日本数学オリンピック本選の問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本数学オリンピック本選に出題された組合せの問題を取り上げます。

問題は、
「ｎを３以上の奇数とする。ｎ×ｎのマス目を使ってゲームを行う。ゲームは

からなり、各ターンでは以下の操作を順に行う。

● 整数の書き込まれていないマスを１つ選び、

の整数を１つずつ書き込む。ゲームを通してどの整数も１回しか書き込めない。

● そのマスを含む行、列それぞれについて、書き込まれている整数の和がｎの倍数であれば１点（両方ともｎの倍数であれば２点）を得る。

ゲームが終了するまでに得られる点数の総和としてありうる最大の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


のいくつかの整数の和がｎの倍数かどうかがポイントになるので、これらの整数をｎで割った余りを考えるのが手筋です。このとき、余りが０、１、２、・・・、ｎ－１ になるものがそれぞれｎ個ずつあります。

ここで、図１のような５×５のマス目で、最上行の左から順に、ｎで割った余りが０、１、４になる整数を書き込んだ場合を調べてみましょう。

▲図１．５×５のマス目で試行します

最上行の左端に０を書き込んだとき、１行目と１列目の整数の和がｎの倍数になり、行、列ともに１点ずつ獲得です。

続いて、０の右隣に１を書き込んだとき、１行目と２列目の整数の和はｎの倍数でないので、行、列ともに無得点です。

さらに、１の右隣に４を書き込んだとき、１行目の整数の和はｎの倍数になり１点獲得し、３列目の整数の和はｎの倍数でないので、無得点です。

この簡単な試行から判ることは、
・ 整数の和がｎの倍数である行または列に０を書き込むと１点獲得できる
　→ゲーム開始時、いずれの行、列についてもそれらの整数の和はｎの倍数なので、初めにｎ個の０を書き込んでしまっても得られる得点を失うことはない

・ ｎ個の０を書き込んだ後、残りの空いているマス目に、１とｎ－１、２とｎ－２、・・・というような２つの和がｎの倍数の組合せであるペアを書き込むことで得点することができる
ということです。

そこで、図２のようなｎ×ｎのマス目で、０が偶数個書き込まれた行がｋ個、それらのｋ個の行に書き込まれた０の個数をｓ個、０が奇数個書き込まれた行がｌ個、それらのｌ個の行に書き込まれた０の個数をｔ個として、ｎ個の行での得点の上限を見積もりましょう。このとき、ｋ、ｌ、ｓ、ｔは、０≦ｋ≦ｎ－１、１≦ｌ≦ｎ、ｋ＋ｌ＝ｎ、０≦ｓ≦ｎ－１、１≦ｔ≦ｎ、ｓ＋ｔ＝ｎ を満たす整数です。

▲図２．ｎ個の行での得点の上限を見積もります

・ ０が偶数個書き込まれたｋ個の行について
０がｓ個書き込まれているので、これらによる得点は、
ｓ
です。

また、ｎは奇数なので、各行の空いているマス目の個数は奇数になり、空いているマス目に書き込むことができるペアの個数は、

です。

このとき、ペア１個で１点得点できるので、これらによる得点は、

です。

したがって、０が偶数個書き込まれたｋ個の行での得点の上限は、

になります。

・ ０が奇数個書き込まれたｌ個の行について
０がｔ個書き込まれているので、これらによる得点は、
ｔ
です。

また、各行の空いているマス目の個数は偶数になり、空いているマス目に書き込むことができるペアの個数は、

で、これらによる得点は、

です。

したがって、０が奇数個書き込まれたｌ個の行での得点の上限は、

になります。

以上から、ｎ個の行での得点の上限Ｐは、

になります。

ここで、
ｋ＋ｌ＝ｎ
ｓ＋ｔ＝ｎ
から

です。

つまり、Ｐが最大になるのはｋ＝０のときで、その値は、

になります。

これは列についても同様なので、このゲームで得られる得点の総和の上限は、

になります。

あとは、得点の総和が

になる書き込み方を確かめればお仕舞いです。

ｋ＝０、つまり、０が偶数個書き込まれる行がないということは、ｎ個の０は各行に１個ずつ書き込まれることになり、これは列についても同じなので、図３のように、ｎ個の０をｎ×ｎのマス目の対角線上に書き込むのが簡単な例になります。

▲図３．ｎ個の０をｎ×ｎのマス目の対角線上に書き込みました

それらの０の右隣に１、さらにその右隣にｎ－１、・・・と繰り返して書き込むことにより、得点の総和を

にすることができます。

以上から、ゲームが終了するまでに得られる点数の総和としてありうる最大の値は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｔｅａｃｈｅｒ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１英語教科書の ブラウン先生 と メイリンさん の会話に、
Ｍｓ　Ｂｒｏｗｎ ： Ｉｓ　ｈｅ　ａ　ＰＥ　ｔｅａｃｈｅｒ？
Ｍｅｉｌｉｎｇ　 ： Ｎｏ， ｈｅ　ｉｓｎ’ｔ
　　　　　　　　　　Ｈｅ　ｉｓ　ａ　ｍａｔｈ　ｔｅａｃｈｅｒ．
（「彼は体育の先生ですか」「ちがいます。数学の先生です」）
という文があります。

この ｔｅａｃｈｅｒ を 現代英語語法辞典 で調べてみると、 ｔｅａｃｈｅｒ は、

・教職についている人を表す一般的な語で、大学の教師も含む

・「この学校の教師」は、ａ　ｔｅａｃｈｅｒ　ａｔ/ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｓｃｈｏｏｌ といい、　×ａ　ｔｅａｃｈｅｒ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｓｃｈｏｏｌ とはしない。

・「英語の教師」は、 Ｅｎｇｌｉｓｈ　ｔｅａｃｈｅｒ のほかに、 ｔｅａｃｈｅｒ　ｏｆ　Ｅｎｇｌｉｓｈ ということもできる

・男性教師 は ｓｃｈｏｏｌｍａｓｔｅｒ、 女性教師 は ｓｃｈｏｏｌｍｉｓｔｒｅｓｓ ともいうが、いずれも 古風。英国では ｐｒｉｖａｔｅ　ｓｃｈｏｏｌ の教師をこのように呼ぶ

