こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、図形問題です。
問題は、
「下図のように、AB>AC の △ABC が円に内接している。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6c/e0/522347347e1b3125327f911fa09649e3.jpg)
▲問題図
Aを通る接線とBCの延長の交点をPとし、∠BACの二等分線とBCとの交点をQとする。
AP=10、CP=6のとき、BQの長さを求めよ。」
です。
前回の図形問題(図形問題(38))は、相似、三平方の定理、方べきの定理のコンビネーションでしたが、今回は、方べきの定理、接弦定理、相似、角の二等分線定理あたりになりそうです。
まず方べきの定理から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3a/b1/f7e3758d78a11aa43cba60c3c4d28c6f.jpg)
が成り立ち、これに、PC=6、PA=10 を代入し整理すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/50/1a/b71d37eb2926cf9cb42672776fd3b9c8.jpg)
です。
このとき、BC=PB-PCから、図1のように、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1f/1d/22a3dd9aa5722302c9439cf957e87685.jpg)
になります。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/66/a9/c2d8e0f0a71cccba3b7a70f60b42e44a.jpg)
次に △ABPと△CAPに注目すると、接弦定理から ∠ABP=∠CAP、∠Pは共通なので、△ABP∽△CAPになり、したがって、図2のように、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/5e/85/96f2ed6c251fa1d067f5b9cdbcbab49e.jpg)
になります。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/75/a6/98859bd3fa87891fadd74c726344e6c9.jpg)
▲図2.AB:AC=5:3 です
すると図3のように、角の二等分線定理から
BQ:CQ=AB:AC=5:3
です。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/35/a7/e6ce8fa476b975576b3abb048a72c4f4.jpg)
▲図3.BQ:CQ=5:3 です
したがって、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6f/d3/d087d1bfb642505c0fcf26966d8aa685.jpg)
で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、図形問題です。
問題は、
「下図のように、AB>AC の △ABC が円に内接している。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6c/e0/522347347e1b3125327f911fa09649e3.jpg)
▲問題図
Aを通る接線とBCの延長の交点をPとし、∠BACの二等分線とBCとの交点をQとする。
AP=10、CP=6のとき、BQの長さを求めよ。」
です。
前回の図形問題(図形問題(38))は、相似、三平方の定理、方べきの定理のコンビネーションでしたが、今回は、方べきの定理、接弦定理、相似、角の二等分線定理あたりになりそうです。
まず方べきの定理から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3a/b1/f7e3758d78a11aa43cba60c3c4d28c6f.jpg)
が成り立ち、これに、PC=6、PA=10 を代入し整理すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/50/1a/b71d37eb2926cf9cb42672776fd3b9c8.jpg)
です。
このとき、BC=PB-PCから、図1のように、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1f/1d/22a3dd9aa5722302c9439cf957e87685.jpg)
になります。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/66/a9/c2d8e0f0a71cccba3b7a70f60b42e44a.jpg)
次に △ABPと△CAPに注目すると、接弦定理から ∠ABP=∠CAP、∠Pは共通なので、△ABP∽△CAPになり、したがって、図2のように、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/5e/85/96f2ed6c251fa1d067f5b9cdbcbab49e.jpg)
になります。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/75/a6/98859bd3fa87891fadd74c726344e6c9.jpg)
▲図2.AB:AC=5:3 です
すると図3のように、角の二等分線定理から
BQ:CQ=AB:AC=5:3
です。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/35/a7/e6ce8fa476b975576b3abb048a72c4f4.jpg)
▲図3.BQ:CQ=5:3 です
したがって、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6f/d3/d087d1bfb642505c0fcf26966d8aa685.jpg)
で、これが答えです。
簡単な問題です。