円周角と中心角

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

暖かい日が続いて助かります。今日も穏やかな天気になりました。

都立高校入試の大問１（８）には、円周角の問題が頻出です。そこで円周角と中心角の要点をまとめます。

図１あるように円周角は、弧ＡＢのＡおよびＢと円周上の他の点Ｐをそれぞれ結んでできる∠ＡＰＢです。中心角は、ＡおよびＢと円の中心Ｏを結んでできる∠ＡＯＢです。

▲図１．円周角と中心角の基本形

円周角と中心角との量的関係は、中心角が円周角の２倍になります。また、留意しなければならないのは、円周角にしろ中心角にしろ、同一の弧でなくても同じ長さの弧であれば、この中心角の２倍が中心角という量的関係が成り立ちます。

例えば、都立高校入試問題には半円周や円周に対する弧の割合（比）を与えて、指定した角度を求める問題が出題されています。この場合、同じ長さの弧に対する円周角や中心角は等しいことを思い出してください。そして、半円周や円周に対する中心角がそれぞれ１８０°と３６０°であることを使って、与えられた弧の円周角や中心角を計算しましょう。

さらに、図２のような弧の長さが半円周より長い場合（優弧と言います）も円周角の２倍が中心角になるので気をつけてください。

▲図２．誤解し易い例１（優弧の場合）

念のため、図３を示しておきます。図１の基本形だけを覚えていると間違えやすいのですが、円周角をなす線分と中心角をなす線分が交わっていても円周角と中心角の関係です。誤解しないようにしてください。

▲図３．誤解し易い例２

その他には、半円に対する（直径に対する）円周角は９０°を頭に入れておきましょう。これは、半円（直径）の中心角が１８０°ですから円周角はその半分の９０°ということです。

最後に、一見して解けないなと思ったら円の中心を通る補助線を引きましょう。円周上の２点と円の中心を結ぶと円周角と中心角が現れてきますし、できあがった三角形は二等辺三角形になり、二等辺三角形の底角は等しいことも使えます。このように、円の中心を通る補助線を引いて損はありません。

図４に問題を示します。問題は、「ＰＡ＝ＰＢ、∠ＡＰＢ＝４０°のとき、ｘを求めなさい」です。

▲図４．問題

ＯＢに補助線を引くと、、∠ＡＰＢと∠ＡＯＢとは円周角と中心角の関係ですから、∠ＡＰＢ＝４０°⇒∠ＡＯＢ＝８０°です。また、△ＰＡＢは二等辺三角形なので∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡ＝７０°になります。さらに、△ＯＡＢも二等辺三角形なので、その底角∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝５０°ですから、ｘ＝１８０°－∠ＯＡＢ－∠ＰＢＡ＝６０°となります。

以上が円周角と中心角の要点です。都立高校入試で出題されたら、是非正解してください。

祝！ ＳＴＡＰ細胞

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

南風が吹いていて暖かいですが、午後から少し雨が降るようです。

昨夜のＴＶニュースから「万能細胞　ＳＴＡＰ細胞」の話題で持ちきりです。今回の大発見の主役は、まだ３０歳の若い女性研究者・小保方晴子博士です。海外の研究者も「革命的」と賞賛していて、これから論文が引用される回数も多くなるでしょうから、山中教授に続くノーベル生理医学賞候補になりますね。

女性ノーベル賞受賞者ではキュリー夫人が有名ですが、他を知らなかったので調べてみたところ、科学分野では１６回、キュリー夫人が２回受賞しているので、１５人の受賞者がいます。生理医学賞が一番多くて１０人の方が受賞しています。小保方博士がこの仲間入りすると嬉しいです。

それにしても、ここ数年の日本人の活躍には目を見張るものがあります。学術分野では、ノーベル賞受賞者も珍しくなくなりましたし、スポーツの分野でも、サッカーの香川選手や本田選手、野球のイチローから始まって田中投手、ジャンプの高梨沙羅選手など世界で活躍する選手がたくさんいます。特に、若い世代の躍進が目立ちます。

