タイルの敷き詰め問題（公立中高一貫校対策問題集）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

毎日暑い日が続きますが、そんな中、小５の塾生は公立中高一貫校対策問題集に一生懸命取り組んでいます。今回はそのなかに出てきた図形問題を取り上げます。

その問題は、
「下図のような厚紙を切って、たてと横の長さが２ｃｍと３ｃｍの長方形のカードをたくさんつくりました。切り取るカードはどちら向きでもよかったので、あまりもなくちょうど５５まい切り取ることができました。このとき、図の㋐の部分の長さは何ｃｍでしたか。」

▲問題図

です。

与えられた図形の面積と１枚２ｃｍ×３ｃｍの長方形（以下、単位長方形）５５枚分の面積が等しくなることを利用して㋐を計算し、その図形を単位長方形で敷き詰めることができることを確認してもＯＫですが、ここでは次の図のように、元の図形をＡ、Ｂ、Ｃの３つの領域に分割して調べていきましょう。

▲図．Ａ、Ｂ、Ｃの３つの領域に分割しました

まずＡの領域は、６ｃｍ×８ｃｍの長方形ですから、単位長方形を、たて３ｃｍ、横２ｃｍの向きに２行４列並べて敷き詰めることができます。つまり、Ａの領域を敷き詰めるのに必要な単位長方形の枚数は２×４＝８枚です。

次にＢの領域ですが、これは１８ｃｍ×９ｃｍの長方形で、単位長方形を、たて２ｃｍ、横３ｃｍの向きに９行３列並べて敷き詰めることができます。つまり、Ｂの領域を敷き詰めるのに必要な単位長方形の枚数は９×３＝２７枚です。

したがって、ＡとＢの領域を敷き詰めるのに必要な単位長方形の枚数は８＋２７＝３５枚になります。

一方、与えられた図形（領域Ａ、Ｂ、Ｃ）を敷き詰めるのに必要な単位長方形の枚数は５５枚なので、領域Ｃを敷き詰めるのに必要な長方形の枚数は５５－３５＝２０枚です。

この２０枚の単位長方形を領域Ｃに敷き詰めることを考えると、領域Ｃの長方形のたての長さが８ｃｍなので、単位長方形を、たて２ｃｍ、横３ｃｍの向きに４行並べることになり、２０÷４＝５から単位長方形は５列になります。

以上から領域Ｃの長方形の横の長さ㋐－９は、３ｃｍ×５＝１５ｃｍになり、㋐は ２４ｃｍ でこれが答えです。


小学５年生には骨の折れる問題と思いましたが、結構すんなり解いていました。大したものです。

ぞうの肉は食されるのか（公立中高一貫校対策問題集）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

好奇心旺盛で頭の回転のよい小５の塾生が「公立中高一貫校対策問題集」に取り組んでいるのですが、そのなかに、

「次のそれぞれのグループには１つだけ種類のちがうものがあります。その言葉を答えましょう。また、それだけちがっている理由を簡潔に書きましょう。
（１）（２）略
（３）ひつじ　　ぶた　　うま　　ぞう　　うし　」
という問題がありました。

問題集の正解は、「ぞう」で、その理由は、「ぞう以外は、肉が食用とされる生き物だから」です。

一方、塾生の答えは、「ひつじ」で、その理由は、「ひつじだけ３文字だから」で、問題集の正解に対しては、「マンモスやナウマン象は当時の人類の狩猟対象だったので、ぞうの肉を食べる人がいても不思議ではなく、アフリカでは食べられているに違いない」という意見です。

そこでインターネットで調べてみると、確かにぞうの肉はアフリカやタイなどで食べられているようで、塾生の推論は正しいことが判りました。

問題集の正解にある理由を「ぞう以外は家畜だから」（多分、ぞうは家畜として飼育されていないと思いますが）とすれば良かったのかもしれませんが、いずれにしても、塾生の答えも正解です。（採点で○がもらえるかわかりませんが）

