ｓｅｒｉｏｕｓ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｉ　ｗｅｎｔ　ｔｏ　ｐｌａｃｅｓ　ｗｉｔｈ　ｓｅｒｉｏｕｓ　ｈｅａｌｔｈ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．
（私は深刻な健康障害が起きている場所に行きました）
という文があります。

この ｓｅｒｉｏｕｓ を ロングマン英英辞典 で引いてみると、 類義語 ｓｅｖｅｒｅ、ｇｒａｖｅ、ａｃｕｔｅ、ｄｅｓｐｅｒａｔｅ、ｃｒｉｔｉｃａｌ， ｌｉｆｅ-ｔｈｒｅａｔｅｎｉｎｇ，ｂｅ　ａ　ｍａｔｔｅｒ　ｏｆ　ｌｉｆｅ　ａｎｄ　ｄｅａｔｈ との違いについて、

● ｓｅｒｉｏｕｓ
　ｖｅｒｙ　ｂａｄ－ｕｓｅｄ　ａｂｏｕｔ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ， ａｃｃｉｄｅｎｔｓ， ｉｌｌｎｅｓｓｅｓ， ｏｒ　ｃｒｉｍｅｓ
　（とても悪い－トラブル、事故、病気、犯罪について使われる）

● ｓｅｖｅｒｅ
　ｖｅｒｙ　ｓｅｒｉｏｕｓ－ｕｓｅｄ　ａｂｏｕｔ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ， ｉｎｊｕｒｅｓ， ａｎｄ　ｉｌｌｎｅｓｓ
　（とても深刻な－トラブル、怪我、病気について使われる）

● ｇｒａｖｅ
　ｕｓｅｄ　ａｂｏｕｔ　ａ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｓｅｒｉｏｕｓ　ａｎｄ　ｗｏｒｒｙｉｎｇ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｂｅｃａｕｓｅ　ｉｔ　ｉｓ　ｄａｎｇｅｒｏｕｓ　ｏｒ　ｓｅｅｍｓ　ｌｉｋｅｌｙ　ｔｏ　ｇｅｔ　ｗｏｒｓｅ
　（特にその状況が危険でまたは悪化しそうな、とても深刻で憂慮するべき状況について使われる）

● ａｃｕｔｅ
　ｕｓｅｄ　ａｂｏｕｔ　ａｎ　ｉｌｌｎｅｓｓ， ｐｒｏｂｌｅｍ， ｏｒ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｈａｓ　ｂｅｃｏｍｅ　ｖｅｒｙ　ｓｅｒｉｏｕｓ　ｏｒ　ｄａｎｇｅｒｏｕｓ，ａｎｄ　ｎｅｅｄｓ　ｔｏ　ｂｅ　ｄｅａｌｔ　ｗｉｔｈ　ｑｕｉｃｋｌｙ
　（とても深刻になっていたり迅速な処置を要する病気、トラブル、状況に使われる）

● ｄｅｓｐｅｒａｔｅ
　ｕｓｅｄ　ａｂｏｕｔ　ａ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ　ｏｒ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｔｈａｔ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｓｅｒｉｏｕｓ　ｏｒ　ｄａｎｇｅｒｏｕｓ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｂｅｃａｕｓｅ　ａ　ｌｏｔ　ｏｆ　ｐｅｏｐｌｅ　ｎｅｅｄ　ｕｒｇｅｎｔ　ｈｅｌｐ
　（特に多数の人が緊急の援助を必要とするような、とても深刻で危険な状態について使われる）

● ｃｒｉｔｉｃａｌ
　ｕｓｅｄ　ａｂｏｕｔ　ａ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｓｅｒｉｏｕｓ　ａｎｄ　ｄａｎｇｅｒｏｕｓ　ａｎｄ　ｍｉｇｈｔ　ｇｅｔ　ｗｏｒｓｅ　ｓｕｄｄｅｎｌｙ
　（とても深刻で危険であり、突然悪化するかもしれない状況について使われる）

● ｌｉｆｅ-ｔｈｒｅａｔｅｎｉｎｇ
　ｕｓｅｄ　ａｂｏｕｔ　ａ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ， ｉｌｌｎｅｓｓ， ｏｒ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｓｏｍｅｏｎｅ　ｃｏｕｌｄ　ｄｉｅ
　（人が死ぬかもしれない状況、病気、状態について使われる）

● ｂｅ　ａ　ｍａｔｔｅｒ　ｏｆ　ｌｉｆｅ　ａｎｄ　ｄｅａｔｈ
　ｓｐｏｋｅｎ　ｔｏ　ｂｅ　ｅｘｔｒｅｍｅｌｙ　ｓｅｒｉｏｕｓ－ｕｓｅｄ　ｗｈｅｎ　ａ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｕｒｇｅｎｔ　ｏｒ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ
（話言葉、極度に申告なこと－とても切迫または重要な状態のとき使われる）
と解説しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

２０２０年日本数学オリンピック予選の問題（１０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「８×８のマス目を図のように白と黒の２色で塗り分ける。黒い駒４個と白い駒４個をそれぞれいずれかのマスに置き、以下の条件をみたすようにする方法は何通りあるか。

　各行・各列にちょうど１個の駒が置かれており、黒い駒は黒いマスに、白い駒は白いマスに置かれている。

ただし、同じ色の駒は区別せず、回転や裏返しにより一致する置き方も異なるものとして数える。」

です。

早速、取り掛かりましょう。

問題に与えられたマス目を基にして勘定してもＯＫですが、図１のように、マス目を並び替えると判りやすくなります。

▲図１．マス目を並び替えました

図１の左側のマス目（元のマス目）の奇数行を上側に順に寄せて並べると中央のマス目になり、さらに、中央のマス目の奇数列目を左側に順に寄せて並べると右側のマス目になります。

