもう一度言ってください。）
で始まる会話文があります。

改訂前の教科書では、 Ｐａｕｌ は “Ｐａｒｄｏｎ？” ではなく　“Ｅｘｃｕｓｅ　ｍｅ？” と返事していたので、この両者の違いを調べてみたところ、 ウィズダム英和辞典 の 「相手に聞き返す際の表現」 という語法解説に、次のようにありました。

Ｓｏｒｒｙ？ は、《イギリス英語》で好まれ、《アメリカ英語》では、 Ｅｘｃｕｓｅ　ｍｅ？（↗） が多く用いられる。

《かたい表現》では、 Ｐａｒｄｏｎ？（↗）、 Ｉ　ｂｅｇ　ｙｏｕｒ　ｐａｒｄｏｎ？（↗）、Ｐａｒｄｏｎ　ｍｅ？（↗） なども用いられる。

一方、《くだけた表現》では、 Ｗｈａｔ　（ｄｉｄ　ｙｏｕ　ｓａｙ）？ なども用いられるが、ぶっきらぼうに響くので親しい間柄を除いて避けたほうがよい。

また、 Ｏｎｃｅ　ａｇａｉｎ ［ｍｏｒｅ］． は命令的に響き、上位の者が下位の者に用いる。


頭に入れておくとよいでしょう。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２０５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３０年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「ある船が真っ直ぐに進み港Ａから港Ｂに到着し、すぐに同じルートで港Ｂから港Ａに戻ってくる。この往復の間、無風では船の速度は一定である。つぎに、風が港Ａから港Ｂに向かって吹いているとき、船の速度は無風の場合よりも、ある速度だけ追い風では増加し、向かい風では同じ速度だけ減少する。風がある場合、無風の時に比べ往復時間は、（１）増える、（２）減る、（３）同じ、のうちいずれであるか。なお速度は対地速度とする。」
です。

無風の場合の船の様子を図１に示します。

▲図１．無風の場合の船の様子です

港Ａと港Ｂとの距離を Ｌ、無風の場合の船の速度を Ｖ とすると、往路、復路とも所要時間は ｔ＝Ｌ/Ｖ で、したがって、往復にかかる時間は Ｔ＝２Ｌ/Ｖ です。

次に図２のように、港Ａから港Ｂに風が吹き、船の速度が、往路で ｖ だけ速くなり、復路で ｖ だけ遅くなった場合、往路と復路の所要時間は それぞれ ｔ’＝Ｌ/（Ｖ＋ｖ） および ｔ’’＝Ｌ/（Ｖ－ｖ） で、往復にかかる時間は Ｔ’＝Ｌ/（Ｖ＋ｖ）＋Ｌ/（Ｖ－ｖ） です。

▲図２．風が吹いている場合の船の様子です

そこで、Ｔ と Ｔ’ の大小を調べましょう。

Ｔ’ を通分すると、

です。

Ｔ/Ｔ’ を計算すると、

から

です。

以上から、風のある場合、無風の時に比べ往復時間は、（１）増える、 が答えです。


簡単な問題です。

ｅｌｓｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ｅｍｍａ ： Ｉ　ｓｅｅ　ｓｉｘ　ｂｉｒｄｓ．　Ｔｈｅｙ　ａｒｅ　ｃｕｔｅ．
　　　　　（６羽の鳥が見えます。かわいいです。）
Ｋｅｎ　 ： Ａｎｙｔｈｉｎｇ　ｅｌｓｅ？
　　　　　（ほかには。）
という会話文を見つけることができます。

この ｅｌｓｅ は「そのほかの」を意味する副詞で、その 置かれる位置 ついて、 ウィズダム英和辞典 に次のようにあります。

● ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ、ａｎｙｗｈｅｒｅ など、 ｓｏｍｅ［ａｎｙ、ｅｖｅｒｙ、ｎｏ］で始まり ｔｈｉｎｇ［ｏｎｅ、ｂｏｄｙ、ｐｌａｃｅ、ｗｈｅｒｅ］で終わる語
　Ｌｅｔ’ｓ　ｔａｌｋ　ａｂｏｕｔ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｅｌｓｅ．
（何かほかのことを話そう）

● ｎｏ［ａｎｙ、ｅｖｅｒｙ］ｏｎｅ など、不定代名詞［副詞］に相当する語
　Ｎｏ　ｏｎｅ　ｅｌｓｅ　ｗａｎｔｓ　ｔｏ　ｊｏｉｎ　ｕｓ．
（ほかには私たちの仲間に入りたい人はいない）　

● ｍｕｃｈ、ｌｉｔｔｌｅ、《かたく》 ａｌｌ や ａ　ｌｏｔ　ｏｆ、ａ　ｇｒｅａｔ　ｄｅａｌ、ｅｎｏｕｇｈ など数量を表す語句
　ｄｏ　ｌｉｔｔｌｅ　ｅｌｓｅ　ｔｈａｎ　ｒｅａｄ　ｂｏｏｋｓ
（読書のほかはほとんど何もしない）

● ｗｈｉｃｈ を除く疑問詞（ｗｈａｔｅｖｅｒ、ｗｈｏｍｅｖｅｒ などを含む）
　Ｗｈｏ　ｅｌｓｅ　ｗｉｌｌ　ｃｏｍｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐａｒｔｙ？
（ほかに誰がパーティに来るんですか）

原則として、これらの語や語句の直後に置かれる。但し、疑問詞の場合はまれに文末に置かれることもある。
（Ｗｈａｔ　ｅｌｓｅ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｋｎｏｗ？　が普通で、 Ｗｈａｔ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｋｎｏｗ　ｅｌｓｅ？　はまれ）


頭に入れて置くとよいでしょう。