ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１３９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年ジュニア数学オリンピック予選に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「長方形ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上にそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓがあり、四角形ＰＱＲＳは長方形をなしている。ＡＢ＝２２、ＢＣ＝２３、ＰＱ：ＱＲ＝２：３ のとき、長方形ＰＱＲＳの面積を求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

ここで図２のように、
ＡＳ＝ｘ　　　　　　　　　　　（１）　　　　　
とすると、ＤＳ＝２３－ｘ で、さらに△ＤＳＲ≡△ＢＱＰから、
ＢＱ＝２３－ｘ 　　　　　　　（２）
です。

▲図２．ＡＳ＝ｘ、ＡＰ＝ｙ としました

また、
ＡＰ＝ｙ　　　　　　　　　　　（３）
とすると、
ＢＰ＝２２－ｙ　　　　　　　　（４）
です。

一方、∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°、∠ＡＳＰ＝∠ＢＰＱ から △ＡＰＳ∽△ＢＱＰで、その相似比は、ＰＳ：ＱＰ＝３：２ なので、
ＡＳ：ＢＰ＝ＡＰ：ＢＱ＝３：２
です。

これに（１）（２）（３）（４）を代入すると、
ｘ：２２－ｙ＝ｙ：２３－ｘ＝３：２
が成り立ちます。

この比例式から、
２ｘ＝３（２２－ｙ）
２ｙ＝３（２３－ｘ）
を導き、これらを整理すると、
２ｘ＋３ｙ＝６６
３ｘ＋２ｙ＝６９
になります。

そして、この連立方程式を解くと、
ｘ＝１５
ｙ＝１２
で、ＡＳ＝１５、ＢＱ＝８、ＡＰ＝１２、ＢＰ＝１０ になり、これらから、
（長方形ＰＱＲＳの面積）＝（長方形ＡＢＣＤの面積）－（△ＡＰＳの面積）×２－（△ＢＱＲの面積）×２
　　　　　　　　　　　　＝ＡＢ×ＢＣ－ＡＰ×ＡＳ×１/２×２－ＢＰ×ＢＱ×１/２×２
　　　　　　　　　　　　＝２３×２２－１２×１５×１/２×２－１０×８×１/２×２
　　　　　　　　　　　　＝５０６－１８０－８０
　　　　　　　　　　　　＝２４６
で、これが答えです。


簡単な問題です。

日本数学オリンピックの簡単な問題（１３９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年日本数学オリンピック予選に出題された累乗数の余りの問題を取り上げます。

問題は、
「

を １１１１１ で割った余りを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


で、
１２３４３２１＝１１１１１×１１１＋１０００
から、

が成り立ちます。

つまり、求める余りは、右辺を１１１１１で割った余り、すなわち、

を１１１１１で割った余りと等しくなります。

一方、

から、

になり、求める余りは、右辺を１１１１１で割った余り、すなわち、

を１１１１１で割った余りと等しくなります。

これらの操作を繰り返していくと、

になり、以上から、

を１１１１１で割った余りは １００ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１３８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「１００を ｎ で割った余りが０以上３０以下であるような正の整数 ｎ はいくつあるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

１００を ｎ で割った商をＱ、余りをＲとすると、
１００÷ｎ＝Ｑ・・・Ｒ
が成り立ちます。

ここから ｎ で場合分けして勘定していきましょう。

●ｎ≧１０１の場合
Ｑ＝０で、すべての ｎ に対して、Ｒ＝１００ になり、３０≧Ｒ≧０ を満たす ｎ はありません。

●１００≧ｎ≧５１の場合
Ｑ＝１で、１００≧ｎ≧７０ の ｎ に対して、３０≧Ｒ≧０
　　　　　６９≧ｎ≧５１ の ｎ に対して、４９≧Ｒ≧３１
なので、３０≧Ｒ≧０ を満たす ｎ の個数は、１００－７０＋１＝３１（個）です。

●５０≧ｎ≧３４の場合
Ｑ＝２で、５０≧ｎ≧３５ の ｎ に対して、３０≧Ｒ≧０
　　　　　ｎ＝３４ に対して、Ｒ＝３２
なので、３０≧Ｒ≧０ を満たす ｎ の個数は、５０－３５＋１＝１６（個）です。

●３３≧ｎ≧２６の場合
Ｑ＝３で、３３≧ｎ≧２６ の ｎ に対して、２２≧Ｒ≧１
なので、３０≧Ｒ≧０ を満たす ｎ の個数は、３３－２６＋１＝８（個）です。

●２５≧ｎ≧１の場合
０≦Ｒ≦ｎ－１ から、すべての ｎ に対して、２４≧Ｒ≧０
なので、３０≧Ｒ≧０を満たす ｎ の個数は、２５－１＋１＝２５（個）です。


したがって、条件を満たす ｎ の個数は、
３１＋１６＋８＋２５＝８０（個）
で、これが答えです。


簡単な問題です。

日本数学オリンピックの簡単な問題（１３８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年日本数学オリンピック予選に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「四角形ＡＢＣＤが、∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°、∠Ｃ＝４５°、ＡＣ＝１９、ＢＤ＝１５をみたすとき、その面積を求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」