このとき、右側のマス目のいずれの行、列も元のマス目の並び替えになっています。

したがって、元のマス目で、「各行、各列にちょうど１個の駒が置かれること」は、図１の右側のマス目で、「各行、各列にちょうど１個の駒が置かれる」ことになります。

また、「黒い駒は黒いマスに、白い駒は白いマスに置かれる」ので、図１の右側のマス目の、左上側と右下側のそれぞれ４×４のマス目に黒い駒が置かれ、左下側と右上側のそれぞれ４×４のマス目に白い駒が置かれることになります。

そこで図２のように、図１の右側のマス目の左上側の４×４のマス目に４個または３個の黒い駒を置いてみましょう。

▲図２．左上側の４×４のマス目に４個または３個の黒い駒を置いてみました

すると、
● ４個の黒い駒を図２の左側のように置いた場合
→ 白い駒を置くことができません。

● ３個の黒い駒を図２の右側のように置いた場合
→ 赤色線で囲んだマスのいずれかに白い駒を１個しか置くことができません。
です。

したがって、左上側と右下側の４×４のマス目のそれぞれに黒い駒２個ずつを置くことになり、同様に、左下側と右上側の４×４のマス目のそれぞれに白い駒を２個ずつ置くことになります。

あとは、４つの４×４のマス目に対して黒い駒または白い駒の置き方を勘定してお仕舞です。

左上側と右下側の２つの４×４のマス目に対して、それぞれ２個ずつの黒い駒の置き方は、４×４のマス目に対して、行（または列）の選び方が、

、１つ目の黒い駒の列（または行）の選び方が４通り、２つ目の黒い駒の列（または行）の選び方が３通りなので、
６×４×３×６×４×３＝５１８４（通り）
です。

このとき、左下側と右上側の２つの４×４のマス目に対して、それぞれ２個ずつの白い駒の置き方は、
２×２＝４（通り）
です。（例えば参考図のように黒い駒を置いた場合、白い駒の置き方は、赤色線でマークした２つの２×２のマス目に対して、それぞれ２個ずつの白い駒の置き方になり、それはそれぞれ２通りずつになります）

▲参考図

　　
以上から、与えられた条件をみたす駒の置き方は、
５１８４×４＝ ２０７３６（通り）
で、これが答えです。　


簡単な問題です。

ｇｏｏｓｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１英語教科書の裏表紙の見返しに、
Ｍｏｔｈｅｒ　Ｇｏｏｓｅ
（マザーグース）
という語があります。

この ｇｏｏｓｅ を オックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、
１　ａ　ｂｉｒｄ　ｌｉｋｅ　ａ　ｌａｒｇｅ　ｄｕｃｋ　ｗｉｔｈ　ｌｏｎｇ　ｎｅｃｋ． Ｇｅｅｓｅ　ｅｉｔｈｅｒ　ｌｉｖｅ　ｗｉｌｄ　ｏｒ　ａｒｅ　ｋｅｐｔ　ｏｎ　ｆａｒｍｓ．
２　ｍｅａｔ　ｆｒｏｍ　ａ　ｇｏｏｓｅ
３　ａ　ｆｅｍａｌｅ　ｇｏｏｓｅ → ＣＯＭＰＡＲＥ ｇａｎｄｅｒ
　　　　　　　　（以下略）
（１．大きなアヒルに似た首の長い鳥。野生または家畜として飼われている。　２．ガチョウの食用肉　３．雌のガチョウ → 比較 雄のガチョウ）
とあり、 本来雌雄のどちらをも表しますが、特に 雌のガチョウ を指し、これに対して、 雄のガチョウ は ｇａｎｄｅｒ、 ヒナ は ｇｏｓｌｉｎｇ と言います。

また、その 鳴き声 は ｈｏｎｋ、ｇａｂｂｌｅ、ｇａｇｇｌｅ で、さらに、 コンパスローズ英和辞典 によると ｇｏｏｓｅ の鳴き声わ表す動詞 は、 ｃａｃｋｌｅ や ｈｉｓｓ ということです。

ちなみに、 ｇｏｏｓｅ の 複数形 は ｇｅｅｓｅ で、これは ｆｏｏｔ → ｆｅｅｔ、ｔｏｏｔｈ → ｔｅｅｔｈ と同じように 母音 が変化します。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

２０２０年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題（１０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「各辺の長さが整数である三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上に相異なる２点Ｄ、Ｅがある。点Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｃはこの順に並んでおり、ＢＤ＝４、ＥＣ＝７をみたす。点Ｄ、Ｅを通り辺ＡＢと辺ＡＣに接する円が存在するとき、三角形ＡＢＣの３辺の長さの和としてありうる最小の値を求めよ。
ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１に問題の図を描きました。

▲図１．問題の図を描きました

図１を眺めると、方べきの定理を使うことになりそうなので、図２のように、円と辺ＡＢおよび辺ＣＡとの接点をそれぞれＰとＱ、ＤＥ＝ａ、ＣＱ＝ｂ、ＢＰ＝ｃ、ＡＰ＝ＡＱ＝ｄとして、ａ、ｂ、ｃ、ｄの関係式を導くことにしましょう。

