２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題で、これが最後の記事になります。

問題は、
「三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、ＡＣ上にそれぞれ点Ｄ、Ｅがあり、４点Ｄ、Ｂ、Ｃ、Ｅは同一円周上にある。また、四角形ＤＢＣＥの内部に点Ｐがあり、
∠ＢＤＰ＝∠ＢＰＣ＝∠ＰＥＣをみたしている。

ＡＢ＝９、ＡＣ＝１１、ＤＰ＝１、ＥＰ＝３のとき、

の値を求めよ。

ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

図１に問題の図を描きました。

▲図１．問題の図を描きました

図２のように、直線ＤＰと直線ＡＣの交点をＱ、四角形ＤＢＣＥの外接円の交点でＤでない方をＳとし、直線ＥＰと直線ＡＢの交点をＲ、四角形ＤＢＣＥの外接円の交点でＥでない方をＴとすると、仮定と円周角の定理から、
∠ＢＤＳ＝∠ＢＰＣ＞∠ＢＤＣ
→ 弧ＢＳ＞弧ＢＣ
になり、ＳはＢがない方の弧ＣＥ上の点で、したがって、Ｑは線分ＣＥ上にあります。

▲図２．Ｑは線分ＣＥ上の点で、Ｒは線分ＢＤ上の点です

同様に、
∠ＣＥＴ＝∠ＣＰＢ＞∠ＣＥＢ
→ 弧ＣＴ＞弧ＢＣ
になり、ＴはＣがない方の弧ＢＴ上の点で、したがって、Ｒは線分ＢＤ上にあります。

そこで、△ＢＤＰに注目すると、三角形の２つの内角と外角の関係から、
∠ＢＰＱ＝∠ＤＢＰ＋∠ＢＤＰ
が成り立ち、このとき、
∠ＢＰＱ＝∠ＣＰＱ＋∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＱ＋∠ＢＤＰ
から
∠ＤＢＰ＝∠ＣＰＱ
で、一方、△ＣＥＰに注目すると、
∠ＣＰＲ＝∠ＥＣＱ＋∠ＣＥＰ
が成り立ち、このとき、
∠ＣＰＲ＝∠ＢＰＲ＋∠ＢＰＣ＝∠ＢＰＲ＋∠ＣＥＰ
から
∠ＥＣＱ＝∠ＢＰＲ
になり、したがって、△ＢＰＲ∽△ＰＣＱです。

また図３のように、∠ＰＤＲ＝∠ＰＥＱ（仮定）、∠ＤＰＲ＝∠ＥＰＱ（対頂角）から
△ＤＰＲ∽△ＥＰＱ
になり、このとき、ＤＰ＝１、ＥＰ＝３から

です。

ここで、四角形ＤＢＣＥの外接円と線分ＡＢ、ＡＣに方べきの定理を適用すると、

が成り立ちます。

また、∠ＱＤＲ＝∠ＱＥＲで、このとき円周角の定理の逆から、図４のように、Ｄ、Ｒ、Ｑ、Ｅは同一円周上にあり、この円と線分ＡＲ、ＡＱに方べきの定理を適用すると、

が成り立ちます。

▲図４．ＡＤ・ＡＲ＝ＡＥ・ＡＱです

そこで、（３）を（２）で除して整理すると、

です。

このとき△ＢＰＲ∽△ＰＣＱから、

が成り立ち、ここで、右側の等式に（１）と（４）を代入して整理すると、

になり、これと（５）の左側の等式から、

で、これが答えです。


このブログを始めてから８年になります。ご覧くださった皆様に感謝します。ありがとうございました。

２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「１以上１０００以下の整数からなる組（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべてについて、
ｘｙ＋ｚｗ、ｘｚ＋ｙｗ、ｘｗ＋ｙｚ
の最大値を足し合わせた値をＭとする。

同様に、１以上１０００以下の整数からなる組（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべてについて、
ｘｙ＋ｚｗ、ｘｚ＋ｙｗ、ｘｗ＋ｙｚ
の最小値を足し合わせた値をｍとする。

このとき、Ｍ－ｍの正の約数の個数を求めよ。」
です。

３つの実数をＡ、Ｂ、Ｃとしたとき、例えば下の図の場合、ｌＡ－Ｂｌ、ｌＢーＣｌ、ｌＣ－Ａｌは、それぞれＡＢ間の長さ、ＢＣ間の長さ、ＣＡ間の長さを表し、これらのなかの最大値がＡ、Ｂ、Ｃの最大値と最小値の差になり、さらに残りの２つ和もＡ、Ｂ、Ｃの最大値と最小値の差になります。

