平成２８年度都立高校入試問題（１１）【御三家】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日の強風が治まって過ごしやすい日になりました。しばらくの間、高気圧に覆われ暖かい晴れの日が続くようです。

さて、今回は平成２８年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、日比谷高など都立御三家で出題された大問２の２次関数グラフ問題で、それは、
「下の図１で、点Ｏは原点、曲線ｆは関数ｙ＝１/４・ｘ^2　のグラフ、曲線ｇは関数ｙ＝ａｘ^2　（ａ＞１/４）のグラフを表している。
　点Ａ、点Ｂはともに曲線ｆ上にあり、点Ａのｘ座標はｔ　（０＜ｔ＜６）、点Ｂのｘ座標は　ｔ－６　である。
　点Ｃは曲線ｇ上にあり、ｘ座標は負の数である。
　点Ｏと点Ａ、点Ｏと点Ｂ、点Ａと点Ｃ、点Ｂと点Ｃをそれぞれ結ぶ。
　次の各問に答えよ。

▲図１．問題図（１）

［問１］ａ＝５/４のとき、次の（１）、（２）に答えよ。
（１）ｔ＝４、点Ｃのｘ座標が－２のとき、２点Ａ、Ｃを通る直線の式を求めよ。
（２）四角形ＯＡＢＣが平行四辺形となるとき、ｔの値を求めよ。
　　　ただし、答えだけではなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

［問２］下の図２は、図１において、ｔ＝３、点Ｃのｘ座標が－３/２のとき、点Ｏと点Ｃを結んだ場合を表している。
　　　　△ＯＡＣの面積と△ＯＣＢの面積の比が２：１のとき、ａの値を求めよ。」

▲図２．問題図（２）

です。

まず図３のように、本問全体に共通する条件を書き入れましょう。

▲図３．本問全体に共通する条件を書き入れました

それでは、［問１］の（１）に取り掛かりましょう。

ここで図４のように、［問１］の（１）に与えられた条件を書き入れます。

▲図４．［問１］の（１）に与えられた条件を書き入れました

ｔ＝４なので、点Ａのｘ座標は４、点Ａがｙ＝１/４・ｘ^2上にあるので、そのｙ座標は４、つまり、点Ａ（４，４）になります。

一方、点Ｃのｘ座標は－２、点Ｃがｙ＝５/４・ｘ^2上にあるので、そのｙ座標は５、つまり、点Ｃ（－２，５）になります。

ここで、２点Ａ、Ｃを通る直線をｙ＝ｐｘ＋ｑとすると、ｐ＝（４－５）/（４－（－２））＝－１/６で、
ｙ＝－１/６・ｘ＋ｑ
になります。

また、この直線は点Ａを通るので、
４＝－１/６・４＋ｑ
ｑ＝４＋２/３
　＝１４/３
になり、求める直線の式は、
ｙ＝－１/６・ｘ＋１４/３
で、これが答えです。

次の［問１］の（２）です。

点ＡとＢのｘ座標はそれぞれｔとｔ－６で、これらの点はｙ＝１/４・ｘ^2上にあるので、それらのｙ座標はそれぞれ１/４・ｔ^2、１/４・（ｔ－６）^2です。

つまり、点ＡとＢの座標は、それぞれ、
点Ａ（ｔ，１/４・ｔ^2）
点Ｂ（ｔ－６，１/４・（ｔ－６）^2）
です。

次に点Ｃの座標を求めます。

与えられた条件から、四角形ＯＡＢＣは平行四辺形なので、
ＯＡ＝ＢＣ
ＯＡ//ＢＣ
が成り立ち、ＯＡのｘ変化量がＢＣのｘ変化量に等しいので、点Ｃのｘ座標は２ｔ－６で、また、点Ｃはｙ＝５/４・ｘ^2上にあるので、そのｙ座標は、５/４・（２ｔ－６）^2です。

つまり、点Ｃの座標は、
点Ｃ（２ｔ－６，５/４・（２ｔ－６）^2）
です。

ここで、点Ａ、点Ｂ、点Ｃの座標を図５に書き入れましょう。

▲図５．点Ａ、点Ｂ、点Ｃの座標を書き入れました

あとは、これらの座標から四角形ＯＡＢＣが平行四辺形になる条件を立式すればＯＫです。

そこで、点Ｃのｘ座標を求めるときＯＡ＝ＢＣを使ったので、ＯＡ//ＯＢ、つまり、直線ＯＡと直線ＢＣの傾きが等しくなる条件を立式するのが簡単でしょう。（最後に記したように、平行四辺形になるための５つの条件のどれを使ってもＯＫです）

そこで、それぞれの直線の傾きを求めて等式をつくると、
　　　　［１］
になります。

そして、これを整理して因数分解すると、
　　　　［２］
です。

［２］から、ｔ＝２または４ですが、それぞれの場合の点Ｃのｘ座標を計算すると、
ｔ＝２のとき、２×２－６＝－２
ｔ＝４のとき、２×４－６＝２
となり、点Ｃのｘ座標が負の数であることから、ｔ＝２で、これが答えです。

続いて［問２］です。

まず、与えられた条件で、点Ａ、点Ｂ、点Ｃの座標を計算し、図６に書き入れましょう。

▲図６．点Ａ、点Ｂ、点Ｃの座標を書き入れました

このとき、直線ＯＣの式は、
　　　　　［３］
です。

また図６に示すように、点Ａと点Ｂを結んだ直線と、点Ｏと点Ｃを結んだ直線との交点をＭ、点Ａから直線ＯＣに下ろした垂線の足をＮ、点Ｂから直線ＯＣに下ろした垂線の足をＬとします。

すると、△ＯＡＣの面積Ｓ（Ａ）と△ＯＣＢの面積Ｓ（Ｂ）は、それぞれ、
Ｓ（Ａ）＝ＯＣ×ＡＮ×１/２
Ｓ（Ｂ）＝ＯＣ×ＢＬ×１/２
になり、その面積比は、
Ｓ（Ａ）：Ｓ（Ｂ）＝ＯＣ×ＡＮ×１/２：ＯＣ×ＢＬ×１/２
　　　　　　　　　＝ＡＮ：ＢＬ
です。

また、与えられた条件からこの面積比が２：１になので、
ＡＮ：ＢＬ＝２：１
になります。

一方、△ＡＮＭ∽△ＢＬＭから、
ＡＮ：ＢＬ＝ＡＭ：ＢＭ
なので、
ＡＭ：ＢＭ＝２：１
です。

ここで、点Ａと点Ｂのｙ座標はどちらも９/４で、点Ｍは直線ＡＢ上にあるので、点Ｍのｙ座標は９/４です。

さらに、線分ＡＢの長さは６で、点Ｍは線分ＡＢを２：１に内分するので、点Ｍのｘ座標は－１です。

つまり、点Ｍの座標は（－１，９/４）になります。

そして、点Ｍは直線ＯＣ上にあるので、［３］に（－１，９/４）を代入すると、
９/４＝－３/２・ａ・（－１）
ａ＝３/２
で、これが答えです。


［問１］の（２）は、平行四辺形になるための５つの条件
・２組の対辺がそれぞれ平行
・２組の対辺がそれぞれ等しい
・２組の対角がそれぞれ等しい
・対角線がそれぞれの中点で交わる
・１組の対辺が平行で長さが等しい
のどれを使ってもＯＫです。（ここでは、最後の「１組の対辺が平行で長さが等しい」を使いました）

また、［問２］は、点（ｘ1，ｙ1）から直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に下ろした垂線の長さがｌａｘ1＋ｂｙ1＋ｃｌ/√（ａ^2＋ｂ^2）になることを利用する方法もあります。

興味のある人は調べてみてください。

平成２８年度都立高校入試問題（１０）【国立高】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日からのＧＷは晴れのスタートになりましたが、冬型の西高東低の気圧配置のため、少し強めの北風が吹いています。これからさらに強くなりますが、明日には治まるようです。