とあります。

また、 ウィズダム英和辞典 には、

・日本語の「先生、おはようございます」のように呼びかけには用いず、 Ｇｏｏｄ　ｍｏｒｎｉｎｇ， Ｍｓ　Ｓｅｋｉ．（関先生、おはようございます）のように、 姓 に Ｍｒ． 、Ｍｓ． などを付けて呼ぶ。アメリカでは、ファーストネーム で呼ぶことも多い

・幼児 が Ｔｅａｃｈｅｒ！ と呼ぶことはあるが、学生 が Ｔｅａｃｈｅｒ〔Ｔｅａｃｈｅｒ　Ｓｅｋｉ、Ｓｅｋｉ　ｔｅａｃｈｅｒ〕 と呼ぶことはない。大学の先生 なら Ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ、Ｄｏｃｔｏｒ を用いる

と記しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

日本ジュニア数学オリンピック本選の問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック本選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「ＡＢ≠ＡＣなる三角形ＡＢＣがある。辺ＢＣの中点をＭとし、三角形ＡＢＣの外接円における、点Ａを含む方の弧ＢＣの中点をＮとする。Ｎから直線ＡＣにおろした垂線の足をＨとし、三角形ＡＭＣの外接円と直線ＣＮとの交点のうちＣでない方をＫとするとき、∠ＡＫＨ＝∠ＣＡＭとなることを示せ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」

早速、取り掛かりましょう。

図１に、問題の図を描きました。

▲図１．問題の図を描きました

弧ＢＮ＝弧ＣＮ から、図２のように、ＭＮ⊥ＢＣで、△ＡＢＣの外接円の中心ＯはＭＮ上にあります。

▲図２．ＭＮ⊥ＢＣで、△ＡＢＣの外接円の中心ＯはＭＮ上にあります

ここで図３のように、ＡＮと△ＡＭＣの外接円の交点のうちＡでない方をＩとすると、四角形ＣＭＮＩと四角形ＡＨＮＫが相似になりそうで、もしそうであれば、∠ＣＩＭ＝∠ＡＫＨ（相似四角形の対応する辺と対角線がなす角）、∠ＣＩＭ＝∠ＣＡＭ（弧ＣＭの円周角）から、∠ＡＫＨ＝∠ＣＡＭを示すことができます。

▲図３．四角形ＣＭＮＩと四角形ＡＨＮＫが相似になりそうです

そこで四角形ＣＭＮＩと四角形ＡＨＮＫが相似であることを示すために、図４のように、２組の三角形△ＣＮＩと△ＡＮＫ、△ＣＭＮと△ＡＨＮが相似であることを示しましょう。

▲図４．△ＣＮＩと△ＡＮＫ、△ＣＭＮと△ＡＨＮが相似であることを示します

△ＣＮＩと△ＡＮＫにおいて、
共通な角なので、　
∠ＣＮＩ＝∠ＡＮＫ　　　　　　　　　　　（１）
で、
四角形ＡＫＣＩは円に内接する四角形なので、
∠ＮＣＩ＝∠ＮＡＫ　　　　　　　　　　　（２）
です。

したがって、（１）と（２）から
△ＣＮＩ∽△ＡＮＫ
が成り立ちます。

続いて、△ＣＭＮと△ＡＨＮです。

∠ＣＭＮ＝∠ＡＨＮ＝９０°　　　　　　　（３）
で、
ＭＮと△ＡＢＣの外接円の交点のうちＮでない方をＬとすると、四角形ＡＣＬＮは円に内接する四角形なので、
∠ＣＬＮ＝∠ＨＡＮ　　　　　　　　　　　（４）
です。

また、∠ＮＣＬは半円周に対する円周角なので、
∠ＮＣＬ＝９０°
で、すると、
∠ＣＮＭ＝１８０°－∠ＮＣＬ－∠ＣＬＮ
　　　　＝１８０°－９０°－∠ＣＬＮ
　　　　＝９０°－∠ＣＬＮ　　　　　　　
と
∠ＡＮＨ＝１８０°－∠ＮＨＡ－∠ＨＡＮ
　　　　＝１８０°－９０°－∠ＨＡＮ
　　　　＝９０°－∠ＨＡＮ
になり、（４）から
∠ＣＮＭ＝∠ＡＮＨ　　　　　　　　　　　（５）
です。

したがって、（３）と（５）から
△ＣＭＮ∽△ＡＨＮ
が成り立ちます。

ここで、四角形ＣＭＮＩは、△ＣＮＩと△ＣＭＮの２つの三角形を辺ＣＮで接続した四角形で、一方、四角形ＡＨＮＫは、△ＡＮＫと△ＡＨＮの２つの三角形を辺ＡＮで接続した四角形です。

このとき、ＣとＡおよびＮとＮは、２組の相似三角形の対応する点なので、
四角形ＣＭＮＩ∽四角形ＡＨＮＫ
が成り立ちます。

すると、図５のように、相似四角形の対応する辺と対角線のなす角は等しいので、
∠ＣＩＭ＝∠ＡＫＨ
で、さらに、弧ＣＭの円周角は等しいので、
∠ＣＩＭ＝∠ＣＡＭ
になります。

▲図５．∠ＣＩＭ＝∠ＡＫＨ、∠ＣＩＭ＝∠ＣＡＭです

以上から、
∠ＡＫＨ＝∠ＣＡＭ
を示すことができました。


簡単な問題です。

ａｄｖｉｃｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｍｙ　ａｄｖｉｃｅ　ｔｏ　ｙｏｕ　ａｌｌ　ｉｓ　ｔｏ　ｆｉｎｄ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｔｈａｔ　ｙｏｕ　ｌｉｋｅ：　ａ　ｓｐｏｒｔ， ａ　ｓｕｂｊｅｃｔ　ｏｒ　ａｎ　ａｃｔｉｖｉｔｙ．
（僕からの皆さんへのアドバイスは、スポーツ、勉強、または何かの活動といった君たちが好きなことを見つけることです）
という文があります。

