都立御三家の確率問題（５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日より寒くなったので、少し厚手のセーターを着てきました。明日は気温が少し上がるようですが、もう１１月なので段々寒くなっていきます。受験生の皆さんは、体調に気をつけて、入試の準備を進めてください。

さて、今回は都立御三家の確率問題です。

問題は平成２３年度日比谷で出題されたもので、それは、
「１から６までの目の出る大小１つずつのさいころを同時に投げる。
　大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとし、ａとｂの積をｃとするとき、√（２１６/ｃ）の値が整数になる確率を求めよ。
　ただし、大小２つのさいころはともに、１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。」
です。

まず、１から６までのａ、ｂについて、それぞれ√（２１６/ｃ）を計算して表を作りましょう。その結果が下表です。

▲表．１から６までのａ、ｂに対応する√（２１６/ｃ）の値

この表から、すべての場合の数は３６通り、√（２１６/ｃ）が整数になる場合の数は６通りと判るので、√（２１６/ｃ）が整数になる確率は、６/３６＝１/６で、これが答えです。

次に、表を利用しない解き方を調べましょう。

２１６を素因数分解すると、２１６＝２^3×３^3 です。

√（２１６/ｃ）が整数になるためには、２１６/ｃが平方数にならなくてはなりません。したがって、ｃは因数として、２を１つまたは３つ、かつ、３を１つまたは３つ持たなければなりません。

つまり、可能なｃは、２×３＝６、２^3×３＝２４、２×３^3＝５４、２^3×３^3＝２１６になります。

ところが、ｃ＝ａｂで、１≦ａ、ｂ≦６　（ａ、ｂは整数）なので、１≦ｃ≦３６ですから、結局ｃの取り得る値は、６または２４となります。

そこで、ｃ＝６となるａ、ｂの組合せ（ａ，ｂ）を調べると、それは、（１，６）（２，３）（３，２）（６，１）の４通りです。

さらに、ｃ＝２４となるものは、（４，６）（６，４）の２通りで、ｃ＝６と２４の場合を合わせると６通りになります。

すべての場合の数は３６通りなので、求める確率は、６/３６＝１/６になります。


この問題のように根号を持つ数が整数になるというような場合、根号のなかの数を素因数分解するのが定石です。しっかり覚えておきましょう。

都立共通問題の確率問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

陽が射して暖かい日になりました。週末は少し気温が下がるようですがいい天気が続くようです。

さて、今回は都立共通問題の確率問題です。

問題は平成２２年度のもので、それは、
「１から６までの目の出る大小１つずつのさいころを同時に１回投げる。
　大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとするとき、ｂがａの倍数となる目の出方は全部で何通りあるか。」
です。

確率ではなく場合の数を求める問題です。

早速、表を作りましょう。下表は、ｂをａで割ったときの商をまとめたものです。

▲表．ｂをａで割った商をまとめました

ここで、ｂがａの倍数になるというのは、ｂをａで割った商が整数になるということです。そこで、表で整数の個数を数えると１４通りで、これが答えです。

次に、表を使わない解き方を調べてみます。

ｂがａの倍数ということは、ａはｂの約数ということなので、ｂ＝１．２，・・・，６に対して、それぞれの約数の個数の和が求める場合の数になります。

そこで、実際に調べてみると、
・ｂ＝１のとき、１個（約数１）
・ｂ＝２のとき、２個（約数１、２）
・ｂ＝３のとき、２個（約数１、３）
・ｂ＝４のとき、３個（約数１、２、４）
・ｂ＝５のとき、２個（約数１、５）
・ｂ＝６のとき、４個（約数１、２、３、６）
で、これらの約数の個数の和は、１＋２＋２＋３＋２＋４＝１４で、答えは１４通りになります。


都立共通問題の大問１には確率・場合の数の問題が出題されることが多いですが、確率を問うているのか、場合の数を問うているのか、しっかり確認して解答しましょう。

都立御三家の確率問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

ときどき陽が射しますが雲の多い天気です。気温も２０℃に届かず昨日に比べてぐっと低くなりました。特に受験生の皆さんは風邪など引かぬよう体調に気をつけて過ごしてください。

さて、今回は都立御三家の確率問題です。

問題は平成２４年度日比谷のもので、それは、
「１から６までの目の出る大小１つずつのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとする。
　半径がａｃｍで、弧の長さがｂｃｍのおうぎ形の面積をＳｃｍ2とするとき、Ｓが３の倍数になる確率を求めよ。
　ただし、大小２つのさいころはともに、１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。」
です。

おうぎ形の面積Ｓが、半径ａ、弧の長さｂのとき、Ｓ＝ａｂ/２となることを知っていれば、１から６までのａ、ｂについてＳを計算して、それが３の倍数かどうかを調べればお仕舞いです。

もし、Ｓ＝ａｂ/２を知らなくても、おうぎ形の面積とそのおうぎ形を含む円の面積との比が、弧の長さと円周の長さとの比と同じになることからＳ＝ａｂ/２を導くことができます。

