面積問題（１１）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１３年灘高入試に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「長方形ＡＢＣＤの辺ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上にそれぞれ点Ｅ、Ｆ、Ｇをとり、線分ＥＣ上に点Ｈをとると下図のようになり、四角形ＡＢＥＧ、ＨＥＣＦはともに正方形となった。次の問いに答えよ。なお、答えが複数ある場合は、それらをすべて答えること。

▲問題図

（１） 長方形ＡＢＣＤの面積が長方形ＧＨＦＤの面積の６倍であるとき、ＢＥ：ＥＣ をできるだけ簡単な整数の比で表せ。

（２） △ＡＢＣの面積が６、△ＦＤＧの面積が１であるとき、正方形ＡＢＥＧの面積を求めよ。」
です。

（１）から取り掛かりましょう。

図１のように、ＡＥ＝ｘ、ＥＣ＝ｙとすると、
（長方形ＡＢＣＤの面積）＝ｘ（ｘ＋ｙ）
（長方形ＧＨＦＤの面積）＝（ｘ－ｙ）ｙ
で、与えられた条件から、
ｘ（ｘ＋ｙ）＝６（ｘ－ｙ）ｙ
が成り立ちます。

▲図１．ＡＥ＝ｘ、ＥＣ＝ｙ としました

これを展開・整理して、

とします。

ここで、さらに因数分解すると、
（ｘ－２ｙ）（ｘ－３ｙ）＝０
になり、
ｘ＝２ｙ または、３ｙ
です。

これから
ｘ：ｙ＝２：１、または、３：１
になり、したがって、ＢＥ：ＥＣ＝ ２：１、または、３：１ で、これが答えです。

続いて（２）です。

図２に与えられた条件を書き入れました。

▲図２．与えられた条件を書き入れました

△ＡＢＣの面積と△ＦＤＧの面積がそれぞれ６と１なので、長方形ＡＢＣＤの面積は長方形ＧＨＦＤの面積の６倍になり、（１）の結果から、
ｘ＝２ｙ、または、３ｙ
が成り立ちます。

一方、
（△ＡＢＣの面積）＝ｘ（ｘ＋ｙ）/２＝６
から、

が成り立ちます。

● ｘ＝２ｙの場合

から


● ｘ＝３ｙの場合

から

です。

したがって、正方形ＡＢＥＧの面積は ８、または、９ で、これが答えです。


△ＡＢＣと△ＦＤＧの面積をｘ、ｙで表して、その連立２次方程式を解いてもＯＫです。