この ａｄｖｉｃｅ を コンパスローズ英和辞典 で引いてみると、その 類義語 の ｃｏｕｎｓｅｌｉｎｇ、ｒｅｃｏｍｍｅｎｄａｔｉｏｎ との違いについて、

● ａｄｖｉｃｅ
　ある行為について、経験・知識のある者が与える個人的な忠告・助言

　Ｉｆ　ｙｏｕ　ｗａｎｔ　ｇｏｏｄ　ａｄｖｉｃｅ， ｃｏｎｓｕｌｔ　ａｎ　ｏｌｄ　ｍａｎ．
（ためになる忠告は老人に聞きなさい）

● ｃｏｕｎｓｅｌｉｎｇ
　専門家による個人的な問題への助言

　Ｏｕｒ　ｓｅｒｖｉｃｅｓ　ａｒｅ　ａｖａｉｌａｂｌｅ　ｔｏ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｗｈｏ　ｎｅｅｄ　ｃｏｕｎｓｅｌｉｎｇ　ａｂｏｕｔ　ｃａｒｅｅｒ　ｃｈｏｉｃｅｓ．
（進路について相談が必要な学生には相談員がいる）

● ｒｅｃｏｍｍｅｎｄａｔｉｏｎ
　経験に基づいて、よいと思われることを推奨すること。ａｄｖｉｃｅ が消極的な忠告を意味することもあるのに対して、ｒｅｃｏｍｍｅｎｄａｔｉｏｎ は常に積極的な意味を持つ

　Ｉ　ｒｅａｄ　ｔｈｅ　ｂｏｏｋ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒｅｃｏｍｍｅｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｙ　ｔｅａｃｈｅｒ．
（私は先生の薦めでその本を読んだ）

と説明しています。


頭に入れておくと役に立つかもしれません。　

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２０９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「 互いに異なる正の整数の書かれたカードが３枚ある。Ａ、Ｂ、Ｃの３人がこのカードを１枚ずつランダムに選び、カードに書かれた数を自分の得点とするゲームを行った。このゲームを複数回行った後、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれが取得した得点の合計はそれぞれ１０点、８点、１８点であった。なお、Ｂは２回目のゲームでＡ、Ｃよりも高い得点のカードを選んだことが分かっている。このとき、１回目のゲームにおいて３人の中で２番目に高い得点のカードを選んだのは誰か、理由とともに答えなさい。」
です。

３枚のカードに書かれた数を小さい順に、ｐ、ｑ、ｒ、これらの和をＳ、行われたゲームの回数をｎ（≧２）とすると、
Ｓ＝ｐ＋ｑ＋ｒ　
Ｓ×ｎ＝１０＋８＋１８＝３６　　　　（★）
が成り立ちます。

このとき、ｐ、ｑ、ｒは １≦ｐ＜ｑ＜ｒ を満たす整数なので、
Ｓ＝ｐ＋ｑ＋ｒ≧１＋２＋３＝６
になり、この条件の下、（★）を満たすＳとｎの組合せ（Ｓ，ｎ）は、
（６，６）、（９，４）、（１２，３）、（１８，２）
です。

ここから、上記の４つの場合について場合分けして調べていきましょう。

● （Ｓ，ｎ）＝（６，６）の場合
Ｓ＝６ から、ｐ＝１、ｑ＝２、ｒ＝３ です。

ここでＣの合計得点は１８点で、これを実現するためには、Ｃは３点のカードを全ゲームで選ばなければなりません。ところが２回目にＢが３点のカードを選ぶので、Ｃの合計得点は１８点未満になり、（Ｓ，ｎ）＝（６，６）は条件を満たしません。

● （Ｓ，ｎ）＝（９，４）の場合
Ｂが１回ｒのカードを選び、残りの３回はｐのカードを選んだとすると、
８＝ｒ＋３ｐ≧ｒ＋３
が成り立ち、これから
ｒ≦５
です。

また、Ｃの合計得点は４ｒ未満でなければならないので、
１８＜４ｒ
が成り立ち、
ｒ＞４．５
です。

したがって、ｒ＝５ で、さらに ｐ＋ｑ＝４ から ｐ＝１、ｑ＝３ になります。

このとき、Ｂの合計得点が８点になるためには、表１のように、Ｂは１、３、４回目のゲームで１点のカードを選ばなくてはなりません。

▲表１．各ゲームでのＢの得点が判りました

さらに、Ｃの合計得点が１８点になるためには、表２のように、Ｃは１、３、４回目のゲームで５点のカードを選び、２回目のゲームで３点のカードを選ぶ必要があります。

▲表２．各ゲームでのＣの得点が判りました

最後に、Ａが選んだ残りのカードの合計得点を計算すると、それは１０点になり、（Ｓ，ｎ）＝（９，４）は条件を満たします。

● （Ｓ，ｎ）＝（１２，３）の場合
Ｂが１回ｒのカードを選び、残りの２回はｐのカードを選んだとすると、
８＝ｒ＋２ｐ≧ｒ＋２
が成り立ち、これから
ｒ≦６
です。

また、Ｃの合計得点は３ｒ未満でなければならないので、
１８＜３ｒ
が成り立ち、
ｒ＞６
です。

したがって、（Ｓ，ｎ）＝（１２，３）は条件を満たしません。

● （Ｓ，ｎ）＝（１８，２）の場合
Ｂが１回ｒのカードを選び、残りの１回はｐのカードを選んだとすると、
８＝ｒ＋ｐ≧ｒ＋１
が成り立ち、これから
ｒ≦７
です。

また、Ｃの合計得点は２ｒ未満でなければならないので、
１８＜２ｒ
が成り立ち、
ｒ＞９
です。

したがって、（Ｓ，ｎ）＝（１８，２）は条件を満たしません。

以上から、１回目のゲームにおいて３人の中で２番目に高い得点のカードを選んだのは Ａ で、これが答えです。


簡単な問題です。

日付 のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔａｐｈｏｒ， ｔｈｅ　ｅａｒｔｈ　ｗａｓ　ｂｏｒｎ　ｏｎ　Ｊａｎｕａｒｙ　１．
（これで喩えると、地球は１月１日に誕生したことになる）
という文があります。

この Ｊａｎｕａｒｙ　１ のような 日付 の表現について、 オックスフォード実例現代英語用例辞典 に、 イギリス英語 と アメリカ英語 との違いの説明があります。

【書き方】（日付を２０１９年４月２５日に変更しました）
〔イギリス英語〕
（最も一般的） ２５　Ａｐｒｉｌ　２０１９

・数字を表す語の最後に（例えば １ｓｔ、２ｎｄ、３ｒｄ、６ｔｈ などの）２文字を加えることもある

・年の前にコンマを入れる人もいるが、これは日付が文の中に入って来た場合を除き、イギリス英語でももはやそれほど用いられてはいない
　２５ｔｈ　Ａｐｒｉｌ（，）２０１９

