都立グループ作成校入試作図問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と比べると格段に暖かくなりました。東京の私立中学入試が始まる明日は少し寒くなって曇りの天気のようです。受験する皆さんは暖かくして元気に受験してください。

さて、今回は東京都立グループ作成校の作図問題を取り上げます。問題は、平成２５年度戸山高のもので、それは、
「下の図のように、長方形ＡＢＣＤとその外部に点Ｐがある。
　点Ｐと長方形ＡＢＣＤの辺ＢＣ上にある点Ｑを結んだ線分ＰＱが、長方形ＡＢＣＤの面積を１：３に分けるように、線分ＰＱを定規とコンパスを用いて作図し、点Ｑの位置を示す文字Ｑも書け。
　ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。」
です。

▲問題図

平行四辺形の対角線の交点を通る直線は、平行四辺形の面積を２等分することを知っていれば簡単な問題です。

そこで図１のように、長方形ＡＢＣＤを辺ＡＢと平行な直線で２等分して２つの長方形を作り、左側の長方形をその対角線の交点と点Ｐを通る直線で２等分すれば、長方形ＡＢＣＤを１：３に分けることができます。

▲図１．作図法（１）

その作図手順は、
（１）辺ＡＤの垂直二等分線を引く。
（２）左側の長方形の２本の対角線を引き、それらの交点を求める。
（３）（２）で求めた対角線の交点と点Ｐを結び、それと辺ＢＣとの交点がＱになります。

他の作図法としては、長方形ＡＢＣＤを２つに分けたときにできる２つの台形の上底と下底の長さの和が１：３になることを利用することもできます。

そのとき、台形の上底と下底の和の１/２が、辺ＡＢの垂直二等分線で台形内部にある線分の長さになるので、辺ＡＢの垂直二等分線の辺ＡＢと辺ＣＤとの交点の間にある線分を１：３に内分する点と点Ｐを結ぶと、長方形ＡＢＣＤの面積を１：３に分けることができます。

その際、辺ＡＢの垂直二等分線の辺ＡＢと辺ＣＤとの交点の間にある線分を１：３に内分するために、その線分を２等分する操作を２回繰り返してもＯＫですが、ここでは図２のように、適当な長さの線分を４等分したものを利用しましょう。（拡張性が高くて便利です）

▲図２．作図法（２）

作図手順は、
（１）辺ＡＢの垂直二等分線を引く。
（２）適当な長さの線分を４等分したものを描く。
（３）（２）の線分の右端と辺ＡＢの垂直二等分線と辺ＡＢとの交点を結び、同様に左端と辺ＡＢの垂直二等分線と辺ＣＤとの交点を結ぶ。
（４）（３）で描いた２本の直線の交点と（２）の線分の左端から１つ目の点を結び、辺ＡＢの垂直二等分線との交点を求める。
（５）（４）で求めた交点と点Ｐを結び、それと辺ＢＣとの交点がＱになります。

ついでに、長方形ＡＢＣＤの面積を１：２に分ける場合を調べてみましょう。

１：３に分ける場合は、２等分を繰り返して全体を４等分することで簡単に作図できましたが、１：２に分ける場合は２等分を繰り返しても全体を３等分することができません。そのため、作図法（２）で利用した方法が力を発揮します。

そこで図３のように、適当な長さの線分を３等分したものを描き、その線分の左端と右端をそれぞれ辺ＡＢの垂直二等分線と辺ＡＢとの交点、および辺ＡＢの垂直二等分線と辺ＣＤとの交点を結び、それらの直線の交点を求めます。

その交点と３等分した線分の左端から１つ目の点を直線で結び、その直線と辺ＡＢの垂直二等分線との交点を求めます。

そして、点Ｐとその交点を結んだ直線が、長方形ＡＢＣＤの面積を１：２に分ける直線になります。

▲図３．長方形ＡＢＣＤの面積を１：２に分けてみます

もちろん、辺ＡＢの垂直二等分線を利用せず、図４のように、長方形ＡＢＣＤを面積比が２：１の２つの長方形に分け、左側の長方形の対角線の交点と点Ｐを結んでもＯＫです。

▲図４．長方形ＡＢＣＤを面積比が２：１となる２つの長方形に分けました

ここで取り上げた３または４等分の線分を利用する方法はｎ等分でも可能なので、長方形ＡＢＣＤの面積を任意の比に分けることができます。頭に入れておくとよいでしょう。

中学入試問題（２６）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

幸いなことに、昨夜の雨は雪になりませんでした。ラジオで、この冬一番の寒さと言っていましたが、明日はぐっと暖かくなるようです。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「深さ１５ｃｍの直方体の形をした水槽が水平な床の上にあります。下の図のように、この水槽の中には、同じ形をした高さ１５ｃｍの四角柱が５本入っていて、この水槽に深さ９ｃｍになるまで水を入れても、四角柱の底面は水槽の底面に接していました。この状態から四角柱を２本取り除くと、水の深さは７ｃｍになりました。さらに残りの四角柱３本を取り除くと、水の深さは［　　］ｃｍになります。」
です。

▲問題図

水槽と四角柱の底面積を変数として連立方程式を作れば簡単に答えを求めることができますが、ここでは連立方程式を使わないで解いてみましょう。

図１のように、四角柱の底面積をａ、水槽の底面積から３本分の四角柱の底面積を引いた面積をｂとします。

▲図１．四角柱の底面積をａ、水槽の底面積から３本分の四角柱の底面積を引いた面積をｂとしました

ここで、四角柱が５本入っている状態から３本になった状態にすると、水面は２ｃｍ下がり、その減少した体積は２ｂ（ｃｍ3）です。（四角柱が水でできていると考えると判りやすいかも知れません）

また、これは取り除いた２本の四角柱の体積（９ａ×２ｃｍ3）に等しいので、
９ａ×２＝２ｂ
９ａ＝ｂ
ａ＝１/９×ｂ　　　　（１）
です。

さらに、残った３本の四角柱を取り除いたときの水槽の底面積はｂ＋３ａで、これと（１）から
ｂ＋１/９×３ｂ＝４/３×ｂ
となります。

そこで、四角柱が入っていないときの水面の高さをｈとすると、四角柱が３本入っているときと入っていないときで水の体積は等しいので、
ｂ×７＝４/３×ｂ×ｈ
が成り立ち、これをｈについて解くと、
ｈ＝２１/４＝５．２５ｃｍ
となり、これが答えです。


連立方程式に慣れてしまうと、それを使わない解き方は難しくなってしまいます。もっとスマートな解き方をご存知であれば、是非、ご教示ください。

ｍｅａｌ のこと

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と比べてぐっと冷え込みました。夜には雪が降るようで、明日は一掃寒くなるようです。暖かくして勉強してください。

今回は、　ｍｅａｌ　（食事）についてです。

中学校の教科書には、　ｂｒｅａｋｆａｓｔ、　ｌｕｎｃｈ　の日本語訳として、それぞれ朝食および昼食とあり、　ｄｉｎｎｅｒ　については、ディナー、（その日のおもな）食事；（ふつうは）夕食としています。

これらの食事に関する名称を、オックスフォード現代英英辞典で調べてみると、
ｂｒｅａｋｆａｓｔ　：　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｍｅａｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄａｙ　（一日の最初の食事）
ｌｕｎｃｈ　　　　　：　ａ　ｍｅａｌ　ｅａｔｅｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｍｉｄｄｌｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄａｙ　（昼に食べられる食事）
ｄｉｎｎｅｒ　　　　：　ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｍｅａｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄａｙ，　ｅａｔｅｎ　ｅｉｔｈｅｒ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｍｉｄｄｌｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄａｙ　ｏｒ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｖｅｎｉｎｇ　（一日のなかで最も重要な食事で、昼または晩に食べられる）
とあります。

つまり、　ｂｒｅａｋｆａｓｔ　と　ｌｕｎｃｈ　は、食べる順序や時間帯で決まる言葉であるのに対して、　ｄｉｎｎｅｒ　は食事の質で決まる言葉のようです。

そこで、夕方もしくは晩に食べる食事を何と呼ぶかというと、それは一般的に　ｓｕｐｐｅｒ　となります。（イギリスでは　ｔｅａ、　ｈｉｇｈ　ｔｅａ　とも言います）

この　ｓｕｐｐｅｒ　を調べると、
ｓｕｐｐｅｒ　　　　：　ｔｈｅ　ｌａｓｔ　ｍｅａｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄａｙ，　ｅｉｔｈｅｒ　ａ　ｍａｉｎ　ｍｅａｌ，　ｕｓｕａｌｌｙ　ｓｍａｌｌｅｒ　ａｎｄ　ｌｅｓｓ　ｆｏｒｍａｌ　ｔｈａｎ　ｄｉｎｎｅｒ，　ｏｒ　ａ　ｓｎａｃｋ　ｅａｔｅｎ　ｂｅｆｏｒｅ　ｙｏｕ　ｇｏ　ｔｏ　ｂｅｄ　（一日の最後の食事で、普通ディナーよりささやかで格式が高くないが、一日のなかの主要な食事、または寝る前に食べる軽食）
とあります。