図．Ｃ＜Ｂ＜Ａの場合を示しました

したがって、

が成り立ちます。

このことから、３つの整数ｘｙ＋ｚｗ、ｘｚ＋ｙｗ、ｘｗ＋ｙｚの最大値と最小値の差ｄ1は、

で、したがって、Ｍ－ｍは（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組についてのｄ１の和になります。

また、１≦ｘ、ｙ、ｚ、ｗ≦１０００から、（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組についてのｌｘ－ｗｌｌｙ－ｚｌの和とｌｘ－ｙｌｌｚ－ｗｌの和とｌｘ－ｚｌｌｗ－ｙｌの和は等しくなり、したがって、

としたとき、Ｍ－ｍは（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組についてのｄ2の和になります。

さらに、ｌｘーｗｌ＝ｘ－ｗ（ｘ＞ｗ）またはーｘ＋ｗ（ｘ＞ｗ）、ｌｙ－ｚｌ＝ｙーｚ（ｙ＞ｚ）または－ｙ＋ｚ（ｙ＜ｚ）なので、（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組について、ｌｘ－ｗｌとｌｙ－ｚｌの組はそれぞれｘ－ｗ（ｘ＞ｗ）とｙ－ｚ（ｙ＞ｚ）の組の２倍になり（ｘ＝ｗ、ｙ＝ｚのときはＭ、ｍの和に寄与しません）、したがって、

としたとき、Ｍ－ｍはｘ＞ｗ、ｙ＞ｚを満たす（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組のｄ３についての和になります。

ここで、ｘ＞ｗを満たすｘ－ｗの組は、
ｘ－ｗ＝１ → ９９９組
　　　＝２ → ９９８組
　　　　・
　　　　・
　　　　・
　　　＝９９９ → １組
で、これは、ｙ－ｚについても同様です。

したがって、（ここから一気にいきます）

です。

したがって、Ｍ－ｍの約数の個数は、
（５＋１）×（５＋１）×（６＋１）×（２＋１）×（２＋１）×２＋１）×（２＋１）
＝６×６×７×３×３×３×３＝ ２０４１２（個） で、これが答えです。


Σを使えば簡潔になります。

２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｐ、Ｑがあり、三角形ＡＣＰの垂心と三角形ＡＢＱの垂心は一致している。ＡＢ＝１０、ＡＣ＝１１、ＢＰ＝５、ＣＱ＝６のとき、辺ＢＣの長さを求めよ。
ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

△ＡＢＣは、ＡＢ＝１０、ＡＣ＝１１、ＢＣ≧ＣＱ＝６なので、∠Ｂ，∠Ｃ＜９０°になり、このとき、Ａから辺ＢＣに下した垂線の足をＤとすると、辺ＢＣ上のＰ、Ｑ、Ｄの位置関係は、図１ー１のように、
Ｂ－Ｐ－Ｑ－Ｄ－Ｃ
Ｂ－Ｐ－Ｄ－Ｑ－Ｃ
Ｂ－Ｄ－Ｐ－Ｑ－Ｃ
と並ぶ場合と、図１－２のように、
Ｂ－Ｑ－Ｐ－Ｄ－Ｃ
Ｂ－Ｑ－Ｄ－Ｐ－Ｃ
Ｂ－Ｄ－Ｑ－Ｐ－Ｃ
と並ぶ場合があります。（図では、△ＡＣＰ、△ＡＢＱの垂心をそれぞれＨCとＨBで表しました）

▲図１－１．ＰがＱよりＢ側にある場合のＢ、Ｐ、Ｑ、Ｄ、Ｃの考えられる位置関係

▲図１－２．ＱがＰよりＢ側にある場合のＢ、Ｑ、Ｐ、Ｄ、Ｃの考えられる位置関係

これらの図１－１、２の両端の場合、２つの三角形の組合せが鋭角三角形と鈍角三角形になり、それぞれの垂心が三角形の内部と外部に存在することになります。

ここでは、△ＡＣＰの垂心ＨCと△ＡＢＱの垂心ＨBは、辺ＢＣの上側と下側に分かれ、２つの垂心が一致することはありません。

これに対して、２つの図の中央の場合、２つの三角形の組合せが鋭角三角形同士または鈍角三角形同士になり、それぞれの垂心が三角形の内部と外部に存在することになります。

ここでは、ＨBとＨCは、辺ＢＣの上側または下側のどちらかになり、２つの垂心が一致する可能性があります。

つまり、図１ー１の中央のようにＢ－Ｐ－Ｄ－Ｑ－Ｃと並んだ場合と、図１－２の中央のようにＢ－Ｑ－Ｄ－Ｐ－Ｃと並んだ場合の２つの場合を調べる必要があることになるのですが、実は、これらの２つの場合の辺ＢＣの長さは同じになります。