さて、今回は平成２８年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、国立高で出題された大問４の立体問題で、それは、
「下の図１で、△ＡＢＣは、１辺の長さが６ｃｍの正三角形である。
　頂点Ａを通り辺ＢＣに垂直な直線を引き、辺ＢＣとの交点をＤとする。
　次の各問に答えよ。

▲図１．問題図（１）

［問１］　下の図２は、図１の△ＡＢＣを線分ＡＤを軸として１回転させてできる円すいを表している。
　　　　　次の（１）、（２）に答えよ。

▲図２．問題図（２）

（１）図２の円すいの展開図はおうぎ形である。このおうぎ形の中心角の大きさは何度か。

（２）下の図３において、図形Ｓは図１の△ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＭとし、点Ｍを線分ＡＤを軸として１回転させてできる円周であり、２点Ｅ、Ｆは図２の円すいの底面の円周上の点で、点Ｅと点Ｆを結んでできる線分ＥＦは底面の円の直径である。
　図形Ｓ上にある点をＰとし、点Ｅと点Ｐ、点Ｆと点Ｐをそれぞれ結ぶ。
　△ＰＥＦの面積が最も大きくなるとき、△ＰＥＦの面積は何ｃｍ2か。

▲図３．問題図（３）

［問２］　下の図４で、点Ｏは図１の△ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＢＣ、辺ＣＡとそれぞれ接する円の中心であり、点Ｄは辺ＢＣと円Ｏとの接点である。
　　　　　点Ｇは線分ＡＤと円Ｏとの交点のうち点Ｄとは異なる点である。

▲図４．問題図（４）

下の図５は、図４の△ＡＢＣ及び円Ｏを線分ＡＤを軸にして１回転させたときにできる立体を表している。

▲図５．問題図（５）

下の図６は、図５において、円すいの底面の円周上にある点をＱとし、点Ｇと点Ｑを結んだ場合を表している。
点Ｒは線分ＧＱ上の点で、点Ｇとは異なる球面上の点である。
このとき、線分ＱＲの長さは何ｃｍか。
ただし、答えだけではなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。」

▲図６．問題図（６）

です。

長い問題です。早速、取り掛かりましょう。

［問１］の（１）は、頻繁に見かける基本問題です。

展開図は図７のようになり、ここで底面の円の円周とおうぎ形の弧の長さが等しくなることを使えば簡単に中心角を求めることができます。

▲図７．円すいの展開図

底面の円の直径は６ｃｍなので、その円周は６πｃｍで、それはおうぎ形の弧の長さと等しくなります。

一方、おうぎ形をその一部として含む円は、円すいの母線を半径とする円なので、その直径は１２ｃｍで、円周は１２πｃｍです。

したがって、おうぎ形の中心角をａ°とすると、
ａ：３６０＝６π：１２π
が成り立ち、
ａ＝３６０×６π/１２敗
　＝１８０（°）
で、これが答えです。　

次に［問１］の（２）です。

△ＰＥＦの面積を計算するとき、線分ＥＦを底辺とすると、高さは点Ｐから線分ＥＦに下ろした垂線の長さになります。

このとき、線分ＥＦの長さは底面の円の直径なので６ｃｍですから、その垂線の長さが最大のときに△ＰＥＦの面積が最大になります。

そこで図８のように、図形Ｓ上の点Ｎと点Ｎ’から線分ＥＦに下ろした垂線の足が、それぞれ底面の円の中心Ｄになる場合と、点Ｄとは異なる線分ＥＦ上の点Ｄ’なる場合を比べます。

▲図８．点Ｎと点Ｎ’から線分ＥＦに下ろした垂線の足をそれぞれ点Ｄ、点Ｄ’としました

このとき、（線分ＮＤの長さ）＝（線分Ｎ’Ｄの長さ）＞（線分Ｎ’Ｄ’）なので、点Ｐが点Ｎと一致するとき、線分ＥＦを底辺とした場合の△ＰＥＦの高さが最大になります。

そして図９のように、平面ＡＤＰで切った円すいの断面を調べると、中点連結定理から、ＰＤ＝１/２・ＡＢ’＝１/２×６＝３ｃｍです。

▲図９．ＰＤ＝１/２・ＡＢ’です

したがって、△ＰＥＦの面積が最も大きくなるとき、その面積は、６×３×１/２＝９ｃｍ2　で、これが答えです。

続いて［問２］です。

図１０に、円すいを平面ＧＤＱで切った断面を示します。このとき、線分ＧＤ上に点Ａ、点Ｏがあり、線分ＧＱ上に点Ｒがあるので、図１０に示した断面上に、点Ａ、点Ｏ、点Ｒが存在します。

▲図１０．円すいを平面ＧＤＱで切った断面です

図１０で、円Ｏは辺ＱＣ’’と辺ＡＱにそれぞれ接するので、∠ＯＤＱ＝∠ＯＨＱ＝９０°です。

さらに、線分ＧＤは円Ｏの直径なので、∠ＧＲＤ＝９０°です。

あとは、三平方の定理や相似を使って計算すればＯＫです。（ここから、ＯＤなどは線分ＯＤの長さとします）

まず、△ＯＤＱは、∠ＯＱＤ＝３０°の直角三角形なので、（△ＯＤＱ≡△ＯＨＱ⇒∠ＯＱＤ＝∠ＯＱＨ、∠ＤＱＨ＝２∠ＯＱＤ＝６０°）
ＯＤ：ＯＱ：ＤＱ＝１：２：√３
で、ＤＱ＝３ｃｍから
ＯＤ＝√３ｃｍ
ＯＱ＝２√３ｃｍ
です。

すると、ＤＧ＝２ＯＤ＝２√３ｃｍで、直角三角形ＧＤＱに三平方の定理を適用すると、
ＧＱ^2＝ＤＱ^2＋ＤＧ^2
　　　＝３^2＋（２√３）^2
　　　＝９＋１２
　　　＝２１
から
ＧＱ＝√２１ｃｍ
です。

ここで、△ＧＱＤ∽△ＤＱＲなので、
ＧＱ：ＤＱ＝ＤＱ：ＲＱ＝ＤＱ：ＱＲ
から
ＱＲ＝ＤＱ^2/ＧＱ
です。

これに、ＧＱ＝√２１ｃｍ、ＤＱ＝３ｃｍを代入すると、
ＱＲ＝３^2/√２１
　　＝９/√２１
　　＝９√２１/２１
　　＝３√２１/７ｃｍ
で、これが答えです。


最後の線分ＱＲの長さの計算は、三平方の定理を使っても可能です。興味のある人は調べてみてください。

平成２８年度高校入試問題（６）【開成高】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

明日からＧＷは、３日の憲法記念日と４日のみどりの日が曇りや雨模様ですが、その他は好天で、行楽日和の連休になりそうです。

さて、今回は平成２８年度開成高校入試問題です。

問題は、６つの小問からなる大問１の１つで、
「次の連立方程式の解がないとき、定数ａの値を求めよ。
　　　」
です。

まず、代数的に解いてみましょう。

２ｘ＋ａｙ＝ａ　　　　　　　　　　　　 　（１）
（－１＋４ａ－ａ^2）ｘ＋ａｙ＝１　　　 　（２）
として、（１）－（２）から
（３－４ａ＋ａ^2）ｘ＝ａ－１
（ａ－１）（ａ－３）ｘ＝ａ－１　　　　 　（３）
です。

ここで、ａ＝１のとき、（３）はどのようなｘについても成り立つので、不定になります。

一方、ａ≠１のとき、（３）は、
（ａ－３）ｘ＝１　　　　　　　　　　　 　（４）
になり、ここで、ａ＝３のとき、（４）の左辺は０、右辺は１で、（４）は成立せず、不能になります。

さらに、ａ≠３のとき、（４）から、
ｘ＝１/（ａ－３）
で、これを（１）に代入して、
２/（ａ－３）＋ａｙ＝ａ
ａｙ＝ａ－２/（ａ－３）　　　　　　　　 　（５）
になります。