ところで、小保方博士は２００８年に今回のアイデアを得て研究・実験を続け、英科学誌「ネイチャー」に投稿して拒絶されたこともあったようですが、さらに実験を重ねて今回の論文掲載に至ったそうです。本田選手も長友選手も田中投手も若い頃は、当時のライバルと比べて評価されなかったようですが、目標を持ち続けて大選手になりました。

何事も諦めずに継続してやることに尽きるということですね。「継続は力なり」です。

「本能寺の変 ４３１年目の真実」

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

このところ暖かい日が多くありがたいことです。また、寒さもぶり返すのでしょうが、冬将軍は一休みのようです。

母の同級生に日本画家の内田青虹先生という方がいらして、その方は明智光秀の末裔だそうです。その縁で、明智憲三郎氏が著された「本能寺の変　４３１年目の真実」という本を頂きました。著者のサインも入っています。

▲明智憲三郎氏著「本能寺も変　４３１年目の真実」

存じ上げなかったのですが、明智憲三郎氏は、インターネットで検索すると２５９，０００件もヒットするくらい有名な方で講演活動やＴＶなどにも出演されています。

氏は、光秀の子・於寉丸のご子孫ということです。武運拙く山崎の合戦で明智勢は敗軍となりましたが、残党狩りを逃れて於寉丸は生き延び、明智姓を明田姓に改め、その子孫は出自を隠し命脈を保ってきたようです。その後明治になって憲三郎氏の祖父が明智姓に復姓したそうです。

後ろカバーのサマリーを読むと、なかなか面白そうな内容です。早速、拝読させていただきます。

Ｈ－ＩＩＡ打ち上げ（あと一月）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝は寒かったのですが、午後から暖かくなりました。明日は、また寒くなるそうです。三寒四温と言うには早いですが、一日一日暖かくなっていきます。

少し気が早いのですが、１ヶ月後の２月２８日にＨ－ＩＩＡが打ち上げです。前回の２２号機は去年の１月２７日に打ち上げたので、約１年ぶりとなります。打ち上げる衛星は全球降水観測計画衛星で、さらにロケット打ち上げ能力の余力を使って、小型衛星７基も打ち上げます。

この小型衛星の調べてみると、打ち上げ依頼元として筑波大や大阪府大など理学部や工学部のありそうな大学に混じって多摩美大がありました。不思議に思って調べてみると、東大と共同で「ＡＲＴＳＡＴ：衛星芸術プロジェクト」を進めていて、その一環として衛星「ＩＮＶＡＤＥＲ」が選定されたようです。

その「衛星芸術プロジェクト」とは、「地球を周回する衛星を『宇宙と地上を結ぶメディア』であると捉え、そこからサウンドアートや、インタラクティブなメディアアート作品など、広く芸術作品への応用やデザイン展開、さらにはゲームやエンターテインメント活用を提案・実践していくためのプロジェクト」だそうです。

よく分かりませんが、関係者の方々は打ち上げに選定されて喜んでいらっしゃることでしょう。無事、軌道に乗ることを願っています。

ところで、今回の打ち上げもインターネットでの中継が楽しみですが、打ち上げ予定時間帯が午前３時７分から午前５時７分なので、ここは頑張って早起きしなければなりません。

▲Ｈ－ＩＩＡロケット

ノックの回数

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝は寒かったのですが、昼過ぎでからは寒さが緩んできたようです。都立高校の推薦入試は２日目で、個人面接です。はきはきと大きな声で受け答えできたと思います。

面接に関係することですが、朝、ラジオでノックの回数の話を聴きました。普段ノックする機会は少ないのですが、もしノックする時は、大体２回叩いていました。ところが２回ノックするのは、欧米ではトイレに限ったことで、失礼になるそうです。

正式なノックの回数は、ゆっくりと４回だそうです、親しい間柄の場合は、３回といことです。４回というのは、ベートーベンの「運命」の冒頭部「ジャジャジャジャーン」に由来するとか。

そこで、面接の練習で使っているテキストを調べてみると、「２回ノックする」とあり、続いて「面接 マナー」でネット検索したところ、４回はなく、２回ということでした。日本では、２回でＯＫ、というか２回がマナーのようです。