そこで、ここでは図１－１の中央のようにＢ－Ｐ－Ｄ－Ｑ－Ｃと並んだ場合を調べていきます。（Ｂ－Ｑ－Ｄ－Ｐ－Ｃの場合も以下の方法で解けます）

初めに図２のように、問題の図を描きました。

▲図２．問題の図を描きました

ここで図３のように、Ａから下した垂線の足をＤ、△ＡＣＰと△ＡＢＱの垂心をＨ、ＰＨとＡＣの交点をＥ、ＱＨとＡＢの交点をＦとします。

▲図３．Ｄ、Ｈ、Ｅ、Ｆ定めました

すると図４に示すように、∠ＡＤＢ＝∠ＱＤＨ、∠ＢＡＤ＝９０°－∠Ｂ＝∠ＢＱＦ＝∠ＨＱＤから、△ＡＢＤ∽△ＱＨＤです。

▲図４．△ＡＢＤ∽△ＱＨＤです

したがって、

が成り立ちます。

一方、図５に示すように、∠ＡＤＣ＝∠ＰＤＨ、∠ＣＡＤ＝９０°－∠Ｃ＝∠ＣＰＥ＝∠ＨＰＤから、△ＡＣＤ∽△ＰＨＤです。

▲図５．△ＡＣＤ∽△ＰＨＤです

したがって、

が成り立ちます。

すると（１）と（２）から

になります。

このとき、直角三角形ＡＢＤに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入し整理して、

を得ます。

さらに、直角三角形ＡＣＤに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入し整理して、

を得ます。

ここで、（４）－（３）から

になり、したがって、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「正の整数ｎに対して、正の整数ｍであってｍとｎが互いに素であり、ｍ＋１とｎ＋１も互いに素となるようなもののうち最小のものをｆ（ｎ）で表す。このとき、

のうちに現れる正の整数は何種類あるか。」
です。

素数を小さい順に、
ｐ1，ｐ2，・・・，ｐk，・・・，ｐl　
（ｋ、ｌは正の整数、ｋ≦ｌ）
として、

とします。

このとき、αxは整数で、
α1，α2，・・・，αk-1≧１
αk＝０
αk+1，・・・，αl≧０
です。（つまり、ｐkがｎ＋１の約数ではない最小の素数になります）

初めに、
１≦ｍ＜ｐk－１
を満たすｍを調べます。

上記の不等式の各辺に１を加えると、
２≦ｍ＋１＜ｐk
になり、これからｍ＋１はｐkより小さい素数ｐrを因数にもちます。

このとき、ｐrはｐ1、ｐ2、・・・、ｐk-1のいずれかで、するとｐrはｎ＋１の約数になり、ｎ＋１とｍ＋１は互いに素ではありません。

したがって、条件を満たすｍは、
ｍ≧ｐk－１
になり、
ｆ（ｎ）≧ｐk－１　　　（★）
です。

次に、
ｐk－１＜ｐk
から、ｐk－１の約数は ｐ1、ｐ2、・・・ｐk-1 のいずれかなので、

と表すことができます。

このとき、βxは整数で、
β1，β2，・・・，βk-1≧０
です。

すると、

から、ｎとｐk－１は互いに素で、さらに、

から、ｎ＋１とｐkも互いに素になります。

これは、ｐk－１はｍの条件を満たす整数であることを示していて、このとき（★）から、ｐk－１がｍの最小値になるので、
ｆ（ｎ）＝ｐk－１
であることが判りました。

続いて、

について、最大になるｐkを求めます。

そこで、素数を小さい方から順に掛け合わせいくと、

から、ｐkの最大値は３１です。
（２から３１までの素数を１つずつ掛け合わせた積が

を超えるので、

以下の整数のなかに２から３１までのすべての素数で割り切れるものはありません）

したがって、ｐkがとりうる値は、
２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１
の１１種類で、これらのそれぞれについて、条件を満たす最小のｍ、つまり、ｆ（ｎ）が、
１、２、４、６、１０、１２、１６、１８、２２、２８、３０
になるようなｎが存在することを確かめればお仕舞です。


