ｒｏｂｏｔ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｒｏｂｏｔｓ　ｈｅｌｐｅｄ　ｔｈｅ　ｓｔａｆｆ　ａｎｄ　ｐａｔｉｅｎｔｓ．
（ロボットは職員や患者の手助けをした）
という文があります。

この ｒｏｂｏｔ を 英語語義語源辞典 で調べてみると、その語源は、チェコの作家
カーレル・チャペック の劇 Ｒ．Ｕ．Ｒ（Ｒｏｓｓｕｍ’ｓ　Ｕｂｉｖｅｒｓａｌ　Ｒｏｂｏｔｓ）（１９２０）に登場する人物名に由来していて、 「強制労働」 の意のチェコ語 ｒｏｂｏｔａ からの造語ということです。

また、 オックスフォード現代英英辞典 を引いてみると、ロボットの一般的なの説明に続いて、
（Ｓｏｕｔｈ　Ａｆｒｉｃａｎ　Ｅｎｇｌｉｓｈ）　ａ　ｔｒａｆｆｉｃ　ｌｉｇｈｔ
と、 南アフリカ では 「交通信号」 の意味もあるようで、
Ｔｕｒｎ　ｌｅｆｔ　ａｔ　ｔｈｅ　ｒｏｂｏｔ．
（信号を左に曲がりなさい）
という例文が挙げてありました。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも手が届く東大入試問題（２１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１４年度東大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「ｎは正の整数とする。

を

で割った余りを

とおく。

（１）数列

は、

を満たすことを示せ。

（２）ｎ＝１、２、３・・・に対して、

はともに正の整数で、互いに素であることを証明せよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


を

で割った余りをＱｎ（ｘ）とすると、その余りは

ですから、

が成り立ちます。

この等式の両辺にｘを掛けて整理すると、

になります。

一方、

を

で割った場合は、

になり、［１］と［２］のｘ項、定数項の係数を比較すると、

が成り立ちます。

次に（２）です。

（１）の結果から

なので、

です。

一方、

から

で、（１）の結果から

になります。

ここで、

を［３］に代入すると、

になり、これを繰り返していくと、

は正の整数です。

また、

から

も正の整数になります。

続いて

が互いに素であることを示しましょう。

２つの正の整数Ｍ、Ｎに対して、
「 ＭとＮが互いに素　⇔　ＭとＭ＋Ｎは互いに素 」　　　　　（★）
が成り立ちます。（背理法で簡単に証明できます）

ここで（１）の結果から

が成り立ちます。

このとき、

で、これらは互いに素なので、

は互いに素です。

さらに（★）から

は互いに素で、したがって、

つまり、

が互いに素になります。

これを繰り返していくと、

は互いに素になります。

　　
数学的帰納法を利用すると明快です。興味のある人は調べてみて下さい。

ｒｕｎ ａ ｒａｃｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１英語教科書の 「いろいろな動作（過去形）」 の Ｗｏｒｄ　Ｂａｎｋ に、
ｒａｎ［ｒｕｎ］ｉｎ　ａ　ｒａｃｅ
（競走した［する］）
という言葉があって、その後のページには、
Ｗｅ　ｒａｎ　ｒａｃｅｓ．Ｗｅ　ｊｕｍｐｅｄ　ｒｏｐｅ．Ｗｅ　ｐｌａｙｅｄ　ｔｕｇ-ｏｆ-ｗａｒ．
（競走、縄跳び、綱引きをした）
という文があります。

これらの ｒａｎ　ｉｎ　ａ　ｒａｃｅ も ｒａｎ　ｒａｃｅｓ もどちらも 「競走した」 という意味を表しますが、ｒａｎ　ｒａｃｅｓ について、 英文法解説（江川泰一郎著）に次のような解説があります。

「通例は自動詞として使われる動詞の中に、
ａ）動詞と同語源の名詞
または
ｂ）動詞と縁のある名詞
を目的語にするときに、他動詞化するものが少数あり、この場合の目的語は 同族目的語（Ｃｏｇｎａｔｅ　Ｏｂｊｅｃｔ）と呼ばれる。」