つまり、食べる順序や時間帯で決まる食事の名称を並べると、
朝：　ｂｒｅａｋｆａｓｔ、　昼：　ｌｕｎｃｈ、　晩：　ｓｕｐｐｅｒ　
となります。

そして、一日のなかで最も重要な食事を　ｄｉｎｎｅｒ　と呼ぶ人たちは、それが昼食の時は、
朝：　ｂｒｅａｋｆａｓｔ、　昼：　ｄｉｎｎｅｒ、　晩：　ｓｕｐｐｅｒ　
と呼び、夕食の時は、
朝：　ｂｒｅａｋｆａｓｔ、　昼：　ｌｕｎｃｈ、　晩：　ｄｉｎｎｅｒ　
と呼ぶことになります。　（朝食が一日のなかで最も重要な食事という人もいるのかもしれませんが、辞書に　ｄｉｎｎｅｒ　は昼または晩に食べられるとあるので、朝：　ｄｉｎｎｅｒ、　昼：　ｌｕｎｃｈ、　晩：　ｓｕｐｐｅｒ　とはならないのでしょう）

ただし、食事に対する名称は地域によっても、社会によっても違いがあって、いろいろな名称やそれらの組合せがあるようです。

例えば、オックスフォード英英辞典の解説には、　ｂｒｕｎｃｈ、　ｔｅａ、　ｅｌｅｖｅｎｓｅｓ、　ａｆｔｅｒｎｏｏｎ　ｔｅａ　などの食事の名称が挙げてあります。さらに、イギリス、アメリカでの各食事の内容やその他様々な記述があるので、興味のある人は調べてみてください。

中学入試問題（２５）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と同じように陽射しが強く暖かい日になりました。ところが、明日から雨模様の寒い日が続くようです。受験生の皆さんは暖かくして勉強してください。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「光が鏡で反射するときには、図１のように角（ア）と角（イ）が等しくなります。
　図２は、２枚の鏡ＯＸ、ＯＹで、光が何回も反射する様子を表しています。１回目に反射する点がＰ、２回目に反射する点がＱです。４回目に反射する点が、反射する点のうちでＯに最も近い点となるとき、角（ウ）の大きさは、最も大きくて［　１　］度、最も小さくて［　２　］度です。ただし、Ｏに最も近い点は２個以上あってもよいものとします。」
です。

▲図１．問題図（１）

▲図２．問題図（２）

『反射』『最短距離』⇒『折り返し』の定石を知っていれば簡単な問題です。

例えば、問題にある図２で、ＯＹを対称軸にしてＯＸを折り返し、ＯＺを作ると図３のようになります。ここでＱで反射した光がＯＸに到達する点をＲとすると、ＰＱの延長とＯＺとの交点Ｒ’は、ＯＹを対称軸として、Ｒと対称な点になり、例えば、光路の長さＰＱＲを求めるとき、それが、直線ＰＱＲ’の長さと等しくなることを利用して、簡単に計算することができます。

▲図３．『折り返し』の定石

それでは問題に取り掛かりましょう。

問題には４回目に反射する点とあるので、３回折り返しすればいいと早合点してしまいそうですが、問題文の最後に、「Ｏに最も近い点は２個以上あってもよい」とあるので、４回目に反射する点と５回目に反射する点がＯから等距離にある場合を調べなければならないことが判ります。

したがって、ここは図４のように、４回折り返しの図を描くのがよさそうです。

▲図４．４回折り返しました

図４を描けばあとは簡単です。解答の［　１　］と［　２　］が前後しますが、先に最も小さい角を求めます。

まず、最も小さい角は、４回目に反射する点（ＯＹ４上）と５回目に反射する点（ＯＹ５上）がＯから等距離になるときで、∠Ｙ４ＯＹ５の２等分線ＯＺ４と光線が垂直に交わります。（二等辺三角形の頂角の２等分線は底辺を垂直に２等分します）

ここで、ＯＺ４と光線との交点をＳとすると、直角三角形ＯＰＳで、∠ＰＯＺ４＝７７°（＝２２°×３＋２２°/２）なので、
∠ＯＰＳ＝１８０°－９０°－７７°＝１３°
で、これが［　２　］の答えになります。

続いて、最も大きい角は、４回目に反射する点（ＯＹ４上）と３回目に反射する点（ＯＹ３上）がＯから等距離になるときで、∠Ｙ３ＯＹ４の２等分線ＯＺ３と光線が垂直に交わります。

ここで、ＯＺ３と光線との交点をＴとすると、直角三角形ＯＰＴで、∠ＰＯＺ３＝５５°（＝２２°×２＋２２°/２）なので、
∠ＯＰＴ＝１８０°－９０°－５５°＝３５°
で、これが［　１　］の答えになります。

　
多くの受験生が秒殺した問題だったのではないでしょうか。しっかり『折り返し』を覚えておきましょう。

中学入試問題（２４）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

外は陽射しも強く日向はぽかぽかとして過ごしやすい日になりました。明日も暖かさが続きますが、また明後日から厳しい寒さになるようです。暖かくして勉強してください。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「下の図のような直角三角形ＡＢＣがあります。この直角三角形が斜線部の外側を、（１）の状態から矢印の方向にすべることなく転がって、（２）の状態まで移動します。このとき、辺ＡＢが通過する部分の面積は［　　］ｃｍ2です。」
です。

▲問題図

軌跡の問題です。問題図にある矢印の方向に転がすと、頂点ＡとＢは、図１のように、初めは頂点Ｃを中心として移動し（黒色三角形→緑色）、次に辺ＡＣを２等分する点を中心として移動します（緑色→赤色）。

▲図１．直角三角形の頂点ＡとＢの軌跡

ここで辺ＡＢが通過する部分を調べると、初めの頂点Ｃを中心として移動するときは図２の黄色で塗った部分になります。

▲図２．頂点Ｃを中心として移動しているときの辺ＡＢが通過する部分

次に辺ＡＣを２等分する点（以下、点Ｏ）を中心に移動するときですが、図３に示すように、辺ＡＢは点Ｏを中心とする半径２ｃｍの円周上を移動し、辺ＡＢを２等分する点は、点Ｏを中心とする半径１ｃｍの円周上を移動します。

▲図３．点Ｏを中心として移動するときの辺ＡＢの軌跡

つまり、点Ｏを中心として移動するときの辺ＡＢが通過する部分は、図４の紫色で塗った部分になります。

▲図４．点Ｏを中心として移動するときの辺ＡＢが通過する部分

そこで、図２と図４を合わせたものが、（１）から（２）までの移動で辺ＡＢが通過する部分で、それは図５のようになります。

▲図５．（１）から（２）までの移動で辺ＡＢが通過する部分

あとは、図５の黄色と紫色の部分の面積を計算すればお仕舞いです。

まず、黄色の部分の面積から片付けましょう。

直角三角形ＡＢＣの面積をＳとすると、△ＡＢＣの内部にある黄色の部分の面積は、Ｓから扇形ＣＢＤ（中心角６０°、半径２ｃｍ）の面積を引けばよいので、
Ｓ－２×２×３．１４×６０/３６０＝Ｓ－２/３×３．１４（ｃｍ2）
です。

扇形ＣＡＥ（中心角６０°、半径４ｃｍ）のなかの黄色い部分の面積は、
４×４×３．１４×６０/３６０－２×２×３．１４×６０/３６０＝２×３．１４（ｃｍ2）
です。

扇形ＣＥＡ（中心角６０°、半径４ｃｍ）のなかの黄色い部分の面積は、
４×４×３．１４×６０/３６０－Ｓ＝８/３×３．１４－Ｓ（ｃｍ2）
です。

したがって、黄色い部分の面積は、
Ｓ－２/３×３．１４＋２×３．１４＋８/３×３．１４－Ｓ＝４×３．１４（ｃｍ2）
です。（黒色の△ＡＢＣを緑色の△ＡＢＣに移動させると黄色い部分の面積を簡単に求めることができます）

