「双子素数」

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

梅雨が明けて朝から良い天気です。気温もどんどん上がって３３度に達する予想で熱中症に気をつけてください。

昨日は「素数沙漠」について紹介しましたが、今回はその対極にある「双子素数」についてです。

「双子素数」というのは、３と５、１１と１３のように隣り合った素数の隔たりが２の素数ペアのことで、英語では、“Ｔｗｉｎ　ｐｒｉｍｅ”　と言います。手元にある資料では、２０１３年時点で見つかっている「双子素数」の最大のものは、
３７５６８０１６９５６８５×２^666669－１
と
３７５６８０１６９５６８５×２^666669＋１
のだそうです。

このような「双子素数」が無限個存在するという「双子素数予想」というものがあって、これも解決されていない難問です。この「双子素数予想」の根拠になっているのが、天才数学者ガウスが１５歳のときに予想した、自然数ｎが素数である確率
１/ｌｏｇｎ　　　（ｌｏｇ　は自然対数です）
で、これはその後、ド・ラ・バレー・プーサンとジャック・アダマールが証明し、「素数定理」と呼ばれています。

この「素数定理」によると、Ｎ桁の数が素数である確率は、およそ、
１/（２．３×Ｎ）　　　　（１）
で、従ってＮ桁の素数の個数は、およそ、
（９×１０^(N-1)）/（２．３×Ｎ）
となります。

次に、Ｎ桁の素数が（１）の確率でランダムに分布しているとすると、Ｎ桁の素数ｐに対してｐ＋２が素数である確率は、およそ、
１/（２．３×Ｎ）^2
になり、Ｎ桁の「双子素数」の個数は、およそ、
（９×１０^(N-1)）/（２．３×Ｎ）^2　　（２）
となります。

ここで、Ｎが大きくなると、１０^(N-1)　はＮ^2　より速く大きくなるので、（２）の値は増大していくことになります。つまり、「双子素数」の個数は増えていくことになります。

以上が「双子素数予想」の根拠なのですが、素数がランダムに分布しているかどうか判らないので、「双子素数予想」は数学上の未解決問題となっています。

ところが、昨年、「双子素数予想」について大きな進展がありました。ニューハンプシャー大学の張益唐博士が、隣り合った素数の隔たりが、７千万以下のものが無限組存在することを証明しました。「双子素数」では隣り合った素数の隔たりが２なので７千万では程遠いようですが、ある値で限定したことは画期的で、その後、猛烈な勢いで研究され、今年にはこの隔たりが２５２という研究結果も出てきているようです。「双子素数予想」の解決する日も遠くないのかも知れません。