そして例文として、
Ｏｎｃｅ　ｕｐｏｎ　ａ　ｔｉｍｅ　ａ　ｈａｒｅ　ａｎｄ　ａ　ｔｏｒｔｏｉｓｅ　ｒａｎ　ａ　ｒａｃｅ．
（昔々、ウサギとカメが競走しました）
を挙げています。

このような 同族目的語 をとる動詞には、
ｓｍｉｌｅ　ａ　～　ｓｍｉｌｅ
ｌｉｖｅ　ａ　～　ｌｉｆｅ
ｄｉｅ　ａ　～　ｄｅａｔｈ
ｓｉｎｇ　ａ　～　ｓｏｎｇ
ｌａｕｇｈ　ａ　～　ｌａｕｇｈ
ｆｉｇｈｔ　ａ　～　ｆｉｇｈｔ［ｂａｔｔｌｅ］
ｓｌｅｅｐ　ａ　～　ｓｌｅｅｐ
ｂｒｅａｔｈ　ａ　～　ｂｒｅａｔｈ
などもあります。（～：形容詞）


頭に入れておくと役に立つことがあるかもしれません。

中学生でも手が届く京大入試問題（４０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成２８年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「四面体ＯＡＢＣが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。

　条件：頂点Ａ、Ｂ、Ｃからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る。

ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の３つの頂点がなす三角形のことをいう。」

先日取り上げた理系の問題「中学生でも手が届く京大入試問題（３９）」では、今回の重心に代わって外心でしたが、今回も同じように進めてみましょう。

図１のように、頂点ＡとＯからそれぞれの対面に下ろした垂線の足をＨ、Ｉ とします。

▲図１．頂点ＡとＯからそれぞれの対面に下ろした垂線の足をＨ、Ｉ としました

このとき、Ｈ、Ｉはそれぞれ△ＯＢＣと△ＡＢＣの重心なので、Ｈは頂点Ａと辺ＢＣの中点Ｍの線分上にあり、Ｉ は頂点ＡとＭの線分上にあります。つまり、Ａ、Ｏ、Ｍ、Ｈ、Ｉ は同一面上にあることになります。

そこで図２のように△ＡＯＭに注目すると、∠ＯＨＰ＝∠ＡＩＰ、∠ＯＰＨ＝∠ＡＰＩ から△ＯＨＰ∽△ＡＩＰです。

▲図２．△ＯＨＰ∽△ＡＩＰです

また、
（△ＯＭＩの面積）＝（△ＡＯＭの面積）×１/３
（△ＡＭＨの面積）＝（△ＡＯＭの面積）×１/３
から、
（△ＯＭＩの面積）＝（△ＡＭＨの面積）
になり、さらに、
（△ＯＨＰの面積）＝（△ＯＭＩの面積）－（四角形ＭＨＰＩの面積）
（△ＡＩＰの面積）＝（△ＡＭＨの面積）－（四角形ＭＨＰＩの面積）
から、
（△ＯＨＰの面積）＝（△ＡＩＰの面積）
が成り立ちます。

つまり、△ＯＨＰと△ＡＩＰは相似、かつ、面積が等しい三角形なので、△ＯＨＰ≡△ＡＩＰになり、したがって、ＯＭ＝ＡＭが成り立ちます。

次に図３のように、△ＡＭＨに注目すると、三平方の定理から
ＡＭ：ＭＨ：ＡＨ＝３：１：２√２
になり、したがって、△ＡＯＨは辺の比が２：２√２で、その間の角が９０°の三角形になります。

▲図３．△ＡＯＨは辺の比が２：２√２でその間の角が９０°の三角形になります

さらに図４のように、頂点ＡとＢからそれぞれの対面に垂線を下ろした場合を調べると、先ほどと同じように、△ＡＢＨは辺の比が２：２√２で、その間の角が９０°の三角形になります。