次に紫色の部分の面積です。このままだと計算し難いので、図６の２つの桃色の部分が同じ図形（合同）であることを利用します。

▲図６．２つの桃色の部分は同じ図形です

緑色のＡを含む桃色の図形の紫色の部分を、赤色のＡを含む桃色の図形に移動すると、図７のようになります。

▲図７．紫色の部分を移動しました

すると、紫色の面積は、
２×２×３．１４×９０/３６０－１×１×３．１４×９０/３６０＝３/４×３．１４（ｃｍ2）
になります。

以上から、黄色い部分の面積と紫色の部分の面積の和は、
４×３．１４＋３/４×３．１４＝１９/４×３．１４＝１４．９１５（ｃｍ2）
で、これが辺ＡＢが通過する部分の面積です。


紫色の部分の面積を求めるとき、桃色の部分を移動させて面積の計算しやすい図形を作りましたが、図形を回転移動させた場合によく出てくるので、頭に入れておくとよいでしょう。　　

中学入試問題（２３）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日は都立高校推薦入試の１日目です。寒さは厳しいですが、晴天で受験生には幸いでした。明日もいい天気で少し暖かくなるようです。受験生の皆さん、頑張ってください。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「１辺の長さが１ｃｍの立方体の形をしたブロックがいくつかあります。これらのブロックを、面と面がぴったり重なるようにはり合わせて立体を作ります。例えば、図１はブロックを４個はり合わせてできる立体の１つです。図２は、図１の立体をふくむへこみがない立体図形のうち、体積が最も小さい図形です。このように、いくつかのブロックをはり合わせた立体が与えられたとき、この立体をふくむへこみのない立体図形のうち、体積が最も小さいものを、「この立体を最小に包む図形」と呼ぶことにします。
　なお、図２の立体は、五角形の面を３個、正方形の面を３個、長方形の面を３個、正三角形の面を１個、合計１０個の面をもち、その体積は５と２/３ｃｍ3です。

▲図１．問題図（１）

▲図２．問題図（２）

（１）ブロックを５個はり合わせて、図３の立体を作ります。この立体を最小に包む図形をＡとします。
　　（ア）Ａは［　　］個の面をもちます。
　　（イ）Ａの体積を求めなさい。

▲図３．問題図（３）

（２）ブロックを６個はり合わせて、図４の立体を作ります。この立体を最小に包む図形をＢとします。
　　（ア）Ｂは［　　］個の面をもちます。
　　（イ）Ｂの体積を求めなさい。

▲図４．問題図（４）　　」

です。

いろいろな解き方があるような気がするのですが、ここでは与えられた立体図形のへこみがなくなるように、この立体を包む図形を作り、それから余分な部分を削り取って、「立体を最小に包む図形」を求めることにします。

まず（１）ですが、与えられた立体図形を包む図形は図５のようになります。

▲図５．（１）の立体図形を包む図形です

次に図６のように、前方上部の余分な部分を削り取ります。

▲図６．余分な部分を削り取ります

すると、図７に示す立体図形になり、これには余分な部分はないので、これが（１）に与えられた立体図形を最小に包む図形Ａになります。

▲図７．（１）に与えられた立体図形を最小に包む図形Ａです

このＡの面の数は９個で、これが（１）－（ア）の答えです。

Ａの体積については、図８のようにＡを体積の計算が簡単な図形に分割して求めます。

▲図８．Ａを体積計算が簡単な図形に分割しました

図８の中の［1］は三角柱で、その体積は、１×１＝１ｃｍ3です。（以下、底面積×高さ、または、底面積×高さ×１/３の順に表します）

［２］は四角錐で、その体積は、１×２×１/３＝２/３ｃｍ3です。

［３］は四角錐で、その体積は、２×１×１/３＝２/３ｃｍ3です。

［４］は三角柱で、その体積は、１/２×１＝１/２ｃｍ3です。

元の図形の体積は５ｃｍ3なので、これに［１］［２］［３］［４］の体積を足すとＡの体積になります。

したがって、５＋１＋２/３＋２/３＋１/２＝４７/６ｃｍ3　が（１）－（イ）の答えです。

続いて（２）です。（１）と同じように、与えられた立体図形を包む図形を、図９のように作ります。

▲図９．（２）の立体図形を包む図形です

これから図１０、図１１、図１２に示すように、余分な部分を削り取っていきます。

▲図１０．左側の余分な部分を削り取りました

▲図１１．左右の下側の余分な部分を削り取りました

▲図１２．左右の上側の余分な部分を削り取りました

これらの操作の結果、（２）に与えられた立体図形を最小に包む図形Ｂは図１３に示した立体図形になります。

▲図１３．（２）に与えられた立体図形を最小に包む図形Ｂです

このＢの面の数は１３個で、これが（２）－（ア）の答えです。

体積については、図１４のようにＢを体積の計算が簡単な図形に分割して求めます。

▲図１４．Ｂを体積計算が簡単な図形に分割しました

図１４の中の［１］は四角錐で、その体積は、１×２×１/３＝２/３ｃｍ3です。

［２］は三角柱で、その体積は、１×１＝１ｃｍ3です。

［３］は五角錐で、その体積は、（３＋１/２）×１×１/３＝７/６ｃｍ3です。

［４］は三角柱で、その体積は、１/２×１＝１/２ｃｍ3です。

［５］は四角錐で、その体積は、１×２×１/３＝２/３ｃｍ3です。

［６］は三角錐で、その体積は、１/２×１×１/３＝１/６ｃｍ3です。

［７］は三角柱で、その体積は、１/２×１＝１/２ｃｍ3です。

元の図形の体積は６ｃｍ3なので、これに［１］［２］［３］［４］［５］［６］［７］の体積を足すとＢの体積になります。

したがって、６＋２/３＋１＋７/６＋１/２＋２/３＋１/６＋１/２＝３２/３ｃｍ3　が（２）－（イ）の答えです。


長くなってしまいましたが、問題自体はそれほど難しくはないので、短い時間で正解できると思います。面の個数の勘定に注意が必要かもしれません。　　

ｈａｄ ｂｅｔｔｅｒ のこと

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今朝は厳しい冷え込みで今も６℃と寒い日になりました。明日から都立高校の推薦入試が始まります。受験生の皆さんは頑張ってください。

先日、中３の塾生から　ｈａｄ　ｂｅｔｔｅｒ　の過去形について質問されました。

ｈａｄ　ｂｅｔｔｅｒ　は、「～したほうがよい」と訳されることが多いですが、人に強く忠告したり、（自分も含めて）人に何をすべきかを命令する場合に用いられるので、「～しなさい/すべきだ」と訳すほうがふさわしい場合もあります。

例えば、
　Ｙｏｕ’ｄ　ｂｅｔｔｅｒ　ｔｕｒｎ　ｔｈａｔ　ｍｕｓｉｃ　ｄｏｗｎ　ｂｅｆｏｒｅ　ｙｏｕｒ　Ｄａｄ　ｇｅｔｓ　ａｎｇｒｙ．
　（お父さんが怒り出さないうちに、その音楽のボリュームを下げたほうがいいわよ⇒～、その音楽のボリュームを下げなさい）
というように、お母さんが子供に（強く）忠告または命令するような状況で用いられ、上の立場の人や年上の人に対しては使いません。

そこで冒頭の質問の答えですが、　ｈａｄ　ｂｅｔｔｅｒ　ｈａｖｅ　＋過去分詞　という完了形を用いることで過去においてある行為をすべきだったということを表すことができます。（このとき、過去においてある行為をすべきだったという意味だけでなく、その行為が実現されなかったことも表しています）

例えば上記の例文を　「そのボリュームを下げたほうがよかったのに」とするには、
　Ｙｏｕ’ｄ　ｂｅｔｔｅｒ　ｈａｖｅ　ｔｕｒｎｅｄ　ｔｈａｔ　ｍｕｓｉｃ　ｄｏｗｎ　ｂｅｆｏｒｅ　ｙｏｕｒ　Ｄａｄ　ｇｏｔ　ａｎｇｒｙ．
　（お父さんが怒り出さないうちに、その音楽のボリュームを下げたほうがよかったのに）
とします。（子供はお父さんに怒られてしまったわけです）