ここで、ａ＝０のとき、（５）の左辺は０、右辺は２/３で、（５）は成立すず、不能になります。

以上から、与えられた連立方程式が解を持たないのは、ａ＝０または３のときで、これが答えです。

続いて、２元１次連立方程式の解が平面上の２つの直線の交点になることを使って解いてみましょう。

（１）（２）もｘｙ平面上の２直線を表しますが、（１）（２）が解を持たないということは、直線（１）、（２）が平行で、かつ一致しないということになります。

一方、直線ｐｘ＋ｑｙ＝ｒとｐ’ｘ＋ｑ’ｙ＝ｒ’が平行で、かつ一致しない条件は、
ｐ/ｐ’＝ｑ/ｑ’≠ｒ/ｒ’
です。

そこで、（１）（２）にこの条件を適用すると、
（－１＋４ａ－ａ^2）/２＝ａ/ａ≠１/ａ　　　　（６）
になります。

ここで、ａ≠０のとき、（６）の等式から
－１＋４ａ－ａ^2＝２
ａ^2－４ａ＋３＝０
（ａ－３）（ａ－１）＝０
ａ＝１、３
です。

ところが、ａ＝１のとき、（６）の非等号（≠）の式が成り立たない（→１＝１になってしまう）ので、直線（１）と（２）は一致します。

したがって、直線（１）と（２）が平行になるのはａ＝３のときで、２つの直線は、図１のようになります。

▲図１．ａ＝３のときの２つの直線

一方、ａ＝０のとき、（１）（２）はそれぞれ、
２ｘ＝０→ｘ＝０
－ｘ＝１→ｘ＝－１
になり、図２のように、直線（１）と（２）は平行で交点を持ちません。

▲図２．ａ＝０のときの２つの直線

以上から、与えられた連立方程式が解を持たないのは、ａ＝０または３のときになります。


後半では、（１）（２）を馴染み深いｙ＝Ａｘ＋Ｂのように変形して、それぞれの傾きが等しく切片が異なる、という条件で解いてもＯＫです。興味のある人は調べてみてください。

まだ因数分解できるのか？

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今夜から雨で明後日までぐずつき、その後３日間ほど晴れて、その後再び下り坂になるようです。「春に３日の晴れなし」です。

さて、今回も因数分解について取り上げます。

例えば、

を整数係数の範囲内で因数分解せよという問題が出題されたとしましょう。

そこで、因数定理などを使って、
　　　　（１）
と因数分解できたとします。

すると次に、右辺の２番目の（　　）内の式、
　　　　（２）
が因数分解できるかが問題になります。

（２）が２次式であれば、解の公式を使って簡単に調べることができますが、３次式となると大変です。（３次、４次式の解の公式はありますが、使いこなせる人は少ないでしょうし、５次式以上ではお手上げです）

そこで、（２）を
　　　　（３）
とおいて、これを満たす整数ａ、ｂ、ｃがあるかを調べることにします。

ここで（３）の右辺を展開して整理して、
　　　　
とし、左辺と右辺のｘのｎ乗の項の係数から、
ａ＋ｂ＝０　　　　　　　（４）　　　　　　　
ａｂ＋ｃ＝－３　　　　　（５）
ａｃ＝１　　　　　　　　（６）
を得ます。

このとき（６）からａ、ｃの組合せは、ａ＝１，ｃ＝１　または、ａ＝－１，ｃ＝－１　で、これらを（５）に代入すると、
ａ＝１，ｃ＝１のとき、ｂ＝－４、つまり、ａ＋ｂ＝－３、
ａ＝－１，ｃ＝－１のとき、ｂ＝２、つまり、ａ＋ｂ＝１
です。

ところが、（４）からａ＋ｂ＝０なので、（４）（５）（６）を満たすａ、ｂ、ｃはありません。

したがって、（２）はこれ以上因数分解できないことが判り、答えは（１）になります。

続いてここから（２）が因数分解できないことをアイゼンシュタインの判定条件を利用して調べてみましょう。

その判定条件は、
「整数係数の多項式
　　
で、次の［１］［２］［３］を満たす素数ｐがあれば、ｆ（ｘ）は整数係数の範囲でこれ以上因数分解できない。

［１］ａ0　はｐで割り切れるが、ｐ^2で割り切れない
［２］ａk（k＝１，２，・・・，ｎ－１）は、ｐで割り切れる
［３］ａnはｐで割り切れない　　　　　　　　　　　　　　　」
です。

ここで（２）の定数項は１なので、少し工夫する必要があります。

ｆ（ｘ）がｇ（ｘ）ｈ（ｘ）と因数分解できたとすると、ｆ（ｘ＋１）はｇ（ｘ＋１）ｈ（ｘ＋１）と因数分解できるので、ｆ（ｘ）が因数分解できるかどうかを調べることは、ｆ（ｘ＋１）が因数分解できるかどうかを調べることと同じです。

そこで、（２）定数項を１以外の数にするため、ｘをｘ＋１に置き換えてみると、

と、今度は定数項が－１になってしまいました。

さらに、ｘをｘ＋２に置き換えると、

と、定数項が３になり、これで判定条件が使えそうです。

そこで、［１］［２］［３］を一つずつ確認していきましょう。

［１］は、「ａ0＝３は素数ｐ＝３で割り切れるが、ｐ^2＝９では割り切れない」となり、［１］はＯＫです。

［２］は、「ａ1＝９、ａ2＝６は素数ｐ＝３で割り切れる」となり、［２］もＯＫです。

［３］は、「ａ3＝１は素数ｐ＝３で割り切れない」となり、［３］もＯＫです。

以上から、［１］［２］［３］を満たす素数３が存在するので、（２）はこれ以上因数分解できないことが判りました。


アイゼンシュタインの判定条件は、多項式がそれ以上因数分解できないための十分条件で必要条件ではありません。つまり、判定条件を満たす素数ｐがないからといってその多項式が因数分解できることにはなりませんが、この点に注意して利用すれば便利な判定方法です。

式が簡単なわりにあまり見かけない因数分解

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と同様、いい天気になりました。昼過ぎに郵便局に行ったのですが、上着なしでも暑いくらいでした。明日からの３日間は曇りや雨のようですが、その後は晴れて、ＧＷの前半は行楽日和になりそうです。

さて、前回まで平成２８年度開成高入試の因数分解の問題を取り上げましたが、今回は、式の形が簡単なわりにあまり見かけない因数分解の問題です。

問題は、
「次の式を因数分解しなさい。
」
です。

与式の＋が－であれば、よく見かける形で、

と和と差の積の形に簡単に因数分解できるのですが、与式の因数分解はあまり見かけません。

そこで、手元の公式集を調べてみると、複２次式の因数分解の方法が載っていて、そこには、

の形は、
（１）

とおいて、

の因数分解を考える。

（２）

のような２乗の差に導くことを考える、
とあります。

ここで、（１）は上手くいきそうもないので、（２）を調べてみると、

と上手く因数分解できます。


これは、

のように表すことができます。この形の式が因数分解できることを頭に入れておくと役に立つことがあるかも知れません。

平成２８年度高校入試問題（５）のつづき【開成高】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

久しぶりに朝から晴天で、風もなく最高気温も２３℃と過ごしやすい日になりそうです。明日も好天が続きますが、明後日から下り坂になるようです。

さて、今回は前回平成２８年度開成高入試問題の因数分解の問題です。

問題は、６つの小問からなる大問１の１つで、
「次の式を因数分解せよ。
」
でした。

このとき、与式の定数項を「分数でない」２つの因数の積に分解する候補を調べることによって、

と、上手く因数分解することができました。

そこで今回は、
　　　　　［１］
のように、ｘの項の係数に分数がある場合、つまり、与式の定数項を２つの因数の積に分解するとき「分数の」候補も調べなければならない場合について調べていきます。

この場合、Ｂ＝－１/２・ｂとおくと、


と分数のない式に変形できます。

そこで前回のように、定数項を「分数でない」２つの因数の積に分解する候補を挙げて、それらの和または差が［１］のｘの項の絶対値と同じになる組合せを探すと、Ｂと１２（ａ－３）を見つけることができます。