まず下図のように、おうぎ形の面積Ｓ（扇形）、半径ａ、弧の長さｂとすると、おうぎ形を含む円の面積Ｓ’（円）＝πａ^2、円周の長さ＝２πａになります。

▲図．おうぎ形と円の面積と弧の長さと円周

すると、おうぎ形の面積Ｓ（扇形）＝Ｓ’（円）×ｂ/（２πａ）＝πａ^2×ｂ/（２πａ）＝ａｂ/２と先ほどの式を導くことができます。

そこで確率の計算ですが、１～６までのａ、ｂについてＳ＝ａｂ/２を計算して下表を作ります。

▲表．１～６までのａ、ｂに対するＳの値

この表でＳが３の倍数になっている場合の数は１５通りで、すべての場合の数は３６通りなので、Ｓが３の倍数になる確率は、１５/３６＝５/１２で、これが答えです。

次に表を作らない解き方を調べましょう。

Ｓ＝ａｂ/２を変形して、
２Ｓ＝ａｂ　　　　　　　　　　　　　（１）
とします。ここで、１≦ａ，ｂ≦６，　ａ，ｂは整数です。

Ｓが３の倍数なので、（１）の左辺は６の倍数で、つまり、ａｂは６の倍数になります。

ここで、ａが６の倍数、３の倍数で６の倍数でない、２の倍数で６の倍数でない、それ以外の４つの場合に分けて調べていきます。

・ａが６の倍数（つまりａ＝６）のとき、ｂはどれでもＯＫなので、ａｂが６の倍数になる確率は１/６×６/６＝６/３６
・ａが３の倍数（つまりａ＝３）のとき、ｂは２の倍数なのでｂ＝２、４、６で、ａｂが６の倍数になる確率は１/６×３/６＝３/３６
・ａが２の倍数（つまり、ａ＝２、４）のとき、ｂは３の倍数なのでｂ＝３、６で、ａｂが６の倍数になる確率は、２/６×２/６＝４/３６
・ａが上記以外（つまり、ａ＝１、５）のとき、ｂは６の倍数なのでｂ＝６で、ａｂが６の倍数になる確率は、２/６×１/６＝２/３６
です。

したがって、上記のすべての場合でａｂが６の倍数になる確率は、６/３６＋３/３６＋４/３６＋２/３６＝１５/３６＝５/１２となります。


この問題ではおうぎ形の面積を導入して一捻りしていますが、簡単な整数問題を使う場合も多くあります。いずれにしても基本的なものなので、慌てずに対処してください。

都立共通問題の確率問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報が外れて昨夜は雨が降らなかったようで、今日も晴れのいい天気になりました。教室の掃除をしていると汗をかくくらい暖かくなりました。

さて、今回は都立共通問題の確率問題です。

問題は平成２３年度のもので、それは、
「下図のように、１、２、３、４、５の数字を１つずつ書いた５枚のカードがある。
　この５枚のカードから同時に２枚のカードを取り出すとき、取り出した２枚のカードに書いてある数の積が１０未満になる確率を求めよ。
　ただし、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。」
です。

▲問題図

まず図１のように樹形図を作ってしまいましょう。

▲図１．樹形図

図１で、黒の数字が取り出したカードの数で、その右にある（　）の数字が２枚のカードの数の積です。赤のものが１０未満、青のものが１０以上です。

ここで、すべての場合の数は４×５＝２０通り、積が１０未満になる事象の場合の数は１２通りなので、積が１０未満になる確率は、（積が１０未満になる事象の場合の数）÷（すべての場合の数）から、１２/２０＝３/５で、これが答えです。

次に樹形図を使わない解き方を調べましょう。

取り出した２枚のカードの数をそれぞれａ、ｂとします。

与えられた条件を立式すると、
１≦ａ≦５，　ａは整数
１≦ｂ≦５，　ｂは整数
ａ≠ｂ
２≦ａｂ≦９
となります。（ａ、ｂのどちらかが１のとき、他のものは２以上なので、２≦ａｂと4なります）

ここで、ａ＝１、２、３，４，５のそれぞれの場合について、２≦ａｂ≦９を満たすｂを調べていきます。

・ａ＝１のとき、　　２≦ｂ≦９　　なので、これを満たすｂは、２、３、４、５　（４通り）
・ａ＝２のとき、　　１≦ｂ≦９/２ なので、これを満たすｂは、１、２、４　　　（３通り）
・ａ＝３のとき、 ２/３≦ｂ≦３　　なので、これを満たすｂは、１、２　　　　　（２通り）
・ａ＝４のとき、 ２/４≦ｂ≦９/４ なので、これを満たすｂは、１、２　　　　　（２通り）
・ａ＝５のとき、 ２/５≦ｂ≦９/５ なので、これを満たすｂは、１　　　　　　　（１通り）
で、ａとｂの組合せは１２通りです。

一方、ａが１から５までの１つの数になる確率は１/５で、ｂがそれ以外の数になる確率は１/４なので、ａとｂのある１組の数の組合せができる確率は１/５×１/４＝１/２０です。