▲問題図

です。

早速、取り掛かりましょう。

下の図のように、ＤからＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとすると、△ＨＣＤは直角二等辺三角形になります。

▲図．ＤからＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとしました

そこで、ＡＤ＝ａ、ＡＢ＝ｈ とすると、ＢＨ＝ａ、ＤＨ＝ＣＨ＝ｈ ですから、台形ＡＢＣＤの面積Ｓは、

になります。

一方、△ＡＢＣと△ＡＢＤに三平方の定理を適用すると、それぞれ、

が成り立ちます。

ここで、（２）と（３）の辺々を引き算すると、

です。

これを（１）に代入すると、
Ｓ＝１３６/２
　＝６８
で、これが答えです。


簡単な問題です。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１３７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年のジュニア数学オリンピック予選に出題された面積の問題を取り上げます。

問題は、
「正三角形ＡＢＣを、図のように、３辺に平行な線分を１本ずつ引いて分割した。書かれている数は、分割してできた正三角形の面積を表している。このとき、正三角形ＡＢＣの面積を求めよ。」

▲問題図

です。

下の図のように、正三角形の辺とそれに平行な線分の交点を、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｐ、Ｑとすると、線分ＤＰ、ＰＱ、ＱＧの長さの比は、それらを１辺とする正三角形の面積の平方根の比になるので、 ＤＰ：ＰＱ：ＱＧ＝３：１：２ になります。

▲図.　ＤＰ：ＰＱ：ＱＧ＝３：１：２です

ここで、四角形ＢＥＱＤと四角形ＣＦＰＧは平行四辺形なので、ＢＥ＝ＤＱ、ＦＣ＝ＰＧから、
ＢＥ：ＦＣ＝４：３ です。

さらに、線分ＥＦは面積１６の正三角形の辺なので、
ＢＥ：ＥＦ：ＦＣ＝４：４：３
になり、辺ＢＣの長さの比は、４＋４＋３＝１１ です。

したがって、正三角形ＡＢＣの面積は１１×１１＝１２１ で、これが答えです。

簡単な問題です。

整数問題（１５）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘中入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「４個の整数 ａ、ｂ、ｃ、ｄ があり、ｂ は ａ より １ 大きく、ｃ は ｂ より １ 大きく、ｄ は ｃ より １ 大きいです。
ａ×ｂ＋ｂ×ｃ＋ｃ×ｄ＋ｄ×ａ を計算すると、２４００になるとき、ａ は ［　　］です。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた式を変形して、
ａ×ｂ＋ｂ×ｃ＋ｃ×ｄ＋ｄ×ａ＝ａ×（ｂ＋ｄ）＋ｃ×（ｂ＋ｄ）
　　　　　　　　　　　　　 ＝（ａ＋ｃ）×（ｂ＋ｄ）　　　　　　　　　　　（１）
とします。

また、与えられた条件から
ｂ＝ａ＋１
ｃ＝ｂ＋１＝ａ＋２
ｄ＝ｃ＋１＝ａ＋３
なので、これらを（１）に代入すると、
（ａ＋ｃ）×（ｂ＋ｄ）＝（ａ＋ａ＋２）×（ａ＋１＋ａ＋３）
　　　　　　　　　　 ＝（２ａ＋２）×（２ａ＋４）
　　　　　　　　　　 ＝４×（ａ＋１）×（ａ＋２）　　　　　　　　　　　　（２）
になります。

ここで、（２）は２４００なので、
４×（ａ＋１）×（ａ＋２）＝２４００
（ａ＋１）×（ａ＋２）＝６００　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
が成り立ちます。

（３）は、連続する２つの整数の積が６００になるということなので、これを満たす整数の組合せを調べていくと、
（１，６００）、（２，３００）、（３、２００）、（４、１５０）、（５，１２０）、（６，１００）、（８，７５）、（１０，６０）、（１２，５０）、（１５，４０）、（２０，３０）、（２４，２５）
で、これから、
ａ＋１＝２４
です。

したがって、ａ＝２３ で、これが答えです。


簡単な問題です。

場合の数の問題［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘中入試に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「下の図で、円周を１２等分した点を Ａ、Ｂ、・・・、Ｌ とします。これら１２個の点から異なる３点を選んで三角形をつくるとき、どの辺の長さも円の半径より大きくなるような三角形は全部で ［　　］ 個あります。たたし、合同な三角形でも、頂点が異なるときには異なる三角形として数えます。」