・すべて数字で書くときは、 ２５/４/１９、２５－４－１９、２５．４．１９
　　
〔アメリカ英語〕
月を最初に書き、年の前にコンマを置くのが普通
　Ａｐｒｉｌ　２５， ２０１９
　
・すべて数字で書くときは、月－日－年の順になる。（例えば、４．２５．１９）

【言い方】
〔イギリス英語〕
・Ａｐｒｉｌ　ｔｈｅ　ｔｗｅｎｔｙ-ｆｉｆｔｈ，ｔｗｏ　ｔｈｏｕｓａｎｄ　ａｎｄ　ｎｉｎｅｔｅｅｎ

・Ａｐｒｉｌ　ｔｈｅ　ｔｗｅｎｔｙ-ｆｉｆｔｈ， ｔｗｅｎｔｙ　ｎｉｎｅｔｅｅｎ

・ｔｈｅ　ｔｗｅｎｔｙ-ｆｉｆｔｈ　ｏｆ　Ａｐｒｉｌ， ｔｗｏ　ｔｈｏｕｓａｎｄ　ａｎｄ　ｎｉｎｅｔｅｅｎ

・ｔｈｅ　ｔｗｅｎｔｙ-ｆｉｆｔｈ　ｏｆ　Ａｐｒｉｌ， ｔｗｅｎｔｙ　ｎｉｎｅｔｅｅｎ

〔アメリカ英語〕
・Ａｐｒｉｌ　ｔｗｅｎｔｙ-ｆｉｆｔｈ， ｔｗｏ　ｔｈｏｕｓａｎｄ　ａｎｄ　ｎｉｎｅｔｅｅｎ　

・Ａｐｒｉｌ　ｔｗｅｎｔｙ-ｆｉｆｔｈ， ｔｗｅｎｔｙ　ｎｉｎｅｔｅｅｎ

教科書（アメリカ英語）によると、
Ａｐｒｉｌ　（ｔｈｅ）ｔｗｅｎｔｙ-ｆｉｆｔｈ，ｔｗｏ　ｔｈｏｕｓａｎｄ　（ａｎｄ） ｎｉｎｅｔｅｅｎ
のようになるようです。


頭に入れておくと役に立つかもしれません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２０８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「 ある整数Ｎは、５進法で ａｂｃ と３桁で記述され、３進法で ｃｄｅｅ と４桁で記述される。ただし、ａとｃは１以上の整数、ｂとｄとｅは０以上の整数である。このような条件を満たすＮ、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅの組合せを、１０進法の表記ですべて示せ。」
です。

ａｂｃ と ｃｄｅｅ はそれぞれ５進法と３進法の表記なので、整数ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅは、
１≦ａ≦４
０≦ｂ≦４
１≦ｃ≦２
０≦ｄ，ｅ≦２　　　　　　　　　　　（１）
を満たします。

５進法で表記された ａｂｃ と３進法で表記された ｃｄｅｅ を１０進法表記に直すと、それぞれ、
　　　　　　　　　　　　　
と

になります。

すると（２）（３）から
２５ａ＋５ｂ＋ｃ＝２７ｃ＋９ｄ＋４ｅ
が成り立ち、これを整理すると、
２５ａ＋５ｂ＝２６ｃ＋９ｄ＋４ｅ　　（４）
です。

（４）を見ると左辺が５の倍数なので、両辺を５で割った余りを調べたくなります。

そこで、（４）を
５（５ａ＋ｂ）＝５（５ｃ＋ｄ）＋ｃ＋４ｄ＋４ｅ
と変形すると、ｃ＋４ｄ＋４ｅ が５の倍数になることが判りました。

一方、（１）から
１≦ｃ＋４ｄ＋４ｅ≦１８
なので、
ｃ＋４ｄ＋４ｅ＝５、１０、１５
です。

ここから ｃ＋４ｄ＋４ｅ の 値で場合分けします。

● ｃ＋４ｄ＋４ｅ＝５ の場合
４（ｄ＋ｅ）＝５－ｃ
から
ｃ＝１
ｄ＋ｅ＝１
です。

これを満たすｃ、ｄ、ｅの組合せ（ｃ，ｄ，ｅ）は（１，１，０）、（１，０，１）で、 これらと（４）を満たすａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅの組合せ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）を求めると、

・（１，１，０）のとき
　２５ａ＋５ｂ＝３５ → ５ａ＋ｂ＝７ → （１，２，１，１，０） → Ｎ＝３６

・（１，０，１）のとき
　２５ａ＋５ｂ＝３０ → ５ａ＋ｂ＝６ → （１，１，１，０，１） → Ｎ＝３１

● ｃ＋４ｄ＋４ｅ＝１０ の場合
４（ｄ＋ｅ）＝１０－ｃ
から
ｃ＝２
ｄ＋ｅ＝２
で、（２，２，０）、（２，１，１）、（２，０，２）です。

・（２，２，０）のとき
　２５ａ＋５ｂ＝７０ → ５ａ＋ｂ＝１４ → （２，４，２，２，０） → Ｎ＝７２

・（２，１，１）のとき
　２５ａ＋５ｂ＝６５ → ５ａ＋ｂ＝１３ → （２，３，２，１，１） → Ｎ＝６７

・（２，０，２）のとき
　２５ａ＋５ｂ＝６０ → ５ａ＋ｂ＝１２ → （２，２，２，０，２） → Ｎ＝６２

● ｃ＋４ｄ＋４ｅ＝１５ の場合
４（ｄ＋ｅ）＝１５－ｃ
を満たすｃ、ｄ、ｅの組合せはありません。

以上をまとめると、Ｎ、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ の組合せ（Ｎ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）は、
（３１，１，１，１，０，１）
（３６，１，２，１，１，０）
（６２，２，２，２，０，２）
（６７，２，３，２，１，１）
（７２，２，４，２，２，０）
で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｔｈｅ ＵＳＡ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ａｒｅ　ｙｏｕ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ＵＳＡ？
（あなたはアメリカ合衆国出身ですか）
という文があります。