以上から２≦ａｂ≦９となる確率は、１/２０×１２＝３/５になります。


本問では「未満」という言葉がでてきましたが、１０未満は１０を含みません。他の範囲を示す言葉には、「より大きい（小さい）」や「以上（以下）」などがありますが、１０より大きい（小さい）は１０を含まず、１０以上（以下）は１０を含みます。きちんと覚えておきましょう。　

都立御三家の確率問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日の天気予報では曇りだったのですが、晴れて良い天気になりました。夜半から雨になって明日はぐずぐずした空模様になるようです。

さて、今回は都立御三家の確率問題です。

問題は平成２５年度日比谷のもので、それは、
「１から６までの目の出る大小１つずつのさいころを同時に１回投げる。
　大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとする。
　ａ＋４ｂの値をａの値で割った余りが１となる確率を求めよ。
　ただし、大小２つのさいころはともに、１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。」
です。

まず、ａとｂがそれぞれ１から６までの数をとるときのａ＋４ｂを計算し、次にその値をａで割って余りを求めましょう。その結果を下の表に示します。

▲表．ａ、ｂが１から６まで値をとるときのａ＋４ｂ（左表）とそれをａで割ったときの余り（右表）

この表から、ａ＋４ｂをａで割ったときの余りが１となる事象の場合の数は３通り、すべての場合の数は３６通りなので、ａ＋４ｂをａで割ったときの余りが１になる確率は、３/３６＝１/１２となり、これが答えです。

続いて、表を使わない解き方を調べてみます。

ａ＋４ｂをａで割ったときの余りは、４ｂをａで割ったときの余りと同じになります。（ａをａで割ると余りは０です）

つまり、ａ＋４ｂをａで割って余りが１となる確率を求めることは、４ｂをａで割って余りが１となる確率を求めることと同じになります。

そこで、４ｂをａで割って余りが１となることを、その商をＱとして立式すると、
４ｂ÷ａ＝Ｑ・・・１　　　　　　　　（１）
２≦ａ≦６，　ａは整数　　　　　　　（２）
１≦ｂ≦６，　ｂは整数　　　　　　　
Ｑは整数　　　　　　　　　　　　　　
となります。（ａは、ａで割ると余りが１になるのでａ≧２です）

ここで（１）から
ａＱ＝４ｂ－１　　　　　　　　　　　（３）
です。

（３）の右辺は奇数なので、ａ＝１、３、５となりますが、（２）から、ａ＝３または５になります。

そこでａ＝３と５の場合について調べます。

・ａ＝３の場合
（１）にａ＝３を代入すると、
４ｂ÷３＝Ｑ・・・１
で、４ｂ＝３ｂ＋ｂから
ｂ÷３＝Ｑ・・・１　　　　　　　　　
です。

１から６までの整数のなかで３で割って１余るのは１と４なので、ｂ＝１または４と判ります。

・ａ＝５の場合
（１）にａ＝５を代入すると、
４ｂ÷５＝Ｑ・・・１
で、４ｂ＝５ｂ－ｂから
－ｂ÷５＝Ｑ・・・１
です。

－１から－６までの整数のなかで５で割って１余るのは－４なので、ｂ＝４と判ります。（－４＝（－１）×５＋１　で、－４を５で割ると商が－１、余りが１になります）

以上から、ａ＋４ｂをａで割って１余るａとｂの組合せ（ａ，ｂ）は、（３，１）（３，４）（５，４）で、その確率は、１/３６×３＝１/１２となります。


実際の試験では最初の解き方のように表を利用するのが簡単ですが、ａ＋４ｂが少し面倒な式の場合、２つ目の解き方のように少し工夫するとよいでしょう。　

都立共通問題の確率問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

弱い風がありますが、陽射しが強く暖かい日になりました。明日から天気が崩れるようで、明後日には雨が降るようです。

さて、今回は都立共通問題の確率問題です。

問題は平成２４年度のもので、それは、
「袋の中に、赤玉が２個、白玉が４個、合わせて６個の玉が入っている。
　この袋の中から同時に２個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が１個ずつである確率を求めよ。
　ただし、どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。」
です。

早速、図１のような樹形図を描きましょう。

▲図１．樹形図を描きました

図１の樹形図から、すべての場合の数は５×６＝３０通りで、赤玉と白玉が１個ずつ取り出される場合の数は１６通りと判ります。

したがって、赤玉と白玉が１個ずつ取り出される確率は、
（赤玉と白玉が１個ずつ取り出される確率）＝（赤玉と白玉が１個ずつ取り出される場合の数）/（すべての場合の数）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１６/３０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝８/１５
で、これが答えです。

次に、乗法定理と加法定理を使って解きましょう。

図２のように、取り出した玉を置く並んだ２つの場所を想像します。

▲図２．乗法定理、加法定理を使った解き方

赤玉と白玉が１個ずつ取り出されるとき、並んだ２つの場所の左右にそれぞれ、赤玉－白玉、または白玉－赤玉が置かれる場合を考えます。

左に赤玉が置かれる確率は２/６、続いて右に白玉が置かれる確率は４/５なので、左に赤玉、右に白玉が置かれる確率は、２/６×４/５＝８/３０になります。

同様に、左に白玉、右に赤玉が置かれる確率はそれぞれ、４/６および２/５なので、左に白玉、右に赤玉が置かれる確率は、４/６×２/５＝８/３０です。
したがって、赤玉と白玉が１個ずつ取り出される確率は、８/３０＋８/３０＝１６/３０＝８/１５になります。