▲図２．ＤＥ＝ａ、ＣＱ＝ｂ、ＢＰ＝ｃ、ＡＰ＝ＡＱ＝ｄとしました

ここで、ａ、ｂ、ｃ、ｄがみたす条件は、
① △ＡＢＣの各辺が整数
　辺ＢＣ ： ４＋ａ＋７＝ａ＋１１ → ａは整数
　辺ＡＢ ： ｃ＋ｄ は整数
　辺ＣＡ ： ｂ＋ｄ は整数

② 方べきの定理から
　

③ 三角不等式から
　ＡＢ＋ＣＡ＞ＢＣ → ｃ＋ｂ＋２ｄ＞ａ＋１１　　（３）
です。

このとき、ａが整数なので、（１）と（２）の右辺は整数になり、したがって、

は整数で、さらに、
７（ａ＋７）＞４（ａ＋４）から、

になります。

ここでｂが整数ならば、（１）が整数方程式になり、ａ、ｂを制約できそうなので、ｂが整数であるか調べてみます。

まずＡＢとＣＡが整数であることから、（ＣＡ－ＡＢ）は整数で、したがって、
ＣＡ－ＡＢ＝（ｂ+ｄ）－（ｃ＋ｄ）＝ｂ－ｃ
は正の整数（（４）からｂ－ｃ＞０）になり、ここで、
ｂ－ｃ＝ｍ　（ｍは正の整数）　　　　　　　　　　（５）
とします。

また（１）と（２）の辺々の差をとると、

で、この右辺が正の整数であることから、（ｂ－ｃ）（ｂ＋ｃ）は正の整数になり、ここで、
（ｂ－ｃ）（ｂ＋ｃ）＝ｎ　（ｎは正の整数）　　　（６）
とします。

すると（５）と（６）から

で、これと（５）から

になり、ｂは有理数であることが判りました。（分母も分子も整数です）

すると（１）から有理数の２乗が整数ということになるので、ｂが整数であることが判りました。

ここから、ｂが正の整数という条件の下、（１）を使ってａとｂの関係を調べていきましょう。

（１）からｂは７の倍数なので、
ｂ＝７ｐ　（ｐは正の整数）
となり、これを（１）に代入して整理すると、

です。

このとき、ａ＞０からｐ≧２で、したがって、

です。

すると（１）と（２）から

になります。

ここで、△ＡＢＣの３辺の和は、
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＝（ａ＋１１）＋（ｂ＋ｄ）＋（ｃ＋ｄ）
　　　　　　　　＝ａ＋ｂ＋ｃ＋２ｄ＋１１
　　　　　　　　≧２１＋１４＋１０＋２ｄ＋１１
　　　　　　　　＝５６＋２ｄ　（等号はａ＝２１、ｂ＝１４、ｃ＝１０のとき成立）
になります。

あとは（３）の三角不等式からｄの最小値を求めてお仕舞です。

ａ＝２１、ｂ＝１４、ｃ＝１０のとき、（３）から
１０＋１４＋２ｄ＞２１＋１１ → ２ｄ＞８ → ｄ＞４
で、このとき、ｄは整数（辺ＡＢの長さｂ＋ｄとｂが整数なので、ｄは整数）なので、
ｄ≧５
です。

したがって、
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ≧５６＋２ｄ≧５６＋２×５＝６６　（等号はｄ＝５のとき成立）
です。

このとき、ＡＢ＝１４＋５＝１９、ＢＣ＝２１＋１１＝３２、ＣＡ＝１０＋５＝１５から、
ＡＢ＋ＢＣ＝１９＋３２＝５１、ＣＡ＝１５ → ＡＢ＋ＢＣ＞ＣＡ
ＢＣ＋ＣＡ＝３２＋１５＝４７、ＡＢ＝１９ → ＢＣ＋ＣＡ＞ＡＢ
になり、（３）以外の２つの三角不等式も成り立つので、ＡＢ＝１９、ＢＣ＝３２、ＣＡ＝１５の三角形は存在します。

以上から、三角形ＡＢＣの３辺の長さの和としてありうる最小の値は ６６ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｎａｍａｓｔｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｎａｍａｓｔｅ．
（こんにちは）
という文があります。

この ｎａｍａｓｔｅ を オックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、

● ｅｘｃｌａｍａｔｉｏｎ　（Ｉｎｄｉａｎ　Ｅｎｇｌｉｓｈ）
ａ　ｐｏｌｉｔｅ　ｇｒｅｅｔｉｎｇ　ｓａｉｄ　ｗｈｅｎ　ｇｉｖｉｎｇ　ａ　ｎａｍａｓｋａｒ（＝ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｈａｎｄｓ　ｐｌａｃｅｄ　ｔｏｇｅｔｈｅｒ　ａｓ　ｉｎ　ｐｒａｙｅｒ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｈｅａｄ　ｂｅｎｔ　ｆｏｒｗａｒｄｓ）
（間投詞、インド英語、ナマスカ（お祈りをするように両手を合わせお辞儀をする所作）をするとき発する丁寧なあいさつ）
とあります。

また他にも コリンズ英英大辞典、ＷＥＢＳＴＥＲ’Ｓ　ＮＥＷ　ＷＯＲＬＤ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＤＩＣＴＩＯＮＡＲＹ、Ｔｈｅ　ＡＭＥＲＩＣＡＮ　ＨＥＲＩＴＡＧＥ　ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅｎｇｌｉｓｈ　Ｌａｎｇｕａｇｅ に 見出し語 として掲載されていて、 ｎａｍａｓｔｅ の英語圏おける認知度は大したものです。