とは言え、欧米では４回がマナーということなので、将来、海外の大学への進学や外資系の会社に就職するため、面接の機会があったら、４回ノックしたほうがよろしいようです。

充電中

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日から都立高校の推薦入試が始まりました。暖かくなり良かったです。作文、個人面接、集団討論が試験項目ですが、最後まで諦めず頑張って欲しいものです。

そう言うことで、今日は授業はお休みです。そこで、先日、車のバッテリーを上げてしまったので、充電することにしました。

１９９８年の古い車で、近ごろは頻繁には乗ってなかったためバッテリーが上がってしまいました。最初のときは、保険会社に連絡して自動車整備の方に来てもらい、エンジンが掛かるようにしたのですが、立て続けにバッテリーを上げていると、恥ずかしいやら、申し訳ないやら、で充電器を買って充電することにしました。

▲充電中

安い充電器で定格電流２Ａなので充電に時間が掛かります。そこで、お気に入りの「私本太平記」を片手に一杯やりながら、自分も充電です。

▲私本太平記
５時間充電してエンジンを掛けてみたところ、快調に始動しました。目出度し、目出度し、という心境です。

自動車整備の方は、バッテリー交換を勧めるのですが、暫く様子を見ることにします。

三角形の合同

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

ラジオで３月中旬の陽気になると言っていたので楽しみにしていたのですが、期待したより暖かく感じません。期待値が高すぎたようです。

午後から都立高校の推薦入試を受験する塾生の面接練習です。面接では、「はっきりと、大きな声で」が大切です。

中１の数学では図形を勉強していますが、いつも思うのが、中２で勉強する「三角形の合同」を一緒にやれば分かりやすいのに、ということです。

例えば、「平面上にある２点Ａ、Ｂから同じ距離にある点は、ＡとＢとを結ぶ線分の垂直二等分線上にある」とか、「∠ＡＯＢの角の二等分線上の点は、直線ＡＯと直線ＢＯとの距離が等しい」などは、三角形の合同を使わないと証明するのが難しいからです。

前者は、二等辺三角形の性質で証明できますが、それを勉強するのも中２だし。まあ、これらについてはシンプルなので、図を見ながら感覚的に納得するというか、疑問に思わないのかもしれませんが・・・。

そこで今回は、塾生が分からないと尋ねてきた、教科書に載っている問題を例示します。それは回転移動の問題で、図１のように長さの等しい線分ＡＢと線分ＣＤとがあって、線分ＡＢを線分ＣＤに一致させる回転中心を作図で求めなさい、という問題です。

▲図１．回転移動の問題

解答は、図２に示したように、線分ＡＣの垂直二等分線と線分ＢＤの垂直二等分線とが交わった点Ｏになります。なぜならば、線分ＡＣの垂直二等分線上の点は、点Ａと点Ｃとから等しい距離にあり、線分ＢＤの垂直二等分線上の点は、点Ｂと点Ｄとから等しい距離にあるので、それらの交点Ｏを中心に円を描いた場合、点Ａと点Ｃとは同一の円周上にあり、点Ｂと点Ｄとも同様です。つまり、点Ｏを中心とする回転移動で点Ａが点Ｃに、点Ｂが点Ｄに移動させることができるということです。

▲図２．回転移動の中心

しかし、ここで問題となるのが、点Ａを点Ｃに回転移動させるときの回転量（角度）と点Ｂを点Ｄに回転移動させるときの回転量が同じなのかということです。確かに、これらは等しいのですが、これを証明するためには、図３に示した∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ、すなわち、α＝β を示す必要があります。これは、△ＡＢＯと△ＣＤＯとが合同であることを利用すれば、∠ＢＯＡ＝∠ＤＯＣなので、
∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＣ＝∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＡ＝∠ＢＯＤ
となり証明できます。これを三角形の合同を使わないで証明するのは難しそうです。

