場合の数の問題（３）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１７年灘高入試に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人が、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇ の７冊の本からそれぞれ３冊を選んで読む。ただし、どの２人についても共通に読む本が１冊だけあるようにする。

（１） Ａ、Ｂ、Ｃの３人について共通に読む本が１冊だけあり、Ｄはその本を読まないような、４人の本の選び方は何通りあるか。

（２） ４人のうちどの３人についても共通に読む本がないような、４人の本の選び方は何通りあるか。

（３） ４人の本の選び方は全部で何通りあるか。」
です。

（１）から取り掛かりましょう。

表１のように、Ａ、Ｂ、Ｃが共通して読む本を本１とします。

▲表１．Ａ、Ｂ、Ｃが共通して読む本を本１としました

さらにＡが本２と３を読んだとすると、ＢとＣは本２、３を読むことができないので、ＢとＣが読む本をそれぞれ本４、５と本６、７とします。

このとき、Ｄが本２、４、６を読めば、どの２人についても共通に読む本が１冊だけあるようにすることができます。

ここで本１から７に、ａからｇを対応させる場合の数は、
７×６×５×４×３×２×１＝ ５０４０ （通り）
で、これが答えです。

次に（２）です。

表２のように、ＡとＢ、ＡとＣ、ＡとＤが共通して読む本をそれぞれ本１、２、３とします。

▲表２．ＡとＢ、ＡとＣ、ＡとＤが共通して読む本をそれぞれ本１、２、３としました

さらにＢとＣ、ＢとＤ、ＣとＤが共通して読む本をそれぞれ本４、５、６とすると、どの２人についても共通に読む本が１冊だけあり、かつ、どの３人についても共通に読む本がないようにすることができます。

ここで本１から７に、ａからｇを対応させる場合の数は、
７×６×５×４×３×２×１＝ ５０４０ （通り）
で、これが答えです。

最後の（３）です。

どの２人についても共通に読む本が１冊だけあるようになるのは、
［１］（１）のように、３人が共通する本を読む
［２］（２）のように、２人が共通する本を読む
［３］４人が共通する本を読む
のいずれかの場合です。

［１］の場合の数は、（１）でのＤの選び方が４通りあるので、
５０４０×４＝２０１６０（通り）
です。

［２］の場合の数は、（２）から
５０４０（通り）
です。

［３］の場合は、表３のように、本が９冊必要になり条件を満たすことはできません。

▲表３．４人が共通する本を読むと、本は９冊必要です

したがって、４人の本の選び方は、
２０１６０＋５０４０＝ ２５２００ （通り）
で、これが答えです。


楽しい問題です。