つまり、［１］は（ｘ＊１２（ａ－３））（ｘ＊Ｂ）　（＊は＋または－）という形で、符号を合わせて、

になります。

そして、最後に、Ｂ＝１/２・ｂを代入して、

と因数分解できました。

さらに、
　　　　　［２］
のように、変数変換で分数を避けることのできない場合を調べてみましょう。

この場合は、［２］を２倍して、

　　　　　［３］
と、分数を除きます。

この［３］の因数分解は、高校で勉強する「たすき掛け」を使うものですが、ｘ^2の項の係数が１から２になったので、これを２つの因数に分解した組み合わせ（この場合は１と２）と、定数項を２つの因数に分解した組合せのすべての場合を調べなければなりません。（煩雑そうですが、ａ、ｂの係数や定数項を調べると簡単に絞り込めます）

実際に調べてみましょう。

ｘ^2の項の係数は２なので、その因数の組合せは、１と２です。

定数項の組合せは、
（１）　　　１　　と　１２ｂ（ａ－３）
（２）　　　２　　と　　６ｂ（ａ－３）
（３　　　　３　　と　　４ｂ（ａ－３）
（４）　　　４　　と　　３ｂ（ａ－３）
（５）　　　６　　と　　２ｂ（ａ－３）
（６）　　１２　　と　　　ｂ（ａ－３）
（７）　　　ｂ　　と　１２（ａ－３）
（８）　　２ｂ　　と　　６（ａ－３）
（９）　　３ｂ　　と　　４（ａ－３）
（１０）　４ｂ　　と　　３（ａ－３）
（１１）　６ｂ　　と　　２（ａ－３）
（１２）１２ｂ　　と　　　　ａ－３
になります。

そこで、ｘ^2の項の係数の組合せ１と２を、（１）から（１２）までの各組合せの式に乗じて和と差をすべての場合について計算すると、
（１）　　１＋２４ｂ（ａ－３）、－１＋２４ｂ（ａ－３）、±２＋１２ｂ（ａ－３）
（２）　　±２＋６ｂ（ａ－３）、±４＋６ｂ（ａ－３）
（３）　　±３＋４ｂ（ａ－３）、±６＋４ｂ（ａ－３）
（４）　　±４＋３ｂ（ａ－３）、±８＋３ｂ（ａ－３）
（５）　　±６＋２ｂ（ａ－３）、±１２＋２ｂ（ａ－３）
（６）　　±１２＋ｂ（ａ－３）、±２４＋ｂ（ａ－３）
（７）　　±ｂ＋２４（ａ－３）、±２ｂ＋１２（ａ－３）
（８）　　±２ｂ＋６（ａ－３）、±４ｂ＋６（ａ－３）
（９）　　±３ｂ＋４（ａ－３）、±６ｂ＋４（ａ－３）
（１０）　±４ｂ＋３（ａ－３）、±８ｂ＋３（ａ－３）
（１１）　±６ｂ＋２（ａ－３）、±１２ｂ＋２（ａ－３）
（１２）　±１２ｂ＋（ａ－３）、±２４ｂ＋（ａ－３）
になります。

これらのなかから［３］のｘの項の係数の絶対値と同じものを探すと、（１）の－１＋２４ｂ（ａ－３）＝２４ａｂ－７２ｂ－１を見つけるとができます。

これは、１×１（ｘ^2の項の係数の因数１×定数項の因数１）と２×１２ｂ（ａ－３）（ｘ^2の項の係数の因数２×定数項の因数１２ｂ（ａ－３））の差なので、［３］は、（２ｘ＊１）（ｘ＊１２ｂ（ａ－３））（＊は＋または－）という形になり、符号をあわせて、

　　　　　［４］
と因数分解できました。

最後に、［２］から［３］にするとき２倍しているので、［４］を１/２すると、

になり、これが［２］を因数分解したものです。


もちろん、［１］も［２］のように式を２倍して因数分解することができます。興味のある人は調べてみてください。

平成２８年度高校入試問題（５）【開成高】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昼前に雨が上がり、段々明るくなってきました。明日、明後日の予報も、昨日までとは異なり、晴れ時々曇りに変わりました。変わりやすい時期の予報は難しいようです。

さて、今回は平成２８年度開成高校入試問題です。

問題は、６つの小問からなる大問１の１つで、
「次の式を因数分解せよ。
」
です。

ちょうど中３と高１の塾生が因数分解を勉強しているので、取り上げました。

与式の形から（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）のようになることが容易に予想できます。

そこで、定数項（ｘのない項）を共通因数の６ｂで括って

としましょう。

ここから、６ｂ（ａ－３）を２つの因数の積に分解するのですが、分数ではない考えられる候補は、
（１）１　と　６ｂ（ａ－３）
（２）２　と　３ｂ（ａ－３）
（３）３　と　２ｂ（ａ－３）
（４）６　と　　ｂ（ａ－３）
（５）ｂ　と　６（ａ－３）
（６）２ｂと　３（ａ－３）
（７）３ｂと　２（ａ－３）
（８）６ｂと　ａ－３
の８通りあります。

次に、これらの８つの場合について、２つの因数の和と差を調べると、
（１）６ａｂ－１８ｂ＋１、６ａｂ－１８ｂ－１
（２）３ａｂ－９ｂ＋２、　３ａｂ－９ｂ－２
（３）２ａｂ－６ｂ＋３、　２ａｂ－６ｂ－３
（４）ａｂ－３ｂ＋６、　　ａｂ－３ｂ－６
（５）６ａ＋ｂ－１８、　　６ａ－ｂ－１８
（６）３ａ＋２ｂ－９、　　３ａ－２ｂ－９
（７）２ａ＋３ｂ－６、　　２ａ－３ｂ－６
（８）ａ＋６ａ－３、　　　ａ－６ｂ－３　　
になります。

そして、このなかから与式のｘ項の係数２ａ－３ｂ－６と絶対値が同じものを探すと（７）に見つけることができ、その因数は３ｂと２（ａ－３）です。

つまり、与式は、（ｘ＊３ｂ）（ｘ＊２（ａ－３））［＊は＋または－です］というように因数分解できて、最後に符号を合わせると、

と因数分解できました。


与式の定数項を２つの因数の積に分解するとき「分数でない」候補を調べて上手くいきましたが、例えば、

のような場合は、そうはいきません。次回は、このような場合について調べてみたいと思います。因みに、これを因数分解すると、

になります。

平成２８年度高校入試問題（４）【開成高】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報通り雲の多い天気になりました。これは来週の半ばまで続きますが、気温のほうは２２℃前後で、過ごしやすい日が続くようです。来週末からのＧＷは晴れるといいですね。

さて、今回は平成２８年度開成高校入試問題です。

問題は、
「関数ｙ＝ｘ^2　のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、Ａのｘ座標は１/２－√３、Ｂのｘ座標は１/２＋√３である。線分ＡＢの中点をＭとし、Ｍを通りＡＢに垂直な直線と関数ｙ＝ｘ^2　のグラフとの交点のうち、ｘ座標が負である方の点をＣとおく。

（１）点Ｍの座標と線分ＡＢの長さを求めよ。
（２）点Ｃの座標を求めよ。
（３）三角形ＡＢＣの３辺の長さの比ＡＢ：ＢＣ：ＣＡを求めよ。」
です。

いままでエクセルで放物線を描く方法を知らなかったので、２次関数の問題はあまり取り上げませんでしたが、今回ネットで調べて、図１のように本問のグラフを描いてみました。

▲図１．問題のグラフを描きました

問題は簡単で面白味がないのですが、まず（１）から片付けましょう。

ＡもＢもｙ＝ｘ^2　上の点で、それらのｘ座標が与えられているので、それらをｙ＝ｘ^2　に代入すれば、ｙ座標を求めることができます。

つまり、Ａのｙ座標ｙAは、
ｙA＝（１/２－√３）^2
　 ＝１/４－√３＋３
　 ＝１３/４－√３
で、Ｂのｙ座標ｙBは、
ｙB＝（１/２＋√３）^2
＝１３/４＋√３
です。