この ｔｈｅ　ＵＳＡ は「アメリカ合衆国」を意味しますが、 現代英語語法辞典 に、同じく「アメリカ合衆国」を指す
ｔｈｅ　Ｕｎｉｔｅｄ　Ｓｔａｔｅｓ　ｏｆ　Ａｍｅｒｉｃａ
ｔｈｅ　Ｕｎｉｔｅｄ　Ｓｔａｔｅｓ
ｔｈｅ　ＵＳＡ / Ｕ．Ｓ．Ａ．
ｔｈｅ　ＵＳ / Ｕ．Ｓ．
ｔｈｅ　Ｓｔａｔｅｓ
Ａｍｅｒｉｃａ
について、

● ｔｈｅ　Ｕｎｉｔｅｄ　Ｓｔａｔｅｓ　ｏｆ　Ａｍｅｒｉｃａ
　　正式国名 で公式な場面や極めて形式ばった場面のみで使用される

● ｔｈｅ　Ｕｎｉｔｅｄ　Ｓｔａｔｅｓ
　　改まった書き言葉や話し言葉にふさわしい

● ｔｈｅ　ＵＳＡ / ｔｈｅ　ＵＳ
　　くだけた文体や新聞の見出しに広く使われる。郵便物の宛先には ＵＳＡ がより好ましい

● ｔｈｅ　Ｓｔａｔｅｓ
　　口語的で特に米国人が国外で自国を呼ぶときに使う

● Ａｍｅｒｉｃａ
　　（１）Ｕｎｉｔｅｄ　Ｓｔａｔｅｓ
　　　　（アメリカ合衆国）
　　（２）Ｎｏｒｔｈ　Ａｍｅｒｉｃａ
　　　　（北アメリカ、北アメリカ大陸）
　　（３）Ｓｏｕｔｈ　Ａｍｅｒｉｃａ
　　　　（南アメリカ、南アメリカ大陸）
　　（４）Ｎｏｒｔｈ　ａｎｄ　Ｓｏｕｔｈ　Ａｍｅｒｉｃａ
　　　　（アメリカ大陸）
　　（５）Ｎｏｒｔｈ　Ａｍｅｒｉｃａ， Ｃｅｎｔｒａｌ　Ａｍｅｒｉｃａ　ａｎｄ　Ｓｏｕｔｈ　Ａｍｅｒｉｃａ（ｐｏｓｓｉｂｌｙ　ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｃａｒｉｂｂｅａｎ　ｉｓｌａｎｄｓ　ａｓ　ｗｅｌｌ）
　　　　（北、中央、南アメリカ、カリブ海の島々も含まれることがある）

（１）～（５）を意味する曖昧な語であるが、特に正確さが求められる場合を除けば、世界中の英語話者により一般的に使われている。
ただし、アメリカ大陸の他の地域の多くの人々は（１）の用法を嫌っていて、また合衆国でもこの用法の妥当性や正確さに疑義をさしはさむ人もいる。

と解説しています。



頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

日本ジュニア数学オリンピック予選の問題（１０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック予選に出題された組合せ問題を取り上げます。

問題は、
「ある国には港が１００個あり、ＪＪＭＯ海運は異なる２つの港を双方向に結ぶ直行便をいくつか運行している。ＪＪＭＯ海運は次の条件をみたす異なる２つの港Ａ、Ｂに対し、それらを双方向に結ぶ直行便を新しく作ることにした。

　港Ａを出てすべての港を１回ずつ通り港Ｂへ行くことができるが、港Ａ、Ｂの間には直行便は存在しない

条件をみたすような異なる２つの港がなくなるまで直行便を作るとき、作られる直行便の数としてありうる最大の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

最終的に１００個の港の任意の２つの港に直行便が作られたとすると、その数は、

になります。

このとき、既存の直行便の数をＳとすると、新たに作られる直行便の数は、
４９５０－Ｓ　　　（★）
を超えることはありません。

そこで、既存の直行便の数Ｓの見積りから始めましょう。

１００個すべての港が直行便で結ばれているとき、Ｓは９９以上になるので、まず、Ｓが９８以下の場合を調べます。

● Ｓ≦９８の場合
　このとき、１００個すべての港を直行便で結ぶことができないので、１００個の港は直行便で結ばれている２つ以上のグループに分かれます。

すると、１つのグループから他のグループに行くことができないので、すべての港を１回ずつ通ることは不可能で、これは条件をみたしません。

したがって、Ｓ≦９８の場合、新たに作られる直行便の数は０になります。

次に、Ｓ＝９９の場合を調べます。

● Ｓ＝９９の場合
　１００個の港をＰ1、Ｐ2、・・・、Ｐ100 とし、１００個の港が、

と９９個の直行便で結ばれているとします。（このように１００個の港が結ばれていない場合、Ｓ≦９８の場合と同様に新たに作られる直行便の数は０になります）

このとき、Ｐ1を出てすべての港を１回ずつ通りＰ100に行くことができるので、

ように、Ｐ1とＰ100を結ぶ直行便を作ることができます。

このＰ1とＰ100の直行便を作ると、

のようになります。

このときＰi （１≦ｉ≦１００、ｉ＝１のときｉ－１＝１００、ｉ＝１００のときｉ＋１＝１）を考えると、Ｐiを出てすべての港を１回ずつ通ったあとに到着するのはＰi-1 または Ｐi+1 になりますが、Ｐi とＰi-1、Ｐi+1 にはすでに直行便があるので、新たに直行便を作ることはできません。

以上から、Ｓ＝９９の場合、新たに作られる直行便の数は高々１になります。

続いて、Ｓ＝１００の場合を調べます。

● Ｓ＝１００の場合
　１００個の港Ｐ1、Ｐ2、・・・、Ｐ100が、

のように１００の直行便で結ばれていたとします。

このとき、

のように、Ｐ2－Ｐ1－Ｐ3－Ｐ4－・・・－Ｐ100 と、Ｐ2とＰ100を直行便で結ぶことが可能で、すると、Ｐ1－Ｐ3－Ｐ2－Ｐ100－Ｐ99－・・・－Ｐ4と、Ｐ1とＰ4を直行便で結ぶことが可能になります。

さらに、

のように、Ｐ1とＰi-1が直行便で結ぶことが可能であるとすると、Ｐ1－Ｐi-1－Ｐi-2－・・・－Ｐ2－Ｐ100－Ｐ99－・・・－Ｐi と、Ｐ1とＰiを直行便で結ぶことが可能になり、ｉ＝５のとき、Ｐ1とＰ4は直行便で結ばれているので、Ｐ1はＰ5と直行便で結ぶことが可能で、これを繰り返すと、Ｐ1はＰ6からＰ100まで直行便で結ぶことが可能になります。