▲問題図

です。

早速、取り掛かりましょう。

図１に示すように、円の中心をＯとして、例えば円周上の点ＡとＣをそれぞれ直線で結ぶと、三角形ＯＡＣは、１辺の長さが半径の長さに等しい正三角形になります。

▲図１．三角形ＯＡＣは正三角形で、線分ＡＣの長さと半径の長さは等しくなります

このことから、ある円周上点と、その点から２つ目の点を結んだ線分の長さが円の半径の長さと等しくなることが判ります。

ここでは、円周上の３点を選んでつくった三角形のすべての辺の長さが円の半径の長さより大きくなるので、選ばれる３点は、互いに２個以上の点を挟んだ位置になくてはなりません。

そこで図２のように、３点のうち、ＡとＤを選んだ場合を調べてみましょう。

▲図２．３点のうち、ＡとＤを選びました

この場合、残りの１点として、Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ の４個の点を選ぶことができ、条件を満たす三角形の個数は４個になります。

同様に勘定していくと、
●ＡとＥを選んだ場合、残りの１点として、Ｈ、Ｉ、Ｊの３個の点を選ぶことができ、三角形の個数は３個
●ＡとＦを選んだ場合、残りの１点として、Ｉ、Ｊの２個の点を選ぶことができ、三角形の個数は２個
●ＡとＧを選んだ場合、残りの１点として、Ｊの１個の点を選ぶことができ、三角形の個数は１個
です。

以上から、３点のうち初めにＡを選んだ場合につくることができる三角形の個数は、４＋３＋２＋１＝１０（個）になることが判ります。

さらに、Ａの代わりに、Ｂ、Ｃ、・・・、Ｌ を選んだ場合も同様ですから、三角形の個数は、１０×１２＝１２０（個）になります。

ところが、例えば三角形ＡＤＧを考えた場合、この三角形は、初めの点としてそれぞれＡ、Ｄ、Ｇを選んだときの３回でカウントされています。

したがって、重複を除いた三角形の個数は、１２０÷３＝４０ （個） で、これが答えです。


簡単な問題です。

体積問題（２）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘中入試に出題された体積問題を取り上げます。

問題は、
「下の図のように、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨと３点Ｐ、Ｑ、Ｒがあります。３点Ｂ、Ｄ、Ｈを通る平面を㋐、３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面を㋑、３点Ａ、Ｂ、Ｈを通る面を㋒とします。
　この直方体を平面㋐と㋑で切って、４つの立体に分けるとき、頂点Ｅを含む立体の体積は［ ① ］ｃｍ3 です。
　また、この直方体を平面㋐と㋑と㋒で切って、８つの立体に分けるとき、頂点Ｅを含む体積は［ ② ］ｃｍ3 です。」

▲問題図

です。

初めに、平面㋐、㋑、㋒を確認しておくと、それぞれの平面は図１のようになります。

▲図１．平面㋐。㋑、㋒です

それでは①から取り掛かりましょう。

平面㋐と㋑は、直方体の高さＡＥに平行ですから、それらの平面で切ってできる立体は柱体で、頂点Ｅを含む立体は、図２の中央に示すように四角柱になります。

したがって、四角形ＡＢＱＰの面積に高さ（５ｃｍ）を掛ければ、頂点Ｅを含む立体の体積を求めることができます。

▲図２．直方体を平面㋐と㋑で切ってできる立体で、頂点Ｅを含むものは四角柱になります

そこで図２の左側のように、四角形ＡＢＱＰに注目しましょう。

ＱからＡＢに垂線を下ろし、その足をＩ とすると、四角形ＡＢＱＰは台形ＡＩＱＰと三角形ＢＩＱに分けることができます。

ここで、△ＢＩＱと△ＢＡＤは相似で、その相似比は２/５なので、ＱＩ＝６/５（ｃｍ）、ＡＩ＝１２/５（ｃｍ）、ＢＩ＝８/５（ｃｍ）です。

すると、
（台形ＡＩＱＰの面積）＝（１＋６/５）×１２/５×１/２＝６６/２５（ｃｍ2）
（△ＢＩＱの面積）＝６/５×８/５×１/２＝２４/２５（ｃｍ2）
で、
（四角形ＡＢＱＰの面積）＝６６/２５＋２４/２５＝９０/２５＝１８/５（ｃｍ2）
です。

したがって、求める立体の体積は、１８/５×５＝１８ （ｃｍ3）で、これが①の答えです。

続いて②です。

平面㋐と㋑の交線は直線ＡＢで、これと平面㋒の交点をＯとします。

すると図３のように、①の立体を平面㋒で切ってできる２つの立体の上側のもの（頂点Ａを含む立体）は、三角錐Ｂ－ＱＵＩ と、三角錐Ｏ－ＱＵＩ から三角錐Ｏ－ＰＴＡを切り取った立体になります。ここで、Ｔは直線ＰＲと平面㋒、Ｕは直線ＱＳと平面㋒の交点、Ｖは直線ＣＤと平面ＱＵＩ の交点、Ｗは直線ＧＨと平面ＱＵＩ の交点です。