一方、Ｍは線分ＡＢの中点なので、Ｍのｘ座標ｘM、ｙ座標ｙM　はそれぞれ、
ｘM＝（ｘA＋ｘB）/２
　 ＝（１/２－√３＋１/２＋√３）/２
　 ＝１/２
ｙM＝（ｙA＋ｙB）/２
　 ＝（１３/４－√３＋１３/４＋√３）/２
　 ＝１３/４
です。

したがって、Ｍの座標は、Ｍ（１/２，１３/４）です。

次に、線分ＡＢの長さは、
ＡＢ＝√（（ｘA－ｘB）^2＋（ｙA－ｙB）^2）
　　＝√（（１/２－√３－１/２－√３）^2＋（１３/４－√３－１３/４－√３）^2）
　　＝√（１２＋１２）
　　＝√２４
　　＝２√６
です。

続いて（２）です。

図２のように、初めに直線ＡＢの傾きｐを求め、それから直線ＭＣの式を求めます。

▲図２．直線ＡＢの傾きから、直線ＭＣの式を求めます

まず、直線ＡＢはＡとＢを通るので、その傾きｐは、
ｐ＝（ｙA－ｙB）/（ｘA－ｘB）
　＝（１３/４－√３－１３/４－√３）/（１/２－√３－１/２－√３）
　＝－２√３/（－２√３）
　＝１
になります。

したがって、直線ＭＣと直線ＡＢが直交することから、直線ＭＣの傾きは－１です。

そこで、直線ＭＣの式を　ｙ＝－ｘ＋ｑ　とすると、これはＭを通るので、
１３/４＝－１/２＋ｑ
ｑ＝１５/４
で、直線ＭＣの式は、ｙ＝－ｘ＋１５/４　になります。

ここで、Ｃは、関数ｙ＝ｘ^2　のグラフと　直線ｙ＝－ｘ＋１５/４　のグラフの交点なので、
ｘ^2＝－ｘ＋１５/４
ｘ^2＋ｘ－１５/４＝０
（ｘ－３/２）（ｘ＋５/２）＝０
から、Ｃのｘ座標は－５/２です。

これをｙ＝ｘ^2　に代入して、Ｃのｙ座標を求めると、
ｙ＝（－５/２）^2
　＝２５/４
で、Ｃの座標は、（－５/２，２５/４）です。

最後に（３）です。

図３のように、線分ＭＣは線分ＡＢの垂直二等分線なので、△ＣＡＢは二等辺三角形で、ＣＡ＝ＣＢです。

▲図３．△ＡＢＣは二等辺三角形です

つまり、△ＡＢＣの３辺の長さの比を求めるには、ＡＢ：ＣＡが判ればＯＫで、さらに（１）からＡＢ＝２√６なので、ＣＡの長さ求めればよいことになります。

そこで、ＣＡの長さを計算すると、（Ｃのｘ座標ｘC、ｙ座標ｙCです）
ＣＡ＝√（（ｘC－ｘA）^2＋（ｙC－ｙA）^2）
　　＝√（（－５/２－１/２＋√３）^2＋（２５/４－１３/４＋√３）^2）
　　＝√（（－３＋√３）^2＋（３＋√３）^2）
　　＝√（９－６√３＋３＋９＋６√３＋３）
　　＝√２４
　　＝２√６
になり、ＡＢ：ＢＣ：ＣＡ＝２√６：２√６：２√６＝１：１：１　で、これが答えです。


簡単な二次関数のグラフの問題でした。

平成２８年度高校入試問題（３）【開成高】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日の予報とは違って、晴れのよい天気になりました。明日は曇りで、明後日から雨が降ったり止んだりのぐずついた天気が続くようです。

さて、今回は平成２８年度開成高校入試問題です。

問題は、
「下の図のように、１辺の長さが２の正方形ＡＢＣＤの辺ＡＤ上に点Ｅをとり、Ｂを中心とする半径２の円と線分ＢＥの交点をＦとする。また、点Ｆにおけるこの円の接線と辺ＣＤ、ＤＡとの交点をそれぞれＧ、Ｈとする。ＡＥ：ＥＤ＝３：１の場合について、以下の問いに答えよ。

（１）線分ＥＦの長さを求めよ。
（２）Ａ、Ｂ、Ｃ、・・・、Ｈを頂点とする三角形のうちで、△ＤＥＧと合同なものをひとつ挙げよ。ただし、△ＤＥＧ自身は除くものとする。
（３）線分ＦＨの長さを求めよ。
（４）直線ＧＥと直線ＢＤとの交点をＩとして、直線ＨＩと直線ＧＤの交点をＪとするとき、線分ＪＧの長さを求めよ。」
です。

▲問題図

（１）から（３）は（４）の誘導問題になっているので、それに従って進んでいきましょう。

まず図１のように、与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

ここで、円Ｂが点Ａ、Ｆ、Ｃでそれぞれ辺ＡＤ、線分ＨＧ、辺ＣＤと接するので、ＡＨ＝ＦＨ、ＣＧ＝ＦＧになります。

それでは、（１）から取り掛かりましょう。

図２のように、線分ＥＦの長さは、線分ＢＥの長さから線分ＢＦ（＝２）を引いたものです。つまり、線分ＢＥの長さが判れば線分ＥＦの長さが判ります。

▲図２．直角三角形ＡＢＥに着目します

一方、辺ＡＢの長さは２、線分ＡＥの長さはＡＥ：ＥＤ＝３：１からＡＥ＝２×３/４＝３/２なので、線分ＢＥの長さは、直角三角形ＡＢＥに三平方の定理を使えば計算できます。

つまり、
ＢＥ＝√（２^2＋（３/２）^2）
　　＝５/２
ＥＦ＝ＢＥ－ＢＦ
　　＝５/２－２
　　＝１/２
で、これが答えです。

次に（２）に進みます。

△ＤＥＧと合同そうな三角形を探すと、図３に示すように、△ＦＥＧが見つかります。（手元の問題図では少し歪めて描いてありますが）

▲図３．△ＤＥＧ≡△ＦＥＧぽいです

そこで、これを調べてみると、
∠ＥＤＧ＝∠ＥＦＧ＝９０°
ＥＧは共通
なので、直角三角形の斜辺が等しくなっています。つまり、あと辺か角の一つが等しければ、２つの三角形は合同になります。

ところが、（１）でＥＦ＝１/２を求めたので、線分ＥＤの長さを求めたくなり、それはＡＥ：ＥＤ＝３：１から簡単に計算できて、ＥＤ＝２×１/４＝１/２になります。

したがって、
ＥＦ＝ＥＤ＝１/２
から、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、△ＤＥＧ≡△ＦＥＧです。

次に（３）です。

ここは、ＡＨ＝ＦＨを利用するのが良さそうです。図４のように、ＡＨ＝ＦＨ＝ｘとして、直角三角形ＥＦＨに三平方の定理を使いましょう。

▲図４．ＡＨ＝ＦＨ＝ｘとしました

すると、
ＦＨ＝ｘ
ＥＨ＝ＡＤ－ＡＨ－ＤＥ
　　＝２－ｘ－１/２
　　＝３/２－ｘ
ＥＦ＝１/２　（（１）から）
を
ＥＨ^2＝ＦＨ^2＋ＥＦ^2
に代入して、
（３/２－ｘ）^2＝ｘ^2＋（１/２）^2
９/４－３ｘ＋ｘ^2＝ｘ^2＋１/４
３ｘ＝２
ｘ＝２/３
です。