したがって、Ｐ1は他の９９個の港と直行便を結ぶことが可能ということになります。

これは、Ｐ2、Ｐ3、・・・についても同様で、すべての港は他の９９個の港と直行便を結ぶことが可能です。

したがって、Ｓ＝１００の場合、新たに作られる直行便の数は、

になります。

最後に、Ｓ≧１０１の場合を調べます。

● Ｓ≧１０１の場合
（★）から、新たに作られる直行便の数は４９５０－Ｓを超えることはないので、４９５０－Ｓ＜４８５０になります。

したがって、Ｓ≧１０１の場合、新たに作られる直行便の数は、４８５０未満になります。

以上をまとめると、作られる直行便の数としてありうる最大の値は ４８５０ で、これが答えです。


この種類の問題は、問題文を理解するのが難しいですね。

ｆｅｓｔｉｖａｌ に関連したはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｓａｗｙｅｒ　ｐｌａｎｎｅｄ　ａｎｄ　ｏｒｇａｎｉｚｅｄ　ａ　ｆｅｓｔｉｖａｌ，“Ｓａｖｅ　Ｗｉｎｔｅｒ　Ｄａｙ”．
（ソーヤーは「ウィンターを救う日」というイベントを計画し主催した）
という文があります。

この ｆｅｓｔｉｖａｌ を コンパスローズ英和辞典 で引いてみると、この 派生語の形容詞 として、 ｆｅｓｔｉｖｅ と ｆｅｓｔａｌ が挙げてあり、同書によると、これらの２つの形容詞は、
● ｆｅｓｔｉｖｅ
　 祝祭の、お祝いの、お祭り気分の、陽気な、楽しい

● ｆｅｓｔａｌ
　 （格式ばった語）祭りの、陽気な、楽しい
を表すそうです。

さらに、これらの違いを調べるために英英辞典を調べてみたところ、 オックスフォード現代英英辞典、コウビルト英英辞典、ロングマン英英辞典 には ｆｅｓｔａｌ がなく、 唯一 Ｔｈｅ　ＡＭＥＲＩＣＡＮ　ＨＥＲＩＴＡＧＥ　ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅｎｇｌｉｓｈ　Ｌａｎｇｕａｇｅ に、
● ｆｅｓｔｉｖｅ
　 Ｏｆ， ｒｅｌａｔｉｎｇ　ｔｏ， ｏｒ　ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ　ｆｏｒ　ａ　ｆｅａｓｔ　ｏｒ　ｆｅｓｔｉｖａｌ
　（祝祭や祭典にふさわしい、または、それらに関連することの）

● ｆｅｓｔａｌ
　 Ｏｆ，ｒｅｌａｔｉｎｇ　ｔｏ， ｏｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎａｔｕｒｅ　ｏｆ　ａ　ｆｅａｓｔ　ｏｒ　ｆｅｓｔｉｖａｌ
　（祝祭や祭典の特質やそれらに関連することの）
とありました。

ちなみに、 Ｇｏｏｇｌｅ　Ｂｏｏｋｓ　Ｎｇｒａｍ　Ｖｉｅｗｅｒ で、それらの使用頻度を調べてみたところ、
ｆｅｓｔｉｖｅ ： ｆｅｓｔａｌ ＝ ７．５ ： １
で、 ｆｅｓｔａｌ が死語になっているということではないようです。

日本数学オリンピック予選の問題（１０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣおよび辺ＡＢ、ＡＣ上の点Ｄ、Ｅについて、ＡＢ＝６、ＡＣ＝９、ＡＤ＝４、ＡＥ＝６が成り立っている。また、三角形ＡＤＥの外接円が辺ＢＣと２点Ｆ、Ｇで交わっている。ただし、４点Ｂ、Ｆ、Ｇ、Ｃはこの順に並んでいる。直線ＤＦとＥＧが三角形ＡＢＣの外接円上で交わるとき、ＦＧ/ＢＣの値を求めよ。なお、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１に問題の図を描きました。

▲図１．問題の図を描きました

２つの円がＡで接しているので、図２のように、ＤＦとＥＧの交点をＳとして直線ＡＳを引くと、これで方べきの定理が使いやすくなりそうです。ここで、直線ＡＳと直線ＤＥ、ＢＣとの交点をそれぞれＰ、Ｑ、△ＡＤＥの外接円の交点でＡでないほうをＲとしました。さらに、ＦＧ：ＢＣ＝ｘ：１とし、したがって、求める値はｘになります。

▲図２．直線ＡＳを引き、ＦＧ：ＢＣ＝ｘ：１としました

△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ（ＡＢ：ＡＣ＝ＡＤ：ＡＥ、∠Ａは共通）からＢＣ//ＤＥなので、図３に示すように、
ＱＢ：ＱＣ＝ＰＤ：ＰＥ　　（１）
です。

▲図３．ＱＢ：ＱＣ＝ＰＤ：ＰＥ＝ＱＦ：ＱＧです

また、△ＳＤＥと△ＳＦＧに注目すると、
ＰＤ：ＰＥ＝ＱＦ：ＱＧ
が成り立ち、（１）から
ＱＦ：ＱＧ＝ＱＢ：ＱＣ
です。

したがって、図４のように、
ＱＦ：ＱＢ＝ＱＧ：ＱＣ
になり、このとき、ＱＣ＝ｋＱＢ、ＱＧ＝ｋＱＦとすると、

で、これをまとめると、
ＱＦ/ＱＢ＝ＱＧ/ＱＣ＝ｘ　（２）
です。

▲図４．ＱＦ/ＱＢ＝ＱＧ/ＱＣ＝ｘです

一方、方べきの定理から
ＱＢ・ＱＣ＝ＱＡ・ＱＳ
ＱＦ・ＱＧ＝ＱＡ・ＱＲ
が成り立ち、（２）から導かれるＱＦ＝ｘＱＢ、ＱＧ＝ｘＱＣを代入すると、

で、これから

になります。

さらに△ＡＤＥとその外接円は、Ａを相似の中心として、△ＡＢＣとその外接円を２/３したものなので、
ＡＰ：ＡＱ＝ＡＲ：ＡＳ＝２：３
になり、これらと（３）から、ＡＰ、ＡＱ、ＱＲ、ＱＳ、ＲＳの線分比を計算し、その結果を図５に示します。