▲図４．△ＡＢＨは辺の比が２：２√２でその間の角が９０°の三角形になります

つまり、△ＡＯＨと△ＡＢＨは相似で、このときＡＨは共通なので、△ＡＯＨ≡△ＡＢＨになり、したがって、ＡＯ＝ＡＢが成り立ちます。

以上は、四面体の他の辺について同様なので、四面体のすべての辺の長さは等しくなり、したがって、四面体ＯＡＢＣは正四面体になります。

理系の問題より煩雑になりました。ベクトルを利用すると簡単なのかもしれません。

Ｗａｓｈｉｎｇｔｏｎ，Ｄ．Ｃ．のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｉｎ　１９６３，ｏｖｅｒ　２００，０００　ｐｅｏｐｌｅ　ｇａｔｈｅｒｅｄ　ｉｎ　Ｗａｓｈｉｎｇｔｏｎ，Ｄ．Ｃ．　ｔｏ　ｓｕｐｐｏｒｔ　ｊｕｓｔｉｃｅ　ｆｏｒ　ａｌｌ．
（１９６３年に、あらゆる人が公平であるということを支持するために２０万人を超える人がワシントンに集まりました）
という文があります。

この Ｗａｓｈｉｎｇｔｏｎ，Ｄ．Ｃ． はアメリカ合衆国の首都で、後ろに付いている Ｄ．Ｃ． は Ｄｉｓｔｒｉｃｔ　ｏｆ　Ｃｏｌｕｍｂｉａ を省略したものです。

英語語義語源辞典 によると、コロンビア Ｃｏｌｕｍｂｉａ は コロンブス の女性形で 米国の別名 で、連邦政府直轄地域を意味します。

ちなみに、その面積は１７７ｋｍ2 で、これは東京２３区の６１９ｋｍ2より狭く、山手線の内側の６３ｋｍ2より広いということです。

中学生でも手が届く東大入試問題（２０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１３年度東大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「白石１８０個と黒石１８１個の合わせて３６１個の碁石が横一列に並んでいる。碁石がどのように並んでいても、次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも１つあることを示せ。

　その黒の碁石とそれより右にある碁石すべてを除くと、残りは白石と黒石が同数になる。ただし、碁石が１つも残らない場合も同数とみなす。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

碁石の列の左端が黒石の場合、その黒石とそれより右にある碁石をすべて除くと碁石が１つも残らず、これは同数とみなすので、条件を満たす黒石は存在します。

そこで、碁石の列の左端が白石の場合について調べていきましょう。

左端からｍ番目の黒石をｂ（ｍ）とすると、ｂ（ｍ）より左側にある白石と黒石の個数は、左端が白石であることから、条件を満たす黒石が存在しないためには、
（白石の個数）＞（黒石の個数）　　　（１）
が成り立つ必要があります。

ここで、ｂ（ｍ）より左側にある白石の個数をｎとすると、ｂ（ｍ）より左側にある黒石の個数は、ｍ－１（個）なので、（１）は、
ｎ＞ｍ－１　　　　　　　　　　　　　（２）
になります。

このとき、ｂ（１）からｂ（１８０）の黒石に対して、その左側にある黒石の個数は０個から１７９個になりますが、ｎ≦１８０なので、（２）を満足するように白石を置くことができます。

ところが、ｂ（１８１）の黒石に対しては、その左側にある黒石の個数が１８０個なので、（２）を満足するように白石を置くことができません。

以上から、問題の条件を満たす黒石が少なくとも１つあることを示すことこができました。


簡単な問題です。

ｍａｎｇａ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｔｈｅｓｅ　ｍａｎｇａ　ａｒｅ　ｎｅｗ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ　ｔｏ　ｙｏｕｎｇ　Ｆｒｅｎｃｈ　ｐｅｏｐｌｅ．
（これらのマンガはフランスの若者にとって目新しく面白い）
という文があります。

ここにある ｍａｎｇａ は、日本語由来の名詞で、 前に Ｔｈｅｓｅ 、後に ａｒｅ があることから 可算名詞 の複数形であることが判るのですが、念のため、手元にある英英辞典で 可算名詞 か 不可算名詞 かを調べてみたところ、

オックスフォード英英辞典（第９版/２０１５）：　可算名詞、不可算名詞（複数形　ｍａｎｇａ）

コウビルト英英辞典（第９版/２０１８）　　　：　不可算名詞

ロングマン英英辞典（第６版/２０１４）　　　：　不可算名詞

と、オックスフォード英英辞典 だけが 可算名詞 もありと表記していました。

ただし、これらの 可算名詞・不可算名詞 の表記について、「一億人の英文法」（大西泰斗著）に、
「可算名詞・不可算名詞 の表記は 一応の目安 で、多くの名詞にはどちらの使い方もあり、辞書にない使い方に出会うこともあります。大切なのは的確な判断基準－ 具体的で決まった形があるかどうかという区別 だけです」
と記してあります。