面白い問題でした。

公立中高一貫校の楽しい問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

小５の塾生の公立中高一貫校対策問題集に、
「（　　）のなかに適当な故事・ことわざを書きなさい。
・馬の耳に念仏
・さるも木から落ちる
・（　　　　　　　　　　　　　　　）
・大山鳴動してねずみ一匹
・虎の威を借るきつね　　　」
という問題がありました。

挙がっている４つのことわざに共通するのは動物で、上から順に、馬、さる、（　）、ねずみ、虎（きつね）になっていて、正解への第一歩は、これらの動物の並び方の規則性を見つけることです。

塾生は５０音などから規則性を見つけようとしましたが、すぐに十二支を思いつき、「ね、うし、とら、う、たつ、み、うま、ひつじ、さる、とり、いぬ、い」と書き上げました。

そして、４つのことわざの動物は「うま」から始まり１つおきに並んでいて、（　）に登場する動物が犬であることを発見しました。

最後に、解答欄に「犬も歩けば棒に当たる」と書き込み、無事正解です。

公立中高一貫校の問題にはクイズやパズルのようなものも多く、なかなか楽しいです。興味のある人は挑戦してみてください。

大きな桁の整数の割り算

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

良い天気が続きます。将棋名人戦は、羽生三冠が２連勝で名人位奪回に幸先良いスタートです。森内名人も巻き返してくるでしょうからこれからの勝負が楽しみです。

公立中高一貫校の適性検査問題では、いくつかの学校で桁数の大きい整数の割り算が出題されます。例えば、都立小石川中では、日本の工業製品出荷額の割合を計算する問題が出題されました。東京、愛知、大阪、福岡の４都府県について、それぞれ、８４４８８、３８３５３２、１５８９３２、８２４９１を２９０８０２９で割り、百分率で小数第１位まで求めるというものです。

これをそのまま筆算しても良いのですが、百分率にして小数第１位まで求めれば良いのですから、少し簡単に計算したいものです。

そこで、割る数をａ、割られる数をｂ、ａとｂの中で丸める数をαとβとすると、ｂ/ａと（ｂ＋β）/（ａ＋α）が小数第４位まで一致するようにα、βを決めれば良いということになり、式で表すと、
ｌｂ/ａ－（ｂ＋β）/（ａ＋α）ｌ＜０．０００１　　　
となります。（ここで　ｌｘｌ は、ｘの絶対値を表します）

ここで、左辺の２項目の分子、分母をａで除すると、
ｌｂ/ａ－（ｂ/ａ＋β/ａ）/（１＋α/ａ）ｌ
＝ｌｂ/ａ－（ｂ/ａ）/（１＋α/ａ）－（β/ａ）/（１＋α/ａ）ｌ　　式（１）

そして、１/（１＋α/ａ）＝１－α/ａ＋（α/ａ）＾2－・・・
で２次以上の項を無視して、代入すると、
式（１）≒ｌ（ｂ/ａ）×α/ａ－（β/ａ）（１－α/ａ）ｌ　
　　　　≒ｌ（ｂ/ａ）×α/ａ－β/ａｌ　　　　　　　

この式の２項の桁数を考えると、ｂとαの桁数の和がａの桁数の２倍より５桁小さくなり、βの桁数がａの桁数より５桁少なければ、０．０００１より小さくできそうです。

そこで、実際に小石川中の問題を計算してみると、
東京の場合、８４５００÷２９１００００＝２．９０３％（２．９０５％）
愛知では、３８３５００÷２９０８０００＝１３.１８７％（１３．１８８％）
大阪では、１５８９００÷２９０８０００＝５．４６４％（５．４６５％）
福岡では、８２５００÷２９１００００＝２．８３５％（２．８３６％）
【（　）の中の数値は、与えられた数字を使った計算値を小数第４位以下を切り捨てたもの】