したがって、線分ＦＨの長さは２/３で、これが答えです。

最後の（４）です。

新たに何本かの直線が引かれので、それらを図５に示します。

▲図５．新たに引かれた直線を書き入れました

図５を眺めると、直線ＢＤと直線ＧＥは、それぞれ∠ＡＤＣと∠ＤＧＨの二等分線であることが判ります。（（２）から△ＤＥＧ≡△ＦＥＧ）

つまり、点Ｉは△ＤＧＨの内心です。

すると、直線ＨＪも∠ＤＨＧの二等分線になるので、△ＨＤＧに角の二等分定理を使って簡単に線分ＪＧの長さを計算できそうです。

そこで図６のように、△ＥＦＨ∽△ＧＤＨを利用して、線分ＨＧと線分ＤＧの長さを求めます。

▲図６．△ＥＦＨ∽△ＧＤＨを利用して、線分ＨＧと線分ＤＧの長さを求めました

あとは図７のように、角の二等分線定理から
ＨＧ：ＨＤ＝ＪＧ：ＪＤ
　　　　　＝ＪＧ：（ＤＧ－ＪＧ）
に、ＨＧ＝５/３、ＨＤ＝４/３、ＤＧ＝１　を代入して、
５/３：４/３＝ＪＧ：（１－ＪＧ）
４ＪＧ＝５－５ＪＧ
９ＪＧ＝５
ＪＧ＝５/９
で、線分ＪＧの長さは５/９になり、これが答えです。

▲図７．角の二等分線定理で線分ＪＧの長さを求めました

（４）は三平方の定理を使って求めることもできます。興味のある人は調べてみてください。

一筆書きの問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

西から前線を伴った低気圧が次から次へと現れて、この１週間の天気予報に晴れマークがありません。明日の気温は少し高くなるようですが、それ以降は２０℃前後と過ごしやすくなりそうです。

さて今回は、ずっと以前に取り上げた中学生でも解ける東大大学院入試問題（３４）の一筆書き問題を、漸化式で調べてみたいと思います。

その問題は、
「（１）下の（ａ）の図形を、点Ａを始点、点Ｂを終点として一筆書きする方法は何通りあるか。

（２）下の（ｂ）の図形を、点Ｃを始点、点Ｄを終点として一筆書きする方法は何通りあるか。」

▲問題図

です。

前回は、一筆書きの場合の数を直接数え上げたのですが、今回は漸化式を使うので、図１のように、ｎ個のセル（円と水平方向の直径を組み合わせた図形）に、もう１つセルを加えた図形を考えます。

▲図１．ｎ＋１個のセルを並べた図形を描きました

このとき、図１のｎ＋１個のセルからなる図形と右側にあるｎ個のセルからなる図形を一筆書きする場合の数を、それぞれａ（ｎ＋１）、ａ（ｎ）とし、ａ（ｎ＋１）とａ（ｎ）との関係式を求めます。

まず、始点Ｐを出発してＲに向かうとき、取り得る経路は、Ｃn+1の上側、直径、下側の３通りです。

その後Ｒからの進み方は、［１］ＲからＣn+1の残りの経路を通り終える、と、［２］Ｒから右側に進む、の２つががあります。

［１］の場合、図２のように、Ｃn+1に２本の経路が残っている（図２では、直径と下側）ので、それらを周回する場合の数は２通りで、その後、再びＲに戻ることになります。

▲図２．Ｃn+1の残った２本の経路を周回する場合の数は２通りです

ところが、再度Ｒに戻ったとき、Ｃn+1の３本の経路は通り終わっているので、残りは右側のｎ個のセルを並べた図形で、この図形の一筆書きの場合の数はａ（ｎ）です。

つまり、始点Ｐ→Ｒ→Ｃn+1の残った２本の経路→Ｒ→右側のｎ個のセル　と進むときの場合の数は、３×２×ａ（ｎ）（通り）になります。

続いて［２］の場合ですが、Ｒから右側に進んでｎ個のセルを一筆書きする場合の数はａ（ｎ）通りで、この右側のｎ個のセルを一筆書きしている途中に必ず一度だけＲに来ることがあります。

そして、そのとき必ずＣn+1の残った２本の経路を通りＲに戻ることになります。

つまり、始点Ｐ→Ｒ→右側のｎ個のセル→Ｒ→Ｃn+1の残った２本の経路→Ｒ右側のｎ個のセルの続き　と進むときの場合の数は、３×ａ（ｎ）×２（通り）になります。

したがって、漸化式は、
　　　　　<１>
となります。

あとは、漸化式を計算するだけです。

<１>から、
ａ（ｎ＋１）＝１２ａ（ｎ）
で、ここで、
ａ（ｎ）　　＝１２ａ（ｎ－１）
ａ（ｎ－１）＝１２ａ（ｎ－２）
　　　　・・・・・
ａ（２）　　＝１２ａ（１）
とし、これらの左辺を右辺に代入していくと
ａ（ｎ）＝１２^(n-1)・ａ（１）　　　　　　　　<２>
になります。

ここで、ａ（１）＝６（通り）なので、
ａ（ｎ）＝６・１２~(n-1)
になり、前回直接数え上げた答えと同じです。

因みに、冒頭の問題の答えは、（１）が６通り、（２）がａ（３）＝６×１２^2＝６×１４４＝８６４（通り）です。


直接数え上げるより漸化式を利用する方が簡単だったようです。勉強になりました。

一筆書きの問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日からしばらくの間、最高気温が２０℃前後の過ごしやすい日が続きますが、明日から曇りや雨のぱっとしない天気になるようです。

さて今回は、先日取り上げた平成２０年度京大入試問題（前期、文系）を、漸化式を使って調べてみたいと思います。

まず問題は、
「正ｎ角形とその外接円を合わせた図形をＦとする。Ｆ上の点Ｐに対して、始点と終点がともにＰであるような、図形Ｆの一筆がきの経路の数をＮ（Ｐ）で表す。正ｎ角形の頂点をひとつとってＡとし、ａ＝Ｎ（Ａ）とおく。また正ｎ角形の辺をひとつとってその中点をＢとし、ｂ＝Ｎ（Ｂ）とおく。このときａとｂを求めよ。
　注：一筆がきとは、図形を、かき始めから終わりまで、筆を紙からはなさず、また同じ線上を通らずにかくことである。」
というものです。（前回は、図１のように、正ｎ角形の頂点ＰnをＡ、折り返す頂点をＰkとして、直接数え上げました）

▲図１．正ｎ角形の頂点ＰnをＡとした場合の図を描きました

今回は漸化式を使って、ａ＝Ｎ（Ａ）を調べます。

そこで、図形Ｆを一筆書きする描き方の場合の数をａ（ｎ）としましょう。

すると、図形Ｆの正ｎ角形の頂点を１個増やした図形をＦ’したとき、図形Ｆ’を一筆書きする描き方の場合の数は、正ｎ＋１角形とその外接円を合わせた図形を一筆書きする書き方の場合の数と同じになり、それはａ（ｎ＋１）と表すことができます。

そこで図２のように、Ｐ1とＰnとの間にＰn+1を増やすことにして、Ｐn+1を通過する場合とＰn+1で折り返す場合に分けて調べます。

▲図２．Ｐn+1を増やしました

・Ｐn+1を通過する場合
図２の図形Ｆでは、Ｐ1とＰnの間の経路は２通りですが、図形Ｆ’では、それが２×２＝４通りになります。

したがって、図形Ｆ’でＰn+1を通過する場合の一筆書きの描き方の場合の数は、図形Ｆを一筆書きする描き方の場合の数の４/２＝２倍、つまり、２ａ（ｎ）（通り）になります。

・Ｐn+1で折り返す場合
Ａが始点から時計回りにＰn+1に移動するとき、通過した頂点の個数がｍ個とすると、その経路は２^m（通り）で、ＡがＰn+1で折り返して始点に戻るまでの経路は１通りです。

さらに、始点から反時計回りにＰn+1に移動するとき、ｎ＋１－ｍ個の頂点を通過するので、その経路は２^(n+1-m)（通り）で、ＡがＰn+1で折り返して始点に戻るまでの経路は１通りです。

したがって、Ａが始点から時計回りにスタートしてＰn+1で折り返す場合の一筆書きの描き方の場合の数は、２^m×２^(n+1-m)＝２^(n+1)（通り）で、Ａが始点から反時計回りにスタートする場合とあわせると、２^(n+2)（通り）になります。