これは　ｓｈｏｕｌｄ　や　ｏｕｇｈｔ　ｔｏ　（～すべきだ）も同様で、
　Ｙｏｕ　ｓｈｏｕｌｄ　ｔｕｒｎ　ｔｈａｔ　ｍｕｓｉｃ　ｄｏｗｎ　ｂｅｆｏｒｅ　ｙｏｕｒ　Ｄａｄ　ｇｅｔｓ　ａｎｇｒｙ．
⇒Ｙｏｕ　ｓｈｏｕｌｄ　ｈａｖｅ　ｔｕｒｎｅｄ　ｔｈａｔ　ｍｕｓｉｃ　ｂｅｆｏｒｅ　ｙｏｕｒ　Ｄａｄ　ｇｏｔ　ａｎｇｒｙ．
とします。


昔　ｗｅｒｅ　ｂｅｔｔｅｒ　という形で使われていたものが、１４００年代に　ｗｅｒｅ→ｈａｄ　に置き換わり　ｈａｄ　ｂｅｔｔｅｒ　となって助動詞相当のフレーズとして使われるようになりました。そのため　ｈａｄ　ｂｅｔｔｅｒ　を２つに分けて　ｈａｄ　を　ｈａｖｅ　の過去形と捉えないほうがいいかもしれません。　　　

中学入試問題（２２）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜は降雪の恐れがありましたが、明けてみると良い天気でした。雪かきをしなくていいので助かります。一方、西日本は百年に一度の大寒波で雪が降っているところも多く、将棋王将戦の第２局が行われている島根県安来市も銀世界のようです。郷田王将の先勝で始まりましたが羽生名人の巻き返しなるか、楽しみです。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「Ａ君とＢ君は２人とも、１から１０までの数字が書かれた１０枚のカード［１］、［２］、・・・、［１０］をもっています。Ａ君は自分のもっている１０枚のカードから４枚のカード［１］、［４］、［あ］、［い］を選び、Ｂ君も自分でもっている１０枚のカードから４枚のカード［２］、［６］、［１０］、［う］を選び、たがいに選んだ４枚のカードを交換します。その後、同じ数字の書かれたカードが手元にあれば、その２枚のカードを手元から取り除きます。その結果、Ａ君の手元には６枚のカード［３］、［４］、［５］、［６］、［７］、［８］が残りました。このとき、［あ］に書かれた数字は［（１）］、［い］に書かれた数字は［（２）］、［う］に書かれた数字は［（３）］です。ただし、［あ］に書かれた数字は［い］に書かれた数字より小さいものとします。」
です。

簡単な問題です。

＜１＞Ａ君は［４］をあげたものの、最終的に［４］が手元に残るのですから、Ｂ君から［４］を貰わなければなりません。つまり、［う］は［４］です。

＜２＞Ａ君は［２］、［６］、［１０］、［４］をもらう⇒［９］はもらわない⇒［９］のペアができないのに、最終的に［９］が手元にないので、［あ］または［い］は［９］です。

＜３＞Ａ君は［６］を貰ったものの、最終的に［６］が手元に残るのですから、Ａ君は［６］をあげなければなりません。つまり、［あ］または［い］は［６］です。

ここで、［あ］に書かれた数字は［い］に書かれた数字より小さいので、［あ］は［６］、［い］は［９］です。

したがって、［（１）］は６、［（２）］は９、［（３）］は４で、これが答えです。

下に説明図を添付しておきます。

▲説明図

多くの受験生が秒殺したことでしょう。

中学入試問題（２１）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予想最高気温が５℃という厳しい寒さになりました。明日は３℃程高くなるようですが、いずれにしても寒い日が続きます。風邪など引かぬよう暖かくして勉強してください。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「下の図は、１辺の長さが６ｃｍの立方体です。この立方体を３点Ａ、Ｉ、Ｇを通る平面で切ったとき、この平面と辺ＤＨは点Ｊで交わります。四角すいＫ－ＡＩＧＪの体積は［　１　］ｃｍ3です。また、３点Ｂ、Ｄ、Ｇを通る平面で四角すいＫ－ＡＩＧＪを２つの立体に分けたとき、点Ｋを含む立体の堆積は［　２　］ｃｍ3です。」
です。

▲問題図

　

早速取り掛かりましょう。まず、［　１　］です。

ここは図１のように、四角すいＫ－ＡＩＧＪを２つの三角すいＡ－ＩＧＫとＡ－ＪＧＫに分けると簡単です。

▲図１．三角すいＡ－ＩＧＫとＡ－ＪＧＫに分けました

ここで、それぞれの三角すいを
三角すいＡ－ＩＧＫ⇒底面：△ＩＧＫ、高さ：ＡＢ（＝６ｃｍ）
三角すいＡ－ＪＧＫ⇒底面：△ＪＧＫ、高さ：ＡＤ（＝６ｃｍ）
と見ると、体積を求めるためには、△ＩＧＫと△ＪＧＫの面積を求めればよいことが判ります。

そこで図２のように、平面ＢＣＧＦと平面ＣＤＨＧを取り出してみると、△ＩＧＫと△ＪＧＫは、どちらも底辺の長さ３ｃｍ、高さ６ｃｍということが判るので、それらの面積は、３×６×１/２＝９ｃｍ2です。

図２．平面ＢＣＧＦと平面ＣＤＨＧを取り出してみました

したがって、
四角すいＫ－ＡＩＧＪの体積＝三角すいＡ－ＩＧＫの体積＋三角すいＡ－ＪＧＫの体積
　　　　　　　　　　　　　＝９×６×１/３＋９×６×１/３
　　　　　　　　　　　　　＝３６ｃｍ3
で、これが［　１　］の答えです。

続いて［　２　］です。

まず図３のように、平面ＢＤＧを見てみましょう。

▲図３．平面ＢＤＧを紫色で示しました

この平面ＢＤＧで四角すいＫ－ＡＩＧＪを２つの立体に分けるとき、平面ＢＤＧは、四角すいＫ－ＡＩＧＪの辺ＫＡ、辺ＫＩ、辺ＫＪと頂点Ｇで交わり、点Ｋを含む立体は、図４の赤色で示した四角すいになります。

▲図４．平面ＢＤＧで四角すいＫ－ＡＩＧＪを分けると点Ｋを含む立体は四角すいになります

ここで、平面ＢＤＧと辺ＫＡ、辺ＫＩ、辺ＫＪとの交点をそれぞれＬ、Ｎ、Ｏとし、点Ｌから平面ＡＢＣＤに下ろした垂線の足を点Ｍとしました。

そこで［　１　］と同じように、四角すいＫ－ＬＮＧＯを２つの三角すいＫ－ＬＮＧとＫ－ＬＯＧに分けてみましょう。

それぞれの三角すいを
三角すいＫ－ＬＮＧ⇒底面：△ＫＮＧ、高さ：点Ｌから平面ＢＣＧＥまでの垂線の長さ（＝ｔ）
三角すいＫ－ＬＯＧ⇒底面：△ＫＯＧ、高さ：点Ｌから平面ＣＤＨＧまでの垂線の長さ（＝ｔ’）
と見ると、体積を求めるためには、△ＫＮＧと△ＫＯＧの面積と、ｔとｔ’を求めればよいことが判ります。また、点ＬはＡＫ上にあるので、ｔ＝ｔ’です。

初めに、△ＫＮＧと△」ＫＯＧの面積を求めるため、図５のように、平面ＢＣＧＥと平面ＣＤＨＧを取り出します。

▲図５．平面ＢＣＧＥと平面ＣＤＨＧを取り出しました

ここで、平面ＢＣＧＥ上の△ＫＮＧは、△ＩＮＢを縮小した図形（相似図形）なので、点Ｎから辺ＣＧに下ろした垂線の長さが１８/７ｃｍであることが判ります。

同様に、平面ＣＤＨＧ上の点Ｏから辺ＣＧ上に下ろした垂線の長さは１８/５ｃｍになります。

つまり、△ＫＮＧと△ＫＯＧの面積はそれぞれ、３×１８/７×１/２＝２７/７ｃｍ2、および３×１８/５×１/２＝２７/５ｃｍ2となります。

次に、ｔを求めましょう。

まず図６のように、平面ＡＣＧＥを取り出します。

▲図６．平面ＡＣＧＥを取り出しました

ここで、点Ｐは線分ＡＣの中点です。また、線分ＡＫを点Ｋのほうに延長した直線と線分ＥＧを点Ｇのほうに延長た直線の交点をＱとします。

すると、△ＱＫＧは△ＱＡＥを縮小した図形（相似図形）なので、ＥＧ＝ＧＱです。

また、△ＬＧＱは△ＬＰＡを拡大した図形（相似図形）なので、ＧＱ：ＰＡ＝６：３＝２：１で、ＬＧ：ＬＰ＝２：１になります。したがって、ＣＭ：ＭＰ＝２：１で、ＣＭ：ＭＡ＝１：２になります。