一方、日本語の ｓａｙｏｎａｒａ（さよなら） も結構頑張っていて、 コリンズ英英大辞典、ＷＥＢＳＴＥＲ’Ｓ　ＮＥＷ　ＷＯＲＬＤ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＤＩＣＴＩＯＮＡＲＹ、Ｔｈｅ　ＡＭＥＲＩＣＡＮ　ＨＥＲＩＴＡＧＥ　ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅｎｇｌｉｓｈ　Ｌａｎｇｕａｇｅ に 見出し語 として取り上げられていて、 例えば、 コリンズ英英大辞典 には、ちょっと短いですが、

● ｎ　１ ａ　Ｊａｐａｎｅｓｅ　ｆａｒｅｗｅｌｌ
　ｉｎｔｅｒｊ　２ ｇｏｏｄｂｙｅ
（名詞、日本語の別れの言葉、間投詞、さよなら）
と説明しています。

ちなみに、 ｋｏｎｎｉｃｈｉｗａ（？ こんにちは）はいずれの辞書にも見つけることができませんでした。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２２４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学専攻の入試問題です。

問題は、
「ある機械部品を４つの箱に分けて保管する。箱１には２０００個の部品が入っていて、その中の５％が不良品である。箱２には５００個の部品が入っていて、その中の４０％が不良品である。他の２つの箱にはそれぞれ１０００個の部品が入っていて、それぞれその中に１０％の不良品があるとする。

１） ４つの箱からランダムに一つの箱を選び、その中からランダムに１個の部品を取り出したとき、それが不良品である確率を求めよ。

２） １）で選んだ部品が不良品であったとき、それが箱２から取り出された確率を求めよ。

３） ４つの箱からそれぞれ一つずつランダムに部品を取り出す。取り出された４つの部品に少なくとも一つ不良品がある確率を求めよ。」
です。

箱１と２でない２つの箱を箱３と４と呼びます。

今、

なので、１）の操作で取り出した部品が不良品である確率は、

で、これが１）の答えです。

次に２）です。

１）で求めた確率を全体（＝１）としたときの②の割合になるので、

で、これが答えです。（ベイズの定理です）

最後の３）です。

すべての箱から良品を取り出す事象の余事象が起こる確率になるので、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

Ｆｌｏｒｉｄａ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｗｈｅｎ　Ｉ　ｗａｓ　１３， Ｉ　ｍａｄｅ　ｕｐ　ｍｙ　ｍｉｎｄ　ｔｏ　ｇｏ　ｔｏ　ａ　ｔｅｎｎｉｓ　ａｃａｄｅｍｙ　ｉｎ　Ｆｌｏｒｉｄａ．
（１３歳のとき、フロリダのテニス学校に入ることに決めました）
という文があります。

この Ｆｌｏｒｉｄａ はもちろんアメリカ合衆国の州の一つですが、これを Ｔｈｅ　ＡＭＥＲＩＣＡＮ　ＨＥＲＩＴＡＧＥ　ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅｎｇｌｉｓｈ　Ｌａｎｇｕａｇｅ で引いてみると、

● Ａ　ｓｔａｔｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｕｔｈｅａｓｔ　Ｕｎｉｔｅｄ　Ｓｔａｔｅｓ　ｂｏｒｄｅｒｉｎｇ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ａｔｌａｎｔｉｃ　Ｏｃｅａｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｇｕｌｆ　ｏｆ　Ｍｅｘｉｃｏ．　Ｉｔ　ｗａｓ　ａｄｍｉｔｔｅｄ　ａｓ　ｔｈｅ　２７ｔｈ　ｓｔａｔｅ　ｉｎ　１８４５．・・・・ Ｔａｌｌａｈａｓｓｅｅ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｃａｐｉｔａｌ．
（大西洋とメキシコ湾に隣接するアメリカ合衆国の南西にある州で、１８４５年に２７番目の州として承認された。・・・州都はタラハシー）
とあります。

▲フロリダ

てっきり、 州都 は マイアミ（Ｍａｉａｍｉ） だと思い込んでいたのですが、 正しくは、 タラハシー という都市で、西フロリダと東フロリダが一緒になったフロリダ準州がアメリカ合衆国に編入されて間もなく、西フロリダの首都であった ペンサコーラ と東フロリダの首都であった セントオーガスティン の中間位置という理由で タラハシー がつくられたそうです。

▲州都タラハシー

またフロリダ州の都市の人口に関しては、 ジャクソンビル（Ｊａｃｋｓｏｎｖｉｌｌｅ） がおよそ８２万人の州内１位で、約４０万人の マイアミ は ２番目 です。ちなみに、 タラハシー は約１８万人で７位ということです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

高校入試問題Ｒ２（１６）[都立日比谷高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度都立日比谷高の問題です。

問題は、
「１から６までの目が出る大小１つずつのさいころを同時に１回投げる。
大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとする。
（ａ＋ｂ）をａで割ったときの余りが１となる確率を求めよ。
ただし、大小２つのさいころはともに、１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。」
です。