▲図３．回転移動の回転量

このように「三角形の合同」を知らないときちんと理解できない問題が教科書に載っているので、早めにそれを勉強することをおすすめします。図形の理解が深まります。

都立高校推薦入試 作文の書き方

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日は暖かいですが、明日はもっと暖かくなるようです。都立高校の推薦入試が間近になりました。作文・小論文、面接の最終チェックに頑張ってください。

作文と小論文の違いは、形式的には、小論文では課題文を基に自分の意見を展開する場合がありますが、作文の場合は課題文を与えられるということはありません。

書く内容については、作文では、自分の考え－その理由や具体例－まとめ、という構成でＯＫです。それに対して、一般的に小論文では、自分の考えと対立する意見、それに対する反論と自分の意見の優位性、を論じる必要があります。しかし、高校入試の場合は、課題が時事問題のものを小論文と呼ぶことも多いので、作文と同じ場合もあります。

必要知識に関しては、作文は課題テーマに沿っていれば、好きなことを書いてよいですし、本当のことを書かなくても構わないので、自分が持っている知識の範囲で書けます。それに対して、小論文では、課題テーマについての知識がないと論述することが難しくなるので、一般常識や話題の時事問題などの知識が必要です。

ここから、作文が苦手な人へのアドバイスです。

多くの都立高校の推薦入試では、６００字程度の作文が課されます。作文を書き慣れていない生徒は、６００字を埋めるのに四苦八苦して、同じ文を繰り返してしまったり、話の筋が途中で変わってしまったりすることがままあります。

このような人の失敗パターンは、第一段落で、自分の考えや意見を書いた後、第二段落で、その理由を書き始めるのですが、その途中で、「このままでは３００字で終わっちゃう。とても６００字埋まらない」と焦り始めます。そして、できるだけ文を長くしようとして、支離滅裂な作文に仕上がってしまいます。

そこで、第二段落を書き始める前に（普通は書き始める前です）、一休みして次のことをしましょう。まず、具体例を考えてください。自分自身の経験でもよいですし、想像でも構いません。少なくとも２つ、できたら３つ創作するのです。それができたら順番を決めて書き進めます。そして、残り１００文字程度になったら、まとめに移ります。まとめは、書くことがなければ、第一段落の繰り返しでもＯＫです。

まとめると、
（１）自分の意見を書く（その理由を同時に思い描く）、５０～１００字
（２）具体例を２つ、できたら３つ創作する（本当のことでなくてもＯＫ）
（３）理由を書く、５０～２００字
（４）具体例を書く順番を決める
（５）具体例１を書く、１００～２００字（思っているより文字数が多くなることが多いです）
（６）具体例２を書く、１００～２００字（ここで残り１００字程度になります）
（７）（足りなかったら）具体例３を書く
（８）まとめ
といった具合になります。

もし、具体例が一つしか思い浮かばなかったら、具体例のなかの状況や文言の説明を書きましょう。同じ文を繰り返したり、話が支離滅裂になるより余程ましです。

その他にも、作文ルールを守る、文字を丁寧に書く、文字を濃く書く（字が薄い人は、Ｂとか２Ｂを使うこと）、あやふやな漢字は避ける（避けがたいときはひらがなで書く）などに留意してください。

芥川賞、直木賞を獲ろうというのではないので緊張せずリラックスして書きましょう。
健闘を祈ります。

図形問題の考え方（Ｔａｏ教授の手順）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

暖かくなりました。明日、明後日はもっと暖かくなるようです。

数学の図形問題や文章題で解き方が分からず思考が止まってしまう人が多いようです。そこで、今まで何回か紹介した　Ｔｅｒｅｎｃｅ　Ｔａｏ教授が、“ｓｏｌｖｉｎｇ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ”　のなかで、図形問題の解法手順を、例題を用いて解説しているので、それを紹介したいと思います。