基本問題なので、試験ではしっかり正解するようにしましょう。　　

都立御三家の確率問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨晩は強い風が吹きました。朝、ラジオで今年最初の木枯らしと言っていました。今も少し北風が吹いていて、夕方から冷え込むようですが、明日は穏やかな天気になるようです。

さて、今回は都立御三家の確率問題を取り上げます。

問題は、平成２６年度日比谷のもので、それは、
「１から６までの目が出る大小１つずつのさいころを同時に１回投げる。
　大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとするとき、座標が（－３，ａ）、（－３，－ｂ）である点をそれぞれＡ、Ｂとする。
　点Ｏは原点とし、原点から点（１，０）までの距離、および原点から点（０，１）までの距離をそれぞれ１ｃｍとする。
　３点Ｏ、Ａ、Ｂを頂点とする△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる確率を求めよ。
　ただし、大小２つのさいころはともに、１から６までどの目が出ることも同様に確からしいものとする。」
です。

確率や平面座標の話が出てきて問題の意味が判り難いと感じる人もいるかと思いますが、そんなときには図を描いて調べてみることが大切です。

さいころの目の数ａ、ｂはともに１から６までの数ですから、
Ａの座標は、（－３，１）、（－３，２）、（－３，３）、（－３，４）、（－３，５）、（－３，６）、
Ｂの座標は、（－３，－１）、（－３，－２）、（－３，－３）、（－３，－４）、（－３，－５）、（－３，－６）
を取ることになります。

そして、原点と上記のＡが取り得る座標の１つの点とＢが取り得る座標の１つの点を結んでできる三角形の面積が６ｃｍ2となるＡとＢの組合せの場合の数を求めればよいことが判ります。

ここで有難いことに、ＡとＢのｘ座標の値がどちらも－３なので、図１のように、線分ＡＢはｙ軸に平行で、それを底辺とした場合、△ＯＡＢの高さは３となります。

▲図１．Ａ（緑色の点）、Ｂ（黄色の点）の取り得る座標と△ＯＡＢ

例えば図１では、Ａ（－３，４）、Ｂ（－３，－３）で、△ＯＡＢの面積は、７×３÷２＝２１/２ｃｍ2です。

そこで、１から６までのａ、ｂに対応する△ＯＡＢの面積を計算した表を作りましょう。

▲表．ａ、ｂに対応する△ＯＡＢの面積

表から、すべての場合の数は６×６＝３６通り、△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる場合の数は３通りなので、
（△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる確率）＝（△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる場合の数）/（すべての場合の数）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝３/３６
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝１/１２
で、これが答えです。

次に表を作らないで解く方法を調べましょう。

△ＯＡＢの面積＝線分ＡＢの長さ×３÷２＝６ｃｍ2から、線分ＡＢの長さ＝４ｃｍです。

ところが、線分ＡＢの長さは、Ａのｙ座標－Ｂのｙ座標＝ａ－（－ｂ）＝ａ＋ｂなので、
ａ＋ｂ＝４　　　　　　　　　（１）
で、ここで
１≦ａ≦６，ａは正の整数　　（２）
１≦ｂ≦６，ｂは正の整数　　（３）
です。

そこで（１）から
ｂ＝４－ａ　　　　　　　　　（４）
として、（４）と（３）から
１≦４－ａ≦６
－２≦ａ≦３　　　　　　　　（５）
となります。

さらに（２）と（５）から
１≦ａ≦３
で、結局、
ａ＝１、２、３
です。

以上から（１）（２）（３）を満たすａ、ｂの組合せ［ａ，ｂ］は、［１，３］、［２，２］、［３，１］になり、それぞれに対応するＡ、Ｂは、図２に示すように（－３，１）と（－３，－３）、（－３，２）と（－３，－２）、（－３，３）と（－３，－１）になります。

▲図２．△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2となるＡ、Ｂの組合せ

ここで、ａが１、２または３になる確率はそれぞれ１/６、
ｂが３、２または１になる確率はそれぞれ１/６なので、
［ａ，ｂ］が［１，３］、［２，２］または［３，１］になる確率はそれぞれ１/３６です。

したがって、［ａ，ｂ］が［１，３］、［２，２］または［３，１］のいずれかになる確率は、
１/３６＋１/３６＋１/３６＝３/３６＝１/１２　
となり、表を使って求めた答えと一致しました。


都立御三家の確率問題は、本問のような図形問題や整数問題に関連させて少し捻ってあることが多いので、問題の意味を取り違えないように図表などを利用して対処しましょう。　　

都立共通問題の確率問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

秋晴れのさわやかな天気になりました。明日は少し気温が下がるようですが、今日と同じく秋晴れになりそうです。

さて、今回は都立高校入試の共通問題で出題された確率問題を取り上げます。

問題は平成２７年度のもので、それは、
「袋の中に、赤玉が３個、白玉が２個、合わせて５個の玉が入っている。
　この袋の中から同時に２個の玉を取り出すとき、少なくとも１個は白玉である確率を求めよ。
　ただし、どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。」
です。