▲図３．①の立体を平面㋒で切りました

そこで図３の左側のように、△ＱＵＩ を含む平面に注目すると、△ＱＵＩ と△ＳＵＷは相似で、その相似比は２/３なので、ＱＵ＝２（ｃｍ）です。

これから
（△ＱＵＩ の面積）＝６/５×２×１/２＝６/５（ｃｍ2）
で、
（三角錐Ｂ－ＱＵＩ の体積）＝６/５×８/５×１/３＝１６/２５（ｃｍ3）
です。

一方、△ＯＰＡと△ＯＱＩ は相似で、その相似比は５/６なので、
ＯＡ：ＡＩ＝５：１、ＡＩ＝１２/５（ｃｍ）から
ＯＡ＝１２（ｃｍ）
です。

さらに、△ＰＴＡと△ＱＵＩ も相似で、その相似比は５/６なので、
（△ＰＴＡの面積）＝（△ＱＵＩ の面積）×５/６×５/６＝６/５×５/６×５/６＝５/６（ｃｍ2）
です。

これらから
（立体ＰＴＡ－ＱＵＩ の体積）＝６/５×（１２＋１２/５）×１/３－５/６×１２×１/３
　　　　　　　　　　　　　 　＝６/５×７２/５×１/３－５/６×１２×１/３
　　　　　　　　　　　　　　 ＝１４４/２５－１０/３
　　　　　　　　　　　　　　 ＝４３２/７５－２５０/７５
　　　　　　　　　　　　　　 ＝１８２/７５（ｃｍ3）
になります。

したがって、①の立体を平面㋒で切ったときの上側の立体の体積は、
（三角錐Ｂ－ＱＵＩ の体積）＋（立体ＰＴＡ－ＱＵＩ の体積）＝１６/２５＋１８２/７５
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２３０/７５
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝４６/１５（ｃｍ3）
です。

以上から、①の立体を平面㋒で切ったときの下側の立体（頂点Ｅを含むもの）の体積は、
㋑－｛（三角錐Ｂ－ＱＵＩ の体積）＋（立体ＰＴＡ－ＱＵＩ の体積）｝＝１８－４６/１５
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２７０/１５－４６/１５
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２２４/１５ （ｃｍ3）
で、これが②の答えです。　　　　　　　　　　　　


②は少しややこしいですが、落ち着いて調べれば簡単です。

速さの問題（２）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘中入試に出題された速さの問題を取り上げます。

問題は、
「下の図のように、縦２５０ｃｍ、横３００ｃｍの長方形があり、各辺の真ん中の点をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとします。また、直線ＡＢと直線ＣＤは点Ｅで交わります。
　点Ｐは直線ＡＢ上にあり、ＡとＢの間を繰り返し往復します。はじめ、ＰはＡを出発して秒速１２０ｃｍで進み、ＢまたはＡで折り返すごとに速さが０．５倍になります。また、点ＱはＣを出発して一定の速さで直線ＣＤ上を進み、Ｄに着くとそこで止まります。
　ＰとＱが同時に出発したところ、ある時刻に同時にＥを通りました。このようなＱの速さの中で２番目に速いものは秒速［ ① ］ｃｍ、６番目に速いものは秒速［ ② ］ｃｍです。」

▲問題図

です。

早速、取り掛かりましょう。

ＰとＱが同時にＥを通る場合のＱの速さの中で、２番目に速いものは、Ｐが２回目にＥを通るときに、ＱがＥに到着する速さになります。

そこで、ＰがＡを出発してから２回目にＥを通るまでに要する時間を計算すると、
ＡからＢまで（１回目）　：　３００÷１２０＝５/２（秒）
ＢからＥまで（２回目）　：　１５０÷６０＝５/２（秒）
から、
５/２＋５/２＝５（秒）
になります。

つまり、Ｑは５秒間で１２５ｃｍ進むことになるので、そのときのＱの速さは、
１２５÷５＝２５
から、秒速２５ｃｍ です。

したがって、①は ２５ で、これが答えです。

６番目の速さについても上と同じように計算すればＯＫです。

ＡからＢまで（１回目）　：　３００÷１２０＝５/２（秒）
ＢからＡまで（２回目）　：　５/２×２＝５（秒）
ＡからＢまで（３回目）　：　５×２＝１０（秒）
ＢからＡまで（４回目）　：　１０×２＝２０（秒）
ＡからＢまで（５回目）　：　２０×２＝４０（秒）
ＢからＥまで（６回目）　：　４０×２÷２＝＝４０（秒）
から、ＰがＡを出発してから６回目にＥを通るまでに要する時間は、
５/２＋５＋１０＋２０＋４０＋４０＝２３５/２（秒）
です。