ａ＝１のとき、（ａ＋ｂ）はａで割り切れるので、ａ≠１です。

また、

から、（★）の余りが１になるのは、
ｂ＝ｋａ＋１　　（ｋは０以上の整数）
の場合になります。

このとき、

で、さらにａ≧２から

です。

ここからｋの値で場合分けして調べます。ここで、（ａ＋ｂ）をａで割ったときの余りが１となるａとｂの組を（ａ，ｂ）とします。

● ｋ＝０の場合
ａ≠１のすべてのａについて、ｂ＝１なので、（ａ，ｂ）は、
（２，１）、（３，１）、（４，１）、（５，１）、（６，１）
の５通りです。

● ｋ＝１の場合
ａ≠１のすべてのａに対して、ｂ＝ａ＋１なので、（ａ，ｂ）は、
（２，３）、（３，４）、（４，５）、（５，６）
の４通りです。

● ｋ＝２の場合
ｂ＝２ａ＋１から

で、このとき、２≦ａから
２≦ａ≦２ → ａ＝２
です。

したがって、（ａ，ｂ）は、
（２，５）
の１通りです。

以上から、（ａ＋ｂ）をａで割ったときの余りが１になるａとｂの組（ａ，ｂ）は、
５＋４＋１＝１０（通り）です。

このとき、すべての場合の数は３６通りなので、（ａ＋ｂ）をａで割ったときの余りが１となる確率は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｆｏｏｔｐｒｉｎｔ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１英語教科書の挿絵に、
ＰＬＥＡＳＥ　ＴＡＫＥ　ＮＯＴＨＩＮＧ　ＢＵＴ　ＰＩＣＴＵＲＥＳ
ＬＥＡＶＥ　ＮＯＴＨＩＮＧ　ＢＵＴ　ＦＯＯＴＰＲＩＮＴＳ
（とってよいのは写真だけ、残してよいのは足あとだけ）
という文が書かれた看板の写真があります。

この ｆｏｏｔｐｒｉｎｔ は 「足あと」 の意味で、 お相撲さんなどが色紙に押す 「手形」 は ｈａｎｄｐｒｉｎｔ と言います。

また、釣りを楽しむ人などが作る 「魚拓」 は、 ｆｉｓｈ　ｐｒｉｎｔ で可能なようですが、今年２月の ワシントンポスト紙 の
Ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　Ｊａｐａｎｅｓｅ　ａｒｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｐｒｉｎｔｉｎｇ　ｆｉｓｈ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｄｅｔａｉｌｓ　ａｂｏｕｔ　ｅｎｄａｎｇｅｒｅｄ， ｅｘｔｉｎｃｔ　ｓｐｅｃｉｅｓ
（魚を写す日本の伝統技法が絶滅危惧種や絶滅した種の重要な詳しい情報を提供する）
と題する記事のなかで、
● ｇｙｏｔａｋｕ
　ｔｈｅ　ｗｏｒｄ’ｓ　ｌｉｔｅｒａｌ　ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ　ｉｓ　“ｆｉｓｈ　ｒｕｂｂｉｎｇ”　ｏｒ　“ｆｉｓｈ　ｉｍｐｒｅｓｓｉｏｎ”
（魚拓：この語の逐語訳は 「魚の拓本」または「魚の押し付けてできる模様」です）
と記しています。（ｒｕｂ ：「こする」、ｉｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ： 「跡、模様」です）

頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学入試問題Ｒ２（２７）[灘中]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度灘中の問題です。

問題は、
「平面上に、１辺の長さ６ｃｍの正三角形ＡＢＣと、半径が６ｃｍの円の形をした輪があります。輪ははじめ下の図のように置かれていて、輪の中心は点Ｂと重なっています。

次のように輪を平面上で移動させるとき、輪が通過する部分の面積をそれぞれ求めなさい。ただし、輪の太さは考えないものとします。また、円周率を ３．１４ とし、三角形ＡＢＣの面積を １５．５９ｃｍ2 とします。

（１） 輪の中心が、辺ＢＣ上をＢからＣまで動く。
（２） 輪の中心が、辺ＡＢ上をＢからＡまで動いたのち、辺ＡＣ上をＡからＣまで動く。」
です。

輪の中心が、辺ＢＣ上をＢからＣまで動いたとき、輪が通過する部分は図１の斜線でマークした領域になります。（ここで輪が通過する部分は、輪を円周とする円の通過する部分とは異なることに注意しましょう）

▲図１．輪の中心が辺ＢＣ上をＢからＣまで動いたとき輪が通過する部分です

この斜線部分の面積は、全体の面積（陸上競技のトラックの形をした部分の面積）から、Ｂを中心とする半径６ｃｍの円ＢとＣを中心とする半径６ｃｍの円Ｃの共通部分Ｘの面積を引いたもので、ここから図２に書き入れた数値を使って、それぞれを計算していきます。

▲図２．輪の中心が辺ＢＣ上をＢからＣまで動いたとき輪が通過する部分の面積を計算します

● 全体の面積
全体の図形は、左右にある２つの半円と中央部の長方形を合わせた図形なので、

から、

です。

● ２つの円の共通部分Ｘの面積
２つの円の共通部分Ｘの図形は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形から一辺６ｃｍの正三角形を除いた図形４個と、一辺６ｃｍの正三角形２個を合わせた図形です。

したがって、２つの円の共通部分Ｘの面積は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形４個の面積から正三角形ＡＢＣ２個の面積を引いたものになるので、

です。

以上から、斜線部分の面積は、

で、これが（１）の答えです。

続いて（２）です。

（１）と同じように、輪の中心が辺ＡＢ上をＢからＡまで動いたとき、輪が通過しない部分は、図３の左側の図に示した円Ｂと円Ａの共通部分Ｙで、輪の中心が辺ＡＣ上をＡからＣまで動いたとき、輪が通過しない部分は、図３の右側の図に示した円Ａと円Ｃの共通部分Ｚです。