頭に入れておくと役に立つかも知れません。

中学生でも手が届く京大入試問題（３９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成２８年度京大入試問題（前期、理系）です。

問題は、
「四面体ＯＡＢＣが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。

　条件：頂点Ａ、Ｂ、Ｃからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る。

ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の３つの頂点がなす三角形のことをいう。」

早速、取り掛かりましょう。

図１のように、頂点Ａから対面ＯＢＣに下ろした垂線の足をＨとしましょう。

▲図１．頂点Ａから対面ＯＢＣに下ろした垂線の足をＨとしました

このとき、Ｈは△ＯＢＣの外心なので、
ＯＨ＝ＢＨ＝ＣＨ
が成り立ちます。

一方、△ＡＯＨ、△ＡＢＨ、△ＡＣＨに注目すると、
∠ＡＨＯ＝∠ＡＨＢ＝∠ＡＨＣ＝９０°
ＯＨ＝ＢＨ＝ＣＨ
ＡＨは共通
から、
△ＡＯＨ≡△ＡＢＨ≡△ＡＣＨ
になります。

したがって、
ＡＯ＝ＡＢ＝ＡＣ　　　　　（１）
が成り立ちます。

さらに図２のように、頂点Ｂから対面ＯＣＡに下ろした垂線の足を Ｉ としましょう。

▲図２．頂点Ｂから対面ＯＣＡに下ろした垂線の足を Ｉ としました

このとき、Ｉ は△ＯＣＡの外心なので、
ＯＩ＝ＣＩ＝ＡＩ
が成り立ちます。

一方、△ＢＯＩ、△ＢＣＩ、△ＢＡＩ に注目すると、
∠ＢＩＯ＝∠ＢＩＣ＝∠ＢＩＡ＝９０°
ＯＩ＝ＣＩ＝ＡＩ
ＢＩは共通
から
△ＢＯＩ≡△ＢＣＩ≡△ＢＡＩ
になります。

したがって、
ＢＯ＝ＢＣ＝ＢＡ　　　　　（２）
が成り立ちます。

頂点Ｃから対面ＯＡＢに垂線を下ろした場合も同様に、
ＣＯ＝ＣＡ＝ＣＢ　　　　　（３）
が成り立ちます。

以上（１）、（２）、（３）から
ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ＝ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ
が成り立つので、四面体ＯＡＢＣは正四面体になります。


簡単な問題です。

ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｔｅａｍ　ｓｐｏｒｔｓ　ａｒｅ　ｍｏｒｅ　ｐｏｐｕｌａｒ　ｔｈａｎ　ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ　ｓｐｏｒｔｓ．
（団体競技は個人競技より人気があります）
という文があります。

この ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ を ウィスダム英和辞典 で調べてみると、その類義語の ｏｗｎ、ｐｅｒｓｏｎａｌ、ｐｒｉｖａｔｅ との違いについて、

● ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ
　「個々人の」の意で、個々の人が持つ権利・自由・要求など抽象的な事物について用いられることが多い。

● ｏｗｎ
　人・物・事などが、特定の人に所属・関係することを表す最も一般的な語。通例所有格の後に置いて、ある特定の人物への所属を強調する。

● ｐｅｒｓｏｎａｌ
　「他人と区別した一個人の」の意で、個人が使用または所有することを表し、他人と共有しない物に対して用いる。

●　ｐｒｉｖａｔｅ
　人・物・事など、個人や団体の排他的利用が可能な私的所有物に対して用い、「非公開の、非公式の、会員制の」の意で用いることもある。
　また、 ｐｅｒｓｏｎａｌ と ｐｒｉｖａｔｅ は、公的なものに対して私的な立場を意識する際に用いられやすい。

とあります。

一方、 コウビルト英英辞典 には、 ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ の類義語として、ちょっとピンときませんが、 ｓｐｅｃｉａｌ、ｕｎｉｑｕｅ、ｏｒｉｇｉｎａｌ、 ｄｉｓｔｉｎｃｔｉｖｅ を挙げていて、