次に図７のように、平面ＡＢＣＤを取り出します。

▲図７．平面ＡＢＣＤを取り出しました

ここで、点Ｍから辺ＢＣ、辺ＣＤに下ろした垂線の足をそれぞれ点Ｒおよび点Ｓとすると、ＭＲ＝ＭＳ＝２ｃｍで、これが　ｔ　になります。

以上から
四角すいＫ－ＬＮＧＯの体積＝三角すいＫ－ＬＮＧの体積＋三角すいＫ－ＬＯＧの体積
　　　　　　　　　　　　　＝２７/７×２×１/３＋２７/５×２×１/３
　　　　　　　　　　　　　＝１８/７＋１８/５
　　　　　　　　　　　　　＝２１６/３５ｃｍ3
で、これが［　２　］の答えです。


立体図形の問題をやり慣れていればお目にかかる問題ですが、そうでない人には難しいかもしれません。立体図形問題のポイントは、立体から必要な平面を取り出すことです。面倒臭がらずに平面を描きだしましょう。

中学入試問題（２０）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

北風があって気温も低いのですが、どうやら今年の冬の寒さにも慣れてきたようです。しかし、明日から３日間ほど一段と厳しい寒さになるようで、ここは辛抱のしどころです。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「９桁の整数１２３４５６７８９をＡとします。また、Ａの各桁の数から２個を選び、それらを入れ替えてできる９桁の整数を考えます。このような９桁の整数は全部で３６個あり、これらを小さいものから順に<１>、<２>、・・・、<３６>とします。例えば、<１>＝１２３４５６７９８、<２>＝１２３４５６８７９、<３>＝１２３４５６９８７、<９>＝１２３４８６７５９、<３６>＝９２３４５６７８１　です。
　以下では、<１>、<２>、・・・、<３６>からＡを引いて得られる３６個の整数<１>－Ａ、<２>－Ａ、・・・、<３６>－Ａ　を考えます。例えば、
　<１>－Ａ＝１２３４５６７９８－１２３４５６７８９＝９、<２>－Ａ＝９０、<３６>－Ａ＝７９９９９９９９２
です。

（１）３６個の整数<１>－Ａ、<２>－Ａ、・・・、<３６>－Ａのうち、１０００で割り切れるものは何個ありますか。

（２）３６個の整数<１>－Ａ、<２>－Ａ、・・・、<３６>－Ａのうち、３７で割り切れるものは何個ありますか。

（３）これらの３６個の整数をすべてかけて得られる整数（<１>－Ａ）×（<２>－Ａ）×・・・×（<３６>－Ａ）は３で最大何回割り切れますか。例えば、８１０は３で最大４回割り切れます。」
です。

楽しそうな問題です。１２３４５６７８９から２個の選んでそれらを入れ替えるということは、１個目の選び方が９通りで２個目の選び方が８通りで、１個目と２個目の順序を入れ替えても同じ２個が選ばれるので、９×８÷２＝３６通りで、３６個の整数ができるというわけです。

早速、（１）に取り掛かりましょう。

Ａの２個の数を入れ替えて作った整数を<ｎ>（ｎは１から３６までの整数）とします。

ここでは、<ｎ>－Ａのうち、１０００で割り切れるものを問うているので、
<ｎ>－Ａ＝＊＊＊＊＊＊０００　　　（＊は０から９までの整数）
<ｎ>－１２３４５６７８９＝＊＊＊＊＊＊０００
となります。

つまり、下３桁が７８９の<ｎ>については、<ｎ>－Ａが１０００で割り切れるということです。

そこで、上６桁の数から２個を選んでそれらを入れ替えて作ることができる整数の個数を計算すると、
６×５÷２＝１５個
で、これが答えです。

続いて（２）です。

（１）と比べると難しさがぐっと増しました。ここで、いろいろな戦略が思い浮かぶとおもうのですが、例えば、
・３７で割り切れる⇒１桁目から３桁ごとに区分してそれらの和が３７の倍数⇒<ｎ>－Ａを３桁ごとに区分する
・<ｎ>とＡを別々に扱ってあとでまとめる
・<ｎ>－Ａの構造を調べる
などです。

１番目の方法は繰り下がりが起こるため煩雑になりそうで、２番目の方法はＡが３７の倍数でないので上手くいきそうもありません。

それらに比べると、３番目の方法は有望そうです。というのは、少し頭のなかで計算してみれば判るように、Ａから２個の数を選び入れ替えた整数<ｎ>からＡを引くと、選んだ２個の数の間には９が並び、下のほうの桁は０が並びます。

つまり、
<ｎ>－Ａ＝＊・・＊９・・９＊０・・０　（０を含めて９個の数が並んでいます）
という構造を持っているということです。

それでは、もう少し詳しく<ｎ>－Ａの構造を調べてみましょう。

Ａから選ぶ２個の数をａ、ｂとし、それらの桁をそれぞれｐとｑとします。ここで、ａ＜ｂ、ｐ＞ｑとします。

すると、
ａ＝１０－ｐ
ｂ＝１０－ｑ
が成り立ちます。

ここで、
<ｎ>－Ａ＝１２・・ｂ・・ａ・・８９－１２・・ａ・・ｂ・・８９
を調べると、
・ｑ桁目より小さい桁には０が並び、その個数はｑ－１個
・ｑ桁目は繰り下がりが起きて、１０＋ａ－ｂ＝１０＋１０－ｐ－１０＋ｑ＝１０－ｐ＋ｑ
・ｑ＋１桁目からｐ－１桁目には９が並び、その個数はｐ－ｑ－１個
・ｐ桁目は、ｂ－１－ａ＝１０－ｑ－１－１０＋ｐ＝ｐ－ｑ－１
・ｐ＋１桁目より大きい桁には０が並び、その個数は９－ｐ個
となることが判ります。（実際に筆算してみると判りやすいと思います）

つまり、<ｎ>－Ａを各桁を［　］で区切って表すと、
<ｎ>－Ａ＝［０］～［０］［ｐ－ｑ－１］［９］～［９］［１０－ｐ＋ｑ］［０］～［０］
となります。

ここで、、
赤色でマークした桁の小さいところの［０］は、ｑ－１個、
青色でマークした中間のところの［９］は、ｐ－ｑ－１個
紫色でマークした桁の大きいところの［０］は、９－ｐ個
です。

さらに、ｐ桁目の数ｐ－ｑ－１とｑ桁目の数１０－ｐ＋ｑを足すと、ｐ－ｑ－１＋１０－ｐ＋ｑ＝９になります。（今回は使いませんが）

これで、<ｎ>－Ａの構造が明らかになったわけですが、次に、ｐ－ｑで場合分けしていきます。ここで、ｐ－ｑは、１から８になります。

・ｐ－ｑ＝１のとき、これを満たすｐ、ｑの組合せ（ｐ，ｑ）は、（９，８）（８，７）（７，６）（６，５）（５，４）（４，３）（３，２）（２，１）の８通りです。

また、<ｎ>－Ａは、桁の小さい順に、０がｑ－１個並び、９、０、０が９－ｐ個並ぶことになり、
<ｎ>－Ａ＝９、９０、９００、９０００、・・・、９００００００００
です。

ここで、１０・・・０（０がｋ個）＝１０^k　と表すと、
<ｎ>－Ａ＝９×１０^k
で、これを素因数分解すると、
<ｎ>－Ａ＝３^2×１０^k
となり、これは３７の倍数ではありません。

以下同様に、
・ｐ－ｑ＝２のとき、（ｐ，ｑ）は、（９，７）（８，６）（７，５）（６，４）（５，３）（４，２）（３，１）の７通りで、
<ｎ>－Ａ＝１９８、１９８０、１９８００、・・・、１９８００００００
　　　　＝１９８×１０^k
　　　　＝２×３^2×１１×１０^k
で、これは３７の倍数ではありません。

・ｐ－ｑ＝３のとき、（ｐ，ｑ）は、（９，６）（８，５）（７，４）（６，３）（５，２）（４，１）の６通りで、
<ｎ>－Ａ＝２９９７、２９９７０、２９９７００、・・・、２９９７０００００
　　　　＝３^4×３７×１０^k
で、これは３７の倍数です。