例題は、“ＡＢＣ　ｉｓ　ａ　ｔｒｉａｎｇｌｅ　ｔｈａｔ　ｉｓ　ｉｎｓｃｒｉｂｅｄ　ｉｎ　ａ　ｃｉｒｃｌｅ．　　Ｔｈｅ　ａｎｇｌｅ　ｂｉｓｅｃｔｏｒｓ　ｏｆ　Ａ，Ｂ，Ｃ　ｍｅｅｔ　ｔｈｅ　ｃｉｒｃｌｅ　ａｔ　Ｄ，Ｅ，Ｆ，　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．　Ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ＡＤ　ｉｓ　ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ　ｔｏ　ＥＦ．”　で、これは、１９８７年のＡｕｓｔｒａｌｉａｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎで出題されたものです。

訳すと、「三角形ＡＢＣは円に内接していて、角Ａ、Ｂ、Ｃの二等分線が円と交わる点を、それぞれＤ、Ｅ、Ｆとします。そのとき、線分ＡＤと線分ＥＦが直交することを証明しなさい」　ということです。

まず、Ｔａｏ教授は、「図を描きなさい」　と言っています。そのとき、「名前を付けなさい」　とも言っています。この場合、交点に名前をつけると言うことですが、全ての交点ではなく、重要そうな交点に名前を付けます。

角Ａ、Ｂ、Ｃの角の二等分線は、三角形ＡＢＣの内心で交わるので、これは大切そうだということで、それを Ｉ とします。また、線分ＡＤと線分ＥＦとが直交することを証明するので、これらの交点は重要です。そこで、それを Ｍ とします。出来上がった図を下に示します。

▲例題

次に、Ｔａｏ教授は、問題を　「∠ＡＭＦ＝９０°を示す」　と言い換えます。この時点で、簡単に図が描けたし、結論は図から明白だから、上手く解けそうな問題と感じているようです。そして、直接的アプローチ（いろいろな角を組み合わせて∠ＡＭＦ＝９０°を示す方法）で攻略できると考えます。なぜならば、使われることを待っている定理が山ほどあるからです。例えば、三角形の内角の和が１８０°、円周角、内心、などなど。

そこで、主たる三角形ＡＢＣの３つの角を中心に展開する戦略を採ります。つまり、角Ａ＝α、角Ｂ＝β、角Ｃ＝γ、とします。当然、α＋β＋γ＝１８０°です。

すると、Ｍ を頂点とする角以外、実質的にすべての角がα、β、γを使って表せます。例えば、∠ＣＡＤ＝α/２のように。このとき、それらの角度を図に書き込みなさいとアドバイスしています。

ここで、Ｍ を頂点とする角を Ｍ と関係のない角を使って表すことを考えます。そこで、△ＭＩＦに注目して、
∠ＩＭＦ＝１８０°－∠ＭＩＦ－∠ＩＦＭ＝１８０°－∠ＡＩＦ－∠ＣＦＥ
を導きます。Ｔａｏ教授は、これは、前進だと言っています。なぜならば、∠ＡＩＦや∠ＣＦＥが Ｍ と関係ない角であり、これらは、α、β、γで表すことができそうだからです。実際に、∠ＡＩＦ＝１８０°－∠ＡＩＣ＝∠ＩＡＣ＋∠ＩＣＡ＝α/２＋γ/２で、∠ＣＦＥ＝∠ＣＢＥ＝β/２です。

そして最終的に、
∠ＩＭＦ＝１８０°－α/２－β/２－γ/２＝１８０°－１８０°/２＝９０°
（∠ＡＭＦ＝１８０°－∠ＩＭＦ＝９０°）
で証明終わりです。

Ｔａｏ教授は、感想として、“Ｔｈｉｓ　ｉｓ　ａ　ｌｏｖｅｌｙ　ｗａｙ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｓｏｍｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ　ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ　：　ｂｙ　ｓｉｍｐｌｙ　ｗｏｒｋｉｎｇ　ｏｕｔ　ａｎｇｌｅｓ．”（これは図形問題を解く愉快な方法です。角を計算するだけだし）と言っています。

最後に手順をまとめると、
（１）図を描く
（２）適当に名前を付ける
（３）頻繁に使いそうな角の角度を文字で与える
（４）（知っている定理を思い出して）、他の角を（３）で決めた文字で表して図に書き入れる
（５）（知っている定理を思い出して）、文字で表した角度を使って証明したい角を表す
となります。