まず図１のように、樹形図を描いて調べてみましょう。

▲図１．樹形図を描きました

図１の樹形図では、３個の赤玉をｒ１、ｒ２、ｒ３、２個の白玉をｗ１、ｗ２としました。

細かいテクニックですが、樹形図を手早く描くために漢字で「赤」「白」などと書くのは止めましょう。

ついでによくある質問に、同時に取り出すのに樹形図に順番がついているのはなぜかというものがありますが、１つの樹形図の左と右は両手を使って玉を取り出し、左手で取り出した玉を樹形図の左に、右手で取り出した玉を樹形図の右に書いたと考えてください。

図１の樹形図が完成してしまえば、あとはすべての場合の数と対象事象の場合の数を数え上げて、
（対象事象の起こる確率）＝（対象事象の場合の数）/（すべての場合の数）
で計算すればお仕舞いです。

ここで、すべての場合の数は、４×５＝２０通りです。

一方、対象事象は少なくとも１個は白玉である場合なので、２０通りのすべての場合について、１個または２個が白玉である場合を数えればよく、それは１４通りなので、求める確率は、１４/２０＝７/１０となり、これが答えです。

次に、乗法定理と加法定理を使って計算してみましょう。

取り出した２個の玉を入れる並んだ２つの場所を想像します。

少なくとも１個は白玉ということは、図２に示すように、白－赤、赤－白、白ー白の３つの場合があります。

▲図２．乗法定理、加法定理を使います

図２の左側の白－赤の場合、左に白玉が入る確率は２/５、右に赤玉が入る確率は３/４で、これらが同時に起こる確率は２/５×３/４＝６/２０です。

同様に、図２の中央の赤－白の場合は、３/５×２/４＝６/２０、図２の右側の白－白の場合は、２/５×１/４＝２/２０です。

以上から、少なくとも１個は白玉である確率は、６/２０＋６/２０＋２/２０＝１４/２０＝７/１０となります。

さらに余事象を使った解き方もあります。

少なくとも１個は白玉である場合は、２個とも赤玉である場合の余事象なので、２個とも赤玉である確率を求めて、それを全確率１から引けば、少なくとも１個は白玉である確率を求めることができます。

２個とも赤玉である確率は、乗法定理を使って、３/５×２/４＝６/２０＝３/１０なので、少なくとも１個は白玉である確率は、１－３/１０＝７/１０となります。


以上のようにいろいろな解き方がありますが、高校入試では樹形図が基本ですから、手早くそれを描く練習をしておきましょう。

都立御三家の確率問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報通り曇りになりました。明日は晴れになり、来週の半ばまで雨は降らないようです。

さて、これまで都立御三家の整数問題を調べてきましたが、今回から確率問題を調べていきます。

初回の問題は平成２７年度日比谷、西、国立で出題されたもので、それは、
「１から６までの目が出る大小１つずつのさいころを同時に１回投げる。
　大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとするとき、３ａ＋２ｂの値が６の倍数になる確率を求めよ。
　ただし、大小２つのさいころはともに、１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。」
です。

確率問題の基本的解法は、樹形図や表などを作って、すべての場合の数と対象の事象が起こる場合の数を数え上げ、
（対象の事象が起こる確率）＝（対象の事象が起こる場合の数）/（すべての場合の数）
を計算することです。

そこで、大きいさいころと小さいさいころの目の数をそれぞれａ、ｂとして、ａ，ｂ＝１，２，３，４，５，６のすべての組合せに対応する３ａ＋２ｂの値を示した下表を作ります。

▲表．ａ（１から６）とｂ（１から６）に対応する３ａ＋２ｂの値

ここで、３ａ＋２ｂが６の倍数になっているものを数え上げると、それは６通りあり、すべての場合の数が３６通りなので、求める確率は、６/３６＝１/６で、これが答えです。

次に、表を使わないで解いてみましょう。

与えられた条件を立式すると、
３ａ＋２ｂ＝６ｎ　　　　　　（１）
１≦ａ≦６，　ａは整数　　　（２）
１≦ｂ≦６，　ｂは整数　　　（３）
１≦ｎ≦５，　ｎは整数　　　　　　　←（ａ、ｂがそれぞれ最大値６となるとき（１）の左辺が３０になるので、ｎ≦５です）
です。

（１）を
２ｂ＝３（２ｎ－ａ）　　　　（４）
とすると、ｂは３の倍数で、さらに（３）からｂ＝３または６となります。

ｂ＝３のとき、（４）から
２ｎ－ａ＝２
ａ＝２（ｎ－１）
で、ａは２の倍数で、（２）を満たすものは、ａ＝２、４、６です。

ｂ＝６のとき、（４）から
２ｎ－ａ＝４
ａ＝２（ｎ－２）
で、ａは２の倍数で、（２）を満たすものは、ａ＝２、４、６です。

以上から、３ａ＋２ｂが６の倍数となるのは、ａが２、４または６、かつ、ｂが３または６のときです。

ａが２、４または６となる確率は、３/６＝１/２、ｂが３または６となる確率は、２/６＝１/３なので、ａが２、４または６、かつ、ｂが３または６となる確率は、１/２×１/３＝１/６になります。