のとき、ｎ＋１と互いに素になる最小のｍ＋１は３１で、したがって、

です。

同様に、

になり、１１種類のｆ（ｎ）に対して、

が存在します。

以上から、

に現れる正の整数は １１ 種類 で、これが答えです。


簡単な問題です。

２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「黒板に３つの相異なる正の整数が書かれている。黒板に実数ａ、ｂ、ｃが書かれているとき、それぞれを
　
に同時に書き換えるという操作を考える。この操作を２０２１回行ったところ、最後に黒板に書かれた３つの数はすべて正の整数だった。このとき、最初に書かれていた３つの正の整数の和としてありうる最小の値を求めよ。」
です。

最初に書かれていた３つの相異なる正の整数を ａ0、ｂ0、ｃ0 とします。このとき、対称性から １≦ａ0＜ｂ0＜ｃ0 としても一般性は失いません。

また、１以上２０２１以下の整数ｎについて、ｎ回目の操作後に黒板に書かれている数をａn、ｂn、ｃn とすると、

が成り立ち、これらの式の辺々を足し合わせると、

になり、したがって、

で、これらから、

になります。ここで、最初に書かれていた３つの正の整数の和をｓとしました。

続いて（２）を（１）に代入すると、

になり、これらの漸化式を解くと、

です。

ここで（４）から ｂn－ａn、ｃn－ａn をつくり、さらにｎ＝２０２１とすると、

で、これらから、

になります。

一方（５）から、

になり、このとき ａ2021、ｂ2021 はともに整数なので、

です。

さらに（５）から

になり、このとき ａ2021、ｃ2021 はともに整数なので、

です。

すると、ａ≧１ 、（６）（７）（８）から、

が成り立ちます。

ここから、

のとき、（６）の不等式の等号が成り立ち、かつ、ａ2021、ｂ2021、ｃ2021 が正の整数になるかを調べます。


なので、（６）の不等式の等号は成り立ちます。

また（４）から、

で、ａ2021、ｂ2021、ｃ2021 は正の整数になり、与えられた条件を満たします。

以上から、最初に書かれていた３つの正の整数の和としてありうる最小の値は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「ＡＢ＝ＡＣなる二等辺三角形ＡＢＣの内部に点Ｐをとり、Ｐから辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢにおろした垂線の足をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆとする。

ＢＤ＝９、ＣＤ＝５、ＰＥ＝２、ＰＦ＝５のとき、辺ＡＢの長さを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

どうでもよいことなのですが、問題図の線分の長さの比をより正確に作図すると図１のようになったので、これを使って進めていきます。

▲図１．線分の長さの比をより正確に作図しました

図２のように、ＡからＢＣにおろした垂線の足をＨ、Ｐを通りＢＣと平行な直線とＡＣ、ＡＢ、ＡＨとの交点をそれぞれＱ、Ｒ、Ｓとします。

▲図２．Ｈ、Ｑ、Ｒ、Ｓを定めました

このとき、Ｈは線分ＢＣの中点なので、
ＣＨ＝７
になり、したがって、
ＤＨ＝２
です。

一方、△ＰＦＲ∽△ＰＥＱでその相似比は５：２なので、
　ＰＲ：ＰＱ＝５：２
→ＰＲ：ＱＲ＝５：７
で、さらにＳは線分ＱＲの中点なので、

になり、したがって、

が成り立ちます。

するとＰＳ＝ＤＨ＝２から、図３のように、

になります。

そこで、直角三角形ＰＦＲに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入して整理すると、

です。

あとは△ＡＢＨ∽△ＰＲＦを利用して、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「下図のような正十角形がある。

全体の面積が１のとき、斜線部の面積を求めよ。」
です。

図１のように、正十角形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、ＣＨとＤＩの交点をＯ、ＡＤとＢＥの交点をＫ、ＢＤとＣＫの交点をＬとし、左側の図の斜線部の図形をその面積が等しい図形に変形していきましょう。