初めの（１）から（３）はできることです。（（３）については適切かわかりませんが）（４）も分かるものもあるかもしれません。（５）は、適切な定理を知っているかで決まるのでできなくても仕方ないです。つまり、（１）から（４）の途中までは、思考停止せず実行する努力をしましょう。そうしているうちに（５）もできるようになりますから。頑張ってください。

効率よく長期記憶に変換する方法

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

晴れていて風もなく良い天気ですが、気温は昨日より低いようです。明日は少し暖かくなるようですが。

入学試験の追い込みで頑張っている受験生のなかで、いわゆる暗記ものと言われる理科や社会で苦労している人も多いかと思います。一度は覚えたはずなのに忘れてしまったとか・・・。

記憶には短期記憶と長期記憶という２つがあって、短期記憶は時間が経つと消えてしまいます。長期間覚えているためには、長期記憶に変換する必要があります。

長期記憶にするためには、暗記したいことを繰り返し覚えなおして、脳にこれは大切なことだなと思わせることが必要ですが、試験まであと僅かというときに、そんな時間はありません。

そこで、学研の小冊子のコラムにＤｒ．吉田先生が書いておられる、「長期記憶への変換率を高める方法」を紹介します。この方法は、米国のウイスコンシン大学の研究チームが発見したのですが、「覚える前に予測する」というものです。

例えば、三内丸山遺跡がある県を覚える場合、正解を見る前に、何県かを予測してみるのです。予測した後、正解の青森県を覚えると、予測が正しくても誤っていても、長期記憶として残りやすいそうです。

さらにここからが重要で、その研究チームは、このように予測したうえで記憶した場合、脳のどの部位が機能しているか調べました。その結果、原始的な感情を生み出す中枢の偏桃体が活発に働いていることが分かりました。偏桃体の隣には記憶に関して重要な役目の海馬があり、偏桃体が活性化すると海馬の記憶力が高まります。

つまり、三内丸山遺跡が青森県にあると正解を見たところで、感情豊かに、「青森、なかなかやるじゃん！すげぇー」（間違えたとき）とか「合ってるじゃん！俺って頭良すぎじゃねー」（合ってたとき）などと声を出して叫べばＯＫです。もう、忘れることはできません。

暗記で苦労している受験生は、是非、試してください。

合格祈願 菅原道真公

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日より少し暖かくなったような、冬晴れの一日です。

多くの受験生が合格祈願のお参りをしたことと思いますが、合格祈願と言えば、天満宮や天神さまがその筆頭格でしょう。それらの天満宮や天神さまに祀られているのは、菅原道真公です。全国に約１２，０００社あるようで、有名なところでは、京都の北野天満宮、福岡の太宰府天満宮、東京では、湯島天神、亀戸天神などがあります。

道真公は幼少のころから優秀でしたが、家格に合った役職を務めていました。讃岐守として任国にいたときに、宇多天皇と藤原基経との間の政争である阿衡事件が起こり、道真公は、基経に意見書を提出し諌めたことから、宇多天皇の信任を得て、その後要職を歴任します。６３０年に犬上御田鍬を使節大使として始められた遣唐使を、８９４年に廃止したのも道真公です。

醍醐天皇のときには、右大臣になりますが、藤原時平の讒訴により、太宰府に左遷されてしまいます。太宰府に出発するとき詠んだ有名な和歌が、「東風吹かば匂ひをこせよ梅の花主なしとて春な忘れそ」です。

結局、道真公は太宰府で亡くなるのですが、彼の死後、多くの災難が起こり、これを道真公の祟りと恐れた朝廷が、京都に社殿を造営し道真公を祀ったのが北野天満宮の始まりです。太宰府天満宮は、北野天満宮よりも創建が古いようで道真公の墓所に社殿を造営したそうです。