● ｓｐｅｃｉａｌ
　Ｓｏ　ｙｏｕ　ｄｉｄｎ’ｔ　ｎｏｔｉｃｅ　ａｎｙｔｈｉｎｇ　ｓｐｅｃｉａｌ　ａｂｏｕｔ　ｈｉｍ？
（じゃあ、彼について特になにも気付かなかったんだね）

● ｕｎｉｑｕｅ
　Ｅａｃｈ　ｐｅｒｓｏｎ’ｓ　ｓｉｇｎａｔｕｒｅ　ｉｓ　ｕｎｉｑｕｅ．
（署名に同じものは２つとない）

● ｏｒｉｇｉｎａｌ
　Ｉｔ　ｉｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｓｔ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｗｏｒｋｓ　ｏｆ　ｉｍａｇｉｎａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌａｎｇｕａｇｅ．
（それは言葉での最も創造的な作品の一つです）

● ｄｉｓｔｉｎｃｔｉｖｅ
　Ｈｉｓ　ｖｏｉｃｅ　ｗａｓ　ｖｅｒｙ　ｄｉｓｔｉｎｃｔｉｖｅ．
（彼の声はとても独特だった）

という例文を記しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも手が届く東大入試問題（１９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成２７年度東大入試問題（前期、理系）です。

問題は、
「ｍを２０１５以下の正の整数とする。
　
が偶数となる最小のｍを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


が成り立ちます。

ここで、条件から

は奇数なので、

が偶数になるのは、

が偶数になるとき、つまり、

が奇数になるときです。

そこで２０１６を素因数分解すると、

なので、

が奇数になる最小のｍは

で、これが答えです。

ｎＣｒが整数になることはその定義から明らかですが、数学的帰納法などを利用して証明することも可能です。

ｉｎ ｔｏｕｃｈ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
“Ｈｏｗ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｋｅｅｐ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ　ｐｅｏｐｌｅ？”
（「あなたは、人とどのように連絡を取り合いますか」）
という文があります。

この ｋｅｅｐ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ（人） は「（人）と連絡［交際］を続ける」を表し、これを ロングマン現代英語辞典 で調べてみると、例えば、

● ｋｅｅｐ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ（人）
Ｉ　ｍｅｔ　ｈｉｍ　ｗｈｅｎ　Ｉ　ｗｏｒｋｅｄ　ｉｎ　Ｍａｄｒｉｄ，ａｎｄ　Ｉ’ｖｅ　ｋｅｐｔ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ　ｈｉｍ　ｅｖｅｒ　ｓｉｎｃｅ．
（マドリッドで働いていたときに彼に会って、それ以来ずっと連絡を取り合っています）

● ｓｔａｙ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ
Ａｎｙｗａｙ，ｗｅ　ｍｕｓｔ　ｓｔａｙ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ．
（とにかく我々は連絡を取り続けなければならない）

● ｂｅ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ（人）
Ａｒｅ　ｙｏｕ　ｓｔｉｌｌ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ　Ｊｏｈｎ？
（あなたは今でもジョンと連絡を取り合っているのかい）

● ｇｅｔ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ（人）
Ｃａｎ　Ｉ　ｈａｖｅ　ｙｏｕｒ　ｐｈｏｎｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｉｎ　ｃａｓｅ　Ｉ　ｎｅｅｄ　ｔｏ　ｇｅｔ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ　ｙｏｕ？
（君に連絡しなければならない場合に備えて電話番号を教えてくれないか）

● ｒｅｍａｉｎ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ（物）
Ａ　ｈｅａｄ－ｔｅａｃｈｅｒ　ｎｅｅｄｓ　ｔｏ　ｒｅｍａｉｎ　ｉｎ　ｃｌｏｓｅ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ　ｔｅａｃｈｅｒｓ’　ｅｖｅｒｙｄａｙ　ｃｏｎｃｅｒｎｓ．
（校長は教師らの日々の心配事によく通じている必要がある）

● ｐｕｔ （人） ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ（物）
Ｉ　ｃａｎ　ｐｕｔ　ｙｏｕ　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ　ａ　ｌｏｃａｌ　ｐｈｏｔｏｇｒａｐｈｙ　ｃｌｕｂ．
（私はあなたを地元の写真同好会に紹介できます）