つまり、Ｑは２３５/２秒間で１２５ｃｍを進むことになるので、そのときのＱの速さは、
１２５÷２３５/２＝５０/４７
から、秒速５０/４７ｃｍ です。

したがって、②は ５０/４７ でこれが答えです。


簡単な問題です。

約数の問題（２）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘中入試に出題された約数の問題を取り上げます。

問題は、
「３を８個かけてできる数 ３×３×３×３×３×３×３×３、すなわち６５６１の約数のうち、４で割ると１余るものは、１を含めて全部で［ ① ］個あります。
　また、３０を８個かけてできる数 ３０×３０×３０×３０×３０×３０×３０×３０ の約数のうち、４で割ると１余るものは、１を含めて全部で［ ② ］個あります。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

３×３×３×３×３×３×３×３ の約数は、
１
３
３×３
３×３×３
３×３×３×３
３×３×３×３×３
３×３×３×３×３×３
３×３×３×３×３×３×３
３×３×３×３×３×３×３×３
の９個です。

これらを４で割った余りは、一つ上にある数を４で割った余りに３をかけて、それを４で割った余りになります。

例えば、３×３×３×３ の４で割った余りは、
・その一つ上の数　　：　３×３×３＝２７
・４で割った余り　　：　２７÷４＝６・・・３
・余りに３をかける　：　３×３＝９
・４で割った余り　　：　９÷４＝２・・・１
というように計算できます。

これを利用して、３×３×３×３×３×３×３×３ の９個の約数を４で割った余りを計算していくと、
１　→　１
３　→　３
３×３　→　１
３×３×３　→　３
３×３×３×３　→　１
３×３×３×３×３　→　３
３×３×３×３×３×３　→　１
３×３×３×３×３×３×３　→　３
３×３×３×３×３×３×３×３　→　１
になり、これらの個数は５個です。

したがって、①は ５ で、これが答えです。

続いて、３０×３０×３０×３０×３０×３０×３０×３０ の約数です。

この数の約数は、先ほどの １、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に、２と５をそれぞれ０個から８個かけた数になります。

このなかで、２を２個以上かけた数は４の倍数になるので、４で割って１余る約数は、１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に５を０個から８個かけた数と、それらを２倍した数を調べればＯＫです。

まず、１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に５を０個かけた約数を調べましょう。

これらの数を４で割った余りは、前の結果から、順に、
１、３、１、３、１、３、１、３、１
で、４で割った余りが１となる約数の個数は５個です。

続いて、５を１個かけた数を４で割った余りは、順に、
１、３、１、３、１、３、１、３、１
で、４で割った余りが１となる約数の個数は５個です。

以下同様に、５を２個から８個かけた数を４で割った余りは、いずれも
１、３、１、３、１、３、１、３、１
になり、５のそれぞれの個数に対して、４で割った余りが１となる約数の個数は５個になります。

したがって、１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に５を０個から８個かけた約数のなかで、４で割って１余るものは、５×９＝４５個です。

次に、１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に５を０個から８個かけて２倍した約数を調べましょう。

１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ を２倍した数を４で割った余りは、
２、２、２、２、２、２、２、２、２
で、４で割った余りが１となる約数はありません。

５を１個かけた数を４で割った余りは、順に、
２、２、２、２、２、２、２、２、２
で、４で割った余りが１となる約数はありません。

以下同様に、５を２個から８個かけた数を４で割った余りは、いずれも
２、２、２、２、２、２、２、２、２
で、５のすべての個数に対して、４で割った余りが１となる約数はありません。

したがって、１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に５を０個から８個かけて２倍した約数のなかで、４で割って１余るものは、０個です。

以上から、②は ４５ で、これが答えです。


①を利用すれば②は簡単です。

反射の問題［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘中入試に出題された反射の問題を取り上げます。

問題は、
「光が鏡に反射するときには、図１のように角㋐と角㋑の大きさが等しくなります。
　図２は、３枚の鏡ＡＢ、ＢＣ、ＣＡで、何回も反射しながら同じ経路を繰り返し進む光の様子を表しでいます。このとき、角㋒の大きさは ［　］度です。」

▲問題図

です。

早速、取り掛かりましょう。

図３のように、光が反射する点を Ｏ、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、ＴおよびＵとしましょう。

続いて、直線ＢＣを対称軸として、鏡ＡＢとＡＣの対称の位置に、それぞれ鏡Ａ’ＢとＡ’Ｃを置き、さらに、ＱとＴの位置に孔を開けると、光路は、→Ｏ→Ｐ→Ｒ’→Ｓ’→Ｕ→Ｏ→ になります。