以上から、漸化式を立式すると、
ａ（ｎ＋１）＝２ａ（ｎ）＋２^(n+2)　　　　　（１）
になります。

あとは、（１）を解くわけですが、ここは（１）の両辺を２^(n+1)で割ると簡単です。

つまり、
ａ（ｎ+１）/２^(n+1)＝２ａ（ｎ）/２^(n+1)＋２
　　　　　　　　　　＝ａ（ｎ）/２^n＋２
として、ｂ（ｎ）＝ａ（ｎ）/２^nと置くと、
ｂ（ｎ＋１）＝ｂ（ｎ）＋２　　　　　　　　　（２）
と簡単な漸化式になりました。

そこで、
ｂ（ｎ）　　－ｂ（ｎ－１）＝２
ｂ（ｎ－１）－ｂ（ｎ－２）＝２
　　・・・・・
ｂ（４）　　－ｂ（３）　　＝２
とし、これらの辺々を足し合わせると、
ｂ（ｎ）－ｂ（３）＝２（ｎ－３）　　　　　（３）
です。

ここで、ａ（３）＝６４なので、ｂ（３）＝６４/８＝８を（３）に代入して、
ｂ（ｎ）＝２（ｎ－３）＋８
　　　　＝２（ｎ－３＋４）
　　　　＝２（ｎ＋１）
から、
ａ（ｎ）＝２（ｎ＋１）２^n
　　　　＝（ｎ＋１）２^(n+1)
と前回の答えと一致しました。


一筆書きの問題は、中学生でも解ける東大大学院入試問題（３４）でも取り上げているので、これも調べてみたいと思います。

一筆書きの問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

天気図を見ると、高気圧や低気圧が日々刻々と西から東に移動していて、昨日のような、午前は晴れて、午後は雲が多くなるといった天気が続くようです。

先日、中学生でも手が届く京大入試問題（２８）で、一筆書きの問題を取り上げましたが、「ジュニア数学オリンピック２００９－２０１３」に、一筆書きの場合の数を漸化式を使って求める方法があったので、それを紹介したいと思います。

問題は、
「次の図形を一筆書きで描くとき、描き方は何通りあるか」
です。

▲問題図

問題図では正三角形が６個ですが、ここでは図１のように、ｎ個の正三角形を組み合わせた図形を調べます。

▲図１．ｎ個の正三角形を組み合わせました

図１の図形を一筆書きするとき、Ａ、Ｘから奇数本の辺が出ているので、Ａ、Ｘが始、終点になります。

そこで、Ａが始点、Ｘが終点になる描き方の場合の数ｆ（ｎ）について漸化式を立式します。このとき、Ａからの最初の移動先によって場合分けをします。

（１）Ａ→Ｂでスタートする場合
この場合、Ｂ→Ｃと移動せざるおえません。

つまり、Ａ→Ｂでスタートした場合の描き方の場合の数は、図２にあるｎ－１個の正三角形を組み合わせた図形で、Ｃを始点、Ｘを終点とする描き方の場合の数ｆ（ｎ－１）になります。

▲図２．Ａ→Ｂでスタートする場合

（２）Ａ→Ｃでスタートする場合
図３のように、Ｃに移動したとき、経路Ｃ－Ｂ－Ａは、経路Ｃ－Ａと同じですから、（１）と同様に、Ａ→Ｃでスタートした場合の描き方の場合の数は、Ｃを始点、Ｘを終点とする描き方の場合の数ｆ（ｎ－１）になります。

▲図３．Ａ→Ｃでスタートする場合

（３）Ａ→Ｄでスタートする場合
図４のように、正三角形ＡＢＣを除いてできる、ｎ－２個の正三角形を組み合わせた図形で、Ｄを始点、Ｘを終点とする描き方の場合の数はｆ（ｎ－２）で、さらに正三角形ＡＢＣを周回する方向が２通りあるので、Ａ→Ｄでスタートした場合の描き方の場合の数は、２ｆ（ｎ－２）になります。

▲図４．Ａ→Ｄでスタートする場合

以上から、
ｆ（ｎ）＝ｆ（ｎ－１）＋ｆ（ｎ－１）＋２ｆ（ｎ－２）
　　　　＝２（ｆ（ｎ－１）＋ｆ（ｎ－２））
が成り立ちます。

問題では、ｎ＝６なので、ｆ（１）＝２、ｆ（２）＝６から
ｆ（３）＝２（ｆ（２）＋ｆ（１））＝１６
ｆ（４）＝２（ｆ（３）＋ｆ（２））＝４４
ｆ（５）＝２（ｆ（４）＋ｆ（３））＝１２０
ｆ（６）＝２（ｆ（５）＋ｆ（４））＝３２８
になり、３２８（通り）で、これが答えです。（ＡとＸを区別するときは、３２８×２＝６５６（通り））


次回は、初めに紹介した京大の入試問題に漸化式を使う方法を調べてみたいと思います。

平成２８年度高校入試問題（２）【開成高】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

暖かいというより暑いといった感じで、教室の掃除をしていたら汗が吹き出てきました。これから雲が多くなるようですが、明日は晴天になるようです。

さて、今回は前回と同じく、平成２８年度開成高校入試問題です。

問題は、６つの小問からなる大問１の１つで、
「正六角柱の８つの面を紫、白、青、緑、橙、黄、赤の７色を使って塗ることを考える。
　赤で２つの面を塗り、残り６色は必ずしようするものとするとき、２つある正六角形の面の少なくとも一つを赤で塗る塗り方は何通りあるか。ただし、ひっくり返したり回転させたりすると一致するような塗り方は同じ塗り方と考える。」

▲問題図

場合の数の問題です。早速、取り掛かりましょう。

問題に、「２つある正六角形の面の少なくとも一つ」とあるので、２つの正六角形を赤で塗った場合と１つの正六角形を赤で塗った場合に場合分けして調べましょう。

・２つの正六角形を赤で塗った場合

このとき、６つの側面は、紫、白、青、緑、橙、黄の６色で塗られることになるので、その場合の数は、６×５×４×３×２×１＝７２０（通り）になりそうですが、例えば、図１に示すような左側の塗り方（左から、紫、白、青、緑、橙、黄）と右側の塗り方（左から、白、青、緑、橙、黄、紫）は同じ塗り方になるので、それらを除く必要があります。

▲図１．２つの正六角形を赤で塗った場合の側面の塗り方（１）

そこで、側面の１つを、例えば、紫で塗って、その右側に並ぶ５つの側面に５種類の色を塗ることを考えると、その場合の数は、５×４×３×２×１＝１２０（通り）になります。（円順列といいます）

さらに、図２のように、上下を逆さまにしたときも同じ塗り方になるので、１/２する必要があります。（数珠順列といいます）

▲図２．２つの正六角形を赤で塗ったときの側面の塗り方（２）

したがって、２つの正六角形を赤で塗った場合の色の塗り方は、１２０÷２＝６０（通り）です。

・１つの正六角形を赤で塗った場合

１つの正六角形を赤で塗った場合、もう一つの正六角形の色の塗り方は、紫、白、青、緑、橙、黄の６通りになります。

▲図３．１つの正六角形を赤で塗った場合

そして、６つの側面は、赤でない正六角形に塗った色（図３では紫）以外の５色に赤を加えた６色で塗ることになり、この場合も先ほどと同じように、例えば、側面の１つを赤で塗って、その右側に並ぶ側面に５種類の色を塗ることを考えればＯＫです。（上下を逆さまにしたときは、異なった塗り方になります）

したがって、正六角形の１つの面が赤で塗られる場合の塗り方は、５×４×３×２×１×６＝７２０（通り）です。

以上から、２つある正六角形の面の少なくとも一つを赤で塗る塗り方は、６０＋７２０＝７８０（通り）で、これが答えです。


簡単な色の塗り分け問題でした。

平成２８年度高校入試問題（１）【開成高】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

日本海にある低気圧の影響で、昨晩から強い南風が吹いています。午前中は、雨が降ったり晴れ間が見られたりと変わりやすい天気でしたが、これから徐々に晴れてくるようです。

