こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。
問題は、共通問題で出題された大問４の図形問題で、それは、
「下の図１で、点Ｏは線分ＡＢを直径とする円の中心である。
▲図１．問題図（１）
点Ｃは円Ｏの周上にある点で、弧ＡＣ＝弧ＢＣである。
点Ｐは、点Ｃを含まない弧ＡＢ上にある点で、点Ａ、点Ｂのいずれにも一致しない。
点Ａと点Ｃ、点Ｃと点Ｐをそれぞれ結び、線分ＡＢと線分ＣＰとの交点をＱとする。
次の各問に答えよ。
［問１］ 図１において、∠ＡＣＰ＝ａ° とするとき、∠ＡＱＰの大きさを表す式を、次のア～エのうちから選び、記号で答えよ。
ア （６０－ａ）度 イ （９０－ａ）度 ウ （ａ＋３０）度 エ （ａ＋４５）度
［問２］ 下の図２は、図１において、点Ａと点Ｐ、点Ｂと点Ｐをそれぞれ結び、線分ＢＰをＰの方向に延ばした直線上にありＢＰ＝ＲＰとなる点をＲとし、点Ａと点Ｒを結んだ場合を表している。
▲図２．問題図（２）
次の①、②に答えよ。
① △ＡＢＰ≡△ＡＲＰであることを証明せよ。
② 次の［ ］の中の「か」「き」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
図２において、点Ｏと点Ｐを結んだ場合を考える。
弧ＢＣ＝２×弧ＢＰのとき、
△ＡＣＱの面積は、四角形ＡＯＰＲの面積の［ か ］/［ き ］倍である。」
です。
［問１］です。
図３のように、与えられた条件を図１に書き入れましょう。
▲図３．与えられた条件を図１に書き入れました
図４のように、弧ＡＣ＝弧ＢＣから∠ＡＯＣ＝９０°なので、△ＯＡＣは直角二等辺三角形になります。
▲図４．△ＯＡＣは直角二等辺三角形です
つまり、∠ＯＣＡ＝４５°で、これから∠ＯＣＱ＝（４５－ａ）°です。
ここで△ＯＣＱの内角に注目すると、∠ＯＱＣ＝１８０°－９０°－（４５－ａ）°＝（４５＋ａ）°で、∠ＡＱＰと∠ＯＱＣは対頂角でひとしいので、∠ＡＱＰ＝（４５＋ａ）°です。
したがって、エ が答えです。
続いて［問２］の①です。
図５のように、与えられた条件を図２に書き入れましょう。
▲図５．与えられた条件を図２に書き入れました
図５で、∠ＡＰＢは半円弧ＡＣＢに対する円周角なので、∠ＡＰＢ＝９０°です。
すると、△ＡＢＰと△ＡＲＰはどちらも直角三角形で∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＲ＝９０°になり、さらに、ＢＰ＝ＲＰ（仮定）、ＡＰは共通から、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ＡＢＰ≡△ＡＲＰです。
最後の②です。
図６のように、△ＡＣＱ（赤色でマークしました）と四角形ＡＯＰＲ（緑色でマークしました）の面積を計算するのですが、いくつかの相似三角形があって、どれを選ぶか迷うところです。
▲図６．△ＡＣＱ（赤色でマーク）と四角形ＡＯＰＲ（緑色でマーク）です
ここでは図７のように、△ＡＣＱ（赤色でマーク）と△ＯＢＰ（緑色でマーク）を選ぶのが簡単そうです。
▲図７．△ＡＣＱ（赤色でマーク）と△ＯＢＰ（緑色でマーク）を選びます
弧ＢＣは円周の１/４なので、その中心角∠ＢＯＣ＝９０°、円周角∠ＢＡＣ＝４５°です。
また弧ＢＣ＝２×弧ＢＰから、弧ＢＰに対する中心角∠ＢＯＰ＝４５°になります。
したがって、∠ＢＡＣ＝∠ＢＯＰです。
一方、∠ＡＣＰと∠ＡＢＰは弧ＡＰ（点Ｂ、Ｃを含まない方）の円周角なので、∠ＡＣＰ＝∠ＡＢＰで、∠ＡＣＰ＝∠ＡＣＱ、∠ＡＢＰ＝∠ＯＢＰから、∠ＡＣＱ＝∠ＯＢＰです。
以上から、△ＡＣＱ∽△ＯＢＰであることが判りました。
そこで、これらの相似比を計算しましょう。
図８のように、円Ｏの半径をｒとすると、ＡＣ＝√２ｒで、ＡＣ：ＯＢ＝√２ｒ：ｒ＝√２：１です。
▲図８．円Ｏの半径をｒとしました
つまり、
（△ＡＣＱの面積）：（△ＯＢＰの面積）＝２：１ （１）
になります。
次に、△ＢＯＰと△ＢＡＲに注目すると、ＢＯ：ＢＡ＝ＢＰ：ＢＲ＝１：２、∠Ｂは共通から、△ＢＯＰ∽△ＢＡＲで、相似比は１：２です。
つまり、（△ＢＯＰの面積）：（△ＢＡＲの面積）＝１：４で、このとき、（四角形ＡＯＰＲの面積）＝（△ＢＡＲの面積）－（△ＯＢＰの面積）なので、
（△ＯＢＰの面積）：（四角形ＡＯＰＲの面積）＝１：３ （２）
です。
すると（１）と（２）から、
（△ＡＣＱの面積）：（四角形ＡＯＰＲの面積）＝２：３
になります。
したがって、［ か ］＝２、［ き ］＝３ で、これが答えです。
［問２］の②では、異なる組合せの相似三角形を選んでもＯＫですが、少し煩雑になりそうです。