図１．左側の図の斜線部の図形をその面積が等しい図形に変形します

● 左側の図→中央の図
△ＧＨＩ≡△ＢＣＤから、左側の図の斜線部の図形の面積と中央の図の斜線部の図形の面積は等しくなります。

● 中央の図→右側の図
ＡＤ//ＢＣ、ＢＥ//ＣＤ、ＢＣ＝ＣＤから四角形ＢＣＤＫはひし形です。

すると△ＢＣＬ≡△ＤＫＬから、△ＢＣＤの面積と△ＣＤＫの面積は等しく、したがって、中央の図の斜線部の図形の面積と右側の図の斜線部の図形の面積は等しくなります。

このとき、対角線ＣＨは正十角形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪの対称の軸なので、
ＣＨ⊥ＢＤ
で、一方、ひし形ＢＣＤＫの対角線は垂直に交わるので、
ＣＫ⊥ＢＤ
になり、したがって、ＫはＣＨ上に存在します。

あとは図２のように、新しく作った図形を、正十角形の隣り合う２つの頂点とOを結んでできる、その面積が０．１の４つの三角形に分割すればお仕舞です。このとき、四角形ＡＫＯＪは平行四辺形なので、△ＯＡＪ≡△ＡＯＫです。

▲図２．面積０．１の正十角形の隣り合う２つの頂点とOを結んでできる４つの三角形に分割しました

以上から、問題に与えられた図の斜線部の面積は ０．１×４＝ ０．４ で、これが答えです。


簡単な問題です。

２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「互いに素な正の整数ｍ、ｎが ｍ＋ｎ＝９０ をみたすとき、積 ｍｎ としてありうる最大の値を求めよ。」
です。

ｍとｎの対称性から ｍ≧ｎ としても一般性を失いません。

そこで、

とすると、 ｍｎ が最大の値をとるのは、
・ ｍ＝４５のとき
　 ｎ＝４５になり、ｍとｎは互いに素でないので条件をみたしません

・ ｍ＝４６のとき
　 ｎ＝４４になり、ｍとｎは互いに素でないので条件をみたしません

・ ｍ＝４７のとき
　 ｎ＝４３になり、ｍとｎは互いに素なので条件をみたします
から、ｍ＝４７、ｎ＝４３のときです。

したがって、積 ｍｎ としてありうる最大の値は ４７×４３＝ ２０２１ で、これが答えです。


簡単な問題です。

高校入試問題Ｒ３（２）[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和３年度灘高の問題です。

問題は、
「ａ、ｂは等式
　
を満たしている。

（１） ｐ＝２ａｂ＋３ａ＋４ とする。

をａのみを用いて表せ。

（２）ａ、ｂはどちらも、０でない整数とする。等式①を満たすａ、ｂの値を求めよ。」
です。


です。

また、①から

で、これを〈１〉に代入すると、

で、これが（１）の答えです。

続いて（２）です。

（１）の答えから、

が成り立ちます。

いま

で、このときａ、ｂは整数なのでｐは整数になり、したがって、〈２〉を満たすｐ－ａとｐ＋ａの組（ｐ－ａ，ｐ＋ａ）は、
（±１，±１６）、（±２，±８）、（±４，±４）、（±８，±２）、（±１６，±１）[複合同順]
です。

一方、
・ ｐ－ａとｐ＋ａの偶奇は一致し、また、それらの積が偶数（１６）なので、ｐ－ａとｐ＋ａはともに偶数
・ ｐ－ａ＝ｐ＋ａのとき、ａ＝０
であることから、（±２，±８）または（±８，±２）が残ります。

ここから場合分けして調べていきます。

● （ｐ－ａ，ｐ＋ａ）＝（±２，±８）の場合
ｐ－ａ＝±２、ｐ＋ａ＝±８ から、（ｐ，ａ）は（５，３）または（－５，－３）で、これらを〈３〉に代入すると、

・（ｐ，ａ）＝（５，３）のとき

で、ｂは整数なので不適です。

・（ｐ，ａ）＝（－５，－３）のとき
－５＝２×（－３）×ｂ＋３×（－３）＋４
→ｂ＝０
で、ｂ≠０なので不適です。

●（ｐ－ａ，ｐ＋ａ）＝（±８，±２）の場合
ｐ－ａ＝±８、ｐ＋ａ＝±２から、（ｐ，ａ）は（５，－３）または（－５，３）で、これらを〈３〉に代入すると、

・（ｐ，ａ）＝（５，ー３）のとき

で、ｂは整数なので不適です。

・（ｐ，ａ）＝（－５，３）のとき
－５＝２×３×ｂ＋３×３＋４
→ｂ＝－３
で、これは条件を満たします。

以上から、等式①を満たすａ、ｂの値は ａ＝３、ｂ＝－３で、これが（２）の答えです。


簡単な問題です。

高校入試問題Ｒ３（１）[都立日比谷高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和３年度都立日比谷高の問題です。