以上のような経緯で天満宮が造られるのですが、御祭神の道真公が学業優秀だったことから学問の神様と崇められ、多くの受験生が合格祈願にお参りするようになりました。

実は私の大学受験のとき、父が博多出張のついでに太宰府天満宮に、母は亀戸天神にお参りしてくれました。（本人はどこにもお参りしなかったのですが）　そこで、そのお返しと言ったらなんですが、息子の大学受験と娘の高校受験のとき、太宰府天満宮にお参りにいきました。写真はそのときのものです。二人とも合格したので霊験あらかたな天神さまです。

▲太宰府天満宮－鳥居

▲太宰府天満宮－御本殿

立体図形の体積

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

北風が強かった昨日に比べると、風もなく過ごしやすい日になりました。今日は大寒なのでもう暫く寒い日が続きますが、あと２週間で立春です。

そろそろ中１の数学では、立体図形の体積や表面積が始まります。体積を求める問題は、都立高校入試に頻出です。しっかり勉強してください。

立体図形の種類は、柱体、錐体と球だけなので、きちんとそれらの体積の公式を覚えましょう。都立高校入試問題では、ある立体図形の中に立体図形（内包立体図形）を作り、その内包立体図形の体積を計算する問題が多く出題さるので、内包立体図形の形を見抜く力を養いましょう。

内包立体図形の求積問題は、３つのパターンに分類できます。

初めのパターンは、内包立体図形が柱体や錐体である場合です。都立高校入試問題に多いパターンで難しくなく、底面積と高さを求めてお仕舞いです。底面積や高さを求めるときに、三平方の定理や相似を使いますが、これらは中３で勉強します。

次の少し難しいパターンは、内包立体図形が柱体でも錐体でもない場合です。元の立体図形から内包立体図形を取り除いた立体図形が、柱体または錐体のであれば、それらの体積を元の立体図形の体積から差し引けばＯＫです。

最後に、かなり難しいパターンは、内包立体図形も、元の立体図形から内包立体図形を取り除いた立体図形も、柱体でも錐体でもない場合です。この場合は、どちらかの立体図形を分割して柱体と錐体にして、それぞれの体積を計算する必要があります。都立自校作成校や一般都立高校入試の模擬試験で出題されることもあるようです。

中１の教科書で扱う問題は基本中の基本ですから、それを理解した後、少し難問に挑戦してみると良いでしょう。

万年筆インククリーナー

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報通り、冷たい北風が強く寒い日になりました。センター試験も２日目です。受験生の皆さんは頑張ってください。

中学生の頃から万年筆を愛用していますが、持っている万年筆のうち一番良く使うものが、インク詰りになり、書きづらくて困っていました。顔料インクを使うので固まりやすいようです。修理に出せば良いのですが、銀座まで行くのは面倒ですし、修理代も高いし、ぐずぐず先延ばしにしていたところ、万年筆メーカーのプラチナが販売している万年筆インククリーナーを見つけました。早速、取り寄せて使ってみたところ、インクの出方が良くなり、書き味も元にもどりご機嫌です。

▲万年筆インククリーナー

あまりにも書き味が良くなったので、染料インクを使っている万年筆にも試しているのですが、染料インクの場合は、洗浄液につけ置きしてもインクが溶け出してこないので、長年放置したものでなければ、水洗いで充分なようです。

万年筆のインクの出が悪くなって困っている方にお薦めです。

ＮＨＫ大河ドラマの役者さん

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

寒いですが晴れで穏やかな日になりました。今日からセンター試験ですが、受験生の皆さんには日々精励の結果を発揮することを祈っています。

今年は、久しぶりにＮＨＫ大河ドラマ「軍師官兵衛」を観ています。大河ドラマは、私の歴史知識にとって大きな役割を果たしてきて、教科書やその他の本などで歴史上の人物の名前を見ると、大河ドラマの役者さんを思い出してしまうほどです。

