中学生でも解ける東大大学院入試問題（１４６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と比べて気温が下がりましたが寒いということはありません。明日は暖かさが戻ってくるようです。

さて、今回は平成２６年度東大大学院新領域創成科学研究科情報生命科学の入試問題です。

問題は、
「表が出る確率がｐ（０＜ｐ＜１）、裏が出る確率が（１－ｐ）のコインを独立にＮ回（Ｎ＞１）投げ、得られる表と裏の列を考える。以下の問に、式の導出も含めて答えよ。

（１）Ｎ＝５とする。列「表表裏表裏」が得られる確率を求めよ。
（２）最初のｌ個（０≦ｌ≦Ｎ）がすべて表になる確率を求めよ。
（３）初めて裏がでるまでの、表の数をｍとする。ただし、裏がひとつもない列ではｍ＝Ｎとする。（０≦ｍ≦Ｎ）。ｍの期待値を求めよ。
（４）表をｎ個（０≦ｎ≦Ｎ）、裏を（Ｎ－ｎ）個持つ列が得られる確率Ｐ（ｎｌＮ，ｐ）を求めよ。
（５）（４）において、ｎの期待値を求めよ。
（６）ｎとλ＝Ｎｐを固定し、Ｎ→∞の極限をとると、（４）の確率分布Ｐ（ｎｌＮ，ｐ）はポアソン分布Ｐ（ｎｌλ）＝（１/ｎ！）λ^n・ｅ^(-λ)に近づくことを示せ。必要であれば、等式ｌｉｍ（１＋ｘ/Ｎ）^N＝ｅ^xを使ってよい。（Ｎ→∞のとき（１＋ｘ/Ｎ）^N→ｅ^x　を表します）　　」
です。

（３）以降は期待値とか極限が出きて中学数学を逸脱していますが、取りあえず解いていきます。

まず（１）ですが、表と裏の出る確率がそれぞれｐと（１－ｐ）なので、「表表裏表裏」となる確率Ｐ（１）は、
Ｐ（１）＝ｐ・ｐ・（１－ｐ）・ｐ（１－ｐ）
　　　　＝ｐ^3・（１－ｐ）^2
になり、これが答えです。

次に（２）の最初のｌ個がすべて表になる確率Ｐ（２）は、
Ｐ（２）＝ｐ・ｐ・・・ｐ ［ｐがｌ個］
　　　　＝ｐ^l
になり、これが答えです。

（３）の期待値というのは、例えば、くじを引くときの賞金などのように、その値をとる確率が与えられている変数に各々の確率を掛けて和をとったものです。

つまり、求める期待値Ｅ（３）は、
Ｅ（３）＝１・ｐ＋２・ｐ^2＋３・ｐ^3＋・・・＋ｍ・ｐ^m　　　　　　　　　　　　（１）
になります。

（１）×ｐを作ると、
ｐＥ（３）＝ｐ^2＋２・ｐ^3＋３・ｐ^4＋・・・＋（ｍ－１）ｐ^m＋ｍ・ｐ^(m+1)　　　　　　（２）
で、（１）－（２）から
（１－ｐ）Ｅ（３）＝ｐ＋ｐ^2＋ｐ^3＋・・・＋ｐ^m－ｍｐ^(m+1)
　　　　　　　　　＝ｐ（１－ｐ^m）/（１－ｐ）－ｍｐ^(m+1)　　←（等比数列の和の公式を使いました）
　　　　　　　　　＝ｐ（１－ｐ^m－（１－ｐ）（ｍｐ^m））/（１－ｐ）
　　　　　　　　　＝ｐ（１－（１＋ｍ）ｐ^m＋ｍｐ^(m+1)）/（１－ｐ）
なので、
Ｅ（３）＝ｐ（１－（１＋ｍ）ｐ^m＋ｍｐ^(m+1)）/（１－ｐ）^2
となり、これが答えです。