・ｐ－ｑ＝４のとき、（ｐ，ｑ）は、（９，５）（８，４）（７，３）（６，２）（５，１）の５通りで、
<ｎ>－Ａ＝３９９９６、３９９９６０、３９９９６００、・・・、３９９９６００００
　　　　＝２^2×３^2×１１×１０１×１０^k
で、これは３７の倍数ではありません。

・ｐ－ｑ＝５のとき、（ｐ，ｑ）は、（９，４）（８，３）（７，２）（６，１）の４通りで、
<ｎ>－Ａ＝４９９９９５、４９９９９５０、４９９９９５００、４９９９９５０００
　　　　＝３^2×５×４１×２７１×１０^k
で、これは３７の倍数ではりません。

・ｐ－ｑ＝６のとき、（ｐ，ｑ）は、（９，３）（８，２）（７，１）の３通りで、
<ｎ>－Ａ＝５９９９９９４、５９９９９９４０、５９９９９９４００
　　　　＝２×３^4×３７×１００１×１０^k
で、これは３７の倍数です。

・ｐ－ｑ＝７のとき、（ｐ，ｑ）は、（９，２）（８，１）の２通りで、
<ｎ>－Ａ＝６９９９９９９３、６９９９９９９３０
　　　　＝３^2×７×２３９×４６４９×１０^k
で、これは３７の倍数ではありません。

・ｐ－ｑ＝８のとき、（ｐ，ｑ）は、（９，１）の１通りで、
<ｎ>－Ａ＝７９９９９９９９２
　　　　＝２^3×３^2×１１×７３×１０１×１３７
で、これは３７の倍数ではありません。

以上から、<ｎ>－Ａが３７の倍数になるのは、ｐ－ｑが３と６の場合で、それぞれの場合のｐ、ｑの組合せは、６通りと３通りなので、それらを合わせて９通りです。

したがって、<ｎ>－Ａで３７で割り切れるものは９個で、これが答えです。

最後の（３）は、（２）の結果を利用して簡単に計算することができます。

（２）のそれぞれの場合の<ｎ>－Ａにある３の因数の個数とｐ、ｑの組合せの数を掛けて、すべての場合について足し合わせればＯＫです。

つまり、
２×８＋２×７＋４×６＋２×５＋２×４＋４×３＋２×２＋２×１＝９０
で、整数（<１>－Ａ）×（<２>－Ａ）×・・・×（<３６>－Ａ）は３で最大９０回割り切れます。


（２）の各場合分けでは素因数分解しましたが、直接３７で割って割り切れるか（または、判別法と使うなど）調べれば十分です。面白い問題でした。

中学入試問題（１９）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

冬らしい寒い日が続きますが、今日が大寒で立春まで半月です。この期間の寒さが一番厳しいそうですが、もう少しの辛抱です。風邪など引かぬよう暖かくして勉強しましょう。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「１から２０１６までの数字が書かれたカードが、それぞれ１枚ずつあります。これら２０１６枚のカードが横一列に並んでおり、カードに書かれている数字は、左から１、２、３、４、５、６、・・・、２０１５、２０１６のように１ずつ大きくなっています。このカードの列に、次の操作を繰り返し行います。

　　操作：カードの列の一番左にあるカードを取り除く。その後、カードの列の一番左にあるカードを、カードの列の一番右に移す。

　例えば、列に並んでいるカードに書かれている数字は、左から順に次のようになります。
　　【１回目の操作の後】　３、４、５、６、・・・、２０１５、２０１６、２
　　【２回目の操作の後】　５、６、・・・、２０１５、２０１６、２、４

（１）１００９回目の操作で、［　　］という数字が書かれたカードを取り除きます。
（２）［　　］回目の操作で、１０００という数字が書かれたカードを取り除きます。
（３）［　　］回目の操作で、２０１６という数字が書かれたカードを取り除きます。
（４）２０００回目の操作が終わったとき、カードの列には１６枚のカードが残ります。これらの１６枚のカードに書かれている数字は、
　　　いずれも［　１　］で割ると［　２　］余ります。
　　　ただし、空欄の［　２　］に入る数は０ではありません。
（５）２０１５回目の操作でカードを取り除くと、［　　］という数字が書かれたカードだけが残ります。」
です。

問題に挙げてある例や、または、それをもう少し進めてみると、２０１６枚のカードに対して操作を一巡させた後に、２の倍数の１００８枚のカードが小さい順に並ぶことが判ります。

さらに、残った１００８枚のカードに対して２巡目の操作を施すと、４の倍数の５０４枚のカードが小さい順に並びます。

以下同様に、３巡目の後、２５２枚の８の倍数、４巡目の後、１２６枚の１６の倍数、５巡目の後、６３枚の３２の倍数、となります。

ところが、５巡目の後に残ったカードが６３枚なので、６巡目の後はズレが起きて１から５巡目までのように簡単ではありません。（難しくもありませんが）　この点に気を付ければ簡単に正解できるでしょう。

では、問題に取り掛かりましょう。

まず、（１）です。

１００８回目の操作後、奇数のカードをすべて取り除き終わり、残った１００８枚のカードの列の一番左には２があります。したがって、１００９回目の操作で取り除くカードは２で、これが答えです。

続いて（２）です。

１０００は、８の倍数ですが１６の倍数でないので、４巡目の途中で取り除かれることになります。

ここで、３巡目が終わった時点での操作回数の合計を求めておくと、それは、１００８＋５０４＋２５２＝１７６４回になります。

このとき、カードの列の一番左には８があり、１０００のカードは左から１２５枚目です。（１０００÷８＝１２５）　１回の操作で左側から２枚のカードが無くなる（１枚は取り除かれ、もう１枚は右に移動します）ので、１０００のカードが取り除かれるのは、４巡目が始まって６３回目の操作後です。

したがって、１０００のカードが取り除かれるのは、１７６４＋６３＝１８２７回目となり、これが答えです。

（３）に進みます。

２０１６は、３２の倍数なので５巡目の後のカードの列に残っています。このときの状況は、
操作回数の合計：　１９５３回
カードの列　　：　３２、６４、９６、・・・、１９８４、２０１６
カードの枚数　：　６３枚
です。

ここで、（２）と同じように２０１６のカードが取り除かれる操作回数は、６巡目が始まって３２回目の操作後です。

したがって、２０１６のカードが取り除かれるのは、１９５３＋３２＝１９８５回目となり、これが答えです。

（４）です。

１９８５回目の操作が終わった時点のカードの列は、１２８、１９２、・・・、１９８４、６４　で、３１枚のカードがあります。

この状態から１５回操作を繰り返し１５枚のカードを取り除くわけですが、このとき取り除かれるカードは１２８の倍数で、そのなかの最も大きい数字は、１２８×１５＝１９２０なので、カードの列にあった１２８の倍数はすべて取り除かれます。

つまり、残った１６枚のカードに書かれている数字は、６４の倍数で、かつ１２８の倍数でない数になるので、［　１　］は１２８、［　２　］は６４で、これが答えです。

最後の（５）です。

（４）から、２０００回目の操作の後のカードの列は、
６４、１９２、３２０、４４８、５７６、７０４、８３２、９６０、１０８８、１２１６、１３４４、１４７２、１６００、１７２８、１８５６、１９８４
です。

ここから操作を繰り返すと、左から奇数番目のカードが取り除かれ、上の１６枚のカードを１巡した後８枚のカードが残り、同様に次の巡の後４枚、・・・と続くので、最後まで残るカードは左から１６番目にある１９８４で、これが答えです。


落ち着いて勘定していけば簡単な問題です。慌てずにしっかり正解してください。

中学入試問題（１８）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

北西の風が吹いていて外は寒いのですが、室内は昨日より少し暖かく感じます。明後日まで同じくらいの気温の日が続きますが、土曜日にはまた寒気が入ってきて雪になるようです。受験生の皆さんは暖かくして勉強してください。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「下の図の三角形ＡＢＣにおいて、２本の直線ＡＤとＢＦは点Ｐで垂直に交わっています。また、
　　（ＢＤの長さ）：（ＤＣの長さ）＝３：２
　　（ＡＢの長さ）：（ＣＦの長さ）＝３：２
です。このとき、ＦＤの長さはＡＦの長さのか［１］倍で、四角形ＦＤＣＥの面積は三角形ＡＢＣの面積の［２］倍です。」
です。

▲問題図

まず、図１のように与えられた比の条件を書き入れましょう。

▲図１．比の条件を書き入れました

２つの条件のうち、（ＢＤの長さ）：（ＤＣの長さ）＝３：２は素直なパターンですが、（ＡＢの長さ）：（ＣＦの長さ）＝３：２は一見風変わりで、この問題を難しく感じさせる原因になっているかもしれません。