１９６５年「太閤記」信長役の高橋幸治氏、１９７６年「風と雲と虹と」平将門役の加藤剛氏、１９８８年「武田信玄」信玄役の中井貴一氏など、他にも多数です。

印象的だったのが、１９９１年の「太平記」で、鎌倉幕府滅亡から建武の新政、足利幕府初期にかけて、足利尊氏、楠木正成、新田義貞、後醍醐天皇、北畠顕家などスーパースターが目白押しで、その配役も、尊氏を真田広之氏、正成を武田鉄矢氏、義貞を萩原健一氏（根津甚八氏に途中交代）、後醍醐天皇を片岡孝夫氏、顕家を後藤久美子さん、と主役を演じる役者さんが勢揃いという感じでした。

今までのところ、「軍師官兵衛」の視聴率はいまひとつのようですが、岡田准一氏演じる官兵衛に視聴率ＵＰの戦略があるのか、これからの推移が楽しみです。

中学生でも解ける数列問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

明日からセンター試験ですが、東京は雪にはならないようで幸いです。しかし、明後日は北風が強いそうですから、暖かくして受験会場に行ってください。

大学入試問題にも流行というものがあるらしく、「２つ以上の連続した自然数の和が１０００であるとき、この連続な自然数を求めよ」　というような問題も、一時期大流行しました。

これは、１９８９年の山形大の問題で、高校で勉強する等差数列の和の公式〔等差数列の和＝（初項＋最後の項）×（項数）÷２〕を使うのですが、この公式を導くのは簡単なので、中学で勉強する知識で正解できます。

まず、初項をａ、最後の項を（ａ＋ｂ）とすると、項数は（ｂ＋１）になります。

そこで、この数列を初項から最後の項まで左から右に書き、次に、その下に最後の項から初項までを書きます。つまり、１行目の初項の下に２行目の最後の項がくるようにします。そこで、１行目の第１項目と２行目の第１項目を足し算すると（２ａ＋ｂ）となります。第２項目以降も足し算していくと、その結果は（２ａ＋ｂ）になるので、（２ａ＋ｂ）が（ｂ＋１）個あることが分かります。

ところが、第１行目の和と第２行目の和は等しいですから、第３行目の和は第１行目の和の２倍になります。そこで、第３行目の和＝（２ａ＋ｂ）×（ｂ＋１）を２で割れば、ａから（ａ＋ｂ）までの和が求められます。これは、天才数学者ガウスが小学生のとき１から１００までの和を求めるときに使った方法です。

ここまでの話で、上記の問題を立式することができます。初項ａから最後の項（ａ＋ｂ）までの和が１０００になるということは、
（２ａ＋ｂ）×（ｂ＋１）÷２＝１０００
という等式になり、少し変形すると、
（２ａ＋ｂ）×（ｂ＋１）＝２０００
＝（２の４乗）×（５の３乗）
が得られます。

ここで、ちょっとしたテクニックを使います。ｂが偶数のときと奇数のときに場合分けするのです。

ｂが偶数のとき、（２ａ＋ｂ）は偶数で、（ｂ＋１）は奇数になります。と言うことは、（２ａ＋ｂ）は、（２の４乗）、（２の４乗）×５、（２の４乗）×（５の２乗）のいずれかということです。それぞれについて、（ｂ＋１）は、（５の３乗）、（５の２乗）、５になるので、ａ、ｂについての３組の連立方程式を解けば、（ａ、ｂ）＝（－５５、１２４）、（２８、２４）、（１９８，４）となります。しかし、（－５５、１２４）は、ａが負数なので除外です。

次に、ｂが奇数のときは、（２ａ＋ｂ）が奇数で、（ｂ＋１）が偶数になります。上と同様にして連立方程式をつくり、それらを解くと、（ａ、ｂ）＝（５５，１５）、（－２７、７９）、（－１９７、３９９）となりますが、後ろの二つはａが負数になので除外です。

まとめると、（ａ、ｂ）＝（２８、２４）、（１９８、４）、（５５、１５）となり、それらの数列はそれぞれ、
‘２８＋２９＋・・・＋５２’
‘１９８＋１９９＋２００＋２０１＋２０２’
‘５５＋５６＋・・・＋７０’
　となり、これらの３つが正解となります。

数列は高校で勉強するのですが、ガウスのように小学生でも解けるものもあり、面白くて頭の体操になるので挑戦してみてください。