（４）は表・裏がＮ個並んだ列からｎ個の表を選ぶ場合の数が、Ｎ！/ｎ！（Ｎ－ｎ）！になり、表がｎ個出る確率はｐ^n、裏が（Ｎ－ｎ）個出る確率は（１－ｐ）^(N-n) なので、求める確率Ｐ（ｎｌＮ,ｐ）は、
Ｐ（ｎｌＮ,ｐ）＝Ｎ！/ｎ！（Ｎ－ｎ）！・ｐ^n・（１－ｐ）^(N-n)
になり、これが答えです。（普通、NＣn・ｐ^n・（１－ｐ）^(N-n)と表します）

（５）については総和の記号Σを使うと、求める期待値Ｅ（５）は、
Ｅ（５）＝Σｋ・NＣk・ｐ^k・（１－ｐ）^(N-k)　（ｋ＝１からｎ）
　　　　＝ｎΣ(N-1)Ｃ(k-1)・ｐ^k・（１－ｐ）^(N-k)　　　←（ｒ・nＣr＝ｎ・(n-1)Ｃ(r-1)を使いました）
　　　　＝ｎｐΣ(N-1)Ｃ(k-1)・ｐ^(k-1)・（１－ｐ）^(N-k)
　　　　＝ｎｐΣ(N-1)Ｃk・ｐ^k・（１－ｐ)^(N-1-k) （ｋ＝０からｎ－１）
　　　　＝ｎｐ（ｐ＋（１－ｐ））^(N-1)　　　←（二項定理です）
　　　　＝ｎｐ
となり、これが答えです。

最後の（６）は、Ｐ（ｎｌＮ,ｐ）を次のように変形します。

Ｐ（ｎｌＮ,ｐ）＝Ｎ！/（ｎ！・（Ｎ－ｎ）！・ｐ^n・（１－ｐ）^(N-n)
　　　　　　　＝Ｎ（Ｎ－１）（Ｎ－２）・・・（Ｎ－ｎ＋１）ｐ^n・（１－ｐ）^(N-n)・１/ｎ！　　　（３）

ここで、（３）の前の部分を
Ｎ（Ｎ－１）（Ｎ－２）・・・（Ｎ－ｎ＋１）ｐ^n＝Ｎ/Ｎ・（Ｎ－１）/Ｎ・・・（Ｎ－ｎ＋１）/Ｎ・（Ｎｐ）^n
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（１－１/Ｎ）（１－２/Ｎ）・・・（１－（ｎ－１）/Ｎ）・（Ｎｐ）^n
と変形します。

これに、与えられた式λ＝Ｎｐを代入し、Ｎ→∞とすると、
Ｎ（Ｎ－１）（Ｎ－２）・・・（Ｎ－ｎ＋１）ｐ^n→λ^n
となり、目標の式の一部が出てきました。

次に（１－ｐ）^(N-n)　は、λ＝Ｎｐから
（１－ｐ）^(N-n)＝（１－λ/Ｎ）^(N-n)
　　　　　　　　＝（１＋（－λ）/Ｎ）^N/（１＋（－λ）/Ｎ）^n
と変形し、与えられた等式ｌｉｍ（１＋ｘ/Ｎ）^n＝ｅ^x　（Ｎ→∞）を使って、
Ｎ→∞のとき、
（１－ｐ）^(N-n)＝（１＋（－λ）/Ｎ）^N/（１＋（－λ）/Ｎ）^n→ｅ^(-λ)/1=＝ｅ^(-λ)
です。

以上から、Ｎ→∞のとき、
Ｐ（ｎｌＮ，ｐ）→λ^n・ｅ^(-λ)・１/ｎ！＝１/ｎ！・λ^n・ｅ^(-λ)
となることが判りました。


この問題は、よくある二項分布とポアソン分布の関係についてのもので、式を変形するパターンを知っていればそれほど難しくはありませんが、中学数学を大いに逸脱してしまいました。申し訳ありません。