など「動詞　ｉｎ　ｔｏｕｃｈ　（ｗｉｔｈ～）」の形をした言葉をいくつか見つけることができます。

ちなみに、反対の意味の
「連絡が途絶える」は、　ｌｏｓｅ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ（人）、
「事情に通じていない」は、 ｂｅ　ｏｕｔ　ｏｆ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ（物） ［ｌｏｓｅ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ（物）］
で、それぞれの例文は、
Ｉ　ｌｏｓｔ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ　Ｊｕｌｉｅ　ａｆｔｅｒ　ｗｅ　ｍｏｖｅｄ．
（私たちが引越した後ジュリーと連絡が途絶えた）

Ｉ’ｍ　ｏｕｔ　ｏｆ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ　ｍｏｄｅｒｎ　ｍｅｄｉｃｉｎｅ．
（私は最新の薬に疎い）

Ｔｈｅ　ｐａｒｔｙ　ｃａｎｎｏｔ　ａｆｆｏｒｄ　ｔｏ　ｌｏｓｅ　ｔｏｕｃｈ　ｗｉｔｈ　ｐｏｌｉｔｉｃａｌ　ｒｅａｌｉｔｙ．
（政党は政治情勢に通じていないわけにはいかない）
などです。


頭に入れておくと役に立つでしょう。

中学生でも手が届く京大入試問題（３８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成２３年度京大入試問題（前期、理系）です。

問題は、
「空間内に四面体ＡＢＣＤを考える。このとき、４つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを同時に通る球面が存在すること示せ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１のように、△ＢＣＤの外心をＯを通り面ＢＣＤに垂直な直線を ｌ とすると、直線 ｌ 上の点は、頂点Ｂ、Ｃ、Ｄから等距離にあります。

▲図１．△ＢＣＤの外心を通り、面ＢＣＤに垂直な直線を ｌ としました

次に図２のように、辺ＡＢの中点Ｍを通り直線ＡＢに垂直な平面を π とすると、平面 π 上の点は、頂点Ａ、Ｂから等距離にあります。

▲図２．辺ＡＢの中点Ｍを通り直線ＡＢに垂直な平面を π としました

ここで、直線 ｌ と平面 π が平行な場合、直線 ｌ と平面 π は交わりませんが、直線 ｌ と平面 π が平行になるのは頂点Ａが面ＢＣＤ上にあるときで、このとき４つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは四面体の頂点になりません。

つまり直線 ｌ と平面 π は平行でなく、したがって、直線 ｌ と平面 π は交点を持ちます。

その交点をＰとすると、ＡＰ＝ＢＰ＝ＣＰ＝ＤＰが成り立ち、中心をＰとする半径ＰＡの球面上に頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが存在することになります。

以上から、４つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを同時に通る球面が存在することを示すことができました。


他にもいろいろな解き方がありそうです。興味のある人は調べてみて下さい。

ｃｌｏｓｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１英語教科書の「いろいろな動作」に関する Ｗｏｒｄ　Ｂａｎｋ に ｃｌｏｓｅ　ｔｈｅ　ｗｉｎｄｏｗ という言葉があります。

この ｃｌｏｓｅ を 英語語義語源辞典 で調べてみたところ、この類義語の ｓｈｕｔ との違いについて、
● 両方とも閉じる、ふさぐということを表し入れ換えて用いられることが多い。

● ｃｌｏｓｅ は一般的な語で、閉じる動作や結果として閉鎖すること、終了・終結することを広く表す。
　
● ｓｈｕｔ は ｃｌｏｓｅ よりくだけた語で、閉じる動作に意味の重点がある。従って道路や公園など ｃｌｏｓｅ を用いて入れなくすることを表すが、この場合 ｓｈｕｔ を用いることができない。
と説明しています。

また 現代英語語法辞典 には、閉める対象の具体例も示してあって、
● ｃｌｏｓｅ と ｓｈｕｔ の両方が可能なもの
　ａ ｄｏｏｒ　（ドア）
　ｏｎｅ’ｓ ｍｏｕｔｈ/ｅｙｅｓ　（口／目）
　ａ　ｄｒａｗｅｒ，ａ　ｃｕｐｂｏａｒｄ　（引き出し、食器棚）
　ａ　ｂａｎｋ，ｓｔｏｒｅ　（店、銀行）
　ｂｌｉｎｄｓ，ｃｕｒｔａｉｎｓ　（ブラインド、カーテン）
　ｏｎｅ’ｓ　ｍｉｎｄ/ｈｅａｒｔ　（こころ）

