２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「１以上１０００以下の整数からなる組（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべてについて、
ｘｙ＋ｚｗ、ｘｚ＋ｙｗ、ｘｗ＋ｙｚ
の最大値を足し合わせた値をＭとする。

同様に、１以上１０００以下の整数からなる組（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべてについて、
ｘｙ＋ｚｗ、ｘｚ＋ｙｗ、ｘｗ＋ｙｚ
の最小値を足し合わせた値をｍとする。

このとき、Ｍ－ｍの正の約数の個数を求めよ。」
です。

３つの実数をＡ、Ｂ、Ｃとしたとき、例えば下の図の場合、ｌＡ－Ｂｌ、ｌＢーＣｌ、ｌＣ－Ａｌは、それぞれＡＢ間の長さ、ＢＣ間の長さ、ＣＡ間の長さを表し、これらのなかの最大値がＡ、Ｂ、Ｃの最大値と最小値の差になり、さらに残りの２つ和もＡ、Ｂ、Ｃの最大値と最小値の差になります。

図．Ｃ＜Ｂ＜Ａの場合を示しました

したがって、

が成り立ちます。

このことから、３つの整数ｘｙ＋ｚｗ、ｘｚ＋ｙｗ、ｘｗ＋ｙｚの最大値と最小値の差ｄ1は、

で、したがって、Ｍ－ｍは（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組についてのｄ１の和になります。

また、１≦ｘ、ｙ、ｚ、ｗ≦１０００から、（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組についてのｌｘ－ｗｌｌｙ－ｚｌの和とｌｘ－ｙｌｌｚ－ｗｌの和とｌｘ－ｚｌｌｗ－ｙｌの和は等しくなり、したがって、

としたとき、Ｍ－ｍは（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組についてのｄ2の和になります。

さらに、ｌｘーｗｌ＝ｘ－ｗ（ｘ＞ｗ）またはーｘ＋ｗ（ｘ＞ｗ）、ｌｙ－ｚｌ＝ｙーｚ（ｙ＞ｚ）または－ｙ＋ｚ（ｙ＜ｚ）なので、（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組について、ｌｘ－ｗｌとｌｙ－ｚｌの組はそれぞれｘ－ｗ（ｘ＞ｗ）とｙ－ｚ（ｙ＞ｚ）の組の２倍になり（ｘ＝ｗ、ｙ＝ｚのときはＭ、ｍの和に寄与しません）、したがって、

としたとき、Ｍ－ｍはｘ＞ｗ、ｙ＞ｚを満たす（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組のｄ３についての和になります。

ここで、ｘ＞ｗを満たすｘ－ｗの組は、
ｘ－ｗ＝１ → ９９９組
　　　＝２ → ９９８組
　　　　・
　　　　・
　　　　・
　　　＝９９９ → １組
で、これは、ｙ－ｚについても同様です。

したがって、（ここから一気にいきます）

です。

したがって、Ｍ－ｍの約数の個数は、
（５＋１）×（５＋１）×（６＋１）×（２＋１）×（２＋１）×２＋１）×（２＋１）
＝６×６×７×３×３×３×３＝ ２０４１２（個） で、これが答えです。


Σを使えば簡潔になります。