▲図３．鏡Ａ’ＢとＡ’Ｃを置き、ＱとＴの位置に孔を開けて光路を変えました

後は簡単で、図４のように、
∠ＯＰＡ＝∠Ｒ’ＰＣ＝●
∠ＰＲ’Ｃ＝∠Ｓ’Ｒ’Ａ’＝■
∠Ｒ’Ｓ’Ａ’＝∠ＵＳ’Ｂ＝▲
∠Ｓ’ＵＢ＝∠ＯＵＡ＝★
とすると、三角形の内角の和が１８０°であることから
・△ＣＰＲ’で、
●＋■＝１８０°－７８°＝１０２°　　　（１）
・△Ａ’Ｒ’Ｓ’で、
■＋▲＝１８０°－１０４°＝７６°　　（２）
・△ＢＳ’Ｕで、
▲＋★＝１８０°－７４°＝１０６°　　　（３）
が成り立ちます。

▲図４．●、■、▲と★の関係を求めました

ここで、（１）＋（２）＋（３）から
●＋２■＋２▲＋★＝２８４°
●＋★＝２８４°－２（■＋▲）
で、（２）から
●＋★＝２８４°－２×７６°＝１３２°
です。

次に四角形ＡＵＯＰに注目すると、その内角の和が３６０°であることから
∠ＰＯＵ＝３６０°－∠Ａ－●－★＝３６０°－１０４°－１３２°＝１２４°
です。

最後に、
㋒×２＋∠ＰＯＵ＝１８０°
から
㋒＝（１８０°－１２４°）÷２＝２８°
で、これが答えです。


簡単な問題です。

面積問題（７）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘中入試に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「下の図のように、正六角形ＡＢＣＤＥＦの内側に点Ｐをとり、６つの頂点とＰをそれぞれ直線で結びます。三角形ＡＢＰ、ＣＤＰ、ＥＦＰの面積がそれぞれ ３ｃｍ2、５ｃｍ2、８ｃｍ2 であるとき、三角形ＢＣＰの面積は［　　］ｃｍ2 です。」

▲問題図

です。

早速、取り掛かりましょう。

Ｐから正六角形ＡＢＣＤＥＦの６つの辺に垂線を下ろし、図１のように、それらの垂線の足をＱ、Ｒ、Ｓ、Ｔ、Ｕ、Ｖとします。

▲図１．Ｐから正六角形ＡＢＣＤＥＦの６つの辺に垂線を下ろし、その足をＱ、Ｒ、Ｓ、Ｔ、Ｕ、Ｖとしました

続いて図２のように、辺ＡＢ、ＣＤ、ＥＦを延長して、正三角形ＸＹＺを作ります。

▲図２．正三角形ＸＹＺを作りました

すると、
（正三角形ＸＹＺの面積）＝ＸＹ×ＰＱ×１/２＋ＹＺ×ＰＳ×１/２＋ＺＸ×ＰＵ×１/２
　　　　　　　　　　　　＝（正三角形ＸＹＺの辺の長さ）×（ＰＱ＋ＰＳ＋ＰＵ）×１/２　　　　　（１）
になります。

次に図３のように、辺ＢＣ、ＤＥ、ＦＡを延長して、正三角形Ｘ’Ｙ’Ｚ’を作ります。

▲図３．正三角形Ｘ’Ｙ’Ｚ’を作りました

すると、
（正三角形Ｘ’Ｙ’Ｚ’の面積）＝Ｘ’Ｙ’×ＰＴ×１/２＋Ｙ’Ｚ’×ＰＶ×１/２＋Ｚ’Ｘ’×ＰＲ×１/２
　　　　　　　　　　　　　　　＝（正三角形Ｘ’Ｙ’Ｚ’の辺の長さ）×（ＰＴ＋ＰＶ＋ＰＲ）×１/２　　　　　（２）
になります。

ここで、正三角形ＸＹＺとＸ’Ｙ’Ｚ’は合同ですから、
（正三角形ＸＹＺの面積）＝（正三角形Ｘ’Ｙ’Ｚ’の面積）
（正三角形ＸＹＺの辺の長さ）＝（正三角形Ｘ’Ｙ’Ｚ’の辺の長さ）
で、したがって、（１）と（２）から、
ＰＱ＋ＰＳ＋ＰＵ＝ＰＲ＋ＰＴ＋ＰＶ　　　　　（３）
が成り立ちます。