後半の解き方では、確率の乗法定理（独立事象）を使いました。この乗法定理や加法定理を使うと樹形図を使わずに解くことができるので便利です。樹形図をしっかり描けるようになったら勉強するのがよいでしょう。

都立御三家の整数問題（８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝から秋晴れで気持ちの良い日になりました。明日は曇るようですが、明後日はまた晴れになるようです。

昨夜、中３の塾生が学校での実力テストの数学で１００点満点、高１の塾生が定期テストの数学で１問間違いと嬉しい結果を教えてもらったので気分が上々です。

さて、今回も都立御三家の入試問題で出題された整数問題を取り上げます。

問題は平成２４年度国立で出題されたもので、それは、
「３けたの自然数の中で、自然数の２乗に等しい数は何個あるか。」
です。

早速、与えられた条件を立式しましょう。

自然数でそれを２乗したものが３けたになるものをｎとすると、与えられた条件は、
１００≦ｎ^2≦９９９　，　ｎは自然数　　　　　　　（１）
となります。

（１）の平方根をとると、
√１００≦√ｎ^2≦√９９９
１０≦ｎ≦√９９９　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
です。

ここで√９９９を超えない最大の自然数をｍとすると、問題の条件を満たす自然数ｎの個数Ｎは、
Ｎ＝ｍ－９　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
になります。（ｎを小さいほうから並べると、１０，１１，・・・，ｍなので、それらの個数はｍ－１０＋１＝ｍ－９になります）

つまり、この問題は√９９９を超えない最大の自然数ｍを求めるということです。

そこで、ｍが√９９９以下ということから
ｍ≦√９９９
で、これを２乗して、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
ｍ^2≦９９９　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）
とします。

ここで、暗算で計算できる３０^2＝９００からあたりをつけて、３１^2＝９６１、３２^2＝１０２４を計算すると。ｍ＝３１と判るので、（３）から
Ｎ＝３１－９＝２２
で、答えは２２個になります。


もし（２）を１０≦ｎ≦３√１１１とした場合、√１００≦√１１１≦√１２１から、１０≦ｎ≦３×１０＝３０としないように注意しましょう。　

都立御三家の整数問題（７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午前中は曇りで午後から晴れるようです。週間天気予報を見ると、雲と太陽が一緒になったマークが並んでいるので、この１週間は今日と同じような天気が続くようです。

さて、今回も都立御三家の入学試験に出題された整数問題を取り上げます。

問題は平成２５年度国立に出題されたもので、それは、
「√（４８（１７－２ｋ））の値が整数となるような正の整数ｋを求めなさい。」
です。

前回と同じような問題です。

初めに与えられた条件を立式しましょう。

√（４８（１７－２ｋ））＝Ｎ　，Ｎは整数　　　　　　　（１）
となりますが、（１）の左辺は０以上なので（１）を書き直すと、
√（４８（１７－２ｋ））＝Ｎ　，Ｎは０以上の整数　　　（２）
となります。

さらに（２）の左辺の根号内の式も０以上にならなくてはなりませんから
４８（１７－２ｋ）≧０　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
で、（３）から
１７－２ｋ≧０
ｋ≦１７/２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）
です。

一方、与えられた条件に、ｋは正の整数とあるので、結局、ｋは、
１≦ｋ≦８　，ｋは整数　　　　　　　　　　　　　　　　（５）
となります。

ここで、ｋ＝１，２，・・・，８　と８通りのｋを（２）に代入して調べてもＯＫですが、ここでは（２）を変形して調べていきます。

まず、４８を素因数分解すると４８＝２^4×３で、これを（２）の左辺に代入すると、
√（２^4×３（１７－２ｋ））＝Ｎ　　　　　　　　　　　（６）
です。

そこで（６）の両辺を２乗すると、
２^4×３（１７－２ｋ）＝Ｎ^2 　　　　　　　　　　　（７）
です。

（７）が成り立つためには、（　　）のなかの１７－２ｋが３と平方数を因数に持たなければならないので、
１７－２ｋ＝３ｍ^2 ，ｍは０以上の整数　　　　　　　　（８）
となります。

ここで（８）をｋについて解くと
ｋ＝（１７－３ｍ^2）/２　　　　　　　　　　　　　　　（９）
で、（５）と（９）から
１≦（１７－３ｍ^2）/２≦８　　　　　　　　　　　　　（１０）
となります。

さらに（１０）から
２≦１７－３ｍ^2≦１６
１/３≦ｍ^2≦５
なので、ｍ^2＝１または４　です。

最後に上記の２つの場合を調べると、
・ｍ^2＝１のとき、（９）から　ｋ＝７
・ｍ^2＝４のとき、ｋ＝５/２
となりますが、ここでｋは整数なので、ｋ＝７となり、これが答えです。