ところが、逆に言えば、（ＡＢの長さ）：（ＣＦの長さ）＝３：２の条件の利用の仕方が判ればこの問題は解けるということです。例えは悪いですが、決定的な遺留品を残した犯人を捕まえる刑事になった気分で犯人（＝問題）を追い詰めていけばいいでしょう。

そういった訳で、本問は、（ＡＢの長さ）：（ＣＦの長さ）＝３：２を中心に展開していくのですが、もう一人共犯がいて、それは∠ＡＦＢ＝９０°です。

それに気が付くと、この直角と辺ＡＢとの位置関係が同じようなるように、線分ＣＦの点Ｅ側か点Ｄ側に直角を置きたくなります。（実は、点Ｄ側に直角を置くことは考えません。というのは、点Ｅ側に直角を置いたとき、（ＢＤの長さ）：（ＤＣの長さ）＝３：２が使えることが直ぐに判って、「よっしゃ！捕まえた」となってしまうので）

そこで図２のように、線分ＢＥの延長上に、∠ＣＧＦ＝９０°となる点Ｇをとります。

▲図２．線分ＢＥの延長上に点Ｇをとりました

すると、△ＢＣＧは△ＢＤＦを拡大した図形（相似図形）なので、
ＢＤ：ＤＣ＝ＢＦ：ＦＧ＝３：２
ＦＤ：ＧＣ＝３：５　　　　　（１）
です。（ＢＤはＢＤの長さを表します。以下、同じです）

そして、△ＦＡＢと△ＧＣＦを比べると、
∠ＡＦＧ＝∠ＣＧＦ＝９０°
ＡＢ：ＣＦ＝３：２
ＦＢ：ＧＦ＝３：２
と、△ＧＣＦは△ＦＡＢを縮小した図形になっていて、
ＦＡ：ＧＣ＝３：２　　　　　（２）
です。（中学校で勉強する三角形の相似条件では、「２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」となっているので、あてはまらないと思われる方のいらっしゃるかと思いますが、直角三角形の合同条件と同じように、直角三角形では、斜辺と他の１辺の比がそれぞれ等しければ相似になります）

ここで、（１）（２）から
ＦＤ：ＧＣ：ＦＡ＝３：５：１５/２
ＦＤ：ＦＡ＝３：１５/２＝２/５：１
です。

したがって、ＦＤの長さはＡＦの長さの２/５倍で、これが［１］の答えです。

次に［２］です。

四角形ＦＤＣＥの面積は、△ＡＢＣの面積から△ＡＢＤの面積と△ＡＥＦの面積を引いたものなので、△ＡＢＤと△ＡＥＦの面積を求めることができれば答えを求めることができます。

ここで、△ＡＢＤの面積は△ＡＢＣの面積にＢＤ/ＢＣを掛ければ計算できるので簡単そうです。

次に、△ＡＥＦですが、［１］の答えから△ＡＢＦの面積は計算できるので、ＢＦとＦＥとの比が判れば、△ＡＥＦの面積を計算できます。

そこで、図３のように△ＡＦＥが△ＣＧＥを拡大した図形（相似）であることを利用しましょう。

▲図３．△ＡＦＥは△ＣＧＥを拡大した図形です

△ＡＦＥは△ＣＧＥを拡大した図形なので、
ＦＥ：ＥＧ＝３：２
ＦＥ：ＦＧ＝３：５　　　（３）
です。

ここで判りやすくするため、図４のように線分ＢＧを抜き出します。

▲図４．線分ＢＧを抜き出しました

図４から
ＢＦ：ＦＧ＝３：２
と（３）から
ＢＦ：ＦＥ＝３：６/５
となり、ＢＦとＦＥとの比を求めることができました。

これで準備完了です。これからの四角形ＦＤＣＥの面積計算に必要な比（簡単な整数比に直しました）を図５に示します。

▲図５．四角形ＦＤＣＥの面積を計算します

ここからは一気にフィニッシュにもっていきましょう。

四角形ＦＤＣＥの面積＝△ＡＢＣの面積－△ＡＢＤの面積－△ＡＦＥの面積　（以下、「の面積」を省略します）
で、
△ＡＢＤ＝３/５×△ＡＢＣ
△ＡＢＦ＝５/７×△ＡＢＤ
　　　　＝５/７×３/５×△ＡＢＣ
　　　　＝３/７×△ＡＢＣ
△ＡＦＥ＝２/５×△ＡＢＦ
　　　　＝２/５×３/７×△ＡＢＣ
　　　　＝６/３５×△ＡＢＣ
です。

つまり、
四角形ＦＤＣＥ＝△ＡＢＣ－３/５×△ＡＢＣ－６/３５×△ＡＢＣ
　　　　　　　＝（３５－２１－６）/３５×△ＡＢＣ
　　　　　　　＝８/３５×△ＡＢＣ
です。

したがって、四角形ＦＤＣＥの面積は三角形ＡＢＣの面積の８/３５倍で、これが答えです。


なかなか面白い問題でした。繰り返しになりますが、こんな問題をスラスラ解く小６生というのは凄いですね。感心します。

中学入試問題（１７）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今朝、教室に来る途中の道は凍結しているところもあったので、ゆっくり気を付けて歩いてきました。特に受験生の皆さんは、怪我などしないように慎重に歩きましょう。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「下の図のような正六角形ＡＢＣＤＥＦがあり、点Ｐ、Ｑ、Ｒは、それぞれ辺ＡＢ、ＢＣ、ＤＥの真ん中の点です。２本の直線ＰＲ、ＱＦは点Ｓで交わっています。このとき、三角形ＱＲＳの面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の［　］倍です。」
です。

▲問題図

簡単そうな図形問題で、点Ｓの位置を決めることができれば解決できそうです。

点Ｓは線分ＰＲと線分ＦＱ上にありますが、ここでは線分ＰＲのほうが制約的（例えば、正六角形の中心を通る）なので、線分ＰＲを基準にして点Ｓの位置を決めるのがよいでしょう。

そこで、図１のように線分ＰＲに直交する線分ＣＦと線分ＱＭを引きます。ここで、線分ＰＲと線分ＣＦの交点をＯ、線分ＰＲと線分ＱＭの交点をＮとしました。

▲図１．線分ＣＦと線分ＱＭを引きました

すると、△ＳＦＯは、△ＳＱＮを拡大したもの（相似形）になっていることが判ります。つまり、これらの２つの三角形の比を求めることができれば、点Ｓの位置を決めることができそうです。

そこで、△ＳＦＯと△ＳＱＮとの比を求めるために、線分ＦＯと線分ＱＮに注目します。

まず線分ＦＯですが、線分ＦＣの長さが線分ＡＢの長さの２倍で、点Ｏは線分ＦＣの中点ですから、線分ＦＯの長さは線分ＡＢの長さと等しくなります。

次に線分ＱＮですが、点Ｑと点Ｍは、それぞれ線分ＢＣと線分ＡＦの中点なので、線分ＱＭの長さは、線分ＡＢの長さと線分ＣＦの長さの和の１/２、つまり、線分ＡＢの長さ３/２です。そして、点Ｎは線分ＱＭの中点なので、線分ＱＮの長さは線分ＡＢの長さの３/４です。

これらから図２のように、△ＳＦＯと△ＳＱＮの比を求めることができました。ここで、線分ＡＢの長さをａ、線分ＰＲの長さをｂとしました。

▲図２．△ＳＦＯと△ＳＱＮの比を求めることができました

続いて、線分ＯＳの長さを求め、さらに線分ＳＲの長さを求めましょう。

線分ＯＮの長さはｂ/４で、点Ｓは線分ＯＮを　ａ：３ａ/４＝４：３　に内分する点なので、線分ＯＳの長さは、
ｂ/４×４/７＝ｂ/７
です。

また、線分ＯＲの長さはｂ/２なので、線分ＳＲの長さ（線分ＯＮの長さ＋線分ＯＲの長さ）は、
ｂ/７＋ｂ/２＝９ｂ/１４
です。

すると、図３のように△ＱＲＳは、底辺をＳＲ、高さをＮＱとする三角形なので、その面積Ｔは、
Ｔ＝９ｂ/１４×３ａ/４×１/２
　＝２７ａｂ/１１２
になります。

▲図３．△ＱＲＳの面積を求めることができました

一方、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積Ｈは、図４にあるように、正三角形ＯＡＢの面積の６倍で、正三角形ＯＡＢの面積は、ａ×ｂ/２×１/２＝１/４×ａｂなので、
Ｈ＝１/４×ａｂ×６
　＝３ａｂ/２
です。