次に、三角形ＡＢＰ、ＣＤＰ、ＥＦＰに注目すると、図４のように、
（三角形ＡＢＰの面積）＝ＡＢ×ＰＱ×１/２＝（正六角形の辺の長さ）×ＰＱ×１/２＝３ｃｍ2
（三角形ＣＤＰの面積）＝ＣＤ×ＰＳ×１/２＝（正六角形の辺の長さ）×ＰＳ×１/２＝５ｃｍ2
（三角形ＥＦＰの面積）＝ＥＦ×ＰＵ×１/２＝（正六角形の辺の長さ）×ＰＵ×１/２＝８ｃｍ2
なので、
（三角形ＡＢＰの面積）＋（三角形ＣＤＰの面積）＋（三角形ＥＦＰの面積）
＝（正六角形の辺の長さ）×（ＰＱ＋ＰＳ＋ＰＵ）×１/２
＝１６ｃｍ2　　　　　（４）
です。

▲図４．３つの三角形の面積の和は、（正六角形の辺の長さ）×（ＰＱ＋ＰＳ＋ＰＵ）×１/２です

一方、
（三角形ＢＣＰの面積）＝ＢＣ×ＰＲ×１/２＝（正六角形の辺の長さ）×ＰＲ×１/２
（三角形ＤＥＰの面積）＝ＤＥ×ＰＴ×１/２＝（正六角形の辺の長さ）×ＰＴ×１/２
（三角形ＦＡＰの面積）＝ＦＡ×ＰＶ×１/２＝（正六角形の辺の長さ）×ＰＶ×１/２
なので、
（三角形ＢＣＰの面積）＋（三角形ＤＥＰの面積）＋（三角形ＦＡＰの面積）
＝（正六角形の辺の長さ）×（ＰＲ＋ＰＴ＋ＰＶ）×１/２
で、これと（３）、（４）から
（三角形ＢＣＰの面積）＋（三角形ＤＥＰの面積）＋（三角形ＦＡＰの面積）＝１６ｃｍ2
になります。

ここで、
（正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積）＝（三角形ＡＢＰの面積）＋（三角形ＣＤＰの面積）＋（三角形ＥＦＰの面積）
　　　　　　　　　　　　　　　＋（三角形ＢＣＰの面積）＋（三角形ＤＥＰの面積）＋（三角形ＦＡＰの面積）
なので、
（正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積）＝１６＋１６＝３２ ｃｍ2　　　　　（５）
です。

ここまでで、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積が判ったので、いよいよ三角形ＢＣＰの面積に取り掛かりましょう。

図５のように、ＢとＦ、ＣとＥを直線で結んで、長方形ＢＣＥＦを作ると、
（三角形ＢＣＰの面積）＋（三角形ＥＦＰの面積）＝（長方形ＢＣＥＦの面積）×１/２　　　　　（６）
です。

▲図５．長方形ＢＣＥＦを作りました

一方、図６のように、正六角形ＡＢＣＤＥＦは、１２個の合同な三角形（青色でマーク）に分割でき、このとき長方形ＢＣＤＦは８個の三角形で構成されます。

▲図６．正六角形ＡＢＣＤＥＦを１２個の三角形で分割しました

したがって、
（長方形ＢＣＥＦの面積）＝（正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積）×８/１２
で、（５）から（正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積）＝３２ｃｍ2 なので、
（長方形ＢＣＥＦの面積）＝３２×８/１２＝６４/３ ｃｍ2
になります。

最後に（６）から
（三角形ＢＣＰの面積）＋８＝６４/３×１/２
（三角形ＢＣＰの面積）＝３２/３－８＝８/３ ｃｍ2
で、これが答えです。
　　　　　　　　　　　

長くなりましたが、簡単な問題です。

ａｓ～ａｓ... の否定

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２英語では比較の表現を勉強していて、そのなかに ａｓ～ａｓ... という同等比較の構文があります。

教科書に挙げてある例文は、
Ｍｙ　ｂａｇ　ｉｓ　ａｓ　ｂｉｇ　ａｓ　ｙｏｕｒｓ．
（私の鞄はあなたのものと同じくらいの大きさです）
で、この否定は、
Ｍｙ　ｂａｇ　ｉｓ　ｎｏｔ　ａｓ　ｂｉｇ　ａｓ　ｙｏｕｒｓ．
になります。

以前は、これを
Ｍｙ　ｂａｇ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｓｏ　ｂｉｇ　ａｓ　ｙｏｕｒｓ．
としましたが、今ではやや改まった感じの言い方になるようです。

これについて 表現のためのロイヤル実践英文法 には、以前（とりわけ書くとき）は、 ｎｏｔ　ｓｏ～ａｓ... を使う人が多かったものの、最近では英語圏でも「肯定文の ａｓ は否定文では ｓｏ にする」という旧来の伝統に対する意識が一般的に極めて薄くなり、否定文でも ａｓ を使うことが圧倒的に多くなってきていると記しています。

また、 一億人の英文法 には、ｎｏｔ ｓｏ～ａｓ... は ｎｏｔ　ａｓ～ａｓ... よりも「正しい」表現と考える人も多いが、現実には 急速に退場しかかっている とあります。