● ｃｌｏｓｅ が可能なもの
　ａ　ｒｏａｄ　（道）
　ａ　ｍｅｅｔｉｎｇ　（会議）
　ａ　ｌｅｔｔｅｒ　（手紙）
　ａ　ｌｉｄ　（ふた）
と記しています。

このように、 ｓｈｕｔ と比べて ｃｌｏｓｅ のほうが幅広く使えるようですが、例えば、
Ｓｈｕｔ ｙｏｕｒ　ｍｏｕｔｈ！　（黙れ！）
のような荒っぽい言い方には ｓｈｕｔ が使われ、箱のような入れ物を閉めるのは、 普通 ｓｈｕｔ を用いるようです。

Ｍｙ　ｓｕｉｔｃａｓｅ　ｗａｓ　ｓｏ　ｆｕｌｌ　Ｉ　ｃｏｕｌｄｎ’ｔ　ｓｈｕｔ　ｉｔ．
（私のスーツケースは物がいっぱいで、ふたが閉められなかった）


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも手が届く東大入試問題（１８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１２年度東大入試問題（前期、理系）です。

問題は、
「次の条件を満たす正の整数全体の集合をＳとする。
　『各けたの数字は互いに異なり、どの２つのけたの数字の和も９にならない』
ただし、Ｓの要素は１０進法で表す。また、１けたの正の整数はＳに含まれるとする。
このとき、次の問いに答えよ。
（１） Ｓの要素でちょうど４けたであるものは何個あるか。
（２） 小さい方から数えて２０００番目のＳの要素を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

０以上９以下の整数で２個の数の和が９になる組合せは、
（０，９）、（１，８）、（２，７）、（３，６）、（４，５）
の５通りで、どの２つのけたの数字の和も９にならないということは、Ｓの要素はこれらの組合せの２個の数字を同時にもたないということです。

ここでＳの要素で４けたの数で各けたの数字の選び方を考えると、
・ ４けた目の数字の選び方は１から９までの９通り、
・ ３けた目の選び方は４けた目に選んだ数字のペア以外の８通り、
・ ２けた目の選び方は４、３けた目に選んだ数字のペア以外の６通り、
・ １けた目の選び方は４、３、２けた目に選んだ数字のペア以外の４通り
なので、Ｓの要素でちょうど４けたであるものの個数は、
９×８×６×４＝ １７２８ （個）
で、これが（１）の答えです。

続いて（２）です。

ここは、小さい数から個数を勘定していきましょう。

● １けたの数の個数
・ １から９までの数字を選ぶことができるので、９個です。

● ２けたの数の個数
・ ２けた目の数字の選び方は９通り、
・ １けた目の選び方は２けた目に選んだ数字のペア以外の８通り
なので、９×８＝７２（個）です。

● ３けたの数の個数
・ ３けた目の数字の選び方は９通り、
・ ２けた目の選び方は３けた目に選んだ数字のペア以外の８通り、
・ １けた目の選び方は３、２けた目に選んだ数字のペア以外の６通り
なので、９×８×６＝４３２（個）です。

以上から、Ｓの要素で３けた以下の数の個数は、
９＋７２＋４３２＝５１３（個）
で、（１）から４けたの数の個数が１７２８個であることから、小さい方から２０００番目の数は、２０００－５１３＝１４８７（番目）の４けたの数であることが判ります。

そこで、Ｓの要素で４けた目が１の数の個数を勘定しましょう。

・ ３けた目の選び方は４けた目のペア以外の８通り、
・ ２けた目の選び方は４、３けた目のペア以外の６通り、
・ １けた目の選び方は４、３、２けた目のペア以外の４通り
なので、８×６×４＝１９２（個）です。