問題は、
「１、２、３、４、５の数字が１つずつ書かれた同じ大きさの５枚のカード
　
が入っている袋Ａと、１、２、３、４、５、６の数字が１つずつ書かれた同じ大きさの６枚のカード
　
が入っている袋Ｂがある。

２つの袋Ａ、Ｂから同時にそれぞれ１枚のカードを取り出し、袋Ａから取り出したカードに書かれた数をａ、袋Ｂから取り出したカードに書かれた数をｂとするとき、ａと３ｂの最大公約数が１となる確率を求めよ。

ただし、２つの袋Ａ、Ｂそれぞれにおいて、どのカードが取り出させることも同様に確からしいものとする。」
です。

下表にａ、３ｂの値とそれらの最大公約数をまとめました。

▲表．ａ、３ｂの値とそれらの最大公約数をまとめました

この表から、すべての事象の場合の数は ３０通りで、最大公約数が１となる事象の場合の数は １７通りなので、最大公約数が１となる確率は

で、これが答えです。

また、表を作るのが煩雑ならば、いきなりａと３ｂの最大公約数が１となる組の個数を勘定すればＯＫです。

ａと３ｂの最大公約数が１となるのは、
・ ａ＝１の場合：ｂは何でもＯＫ→６組
・ ａ＝２の場合：ｂは偶数はＮＧ→３組
・ ａ＝３の場合：ｂはすべてＮＧ→０組
・ ａ＝４の場合：ｂは偶数はＮＧ→３組
・ ａ＝５の場合：ｂは５はＮＧ　→５組
なので、合計６＋３＋０＋３＋５＝１７（組）です。

このとき、ａと３ｂのすべての組は５×６＝３０（組）なので、求める確率は

になります。


簡単な問題です。

中学生でも手が届く京大入試問題（６８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和３年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「ｐが素数ならば
　
は素数でないことを示せ。」
です。

ｐを３で割った余りが１または２、つまり、ｐ＝３ｎ±１（ｎは１以上の整数；１は素数でないのでｐ≠１→ｎ≧１です）の場合、

の定数項が１５になり、これは３の倍数なので、（★）は素数ではありません。

また、ｐを３で割った余りが０の場合、ｐ＝３を除くすべてのｐは素数でないので、ｐ＝３の場合を調べればＯＫです。

そこで、ｐ＝３ｎ±１ とｐ＝３の場合について、（★）が素数でないことを示すことにします。

● ｐ＝３ｎ±１ の場合

から（★）は３の倍数です。

このとき、

から

なので、（★）は素数ではありません。

● ｐ＝３ の場合

から（★）は素数ではありません。

以上から、
ｐが素数ならば

は素数でないことを示すことができました。


簡単な問題です。

中学生でも手が届く東大入試問題（４７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和３年度東大入試問題（前期、理系文系共通）です。

問題は、
「以下の問いに答えよ。

（１） 正の奇数Ｋ、Ｌと正の整数Ａ、Ｂが ＫＡ＝ＬＢ を満たしているとする。Ｋを４で割った余りがＬを４で割った余りと等しいならば、Ａを４で割った余りはＢを４で割った余りと等しいことを示せ。

（２） 正の整数ａ、ｂが ａ＞ｂ を満たしているとする。このとき、
　
に対して ＫＡ＝ＬＢ となるような正の奇数Ｋ、Ｌが存在することを示せ。

（３） ａ、ｂは（２）の通りとし、さらに ａ－ｂ が２で割り切れるとする。
　
を４で割った余りは
　
を４で割った余りと等しいことを示せ。

（４）
　
を４で割った余りを求めよ。」
です。

Ｋ＝４ｋ＋ｒ
Ｌ＝４ｌ＋ｒ
とすると、ＫとＬは奇数なので、ｒ＝１または３ です。

ここで、これらを ＫＡ＝ＬＢ に代入して整理すると、
　（４ｋ＋ｒ）Ａ＝（４ｌ＋ｒ）Ｂ
→ ４（ｋＡ－ｌＢ）＝ｒ（Ｂ－Ａ）
になり、このとき４とｒは互いに素なので、Ｂ－Ａは４の倍数です。