実際に解くときには、（５）の段階でｋ＝１～８まで調べるか、（８）の段階で１７－２ｋが３の倍数であることからｋ＝１，４，７を導き、これらを１７－２ｋに代入して、１５（＝３×５），９（＝３×３），３（＝３×１）を計算し、３でないほうの因数が平方数になっているかで判定するのが実戦的かもしれません。　

都立御三家の整数問題（６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝は雲が多かったのですが、段々陽が射してきて明るくなりました。しばらく穏やかな日が続くようです。

さて、今回も都立御三家の入学試験に出題された整数問題を取り上げます。

問題は平成２１年度西高のもので、それは、
「√（１２０ｎ）が整数となるような正の整数ｎのうち、小さい方から３番目の数を求めよ。」
です。

学校の教科書には、「ｎを自然数とします。√（１２０ｎ）が自然数となるときのｎのうちで、もっとも小さい値を求めなさい。」という問題があります。、両者の違いは、「小さい方から３番目」と「もっとも小さい」ですが、この違いが結構大きいのかもしれません。

それでは初めに、与えら得れた条件を立式しましょう。

√（１２０ｎ）＝Ｎ　，Ｎは整数　　　　　　　　　　　（１）
ですが、ここでｎは正の整数なので、√（１２０ｎ）＞０となりますから、Ｎは正の整数です。そこで（１）を書き改めて、
√（１２０ｎ）＝Ｎ　，Ｎは正の整数　　　　　　　　　（２）
とします。

次に（２）の両辺を２乗して、
１２０ｎ＝Ｎ^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
とし、１２０を素因数分解すると１２０＝２^3×３×５なので、（３）は、
２^3×３×５×ｎ＝Ｎ^2　
２^2×（２×３×５×ｎ）＝Ｎ^2　　　　　　　　　　　（４）
となります。（２^3から平方数２^2をくくりだしました）

ここで（４）の左辺が平方数になるためには、（　　）のなかが平方数にならなければなりません。つまり、ｎは２、３、５を因数に持つことになり、
ｎ＝２×３×５×ｋ^2　，ｋは正の整数　　　　　　　　（５）
となります。

（５）のｋについては、ｋ＝１のときのｎが条件を満たすもっとも小さい数になり、ｋ＝２、３、・・・と大きくなるに伴い、ｎは２番目、３番目、・・・と順番に大きい数になります。

問題では小さい方から３番目のｎを問うているので、（５）にｋ＝３を代入して、
ｎ＝２×３×５×３^2
　＝２７０
で、これが答えになります。


実際に問題を解く場合は、最小のｎ＝３０を求めたあと、それに１番目は１^2、２番目は２^2、３番目は３^2と勘定して、３０×３^2＝２７０とすればよいでしょう。このとき、１番目は１、２番目は２、３番目は３としないように注意してください。

都立御三家の整数問題（５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

薄手のセーターを着て歩いていると汗ばんでくるほど暖かい日になりました。明日からは段々気温が下がるようですが晴れの日が続くようです。

さて、今回も都立御三家の入学試験で出題された整数問題を取り上げます。

問題は、平成２２年度西高に出題されたもので、それは、
「ｍ、ｎはともに自然数で１以外に公約数を持たない数とする。
　ｎ/ｍに１６８/５５をかけた数と、ｎ/ｍに３１５/２２をかけた数がともに自然数であるとき、もっとも小さいｎ/ｍを求めよ。」
です。

中学入試問題でよく目にしますが、高１の問題集にも載っている問題です。

まず、１６８と５５、３１５と２２が互いに素（１以外に公約数を持たない）であるか調べておきましょう。

それぞれの数を素因数分解すると、
１６８＝２^3×３×７　　　　　　　　　　　　　　（１）
　５５＝５×１１　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
３１５＝３^2×５×７　　　　　　　　　　　　　　（３）
　２２＝２×１１　　　　　　　　　　　　　　　　（４）
なので、１６８と５５、３１５と２２は互いに素です。

次に、与えられた条件を立式します。

「ｎ/ｍに１６８/５５をかけた数が自然数である」は、
ｎ/ｍ×１６８/５５＝ｐ　，ｐは自然数　　　　　　（５）　　　　　

「ｎ/ｍに３１５/２２をかけた数が自然数である」は、
ｎ/ｍ×３１５/２２＝ｑ　，ｑは自然数　　　　　　（６）
です。

（５）を調べると、ｎとｍ、１６８と５５は互いに素なので、ｎ/ｍと１６８/５５との積が自然数、つまり分母が１になるためには、
ｍは１６８の約数　　　　　　　　　　　　　　　　（７）
ｎは５５の倍数　　　　　　　　　　　　　　　　　（８）
でなければなりません。

同様に（６）を調べると、３１５と２２も互いに素なので、ｎ/ｍと３１５/２２との積が自然数になるためには、
ｍは３１５の約数　　　　　　　　　　　　　　　　（９）
ｎは２２の倍数　　　　　　　　　　　　　　　　　（１０）
でなければなりません。