今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。
問題は、共通問題で出題された大問４の図形問題で、それは、
「下の図１で、点Ｏは線分ＡＢを直径とする円の中心である。
▲図１．問題図（１）
点Ｃは円Ｏの周上にある点で、弧ＡＣ＝弧ＢＣである。
点Ｐは、点Ｃを含まない弧ＡＢ上にある点で、点Ａ、点Ｂのいずれにも一致しない。
点Ａと点Ｃ、点Ｃと点Ｐをそれぞれ結び、線分ＡＢと線分ＣＰとの交点をＱとする。
次の各問に答えよ。
［問１］ 図１において、∠ＡＣＰ＝ａ° とするとき、∠ＡＱＰの大きさを表す式を、次のア～エのうちから選び、記号で答えよ。
ア （６０－ａ）度 イ （９０－ａ）度 ウ （ａ＋３０）度 エ （ａ＋４５）度
［問２］ 下の図２は、図１において、点Ａと点Ｐ、点Ｂと点Ｐをそれぞれ結び、線分ＢＰをＰの方向に延ばした直線上にありＢＰ＝ＲＰとなる点をＲとし、点Ａと点Ｒを結んだ場合を表している。
▲図２．問題図（２）
次の①、②に答えよ。
① △ＡＢＰ≡△ＡＲＰであることを証明せよ。
② 次の［ ］の中の「か」「き」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
図２において、点Ｏと点Ｐを結んだ場合を考える。
弧ＢＣ＝２×弧ＢＰのとき、
△ＡＣＱの面積は、四角形ＡＯＰＲの面積の［ か ］/［ き ］倍である。」
です。
［問１］です。
図３のように、与えられた条件を図１に書き入れましょう。
▲図３．与えられた条件を図１に書き入れました
図４のように、弧ＡＣ＝弧ＢＣから∠ＡＯＣ＝９０°なので、△ＯＡＣは直角二等辺三角形になります。
▲図４．△ＯＡＣは直角二等辺三角形です
つまり、∠ＯＣＡ＝４５°で、これから∠ＯＣＱ＝（４５－ａ）°です。
ここで△ＯＣＱの内角に注目すると、∠ＯＱＣ＝１８０°－９０°－（４５－ａ）°＝（４５＋ａ）°で、∠ＡＱＰと∠ＯＱＣは対頂角でひとしいので、∠ＡＱＰ＝（４５＋ａ）°です。
したがって、エ が答えです。
続いて［問２］の①です。
図５のように、与えられた条件を図２に書き入れましょう。
▲図５．与えられた条件を図２に書き入れました
図５で、∠ＡＰＢは半円弧ＡＣＢに対する円周角なので、∠ＡＰＢ＝９０°です。
すると、△ＡＢＰと△ＡＲＰはどちらも直角三角形で∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＲ＝９０°になり、さらに、ＢＰ＝ＲＰ（仮定）、ＡＰは共通から、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ＡＢＰ≡△ＡＲＰです。
最後の②です。
図６のように、△ＡＣＱ（赤色でマークしました）と四角形ＡＯＰＲ（緑色でマークしました）の面積を計算するのですが、いくつかの相似三角形があって、どれを選ぶか迷うところです。
▲図６．△ＡＣＱ（赤色でマーク）と四角形ＡＯＰＲ（緑色でマーク）です
ここでは図７のように、△ＡＣＱ（赤色でマーク）と△ＯＢＰ（緑色でマーク）を選ぶのが簡単そうです。
▲図７．△ＡＣＱ（赤色でマーク）と△ＯＢＰ（緑色でマーク）を選びます
弧ＢＣは円周の１/４なので、その中心角∠ＢＯＣ＝９０°、円周角∠ＢＡＣ＝４５°です。
また弧ＢＣ＝２×弧ＢＰから、弧ＢＰに対する中心角∠ＢＯＰ＝４５°になります。
したがって、∠ＢＡＣ＝∠ＢＯＰです。
一方、∠ＡＣＰと∠ＡＢＰは弧ＡＰ（点Ｂ、Ｃを含まない方）の円周角なので、∠ＡＣＰ＝∠ＡＢＰで、∠ＡＣＰ＝∠ＡＣＱ、∠ＡＢＰ＝∠ＯＢＰから、∠ＡＣＱ＝∠ＯＢＰです。
以上から、△ＡＣＱ∽△ＯＢＰであることが判りました。
そこで、これらの相似比を計算しましょう。
図８のように、円Ｏの半径をｒとすると、ＡＣ＝√２ｒで、ＡＣ：ＯＢ＝√２ｒ：ｒ＝√２：１です。
▲図８．円Ｏの半径をｒとしました
つまり、
（△ＡＣＱの面積）：（△ＯＢＰの面積）＝２：１ （１）
になります。
次に、△ＢＯＰと△ＢＡＲに注目すると、ＢＯ：ＢＡ＝ＢＰ：ＢＲ＝１：２、∠Ｂは共通から、△ＢＯＰ∽△ＢＡＲで、相似比は１：２です。
つまり、（△ＢＯＰの面積）：（△ＢＡＲの面積）＝１：４で、このとき、（四角形ＡＯＰＲの面積）＝（△ＢＡＲの面積）－（△ＯＢＰの面積）なので、
（△ＯＢＰの面積）：（四角形ＡＯＰＲの面積）＝１：３ （２）
です。
すると（１）と（２）から、
（△ＡＣＱの面積）：（四角形ＡＯＰＲの面積）＝２：３
になります。
したがって、［ か ］＝２、［ き ］＝３ で、これが答えです。
［問２］の②では、異なる組合せの相似三角形を選んでもＯＫですが、少し煩雑になりそうです。