したがって、Ａを４で割った余りはＢを４で割った余りと等しくなります。

次に（２）です。


を使ってＡを展開すると、

になります。

ここで、分子、分母の各因数を４で割ったときの余りでまとめると、

になります。

このとき、

なので、

になり、ここで、

とすると、ＫとＬはいずれも正の奇数です。

したがって、ＫＡ＝ＬＢとなるような正の奇数Ｋ、Ｌが存在することを示すことができました。

次に（３）です。

正の整数ｍとすると、

で、これをＫに代入すると、

になります。

このとき、ＫとＬの因数を４で割った余りは、左側から順に同じ値になり、さらにＫとＬの因数の個数は同じなので、ＫとＬを４で割った余りは等しくなります。

したがって、（１）から

を４で割った余りは等しくなります。

最後の（４）です。

（３）で示したように、

と
５０５－９＝４９６＝２×２４８
から

を４で割った余りは、

を４で割った余りと等しくなります。

さらに、

と
１２６－２＝１２４＝２×６２
から

を４で割った余りは、

と等しくなります。

このとき、

から、

を４で割った余りは３になります。

したがって、

を４で割った余りは ３ で、これが（４）の答えです。


簡単な問題です。

中学生でも手が届く京大入試問題（６７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和３年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「１０進法で表された数 ６．７５ を２進法で表せ。また、この数と２進法で表された数 １０１．０１０１ との積として与えられる数を２進法および４進法で表せ。」
です。


から、６．７５ の２進法記数は １１０．１１ です。

２進法で表された １０１．０１０１ を

のように１０進法に変換し、これと ６．７５ の積をつくると、

になり、したがって、積の２進法記数は １０００１１．１１０１１１ です。

（２進法の加算表、乗算表を利用して計算することもできます）

さらに、この積を４進法に変換すると、

になり、したがって、積の４進法記数は ２０３．３１３ です。

以上をまとめると、
６．７５ の２進法記数 ： １１０．１１
積の２進法記数　　　 ： １０００１１．１１０１１１
積の４進法記数　　　 ： ２０３．３１３
で、これらが答えです。


簡単な問題です。

中学入試問題Ｒ３（２０）[桜蔭中]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和３年度桜蔭中の問題です。

問題は、
「円周率は、３．１４を使って計算することが多いです。しかし、本当は３．１４１５９２６５・・・とどこまでも続いて終わりのない数です。この問題では、円周率を３．１として計算してください。

図のように点Ｏを中心とした半径の異なる２つの円の周上に道があります。

Ａさんは内側の道を地点ａから反時計回りに、Ｂさんは外側の道を地点ｂから時計回りに、どちらも分速５０ｍの速さで同時に進みはじめます。
ＡさんとＢさんのいる位置を結ぶ直線が点Ｏを通るときに、ベルが鳴ります。ただし、出発のときはベルは鳴りません。

（１） ＡさんとＢさんが道を一周するのにかかる時間はそれぞれ何分ですか。
（２） １回目と２回目にベルが鳴るのは、それぞれ出発してから何分後ですか。
（３） 出発してから何分かたったあと、２人とも歩く速さを分速７０ｍに同時に変えたところ、５回目にベルが鳴るのは速さを変えなかったときと比べて１分早くなりました。速さを変えたのは、出発してから何分後ですか。」
です。

道を１周するのにかかる時間は、
・Ａさん
５０×２×３．１÷５０＝ ６．２（分）
と
・Ｂさん
６０×２÷３，１÷５０＝ ７．４４（分）
で、これが（１）の答えです。

続いて（２）です。

図１のように、Ｂさんが外側の道上にある地点ｄにいるとき、中心Ｏと地点ｄを結んだ直線と内側の道の交点を地点ｃとすると、おおぎ形Ｏａｃとおおぎ形Ｏｂｄは相似なので、
弧ａｃ ： 弧ｂｄ＝Oａ : Oｂ＝５０：６０
です。

▲図１．おおぎ形Ｏａｃとおおぎ形Ｏｂｄは相似です

したがって、Ｂさんが外側の道を時計回りに分速５０ｍで進むとき、Ｂさんの影Ｂ’は、内側の道を時計回りに、

の速さで進むことになります。

ここで、ベルが鳴るときのＡさんとＢ’の位置関係を考えてみると、図２に示すＰとＱのように、２人が中心Ｏに対してそれぞれ反対の位置にいる場合と、Ｒのように同じ位置にいる場合があります。

