図形問題（４）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１２年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「∠Ｃが直角の直角二等辺三角形ＡＢＣがあり、ＡＣ＝ＢＣ＝６√２ｃｍである。下図のように、辺ＡＢ上に２点Ｐ、ＱをＡＰ＝４ｃｍ、∠ＰＣＱ＝４５°となるようにとる。

▲問題図

（１） 直線ＰＣに関して点Ａと対称な点Ｄをとる。このとき、△ＤＱＣ≡△ＢＱＣであることを証明せよ。

（２） 線分ＰＱ、ＢＱの長さをそれぞれ求めよ。」
です。

まず図１のように、問題図に与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

それでは（１）から始めましょう。

直線ＰＣに関して点Ａと対称な点Ｄをとると図２のようになります。

▲図２．点Ｄを書き入れました

ここから△ＤＱＣと△ＢＱＣを調べていきましょう。

直線ＰＣは△ＣＡＤの対称軸なので、
ＣＡ＝ＣＤ　　　　　　［１］
∠ＡＣＰ＝∠ＤＣＰ　　 ［２］
です。

一方、仮定から
ＣＡ＝ＣＢ
なので、これと［１］から
ＣＤ＝ＣＢ　　　　　　［３］
が成り立ちます。

また、
ＣＱは共通　　　　　　［４］
です。

あとは、∠ＤＣＱと∠ＢＣＱが等しいことを示せばお仕舞いです。

そこで［２］から
∠ＡＣＰ＝∠ＤＣＰ＝●
とすると、
∠ＤＣＱ＝∠ＰＣＱ－∠ＰＣＤ
　　　　＝４５°－●
で、
∠ＢＣＱ＝∠ＡＢＣ－∠ＰＣＱ－∠ＡＣＰ
　　　　＝９０°－４５°－●
　　　　＝４５°－●
になり、これらから
∠ＤＣＱ＝∠ＢＣＱ　　　［５］
が成り立ちます。

［３］［４］［５］から、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ＤＱＣ≡△ＢＱＣです。

続いて（２）です。

図３のように、△ＤＱＣ≡△ＢＱＣから∠ＣＤＱ＝４５°です。　

▲図３．四角形ＡＣＱＤは円に内接します

すると∠ＣＤＱ＝∠ＣＡＱ＝４５°が成り立つので、周角の定理の逆から四角形ＡＣＱＤは円に内接します。

ここで、直線ＣＰと円との交点をＥとすると、直線ＣＥは弦ＡＤの垂直二等分線になるので、線分ＣＥは円の直径になります。

すると∠ＣＡＥは半円弧の円周角なので∠ＣＡＥ＝９０°になり、∠ＣＡＥ＝∠ＡＣＢ＝９０°からＡＥ//ＣＢで、したがって、△ＰＢＣと△ＰＡＥは相似になります。（図４）

▲図４．△ＰＢＣ∽△ＰＡＥです

ここで、△ＡＢＣはＡＣ＝６√２ｃｍの直角二等辺三角形なのでＡＢ＝１２ｃｍです。

このときＰＢ＝８ｃｍなので、△ＰＢＣと△ＰＡＥの相似比は２：１になり、したがって、ＡＥ＝３√２ｃｍです。

次に図５のように、△ＰＣＱと△ＰＡＥに注目すると、これらの三角形も相似です。

▲図５．△ＰＣＱ∽△ＰＡＥです

ここで直角三角形ＡＣＥに三平方の定理を適用すると、

から

になり、ＣＰ：ＰＥ＝２：１から
ＣＰ＝２√１０ｃｍ
ＰＥ＝√１０ｃｍ
です。

すると、ＰＱ：ＰＥ＝ＰＣ：ＰＡから
ＰＱ＝√１０×２√１０/４＝５ｃｍ
で、さらに、
ＢＱ＝ＢＰ－ＰＱ＝８－５＝３ｃｍ
です。

以上から、線分ＰＱ、ＢＱの長さは、それぞれ、５ｃｍ と ３ｃｍ で、これが答えです。


楽しい問題です。