▲図４．正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積を求めます

最後に、三角形ＱＲＳの面積と正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の比をとると、
Ｔ/Ｈ＝２７ａｂ/１１２÷３ａｂ/２
　　 ＝２７/１１２×２/３
　　 ＝９/５６
で、答えは９/５６倍です。


昨日、灘中の合格発表がありました。合格された皆さんも、残念な結果に終わった皆さんも、このような難しい問題に挑戦したことは素晴らしいことだと思います。これからも頑張ってください。

中学入試問題（１６）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

結構な量の雪が降り、教室の前にも少し積もっていたので、久しぶりに雪かきをしました。今回の雪は水気が多く、さらに午後から晴れて、その後も晴れの日が続くので、直ぐに融けてくれそうです。滑って転ばないように気をつけて歩きましょう。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「７７７７７７７７７７（７が１０個）×７７７７７７７７７７（７が１０個）を計算すると２０桁の整数になります。この２０桁の整数の上の１０桁、下の１０桁を取り出して、それぞれ１０桁の整数Ａ、Ｂをつくります。このとき、Ａ＋Ｂ＝［　］です。
　ただし、例えば４桁の整数５６７８の上２桁、下２桁を取り出して、それぞれ２桁の整数Ｃ、Ｄをつくると、Ｃ＝５６、Ｄ＝７８、Ｃ＋Ｄ＝１３４です。」
です。

実は、スマートな解き方を見つけていなくて、少し力ずくといった感のある解き方になってしまいました。

実際に、７，７７７，７７７，７７７×７，７７７，７７７，７７７を計算しＡ、Ｂを求めてもよいのでしょうが、さすがに煩雑ですので、
７，７７７，７７７，７７７×７，７７７，７７７，７７７＝４９×１，１１１，１１１，１１１×１，１１１，１１１，１１１
と変形しましょう。この右辺の１，１１１，１１１，１１１×１，１１１，１１１，１１１は簡単に計算できそうです。

例えば、１１×１１＝１２１、１１１×１１１＝１２，３２１などのように、１１１・・・１×１１１・・・１＝１２３・・・３２１のようになり、さらに１１１・・・１の桁数をｎとすると、積の桁数は２ｎ－１です。

つまり、９桁の１１１，１１１，１１１同士を掛け合わせると、
１１１，１１１，１１１×１１１，１１１，１１１＝１２，３４５，６７８，９８７，６５４，３２１
と数字が順番に並んだ１７桁の数になります。

ところが、この問題では１０桁の１，１１１，１１１，１１１同士を掛け合わせなければならないので少し複雑になります。とは言っても難しくはなく、各桁の数字は、
１，２３４，５６７，８９（１０），９８７，６５４，３２１　　（１０）は１０桁目の数字
となります。

ここで、１０桁目の（１０）を繰り上げて、
１，２３４，５６７，９００，９８７，６５４，３２１
となります。

ここまでで、
７，７７７，７７７，７７７×７，７７７，７７７，７７７
＝４９×１，２３４，５６７，９００，９８７，６５４，３２１
となり、大分計算が楽になりました。

ここで１，２３４，５６７，９００，９８７，６５４，３２１に５０を掛けて、その積から１，２３４，５６７，９００，９８７，６５４，３２１を引いても簡単に計算できます。

しかし、ここではもう少し簡単になるか調べてみましょう。

そこで、問題にあるように、ここでは、上１０桁（Ａ）と下１０桁（Ｂ）を求めればよいので、１，２３４，５６７，９００，９８７，６５４，３２１に４９を掛けたときのＡ、Ｂを調べます。

初めにＡですが、４９が２桁の数なので、Ａは、１，２３４，５６７，９００，９８７，６５４，３２１の上から９桁の数と下から繰り上がってくる数との和になります。

つまり、
Ａ＝４９×１２３，４５６，７９０＋α
です。

ここでαは、
４９×９＝４４１、４９×１０＝４９０　（左辺の９は１，２３４，５６７，９００，９８７，６５４，３２１の９桁目の数字）
から
α＝４
です。

つまり、
Ａ＝４９×１２３，４５６，７９０＋４
になります。

次にＢですが、Ａのときと同様に４９が２桁の数なので、１，２３４，５６７，９００，９８７，６５４，３２１の下から９桁の数と上に繰り上がる数との差になります。

つまり、
Ｂ＝４９×９８７，６５４，３２１－β
です。

ここでβは、
β＝α×１０，０００，０００，０００
　＝４０，０００，０００，０００
なので、
Ｂ＝４９×９８７，６５４，３２１－４０，０００，０００，０００
です。

以上から、
Ａ＋Ｂ＝４９×１２３，４５６，７９０＋４＋４９×９８７，６５４，３２１－４０，０００，０００，０００
　　　＝４９×（１２３，４５６，７９０＋９８７，６５４，３２１）＋４－４０，０００，０００，０００
　　　＝４９×１，１１１，１１１，１１１＋４－４０，０００，０００，０００
　　　＝４０×１，１１１，１１１，１１１＋９×１，１１１，１１１，１１１＋４－４０，０００，０００，０００
　　　＝４４，４４４，４４４，４４０＋１０，０００，０００，０００－１＋４－４０，０００，０００，０００
　　　＝１，４４４，４４４，４４３
となり、これが答えです。


最後のＡ＋Ｂの計算途中の赤色でマークした　１２３，４５６，７９０＋９８７，６５４，３２１＝１，１１１，１１１，１１１　のような式が出現したりするので、エレガントな解き方があるような気がするのですが、まだ分かりません。もう少し調べてみますが、ご存知の方がいらっしゃれば是非、ご教示ください。

中学入試問題（１５）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午前中は晴れていましたが、今はすっかり曇ってしまいました。これから天気は崩れ、明朝は雪になる予報です。暖かくして勉強してください。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「１０００以下の整数のうち、２でも３でも５でも割り切れない整数を小さいものから順に並べると
　　１、７、１１、１３、１７、・・・、９９７
となります。このなかで、一の位の数が７である整数は全部で［１］個あります。また、７で割り切れる整数は全部で［２］あります。」
です。

よく見かける約数の個数も問題です。

まず、［１］からです。

１０００以下の整数で、一の位の数が７である整数は、７、１７、２７、３７、、４７、５７、６７、７７、８７、９７、１１７、１２７、・・・と、０から１００の間に１０個、１００から２００の間に１０個というように、同じ百の位の数を持つ１００個の整数のなかに１０個あります。

つまり、１０００以下の整数のなかには、１０×１０＝１００個あります。

一方、一の位の数が７の整数は、２の倍数でも５の倍数でもありませんが、例えば２７のように、３の倍数であることがあるので、一の位の数が７の整数のうち３の倍数である整数の個数を求め、先ほどの１００個）から引かなければなりません。

そこで、一の位の数が７で、かつ、３の倍数である整数を勘定します。式を使ってもよいのですが、ここは数え上げたほうが早そうです。

まず、
百の位が０のとき　２７、５７、８７
百の位が１のとき　１１７、１４７、１７７
百の位が２のとき　２０７、２３７、２６７、２９７
百の位が３のとき　３２７、３５７、３８７
　　　　　　　・・・・・
となり、これらの個数の合計は、３＋３＋４＋３＋３＋４＋３＋３＋４＋３＝３３個です。

したがって、
１００－３３＝６７個
が、［１］の答えになります。

続いて［２］です。

図１のようにベン図を描きましょう。図の数字は囲まれた部分に含まれる整数の個数です。

▲図１．２、３、５の倍数の個数をベン図にしました

ここで、図１のベン図のなかに７の倍数の情報を書き込んでいきます。

例えば、ベン図の中央にある２、３、５の倍数３３個のなかの７の倍数を計算します。

これは、２、３、５、７の倍数の個数なので、１０００÷（２×３×５×７）＝４・・・１６０から、４個です。

同様にして、図１のすべての部分の７の倍数の個数を求めると、図２のようになります。

▲図２．各部分の７の倍数の個数

一方、１０００以下の整数で７で割り切れる整数の個数は、１０００÷７＝１４２・・・６から、１４２個なので、１０００以下の整数で、２、３、５で割り切れずに７で割り切れる整数の個数は、
１４２－３８－１９－１９－４－１０－５－９＝３８個
で、これが［２］の答えです。


まだ詳しく見ていませんが、今年の灘中の問題は難しそうなのが多いような気がします。受験生の皆さん、ご苦労さまでした。