▲図２．ベルが鳴るときのＡさんとＢ’の位置関係です

いま、ＡさんとＢ’は同じ位置（地点ａ）から出発するので、１回目にベルが鳴るのは、図２のＰとＱのような位置関係のとき、つまり２人の進んだ道のりの和が半径５０ｍの円周の半分になるときで、２回目にベルが鳴るのは、図２のＲのような位置関係のとき、つまり２人の進んだ道のりの和が半径５０ｍの円周になるときです。

そこでＡさんとＢ’の速さの和が、

であることから、１回目のベルが鳴るのは、出発してから

で、２回目のベルが鳴るのは、

になり、まとめると、

が（２）の答えです。

最後の（３）です。

５回目にベルが鳴るのは、ＡさんとＢ’の道のりの和が半径５０ｍの円周の

になるときで、その道のりは、

です。

このとき２人が速さを変えない場合、この道のりを進むのに要する時間は

なので、途中で２人が速さを変えた場合に要した時間は、

になります。

また、Ｂさんが外側の道を分速７０ｍで進むとき、内側の道を進むＢ’の速さは、図１と同じように、

なので、Ａさんの速さとＢ’の速さの和は、

です。

そこで、２人が速さを変えてから進んだ時間をｔ分間とすると、
　（初めの速さの和）×（５回目のベルが鳴るまでの時間）
＋（変えた後の速さの和－初めの速さの和）×ｔ
＝（５回目のベルが鳴るまでの道のり）
になるので、

が成り立ち、これからｔを計算すると、

で、初めの速さで進んだ時間は、

になります。

したがって、速さを変えたのは、出発してから

で、これが（３）の答えです。


簡単な問題です。

中学入試問題Ｒ３（１９）[麻布中]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和３年度麻布中の問題です。

問題は、
「同じ形と大きさのひし形の紙がたくさんあります。これらの紙を、縦横何列かずつはり合わせます。このとき、となりのひし形と重なり合う部分はひし形で、その１辺の長さは元のひし形の

となるようにします。最後にこの図形の一番外側を太線で囲みます。

例えば、縦２列、横３列の計６枚のひし形の紙をはり合わせてこの図形の一番外側を太線で囲んだ場合は、下図のようになります。太線の内部には、紙が重なり合う部分が７か所あり、紙のない所が２か所できます。

この方法で、縦１０列、横２０列の計２００枚のひし形の紙をはり合わせて、この図形の一番外側を太線で囲みました。以下の問いに答えなさい。

（１） 太線の内側に、紙が重なり合う部分は何か所ありますか。

（２） 太線の内側の面積は、ひし形の紙１枚の面積の何倍ですか。ただし、太線の内側の面積には、紙のない所の面積も含むものとします。」
です。

ひし形の紙をはり合わせたとき、図１のように、ひし形の左右が重なり合う部分を〇、ひし形の上下が重なり合う部分を〇とします。

▲図１．ひし形の左右と上下が重なり合う部分をそれぞれ〇と〇にしました

今、縦１０列、横２０列のひし形の紙をはり合わせるので、〇は横方向に１９個、縦方向に１０個並ぶことになり、したがって、太線の内側の〇の個数は、１９×１０＝１９０（個）です。

一方〇は、横方向に２０個、縦方向に９個並ぶので、太線の内側の〇の個数は、２０×９＝１８０（個）で、したがって、〇と〇の合計は１９０＋１８０＝３７０（個）です。

以上から、太線の内側の紙が重なり合う部分は ３７０（か所）で、これが（１）の答えです。

続いて（２）です。

（太線の内側の面積）＝（ひし形の紙１枚の面積）×２００
　　　　　　　　　　－（重なり合う部分１か所の面積）×３７０
　　　　　　　　　　＋（紙のない部分１か所の面積）×（紙のない部分の個数）（★）
です。

ここでひし形の紙１枚の面積をＳとすると、図２のように、

になります。

また、紙のない部分の個数は、横方向に１９個、縦方向に９個並ぶので、太線の内側の個数は、１９×９＝１７１（個）です。

そこで、これらの値を（★）に代入して計算すると、

になり、したがって、太線の内側の面積はひし形の紙１枚の面積の

で、これが（２）の答えです。


簡単な問題です。