▲図５．ＡＰ、ＡＱ、ＱＲ、ＱＳ、ＲＳの線分比を示します

すると、図５から

で、△と□の関係は、

になり、これから○と□の関係は、

で、両辺を３で割ると

になります。

ここで、

から

で、このときＤＥ：ＢＣ＝２：３なので、

になります。

一方、ＦＧ：ＢＣ＝ｘ：１から

が成り立ち、これを整理すると、

です。

ここで（４）を因数分解すると、

で、ｘ≠１（ＢとＦ、ＧとＣは一致しない）なので、
ｘの値は、

の解になります。

（５）から

で、ここで、ｘ＞０から

になります。

以上から

で、これが答えです。


楽しい問題です。

ｆｒｏｍ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書の最初の Ｌｅｓｓｏｎ に、
Ａｒｅ　ｙｏｕ　ｆｒｏｍ　Ａｕｓｔｒａｌｉａ？
（あなたはオーストラリア出身ですか）
という文があります。

この ｆｒｏｍ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、 ｆｒｏｍ には「...出身の」という意味もあって、例文として、
Ｗｈｅｒｅ　ａｒｅ　ｙｏｕ 〔ｄｏ　ｙｏｕ　ｃｏｍｅ〕 ｆｒｏｍ？
（ご出身はどちらですか）
が挙げてあり、さらに注意書きとして、出身地を尋ねるときは、
Ｗｈｅｒｅ　ａｒｅ　ｙｏｕ　ｆｒｏｍ？
が普通とあります。

さらに、
Ｗｈｅｒｅ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｃｏｍｅ　ｆｒｏｍ？
と尋ねられたときでも、それに対する返事は、
・ Ｉ’ｍ　ｆｒｏｍ　Ｊａｐａｎ．
・ Ｆｒｏｍ　Ｊａｐａｎ．
・ Ｉ’ｍ　（ａ） Ｊａｐａｎｅｓｅ．
が普通で、
・ Ｉ　ｃｏｍｅ　ｆｒｏｍ　Ｊａｐａｎ．
は まれ ということです。

ちなみに、
Ｗｈｅｒｅ　ｄｉｄ　ｙｏｕ　ｃｏｍｅ　ｆｒｏｍ？
と過去形にすると、出生地ということに限らず、その時点でどこから来たかを問う文になります。


頭に入れておくと役に立つこともあるでしょう。

日本ジュニア数学オリンピック予選の問題（９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣは∠Ｂ＝９０°、ＢＣ＝８をみたす。辺ＡＢ上に点Ｄ、辺ＡＣ上に点Ｅがあり、直線ＢＥと直線ＣＤの交点をＦとおくと ＢＦ＝６、ＣＦ＝７ をみたす。また四角形ＡＤＦＥに円が内接するとき、線分ＡＢの長さを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１に、問題の図を描きました。

▲図１．問題の図を描きました

四角形ＡＤＦＥに円が内接するという条件を使うために、図２のように、円とＡＤ、ＤＦ、ＦＥ、ＦＡとの接点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓとしましょう。このとき、ＡＰ＝ＡＳ、ＢＰ＝ＢＲ、ＣＱ＝ＣＳ、ＦＱ＝ＦＲが成り立ちます。

▲図２．ＡＰ＝ＡＳ、ＢＰ＝ＢＲ、ＣＱ＝ＣＳ、ＦＱ＝ＦＲが成り立ちます

そこで、ＡＰ＝ＡＳ＝ｘ、ＦＱ＝ＦＲ＝ｙとすると、ＡＢ、ＡＣは、それぞれ、
ＡＢ＝ＡＰ＋ＢＰ
　　＝ＡＰ＋ＢＲ
　　＝ＡＰ＋ＢＦ＋ＦＲ
　　＝ｘ＋ｙ＋６
ＡＣ＝ＡＳ＋ＣＳ
　　＝ＡＳ＋ＣＱ
　　＝ＡＳ＋ＣＦ＋ＦＱ
　　＝ｘ＋ｙ＋７
になります。

ここで、△ＡＢＣに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、ＡＢ＝ｘ＋ｙ＋６、ＢＣ＝８、ＡＣ＝ｘ＋ｙ＋７を代入して整理すると、

です。

最後に、ＡＢ＝ｘ＋ｙ＋６ から

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｓｏ　Ｉ　ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ　ｍａｋｅ　ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ　ａｔ　ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅｓ．
（だから私はときどき国際会議で発表しています）
という文があります。

この ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、その 類義語 ついて、
● ｍｅｅｔｉｎｇ
　あらゆる会合を表す最も一般的な語で、あることを議論し決めるために集まること

● ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ
　専門的で重要なことを扱う大規模で公式の会議をいい、通例数日間続く。講演会などを伴う場合もある

● ｇａｔｈｅｒｉｎｇ 、《くだけて》ｇｅｔ-ｔｏｇｅｔｈｅｒ
　家族や友人が集まって親交を深めるための懇親会、特定の目的を持った人々の社交的催しや共通の関心事についての交流会などをいう

● ａｓｓｅｍｂｌｙ《ややかたく》
　特定の目的を持った人々が重要事項を議論するための会で、学校の朝礼や宗教的集会も含まれる

● ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ
　特定の職業、政党、ファンクラブ、その他の団体など、共通の関心を持つ人の大規模で公式の会議をいう
と説明しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

日本数学オリンピック予選の問題（９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「４×４のマス目の各マスを、赤、青、黄、緑のいずれかの１色で塗る方法のうち、どの行と列についても、次の３つの条件のうちのいずれかをみたすものは何通りあるか。

● １色で４個のマスをすべて塗る

● 異なる２色でそれぞれ２個のマスを塗る

● ４色すべてでそれぞれ１個のマスを塗る

ただし、回転や裏返しにより一致する塗り方も異なるものとして数える。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた条件の下で、４×１のマス目のマスに色を塗るとき、
（１） ３個のマスにＡ色が塗られた場合、残りの１個のマスもＡ色
（２） ２個のマスにＡ色、１個のマスにＢ色が塗られた場合、残りの１個のマスはＢ色
（３） ３個のマスに１個ずつＡ色、Ｂ色、Ｃ色が塗られた場合、残りの１個のマスはＤ色
というように、３個のマスに色が塗られた時点で残りの１個のマスの色が一意的に決定します。（このとき、３個のマスの色の塗り方はすべての場合を尽くしています）