▲図３．輪の中心が辺ＡＢおよび辺ＡＣを動くとき輪が通過しない部分はそれぞれＹとＺになります

これから、輪の中心が辺ＡＢ上をＢからＡまで動いたのち、辺ＡＣ上をＡからＣまで動いたとき、輪が通過しない部分はＹとＺの共通部分になり、したがって、輪が通過する部分は、図４の斜線部分になります。

▲図４．輪の中心が辺ＢＡおよび辺ＡＣ上をＢ→Ａ→Ｃまで動いたとき輪が通過する部分です

この斜線部分の面積は、全体の面積から、半径６ｃｍの円Ａ、Ｂ、Ｃの共通部分の面積を引いたもので、ここから図５に書き入れた数値を使って、それぞれを計算していきます。

▲図５．輪の中心が辺ＢＡおよび辺ＡＣ上をＢ→Ａ→Ｃまで動いたとき輪が通過する部分の面積を計算します

● 全体の面積
全体の図形は、中央上の半径６ｃｍ、中心角１２０°の扇形と左右下にある半径６ｃｍ、中心角１５０°の２つの扇形と１辺６ｃｍの正方形２個と１辺６ｃｍの正三角形２個を合わせた図形なので、

から、

です。

● ３つの円の共通部分の面積
３つの円の共通部分の図形は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形から一辺６ｃｍの正三角形を除いた図形３個と、一辺６ｃｍの正三角形１個を合わせた図形です。

したがって、３つの円の共通部分の面積は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形３個の面積から正三角形ＡＢＣ２個の面積を引いたものになるので、

です。

以上から、斜線部分の面積は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｂｉｌｌｉｏｎ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２英語教科書に、
Ｍｏｒｅ　ｔｈａｎ　ｏｎｅ　ｂｉｌｌｉｏｎ　ｐｅｏｐｌｅ　ｌｉｖｅ　ｉｎ　Ｉｎｄｉａ．
（インドには１０億を超える人が住んでいます）
という文があります。

この ｂｉｌｌｉｏｎ を オックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、
● １ ０００ ０００ ０００； ｏｎｅ　ｔｈｏｕｓａｎｄ　ｍｉｌｌｉｏｎ
　（１０億）
のほかに、
● （ｏｌｄ-ｆａｓｈｉｏｎｅｄ，Ｂｒｉｔｉｓｈ　Ｅｎｇｌｉｓｈ）
　１ ０００ ０００ ０００ ０００； ｏｎｅ　ｍｉｌｌｉｏｎ　ｍｉｌｌｉｏｎ
　（｟古い英語、イギリス英語｠　１兆）
という説明があります。

さらに 現代英語語法辞典 で調べてみると、
● 英国 では以前は、 ｂｉｌｌｉｏｎ を ｏｎｅ　ｍｉｌｌｉｏｎ　ｍｉｌｌｉｏｎ すなわち「１０の１２乗」に、 ｔｒｉｌｌｉｏｎ を ｏｎｅ　ｍｉｌｌｉｏｎ　ｍｉｌｌｉｏｎ　ｍｉｌｌｉｏｎ の「１０の１８乗」に用いていたが、現在では 米国式 と同じ「１０の９乗」に ｂｉｌｌｉｏｎ を、「１０の１２乗」に ｔｒｉｌｌｉｏｎ を用いることが 一般的となってきている。

しかし、まだ曖昧であるので、 Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｅｎｇｌｉｓｈ　Ｕｓａｇｅ（Ｔｏｄｄ，Ｌ．＆Ｉ Ｈａｎｃｏｃｋ，１９８６） は、これらの語を使用する際には定義をしてから使用すべきであるとし、また、 Ａ　Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　Ｇｒａｍｍａｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅｎｇｌｉｓｈ　Ｌａｎｇｕａｇｅ（Ｑｕｉｒｋ ｅｔ ａｌ．，１９８５） はこれらの語の使用そのものを避けるべきであるとしている
と記しています。


イギリス英語 を読んでいて、数字の桁が変だなと思ったら、これが原因かもしれません。頭に入れておくと役に立つこともあるでしょう。

２０２０年日本数学オリンピック予選の問題（９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「２以上の整数に対して定義され２以上の整数値をとる関数ｆであって、任意の２以上の整数ｍ、ｎに対して

