こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
晴れ模様ですが風が少し強く吹いています。梅雨前線は東北地方の北側にあるので台風が過ぎれば梅雨明けですね。
中３数学の期末試験で因数分解の問題が出題された思いますが、それらのすべてが２次の多項式が与えられ、それを因数分解するというものだったと思います。
例えば、
ｘ^2＋６ｘ＋５ 式（１） （ｘ^2 はｘの２乗を表します）
とあれば、（ｘ＋１）（ｘ＋５）と解答して○が貰えるといった具合です。
しかし、ここで与式が
ｘ^2＋６ｘ＋２ 式（２）
とすると、整数係数の範囲では因数分解できません。このようにあるｎ次多項式が因数分解できないことを証明するときに使うのが、「アイゼンシュタインの定理」です。
それは、「整数係数を持つ 有理数体上の多項式
ｆ（ｘ）＝ａ0＋ａ1ｘ^1＋ａ2ｘ^2＋・・・＋ａnｘ^n
に対しある素数 ｐ が存在し、ｐ が係数 ａ0、ａ1、ａ2、・・・、ａ(n-1) を割り、 ａnを割らず、かつ ｐ^2 が ａ0 を割らないとき、ｆ（ｘ） は既約である」というもので、これを使い勝手の良いように言い直すと、
（１）ａ0 は、素数ｐの倍数だが、ｐ^2の倍数ではない
（２）ａ1、ａ2、・・・、ａ(n-1) はｐの倍数
（３）ａn は、ｐの倍数ではない
これらの３つの条件を満たす式は既約、つまり因数分解できないということです。
そこで、式（１）（２）のようにｘの２次項の係数が１、ｘの項の係数が６で定数項を１から１０までの整数とした２次式で確認してみましょう。（実際に因数分解したり、解の公式や判別式が平方数になるかを調べれば簡単に既約や可約か判りますが・・・）
例えば、ｘ^2＋６ｘ＋１ では、定数項１を倍数とする素数がないので、残念ながら判定不可となります。
次に、ｘ^2＋６ｘ＋２ は、定数項２を倍数とする素数２があり、また定数項２は、素数２の２乗の４の倍数でないので、条件（１）はＯＫです。条件（２）は、ｘの項の係数６は２の倍数なので、これもＯＫです。条件（３）は、ｘ^2 の項の係数１は２の倍数でないのでＯＫです。以上より条件（１）（２）（３）を満たすので、ｘ^2＋６ｘ＋２ は既約（因数分解できない）となります。
これらの結果を表にまとめます。
▲表.ｘ^2＋６ｘ＋Ａ （Ａ＝１，２，・・・,１０）を調べた結果
この表に示すように、調べた１０式に対して、ｘ^2＋６ｘ＋２、ｘ^2＋６ｘ＋３、ｘ^2＋６ｘ＋６、ｘ^2＋６ｘ＋８ および、ｘ^2＋６ｘ＋１０ の５つが既約と判ります。
残りの５式については、ｘ^2＋６ｘ＋１、ｘ^2＋６ｘ＋４ および、ｘ^2＋６ｘ＋７ の３式は既約（ここで、ｘ^2＋６ｘ＋４については、ｘをｘ＋２とするとｐ＝５のとき、また、ｘ^2＋６ｘ＋７ については、ｘをｘ＋１、とするとｐ＝２のとき、条件（１）（２）（３）を満たすことが判ります）、ｘ^2＋６ｘ＋５＝（ｘ＋１）（ｘ＋５） 、ｘ^2＋６ｘ＋９＝（ｘ＋３）^2 となり可約となります。
このように「アイゼンシュタインの定理」は、式が既約である十分条件を与えるもので条件（１）（２）（３）のどれかを満たさない場合、その式が可約とはならないことに注意してください。
今回は簡単な２次式で説明しましたが、次回は高次式に適用してみます。
晴れ模様ですが風が少し強く吹いています。梅雨前線は東北地方の北側にあるので台風が過ぎれば梅雨明けですね。
中３数学の期末試験で因数分解の問題が出題された思いますが、それらのすべてが２次の多項式が与えられ、それを因数分解するというものだったと思います。
例えば、
ｘ^2＋６ｘ＋５ 式（１） （ｘ^2 はｘの２乗を表します）
とあれば、（ｘ＋１）（ｘ＋５）と解答して○が貰えるといった具合です。
しかし、ここで与式が
ｘ^2＋６ｘ＋２ 式（２）
とすると、整数係数の範囲では因数分解できません。このようにあるｎ次多項式が因数分解できないことを証明するときに使うのが、「アイゼンシュタインの定理」です。
それは、「整数係数を持つ 有理数体上の多項式
ｆ（ｘ）＝ａ0＋ａ1ｘ^1＋ａ2ｘ^2＋・・・＋ａnｘ^n
に対しある素数 ｐ が存在し、ｐ が係数 ａ0、ａ1、ａ2、・・・、ａ(n-1) を割り、 ａnを割らず、かつ ｐ^2 が ａ0 を割らないとき、ｆ（ｘ） は既約である」というもので、これを使い勝手の良いように言い直すと、
（１）ａ0 は、素数ｐの倍数だが、ｐ^2の倍数ではない
（２）ａ1、ａ2、・・・、ａ(n-1) はｐの倍数
（３）ａn は、ｐの倍数ではない
これらの３つの条件を満たす式は既約、つまり因数分解できないということです。
そこで、式（１）（２）のようにｘの２次項の係数が１、ｘの項の係数が６で定数項を１から１０までの整数とした２次式で確認してみましょう。（実際に因数分解したり、解の公式や判別式が平方数になるかを調べれば簡単に既約や可約か判りますが・・・）
例えば、ｘ^2＋６ｘ＋１ では、定数項１を倍数とする素数がないので、残念ながら判定不可となります。
次に、ｘ^2＋６ｘ＋２ は、定数項２を倍数とする素数２があり、また定数項２は、素数２の２乗の４の倍数でないので、条件（１）はＯＫです。条件（２）は、ｘの項の係数６は２の倍数なので、これもＯＫです。条件（３）は、ｘ^2 の項の係数１は２の倍数でないのでＯＫです。以上より条件（１）（２）（３）を満たすので、ｘ^2＋６ｘ＋２ は既約（因数分解できない）となります。
これらの結果を表にまとめます。
▲表.ｘ^2＋６ｘ＋Ａ （Ａ＝１，２，・・・,１０）を調べた結果
この表に示すように、調べた１０式に対して、ｘ^2＋６ｘ＋２、ｘ^2＋６ｘ＋３、ｘ^2＋６ｘ＋６、ｘ^2＋６ｘ＋８ および、ｘ^2＋６ｘ＋１０ の５つが既約と判ります。
残りの５式については、ｘ^2＋６ｘ＋１、ｘ^2＋６ｘ＋４ および、ｘ^2＋６ｘ＋７ の３式は既約（ここで、ｘ^2＋６ｘ＋４については、ｘをｘ＋２とするとｐ＝５のとき、また、ｘ^2＋６ｘ＋７ については、ｘをｘ＋１、とするとｐ＝２のとき、条件（１）（２）（３）を満たすことが判ります）、ｘ^2＋６ｘ＋５＝（ｘ＋１）（ｘ＋５） 、ｘ^2＋６ｘ＋９＝（ｘ＋３）^2 となり可約となります。
このように「アイゼンシュタインの定理」は、式が既約である十分条件を与えるもので条件（１）（２）（３）のどれかを満たさない場合、その式が可約とはならないことに注意してください。
今回は簡単な２次式で説明しましたが、次回は高次式に適用してみます。