さて、今回は平成２８年度開成高校入試問題です。（開成高の問題の一部が掲載された２月１６日の朝刊が机の上にほったらかしになっていました）

問題は、６つの小問からなる大問１の１つで、
「２つの数ａ、ｂがあって、ａ　は　－１≦ａ≦１．５　を満たし、ｂは小数第１位で四捨五入すると４となる。
　
　とおくとき、ｘのとり得る値の範囲を不等式で表せ。」
です。

ｘ＝ｆ（ａ）＋ｇ（ｂ）、ｆ（ａ）＝√（－ａ）^2、ｇ（ｂ）＝－１/２・ｂ
という形をしていて、ａとｂは独立なので、ｘの最小値はｆ（ａ）の最小値とｇ（ｂ）の最小値の和、ｘの最大値はｆ（ａ）の最大値とｇ（ｂ）の最大値の和になります。

一方、ａとｂのとり得る値の範囲は、それぞれ
－１≦ａ≦１．５　　⇒　－１≦ａ≦３/２　　　　　　　　　　 （１）
３．５≦ｂ＜４．５　⇒　７/２≦ｂ＜９/２　　　　　　　　　　（２）
です。（分数に直しましたが、小数のままでもＯＫです）

そこで、まず、ｆ（ａ）＝√（－ａ）^2　のとり得る値の範囲を調べましょう。

（１）から
０≦（－ａ）^2≦９/４
なので、
０≦ｆ（ａ）≦√（９/４）＝３/２　　　　　　　　　　　　　　（３）
です。

［ここで、ｆ（ａ）の根号を外すのであれば、ａ＜０とａ≧０の場合に場合分けしましょう。
ａ＜０のとき⇒－１≦ａ＜０のとき、ｆ（ａ）＝－ａで、０＜ｆ（ａ）≦１
ａ≧０のとき⇒０≦ａ≦３/２のとき、ｆ（ａ）＝ａ、０≦ｆ（ａ）≦３/２
になり、（１）の範囲でｆ（ａ）がとり得る値の範囲は、
０≦ｆ（ａ）≦３/２
と、（３）と同じになります。］

続いて、ｇ（ｂ）＝－１/２・ｂのとり得る範囲を調べます。

（２）から
－９/４＜ｇ（ｂ）＝－１/２・ｂ≦－７/４　　　　　　　　　　　（４）
です。

あとは、ｆ（ａ）とｇ（ｂ）の最大値同士の和と最小値同士の和を計算して、
０＋（－９/４）＜ｘ＝ｆ（ａ）＋ｇ（ｂ）≦３/２＋（－７/４）
－９/４＜ｘ≦－１/４
になり、これが答えです。


四捨五入（小学校）、２次関数の変域と値域（中３）、不等式の取り扱い（中１）などの基本事項を試す問題でした。これらについて曖昧な人は早めに確認しておきましょう。

中学生でも手が届く京大入試問題（２８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

一昨日以来、熊本では大きな地震が続いているようです。地震が早く収束し、被災された方々が早く日常の生活に戻られることを心からお祈り申し上げます。

さて、今回は平成２０年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「正ｎ角形とその外接円を合わせた図形をＦとする。Ｆ上の点Ｐに対して、始点と終点がともにＰであるような、図形Ｆの一筆がきの経路の数をＮ（Ｐ）で表す。正ｎ角形の頂点をひとつとってＡとし、ａ＝Ｎ（Ａ）とおく。また正ｎ角形の辺をひとつとってその中点をＢとし、ｂ＝Ｎ（Ｂ）とおく。このときａとｂを求めよ。
　注：一筆がきとは、図形を、かき始めから終わりまで、筆を紙からはなさず、また同じ線上を通らずにかくことである。」
です。

まず図１のように、正ｎ角形の頂点のひとつをＡとした場合の図を描いてみましょう。（ここで、頂点ＰnをＡとしました）

▲図１．正ｎ角形の頂点ＰnをＡとした場合の図を描きました

図１で、Ａからの可能な経路は時計回りの２本と反時計回りの２本の合わせて４本ありますが、ここは、初めの移動方向を時計回りに決めて経路数を計算し、最後に２倍する（反時計回りを加える）のが良さそうです。

また、正ｎ角形の頂点間の経路はすべて２本なので、図形Ｆを一筆がきするためには、
（１）同じ方向に２周する
（２）１周目にどこかの頂点Ｐkで折り返し、その後再度頂点Ｐkで折り返す
しかありません。

そこで、初めの移動方向を時計回りとして、（１）と（２）の経路数を調べていきましょう。

まず（１）は、１周回って再度Ａに到達するまでの各頂点で可能な経路が２本なので、経路数は　２^n　です。

そして、２周目では各頂点で可能な経路が１本になるので、経路数は１になり、したがって、（１）の経路数は　２^n　になります。

次に（２）です。

図１のように、折り返す頂点をＰkとすると、１≦ｋ≦ｎです。

Ａから頂点Ｐkまで移動（時計回り）する経路数は　２^kで、頂点Ｐkで折り返してＡに移動（反時計回り）する経路数は１です。

さらに、Ａから頂点Ｐkまで移動（反時計回り）する経路数は　２^(n-k)　で、頂点Ｐkで折り返してＡに移動（時計回り）する経路数は１です。

つまり、頂点Ｐkで折り返した場合、その経路数は、２^k×２^(n-k)＝２^n　です。

ここで、頂点Ｐkはｎ通りあるので、（２）の経路数は　ｎ２^n　になります。

したがって、初めの移動方向が時計回りのときのすべての経路数は、２^n＋ｎ２^n＝（ｎ＋１）２^n　で、これに初めの移動方向が反時計回りの場合を加えると、
ａ＝（ｎ＋１）２^n×２
　＝（ｎ＋１）２^(n+1)
で、これが答えです。

続いて図２のように、正ｎ角形の辺ＰnＰ1の中点をＢとした場合です。

▲図２．正ｎ角形の辺ＰnＰ1の中点をＢとした場合の図を描きました

図２で、ＢＰnとＢＰ1の経路は、１番最初と１番最後に通らなければなりません。つまり、同じ方向に２周回るときも、頂点Ｐkで折り返すときも、頂点Ｐnと頂点Ｐ1を移動するときの経路は１本になるので、ｂはａの１/２になります。

したがって、
ｂ＝ａ÷２＝（ｎ＋１）２^n　で、これが答えです。

ついでにｂを、先程のａと同じように調べてみましょう。

まず、時計回りに２周する経路数です。

Ｂを出発してから始めて頂点Ｐn-1に到達するまで、各頂点で可能な経路は２本なので、その経路数は　２^(n-1)　で、それ以降、各頂点で可能な経路は１本になるので、時計回りに２周する経路数は　２^(n-1)　になります。

次に、頂点Ｐkで折り返す場合の経路数です。

図２のように、折り返す頂点をＰkとすると、１≦ｋ≦ｎです。

Ｂから頂点Ｐkまで移動（時計回り）する経路数は　２^(k-1)　で、頂点Ｐkで折り返して頂点Ｐnに移動（反時計回り）する経路数は１です。

さらに、頂点Ｐnから頂点Ｐkまで移動（反時計回り）する経路数は　２^(n-k)　で、頂点Ｐkで折り返してＢに移動（時計回り）する経路数は１です。

つまり、頂点Ｐkで折り返した場合、その経路数は、２^(k-1)×２^(n-k)＝２^(n-1)　です。

ここで、頂点Ｐkはｎ通りあるので、（２）の経路数は　ｎ２^(n-1)　になります。

したがって、初めの移動方向が時計回りのときのすべての経路数は、２^(n-1)＋ｎ２^(n-1)＝（ｎ＋１）２^(n-1)　で、これに初めの移動方向が反時計回りの場合を加えると、
ｂ＝（ｎ＋１）２^(n-1)×２
　＝（ｎ＋１）２^n
で、先ほどの答えと同じになりました。


各頂点間の経路が２本なので簡単な一筆がきの問題でした。