をみたすものを考える。このとき

としてありうる最小の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

初めに、

としてありうる最小の値のあたりをつけましょう。


とすると、

なので、これは矛盾します。


とすると、

なので、これは矛盾します。

したがって、

であることから、

がとりうる最小の値が４になるような関数ｆを探すことにします。

与えられた等式は、ｍをｆ（ｎ）乗した整数のｆによる像が、ｆ（ｍ）をｆ（ｎ）乗した整数に等しいことを示しています。

このとき、ｆ（ｎ）は２以上の整数なので、この等式は、整数の累乗の形に表せない整数については制約していません。

そこで、ｆ（ｎ）の最小値が２なので、２以上のすべての整数ｎに対して、ｆ（ｎ）＝２として少し試行してみましょう。

すると、

になり、ｎ＝４，８，９のとき、ｆ（ｎ）≠２です。

ここで、４と９は平方数で、８は立方数なので、もう少し他の累乗数を調べてみると、

ようになります。

この試行結果から、

のとき、

という規則性を予想することができます。

そこで（★）が、

をみたすか調べます。

（★）から、

です。

これらを（☆）の左辺と右辺に代入すると、それぞれ、

になり、（☆）は成り立ちます。

ところが、（★）で与えられる関数ｆで、

を計算すると、

になり、目標の値４より随分大きな値になってしまいます。

そこで、（★）で与えられる関数ｆに一工夫して、

となるような関数をつくります。

このとき、（★）で与えられる関数ｆは（☆）をみたしているので、その指数部を制約した関数は（☆）をみたします。

そこで、

のとき、

となる関数ｆを考えます。（３乗数、５乗数などの像を小さい値にしたいので）

前述したように、（★★）は（☆）をみたすのですが、ここで確認しておきます。

（★★）から、

です。

これらを（☆）のの左辺と右辺に代入すると、それぞれ、

になり、（☆）は成り立ちます。

ここで、（★★）で与えられる関数ｆで、

を計算すると、

になり、目標の値４になりました。

このとき、２以上のすべての整数は、ｋを０以上の整数として、

で表せるので、（☆）は２以上のすべての整数に対して成り立ちます。（例えば、ｋ＝１、２、・・・の場合は、それぞれ、２乗数、４乗数、・・・を表し、ｋ＝０の場合は、それら以外の整数を表します）

以上から、

としてありうる最小の値は ４ で、これが答えです。


等式を満たす関数を見つけるのが難しい問題です。

ｅｘａｍｐｌｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３英語教科書に、
Ｙｏｕ　ｋｎｏｗ　ｗｈｅｒｅ　ｔｏ　ｆｉｎｄ　ｅｘａｍｐｌｅｓ．
（あなたはどこで実例を見つけるか知っています）
という文があります。

この ｅｘａｍｐｌｅ を 現代英語語法辞典 で調べてみると、その 類義語 ｃａｓｅ、ｉｎｓｔａｎｃｅ、ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎ、ｓａｍｐｌｅ、ｓｐｅｃｉｍｅｎ との違いについて、
● ｅｘａｍｐｌｅ
　ある考えを説明したり、主張するために、多くの類例の中から取り出した代表的・典型的な例を意味する

　Ｓｙｍｐｈｏｎｉｅｓ　１０３　ａｎｄ　１０４　ｓｔａｎｄ　ａｓ　ｐｅｒｆｅｃｔ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｏｆ　ｅａｒｌｙ　ｓｙｍｐｈｏｎｉｃ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ．
　（交響曲１０３と１０４は、初期の交響曲の構造の完璧な代表例だ）

● ｃａｓｅ
　個々の具体的な事柄、出来事、状況の実例・事例を意味する

　Ｉ’ｌｌ　ｇｉｖｅ　ｙｏｕ　ａ　ｒｅａｌ　ｃａｓｅ．　Ｔａｋｅ　ａ　ｐｉｇｅｏｎ．　Ｔｈｅｒｅ’ｓ　ａ　ｃｅｒｔａｉｎ　ａｇｅ．．．ａｔ　ｗｈｉｃｈ　ａ　ｐｉｇｅｏｎ　ｈａｓ　ｔｏ　ｆｌｙ．
　（例えば、鳩の実例を挙げてみましょう。鳩には飛ばねばならぬ．．．時期があります）

　しばしば何か悪いことや、不愉快な事例を指す

　Ｉｎ　ａ　ｒｅｃｅｎｔ　ｃａｓｅ　ａ　ｆａｒｍｅｒ　ｗａｓ　ａｔｔａｃｋｅｄ　ｂｙ　ａ　ｍａｎｅａｔｉｎｇ　ｔｉｇｅｒ．
　（最近の事例では、農夫が人食い虎に襲われた）

● ｉｎｓｔａｎｃｅ
　一般的な説明についての具体的な例をいう。代表的な例というよりは、むしろ個別的な事例として挙げる場合が多い

　Ｓｈｅ　ｃｉｔｅｄ　ａｎ　ｉｎｓｔａｎｃｅ　ｗｈｅｒｅ　ｔｈｅｉｒ　ｔｒａｉｎｉｎｇ　ｈａｄ　ｂｅｅｎ　ａ　ｍａｒｖｅｌｏｕｓ　ｈｅｌｐ　ｉｎ　ｄｅａｌｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．
　（彼女は、彼らの訓練が問題を処理するのに大いに役立っている一例を挙げた）

● ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎ
　これまでの一般的な説明をさらに分かりやすく、明確にするための実例

　Ａ　ｔｅａｃｈｅｒ　ｇａｖｅ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｗｅｎｔｉｅｔｈ-ｃｅｎｔｕｒｙ　ｖｉｏｌｅｎｃｅ　ｂｙ　ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｗａｒｓ．
　（先生はいくつかの戦争の話をすることによって、２０世紀の暴力の説明をした）

● ｓａｍｐｌｅ
　全体の品質を示すために、任意に選ばれたものの一部分、標本・見本のこと

　Ｔｈｅｒｅ　ｗａｓ　ａ　ｆｒｅｅ　ｓａｍｐｌｅ　ｏｆ　ｓｈａｍｐｏｏ　ａｔｔａｃｈｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｆｒｏｎｔ　ｏｆ　ｍａｇａｚｉｎｅ．
　（雑誌の表に試供品のシャンプーがついていた）

● ｓｐｅｃｉｍｅｎ
　しばしば、 ｓａｍｐｌｅ と区別なく用いられるが、全体が１つの独立した種類を構成するものの中から、任意に選ばれた一部分、標本・見本のこと。科学的な研究目的のために使われる標本・見本に使用されることが多い