となり、小数第２位まで一致していることが分かります。

以上のように計算は簡単になりましたが、それ以前が面倒で適性検査には使えないですね。割られる数を丸めるのは簡単ですが、どちらかと言うと割る数を簡単にしたいので、またその方法を考えて見ます。

パズルのような数学の問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今は曇りですが午後から本降りになるようです。南風も強く荒れ模様の一日です。

Ｔｅｒｅｎｃｅ　Ｔａｏ教授の　“ｓｏｌｖｉｎｇ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ａ　ｐｅｒｓｏｎａｌ　ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ”　にはパズルのような面白い、いくつかの問題があります。例えば、６章の　“Ｓｕｎｄｒｙ　ｅｘａｍｐｌｅｓ（種々様々な例）”　には、カメレオンの問題があります。

その内容は、「ある孤島に灰色（ｇｒｅｙ）のカメレオンが１３匹、茶色（ｂｒｏｗｎ）のカメレオンが１５匹、深紅色（ｃｒｉｍｓｏｎ）のカメレオンが１７匹いて、異なる色の２匹のカメレオンが出会うと２匹とも３番目の色に変わります。例えば、灰色と茶色のカメレオンが出会った場合、２匹とも深紅色のカメレオンになります。但し、カメレオンが色を変えるのは１回だけとします。この条件ですべてのカメレオンが同じ色になることがあり得るでしょうか」　というものです。

ちょっと取っ付き難い問題ですが、問題文の条件に沿って立式することを考えましょう。灰色と茶色のカメレオンが出会うと、灰色と茶色のカメレオンがそれぞれ１匹減って、深紅色のカメレオンが２匹増えるということです。そこで、灰色、茶色および深紅色のカメレオンの増減数を（－１，－１，２）と表します。（簡単に記述するためベクトル表示をしました）

同様に、灰色と深紅色および茶色と深紅色のカメレオンが出会った場合も、それぞれ、
（－１，２，－１）
および、
（２，－１，－１）
と表せます。

ところで、最初のカメレオンの色の状態は、灰色、茶色および深紅色の順番に、（１３，１５，１７）なので、何回かカメレオン同士が出会い色を変えた後の色の状態は、
（１３，１５，１７）＋Ｌ（－１，－１，２）＋Ｍ（－１，２，－１）＋Ｎ（２，－１，－１）
となります。

つまり、この式が（４５，０，０）、または（０，４５，０）、または（０，０，４５）
となる整数Ｌ、ＭおよびＮが存在するかという問題になります。

この後は、この方程式を解けば良い訳ですが、Ｔａｏ教授は３を法とする合同式を使い、あっと言う間に解いてしまいます。（日本では合同式をあまり勉強しませんが、欧米ではそうではないようで本書の中でも強力な道具として頻出します）

しかし、合同式を使わなくても、３組の３元１次方程式を解けばＯＫです。つまり、
（１３－Ｌ－Ｍ＋２Ｎ，１５－Ｌ＋２Ｍ－Ｎ，１７＋２Ｌ－Ｍ－Ｎ）＝（４５，０，０）、または（０，４５，０）、または（０，０，４５）
を満たす整数Ｌ、ＭおよびＮが存在するかを調べます。

（４５，０，０）のとき、３（Ｍ－Ｌ）＝２、
（０，４５，０）のとき、３（Ｍ－Ｌ）＝４３　
（０，０，４５）のとき、３（Ｍ－Ｌ）＝－４３
となって、すべての場合において、整数Ｌ、ＭおよびＮは存在しないことが判ります。

つまり結論は、すべてのカメレオンが同じ色になることはないと言うことです。難しい問題ではありませんが、形を変えて中学入試などに出題されそうな雰囲気の問題です。

麻布中の算数入試問題（大問６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

道端には雪が積み上げられていますが、道に雪はなく歩きやすくなりました。しかし、また週末に降雪かもしれないと言っていました。

さて、麻布中の算数入試問題ですが、今日は大問６の図形問題です。４つの小問からなり、前半の（１）、（２）は後半のヒントになっています。

問題は、「正三角形を敷き詰めた平面上で、（１）図１の線分ＸＹを点Ｙを中心にして反時計回りに６０°回転させたときの点Ｚを図に書き入れなさい。（２）角ＸＯＺの大きさは何度でしょう」というものです。