「正しい」から「ちょっとお高くとまっている」「堅苦しい」という印象になり、「ｎｏｔ があってもなくても ａｓ～ａｓ でいいじゃないか」というのが現代英語の趨勢ということのようです。

求角問題［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘中入試に出題された求角問題を取り上げます。

問題は、
「下の図で、四角形ＡＢＣＤは長方形で、辺ＡＢの真ん中の点がＭです。また、２本の直線ＣＥ、ＭＥは垂線です。
　このとき、角㋐の大きさは ［　］度です。」

▲問題図

です。

四角形ＡＢＣＤが長方形なので、辺ＡＢの長さは２０ｃｍで、したがって、線分ＭＢの長さは１０ｃｍになります。

そこで図１のように、Ｍから直線ＢＣに平行な直線ＭＨを引くと、線分ＨＣと線分ＨＢの長さは１０ｃｍになり、かつ、ＭＨ⊥ＣＤです。

▲図１．ＭＨ//ＢＣの直線ＭＨを引きました

すると、３つの合同な三角形が見えてきました。

図２のように、ＭとＣを直線で結ぶと、
・ＭＣ＝ＭＤ、ＭＨは共通、∠ＭＨＣ＝∠ＭＨＤ＝９０° から、△ＭＣＨ≡△ＭＤＨ
・ＣＨ＝ＣＥ、ＭＣは共通、∠ＭＨＣ＝∠ＭＥＣ＝９０° から、△ＭＣＨ≡△ＭＣＥ
ですから、△ＭＣＨ≡△ＭＤＨ≡△ＭＣＥです。

▲図２．△ＭＣＨ≡△ＭＤＨ≡△ＭＣＥです

合同な図形の対応する角は等しいので、
∠ＤＭＨ＝∠ＨＭＣ＝∠ＣＭＥ
で、これらの３つの角の和が６０°ですから、それぞれの角は２０°です。

最後に△ＭＤＨに着目すると、∠ＤＭＨ＝２０°、∠ＭＨＤ＝９０°　から、∠ＭＤＨ＝１８０°－２０°－９０°＝７０° です。

以上から、角㋐の大きさは ７０ 度で、これが答えです。


一見して解ける易しい問題です。

ｗｏｒｔｈ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に ｗｏｒｔｈ～ （～の価値がある） という言葉が出てきたので、今回は、 ｗｏｒｔｈ について取り上げます。

教科書の英文は、
Ｌｅｔｔｅｒｓ　ｍａｙ　ｔａｋｅ　ｍｏｒｅ　ｔｉｍｅ　ｔｈａｎ　ｏｔｈｅｒ　ｗａｙｓ，ｂｕｔ　ｔｈｅｙ　ａｒｅ　ｗｏｒｔｈ　ｔａｋｉｎｇ　ｉｔ．
（手紙は他の手段より時間がかかるかもしれないが、時間をかける価値があります）
で、ｂｅ　ｗｏｒｔｈ　Ａ という形で、「Ａの価値がある」という意味を表しています。

ここで、Ａが金額を伴う場合、「...相当の金がかかる」という意味と「...相当の価値がある」の２つの意味を表すことができ、 ウィズダム英和辞典 にそれぞれの例文として、
Ｓｐａｃｅ　ｓｃｉｅｎｃｅ　ｉｓ　ｗｏｒｔｈ　＄１４　ｂｉｌｌｉｏｎ　ａ　ｙｅａｒ．
（宇宙科学は年に１４０億ドルかかる）
と
Ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　Ｉ　ｈａｖｅ　ｗｉｔｈ　ｍｙ　ｓｏｎ　ｉｓ　ｗｏｒｔｈ　ａ　ｍｉｌｌｉｏｎ　ｄｏｌｌａｒｓ．
（ 今の私と息子との関係は１００万ドルに値する）
が挙げてあります。

一方、 ｂｅ　ｗｏｒｔｈ　～ｉｎｇ という構文では、
Ｔｈｅ　ｓｈｏｗ　ｉｓ　ｗｏｒｔｈ　ｓｅｅｉｎｇ．
（そのショーは一見の価値がある）
のように、～ｉｎｇ の位置にくる 他動詞 （または「自動詞＋前置詞」）の 目的語 が文の 主語 になり、
× Ｔｈｅ　ｓｈｏｗ　ｉｓ　ｗｏｒｔｈ　ｓｅｅｉｎｇ　ｉｔ．
とはなりません。

さらに、Ｔｈｅ　ｓｈｏｗ　ｉｓ　ｗｏｒｔｈ　ｓｅｅｉｎｇ． は、
Ｉｔ　ｉｓ　ｗｏｒｔｈ　ｓｅｅｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｈｏｗ．
と表すことができますが、 表現のための実践ロイヤル英文法 によると、その頻度はぐっと少ないそうです。


ｗｏｒｔｈ の使い方を頭にいれておくとよいでしょう。