　Ｈｅ　ａｃｃｏｍｐａｎｉｅｄ　Ｃａｐｔ． Ｊａｍｅｓ　Ｃｏｏｋ　ｏｎ　ｈｉｓ　ｖｏｙａｇｅ　ａｒｏｕｎｄ　ｔｈｅ　ｗｏｒｌｄ， ｃｏｌｌｅｃｔｉｎｇ　ｂｉｏｌｏｇｉｃａｌ　ｓｐｅｃｉｍｅｎｓ．
　（彼はジェームズ・クック船長の世界旅行に同行し、生物標本を集めた）
と解説しています。

　
頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

２０２０年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題（９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「一辺の長さが１の正六角形の形をした盤面がある。盤面を図のように一辺の長さ

の正三角形に分割したとき、図において〇で示されている１９個の点を良い点とよぶ。

３辺の長さが

であるような直角三角形の形をしたタイルが１２枚あり、盤面に重ならないように置いて全体を覆う。このようなタイルの置き方のうち、次の条件をみたすものは何通りか。

（ｉ）　置かれたタイルの頂点はすべて、良い点と重なっている。
（ｉｉ） ちょうど２枚のタイルからなる一辺の長さが１の正三角形は現れない。

ただし、タイルは回転したり裏返したりしてもよいが、盤面を回転したり裏返したりして一致する置き方は区別して数える。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

３辺の長さが

の直角三角形のタイルを２枚組合せることを考えます。

図１のように、長さ

の辺と他の２辺がそれぞれ重なる場合、ＡとＢが良い点に一致する可能性があるように置く

と、Ｃは良い点と一致することはなく、これは条件（ｉ）に反します。

▲図１．２枚のタイルの置き方（１）

また図２のように、長さ

の辺同士が重なる場合、直角の角が並ぶ置き方は１辺の長さが１の正三角形になり、これは条件（ｉｉ）に反します。

▲図２．２枚のタイルの置き方（２）

したがって、２枚のタイルは、図２の中央図に示す平行四辺形のように置かれ、この置き方は１通りです。

さらに、この２枚のタイルを組合わせた平行四辺形を２組並べて１辺の長さが１のひし形を作るとき、平行四辺形の置き方は、図３のように、２通りになります。

▲図３．１辺の長さが１のひし形を作るとき、平行四辺形の置き方は２通りです

これで準備完了です。ここから正六角形の盤面に平行四辺形とひし形を置いていきます。


このとき、ひし形と正六角形の盤面の中心との位置関係は、
① ひし形の内部（周上を含めない）に正六角形の盤面の中心がある
② ひし形の周上（頂点を含めない）に正六角形の盤面の中心がある
③ ひし形の頂点に正六角形の盤面の中心がある
④ ひし形の外部（周上を含めない）に正六角形の盤面の中心がある
⑤ ひし形を正六角形の盤面に置かない
の５つの場合になりますが、ひし形を②、④、⑤のように置くことはできません。

したがって、ここでは①と③の場合について調べます。

① ひし形の内部（周上を含めない）に正六角形の盤面の中心がある場合
図４のように、ひし形の置き方は３通りです。

▲図４．ひし形の置き方は３通りです

このとき、１つのひし形に対して平行四辺形の置き方は２通りで、さらにひし形の周りの平行四辺形の置き方は１通りなので、ひし形の内部（周上を含めない）に正六角形の盤面の中心がある場合のタイルの置き方は、
２×１×３＝６（通り）
です。

③ ひし形の頂点に正六角形の盤面の中心がある場合
図５のように、ひし形の置き方は２通りです。

▲図５．ひし形の置き方は２通りです

このとき、３つのひし形それぞれに対して平行四辺形の置き方は２通りなので、ひし形の頂点に正六角形の盤面の中心がある場合のタイルの置き方は、
２×２×２×２＝１６（通り）
です。

以上から、与えられた条件をみたすタイルの置き方は、
６＋１６＝ ２２（通り）
で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｊｕｍｐ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１英語教科書の 「いろいろな動作」 に関する Ｗｏｒｄ　Ｂａｎｋ に、
ｊｕｍｐ　ｗｅｌｌ
（上手にジャンプする）
という語があります。

この ｊｕｍｐ を 英語語義語源辞典 で引いてみると、この 類義語 ｌｅａｐ、ｓｐｒｉｎｇ、ｓｋｉｐ、ｈｏｐ との違いについて、
● ｊｕｍｐ
　最も一般的な語で、上下、左右いずれの方向にも跳ぶこと

● ｌｅａｐ
　ｊｕｍｐ より生き生きと大きく跳び、多少の移動を伴う動作であることが多い

● ｓｐｒｉｎｇ
　素早く、急に跳び上がることをいう

● ｓｋｉｐ
　軽く連続的に小刻みに跳ぶこと

● ｈｏｐ
　ｓｋｉｐ ほど軽く跳ぶわけではないが、片足、または両足で、かかえるようにぴょんと跳んだり、ひょいと動くことを意味する　（ただし、 ロングマン英英辞典 では、 ｈｏｐ について、　ｔｏ　ｊｕｍｐ　ｏｒ　ｍｏｖｅ　ａｒｏｕｎｄ　ｏｎ　ｏｎｅ　ｌｅｇ （片足で跳んだり動き回ること））
と説明しています。

ちなみに、
Ｔｈｅｙ　ｗｅｒｅ　ｊｕｍｐｉｎｇ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂｅｄ．
（彼らはベットの上でぴょんぴょん跳びはねていた）
のように 進行形 の場合は、繰り返しの動作を表します。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。