これは２＊＊＊、３＊＊＊、・・・、９＊＊＊の数で同じで、それぞれ１９２個ずつになります。

すると、
１４８７÷１９２＝７・・・１４３
から、２０００番目の数の４けた目は８で、８＊＊＊の小さい方から１４３番目の数あることが判ります。

次に、Ｓの要素で８０＊＊の数の個数を勘定しましょう。

・ ２けた目の選び方は４、３けた目のペア以外の６通り、
・ １けた目の選び方は４、３、２けた目のペア以外の４通り、
なので、６×４＝２４（個）です。

これは８２＊＊、８３＊＊、・・・、８７＊＊、８９＊＊（８１＊＊は１と８がペアなのでＮＧ）の数で同じで、それぞれ２４個ずつになります。

すると、
１４３÷２４＝５・・・２３
から、２０００番目の数の３けた目は６で、８６＊＊の小さい方から２３番目の数であることが判ります。

さらに、Ｓの要素で８６０＊の個数を勘定しましょう。

・ １けた目の選び方は４、３、２の４けた目のペア以外の４通り
なので、４個です。

これは８６２＊、８６４＊、８６５＊、８６７＊、８６９＊（８６１＊と８６３＊はそれぞれ８と１、６と３がペアなのでＮＧ）の数で同じで、それぞれ４個ずつになります。

すると、
２３÷４＝５・・・３
から、２０００番目の数の２桁目は９で、８６９＊の３番目の数であることが判ります。

最後に、８６９＊の数で小さい方から３番目までを挙げていくと、８６９２、８６９４、８６９５になります。

以上から、Ｓの要素で小さい方から２０００番目の数は ８６９５ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｃｌｏｔｈｉｎｇ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２英語教科書の見返しにある Ｌｉｖｅｓ　ａｒｏｕｎｄ　ｔｈｅ　Ｗｏｒｌｄ （世界の国々のくらし）と題する記事に、いろいろな国々の 「衣食住」 を写真付きで紹介していて、そのなかで、衣食住はそれぞれ Ｃｌｏｔｈｉｎｇ、Ｆｏｏｄ、Ｈｏｕｓｉｎｇ と記されています。

この ｃｌｏｔｈｉｎｇ を ウィズダム英和辞典 を調べてみたところ、 ｃｌｏｔｈ 、 ｃｌｏｔｈｅｓ との違いを、
● ｃｌｏｔｈｉｎｇ
　《ややかたく》で、 衣類全般を表したり、しばしば修飾語を伴って特定の種類の衣服を指す。不可算名詞。

● ｃｌｏｔｈ
　衣類の素材である「布地」を表す不可算名詞。「ふきん、ぞうきん」の意味で可算名詞としても用いられる。

● ｃｌｏｔｈｅｓ
　人が着用する個々の衣服(シャツ･スカート･靴下など)の集合を指す。不可算名詞。複数扱い。
と説明しています。

また、オックスフォード実例現代英語用法辞典 には、
● ｃｌｏｔｈ
　羊毛や木綿などの素材で、衣服、カーテン、などに用いられるもの。形式張らない英語では、 ｍａｔｅｒｉａｌ（生地）とか、ｆａｂｒｉｃ（織地）というほうが一般的。

● ｃｌｏｔｈｅｓ
　身につける物、例えば、スカートとかズボンなどをいう。 ｃｌｏｔｈｅｓ には単数形がないので、×ａ　ｃｌｏｔｈｅ という代わりに、 ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｔｏ　ｗｅａｒ（身につける物）、ａｎ ａｒｔｉｃｌｅ/ａ　ｐｉｅｃｅ　ｏｆ　ｃｌｏｔｈｉｎｇ（１着）というとあり、例文として、
Ｉ　ｍｕｓｔ　ｂｕｙ　ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｃｌｏｔｈｅｓ；Ｉ　ｈａｖｅｎ’ｔ　ｇｏｔ　ａｎｙｔｈｉｎｇ　ｔｏ　ｗｅａｒ．
（新しい服を買わないと。着る物がないわ）
を挙げています。

また、
Ｉ　ｏｒｄｅｒｅｄ　ｔｈｒｅｅ　ａｒｔｉｃｌｅｓ　ｏｆ　ｃｌｏｔｈｉｎｇ［×ｔｈｒｅｅ　ｃｌｏｔｈｅｓ］ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｗｅｂｓｉｔｅ．
（ そのサイトで服を３着注文した）
なども判り易いかもしれません。


ちなみに、「衣食住」は、 ｆｏｏｄ，ｃｌｏｔｈｉｎｇ，ａｎｄ　ｈｏｕｓｉｎｇ と言い、日本語と語順が異なるそうです。