例えば図１のように、第１列目ｃ1の４個のマスのうち、マークした３個のマスに色が塗られると、残りのＳに塗られる色は１つに決まり、また、第２行目のｒ2の４個のマスについても、マークした３個のマスに色が塗られると、残りのＱに塗られる色は１つに決まります。

▲図１．４個のマスのうち３個のマスに色が塗られると残りの１個のマスの色は１通りに決まります

これは４×４のマス目のいずれの行、列でも同様なので、図２でマークした３×３のマス目の９個のマスに色が塗られると、、Ｓ、Ｔ、Ｕ、Ｐ、Ｑ、Ｒに塗られる色は１つに決まることになります。

▲図２．マークしたマスに色が塗られるとＳ、Ｔ、Ｕ、Ｐ、Ｑ、Ｒに塗られる色は１つに決まります

そこで問題となるのが、図２の第４列ｃ4と第４行ｒ4が共有するＸに、与えられた条件をみたすように色を塗ることが可能かということです。

もしそれが可能ならば、条件をみたす色の塗り方は、３×３のマス目の９個のマスの色の塗り方になり、これは、それぞれのマスに赤、青、黄、緑のいずれを塗っても（１）、（２）、（３）のいずれかに該当するので、

になります。

そこで、ここから与えられた条件をみたすようにＸを塗ることが可能かを調べていきましょう。

まず、赤＝（０，０）、青＝（１，０）、黄＝（０，１）、緑＝（１，１）、
Ｚ＝ａ（０，０）＋ｂ（１，０）＋ｃ（０，１）＋ｄ（１，１）
　＝（ｂ＋ｄ，ｃ＋ｄ）
（ａ、ｂ、ｃ、ｄは、０≦ａ，ｂ，ｃ，ｄ≦４、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝４をみたす整数）
として、それぞれの与えられた条件でのＺを調べていくと、

（４）「１色で４個のマスをすべて塗る」の場合
ａ＝４，ｂ＝ｃ＝ｄ＝０ →　Ｚ＝（０，０）
ａ＝ｃ＝ｄ＝０，ｂ＝４ →　Ｚ＝（４，０）
ａ＝ｂ＝ｄ＝０，ｃ＝４ →　Ｚ＝（０，４）
ａ＝ｂ＝ｃ＝０，ｄ＝４ →　Ｚ＝（２，２）

（５）「異なる２色でそれぞれ２個のマスを塗る」の場合
ａ＝ｂ＝２，ｃ＝ｄ＝０ →　Ｚ＝（２，０）
ａ＝ｃ＝２，ｂ＝ｄ＝０ →　Ｚ＝（０，２）
ａ＝ｄ＝２，ｂ＝ｃ＝０ →　Ｚ＝（２，２）
ｂ＝ｃ＝２，ａ＝ｄ＝０ →　Ｚ＝（２，２）
ｂ＝ｄ＝２，ａ＝ｃ＝０ →　Ｚ＝（４，２）
ｃ＝ｄ＝２，ａ＝ｂ＝０ →　Ｚ＝（２，４）

（６）「４色すべてでそれぞれ１個のマスを塗る」の場合
ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝１　　 →　Ｚ＝（２，２）

のように、Ｚ＝（ｂ＋ｄ，ｃ＋ｄ）のｂ＋ｄとｃ＋ｄはどちらも偶数になることが判ります。

逆に、ｂ＋ｄとｃ＋ｄが共に偶数になる場合のａ、ｂ、ｃ、ｄの組合せは、
・ａ＝４，ｂ＝ｃ＝ｄ＝０
・ｂ＝４，ａ＝ｃ＝ｄ＝０
・ｃ＝４，ａ＝ｂ＝ｄ＝０
・ｄ＝４，ａ＝ｂ＝ｃ＝０
・ａ＝ｂ＝２，ｃ＝ｄ＝０
・ａ＝ｃ＝２，ｂ＝ｄ＝０
・ａ＝ｄ＝２，ｂ＝ｃ＝０
・ｂ＝ｃ＝２，ａ＝ｄ＝０
・ｂ＝ｄ＝２，ａ＝ｃ＝０
・ｃ＝ｄ＝２，ａ＝ｂ＝０
・ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝１
で、これは（４）、（５）、（６）の組合せと一致します。

一方、ｂ＋ｄ（またはｃ＋ｄ）が奇数になるときは、ｂとｄのいずれが１つが奇数で他が偶数（またはｃとｄのいずれか１つが奇数で他が偶数）の場合で、これをみたす組合せは（４）、（５）、（６）にありません。

つまり、Ｚ＝（ｂ＋ｄ，ｃ＋ｄ）で、ｂ＋ｄとｃ＋ｄが共に偶数になるものは、与えられた条件をみたす塗り方になり、ｂ＋ｄとｃ＋ｄのいずれかが奇数になるものは、与えられた条件をみたす塗り方にならないことが判ります。

そこで、ここからＺを利用して調べていくことにしましょう。

まず図３の左側の図に示すように、各列は与えられた条件をみたすように色を塗ることが可能なので、各列のＺは（偶数，偶数）になり、したがって、４×４のマス目の１６個のマスの和も（偶数，偶数）になります。

▲図３．各列のＺが（偶数，偶数）なので、４×４のマス目の１６個のマスの和も（偶数，偶数）です

一方、図３の右側の図のように、ｒ1、ｒ2、ｒ3は与えられた条件をみたすように色を塗ることが可能なので、これらの行のＺは（偶数，偶数）になり、これらの３×４のマス目の１２個のマスの和も（偶数，偶数）になります。

すると、４×４のマス目の１６個の和が（偶数，偶数）で、３×４のマス目の１２個のマス目の和が（偶数，偶数）なので、これらの差であるｒ4 のＺは（偶数，偶数）になり、ｒ4 は与えられた条件をみたすように色を塗ることが可能と判ります。

以上から、４×４のマス目の各マスを、赤、青、黄、緑のいずれかの１色で塗る方法のうち与えられた条件をみたすものは、

で、これが答えです。


楽しい問題です。