したがって、（７）（９）からｍは１６８と３１５の公約数で、（８）（１０）からｎは５５と２２の公倍数でなければならないことが判ります。

このようなｎ/ｍでもっとも小さいものは、ｍが最大でｎが最小な数を選べばよいので、結局、ｍは１６８と３１５の最大公約数、ｎは５５と２２の最小公倍数となります。

１６８と３１５の最大公約数は（１）（３）から３×７＝２１、５５と２２の最小公倍数は（２）（４）から２×５×１１＝１１０なので、ｍ＝２１、ｎ＝１１０、つまり、ｎ/ｍ＝１１０/２１で、これが答えです。


類題をやったことのある人が多いと思いますが、しっかり確認しておきましょう。

都立御三家の整数問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

からっと秋晴れになるのかと期待していたのですが、雲の多い天気になりました。明日の予報には晴れマークだけ記してあるので、気持ちのよい日になりそうです。

さて、今回も都立御三家の入学試験で出題された整数問題を取り上げます。

問題は平成２５年度西高で出題されたもので、それは、
「Ｎを自然数とする。
　２４０をＮで割ったときの余りが９となるＮのうち、最も小さいものを求めよ。」
です。

いつものように与えられた条件を立式しましょう。

「２４０をＮで割ったときの余りが９となる」は、商をＱとすると、
２４０÷Ｎ＝Ｑ・・・９　　　　　　　　（１）
になります。

ところが、ここで忘れてはいけないことが、
Ｎ≧１０　　　　　　　　　　　　　　　（２）
です。

余りが９になるのですから、割る数Ｎは１０以上でなければならないということです。

そこで（１）を取り扱いやすいように加減乗除だけで表わすと、
ＮＱ＋９＝２４０
ＮＱ＝２３１　　　　　　　　　　　　　（３）
となります。

（３）は前回、前々回と同様の形で、これからＮの候補を絞り込むことができます。

まず、（３）の右辺の２３１を素因数分解して、
ＮＱ＝３×７×１１　　　　　　　　　　（４）
とします。

（４）を満たすＮは、１、３、７、１１、２１、３３、７７、２３１です。

そして、これらの候補のなかで（２）の条件を満たす最も小さいＮは１１で、これが答えです。


割り算で余りがＲの場合、割る数Ｎは、Ｎ≧Ｒ＋１　となることを覚えておきましょう。

都立御三家の整数問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今朝ＴＶで来年正月の箱根駅伝予選会の中継を放送していて、もうそんな時期なんだと感じました。入学試験もどんどん近づいています。受験生の皆さんも頑張ってください。

さて、今回も都立御三家の入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は平成２２年度日比谷高校のもので、それは、
「４ｐ^2－ｑ^2－５１＝０　を満たす自然数ｐ、ｑの値をすべて求めよ。」
です。

前回の問題と同じように、ｐとｑの式の積＝整数　という形にすればＯＫです。

与えられた式の左辺にある　４ｐ^2－ｑ^2　は、（２ｐ＋ｑ）（２ｐ－ｑ）と因数分解できるので、与式は、
（２ｐ＋ｑ）（２ｐ－ｑ）＝５１　　　　　（１）
と目的の形に変形できます。ここで、ｐ、ｑは自然数なので、２ｐ＋ｑ、２ｐ－ｑは自然数になります。

次に（１）の右辺の５１を２つの整数の積に分解するのですが、２ｐ＋ｑと２ｐ－ｑが自然数なので、２つの自然数の積に分解すればよいことになり、それは、５１＝１×５１、３×１７、１７×３、５１×１　の４通りです。

ここで、（１）を満たす　２ｐ＋ｑと２ｐ－ｑの組合せを（２ｐ＋ｑ，２ｐ－ｑ）とすると、
（２ｐ＋ｑ，２ｐ－ｑ）＝（１，５１）、（３，１７）、（１７，３）、（５１，１）
となりますが、２ｐ＋ｑ＞２ｐ－ｑなので、（１７，３）、（５１，１）の２通りの場合を調べれば十分です。

・（１７，３）の場合
２ｐ＋ｑ＝１７　　　　　　（２）
２ｐ－ｑ＝３　　　　　　　（３）
で、（２）（３）の辺々を足し合わせて、
４ｐ＝２０
から
ｐ＝５　　　　　　　　　　（４）
です。　　　

（２）と（４）から
ｑ＝７
となります。

・（５１，１）の場合
２ｐ＋ｑ＝５１　　　　　　（５）
２ｐ－ｑ＝１　　　　　　　（６）
で、（５）（６）の辺々を足し合わせて、
４ｐ＝５２
から
ｐ＝１３　　　　　　　　　（７）
です。

（５）と（７）から
ｑ＝２５
となります。

以上をまとめると、問題に与えられた式を満たす自然数ｐ、ｑの値は、ｐ＝５，ｑ＝７　と　ｐ＝１３，ｑ＝２５　で、これが答えです。


前回と同じ形の問題ですが、この解法パターンをしっかり覚えておきましょう。