▲図1.麻布中算数入試問題大問６（１）（２）

これは簡単で、平面上に敷き詰めた正三角形の頂点を格子点としてみなして、点Ｘと点Ｙまでの長さが線分ＸＹの長さと同じになる点を見つければＯＫです。すると、△ＸＹＺは正三角形になるので、∠ＸＹＺ＝６０°となり、線分ＸＹを点Ｙを中心に６０°回転させたことになります。（２）は、二等辺三角形の頂点と底辺の中点とを結んだ直線は、底辺と直交するので、９０°になります。

次に、小問（３）です。問題は、「図２にある正六角形ＡＢＣＤＥＦのＢＤとＣＦとの交点をＩとし、点Ａと点Ｉとを重ねて折り目をつけます。そのとき、折り目が辺ＥＦと辺ＡＢと交わった点をそれぞれ点Ｐと点Ｑとした場合、ＥＰ：ＰＦ、ＡＢ：ＱＢの比を求めよ」というものです。

▲図２．麻布中算数入試問題大問６（３）

これは、前半のヒントがないと難しいです。そこで、正六角形ＡＢＣＤＥＦ内に、それらの頂点と格子点が一致するように、正三角形を敷き詰めてみると図３のようになります。これは小問（１）と同じになり、簡単になりました。ポイントは、点Ｉも敷き詰めた正三角形の格子点になるということです。

▲図３.麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（１）

そこで、平面を隙間なく敷き詰めることができる正多角形として、正三角形以外に正方形と正六角形があるので、正方形で敷き詰めてみます。

▲図４．麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（２）

図４で判るように正方形で敷き詰め場合も、点Ｉは格子点に一致しました。つまり、正方形を敷き詰めても解けるということです。さらに、敷き詰める図形は正多角形でなくても良く、長方形、菱型、平行四辺形でもＯＫです。繰り返しますが、ポイントは、各頂点が格子点となるように図形を敷き詰めたとき、点Ｉが格子点と一致することです。

このように小問（１）、（２）をヒントにすると易しく解けるのですが、ヒントを使わずに挑戦してみます。

当然、解析的幾何を使えば簡単ですが、これは、図４のように正方形を敷き詰めた座標系を利用することと同じです。そこで一般的な解き方（？）を示します。

方針は、ＥＦの中点をＰ’として、これがＰと一致することを示します。

▲図５．麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（３）

ＣＤの中点をＲとすると、ＢＤ⊥Ｐ’Ｒ、ＤＳ＝ＩＳなのでＰ’Ｄ＝Ｐ’Ｉ。
また、Ｐ’Ｄ＝Ｐ’Ａなので、Ｐ’Ｉ＝Ｐ’Ａ。つまり、△Ｐ’ＡＩは二等辺三角形で、ＡＩの中点ＳとＰ’を結んだＰ’ＳはＡＩと直交する。つまり、Ｐ’Ｓは点Ａを折り返して点Ｉに重ねてできる折り目となる。従って、Ｐ’とＰは一致する。
つまり、ＰはＥＦの中点である。Ｑ．Ｅ．Ｄ.

３回に渡り麻布中の問題を見てきましたが、中学高校数学に繋がる正統派の問題が多いという感じです。御三家と言われるだけのことはありますね。

麻布中の算数入試問題（大問５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

弱い北風が吹いていて寒い日になりました。今日は建国記念の日で通常授業はお休みです。とは言え、中３の受験生は来るはずなのですが、昨日私立高校の受験で疲れたのか、お休みのようです。

昨日に続いて麻布中の算数入試問題大問５を紹介します。

問題は、剰余に関するもので、「１番から９９９９番のカードに９９で割ったときの余りと１０１で割ったときの余りが書いてあって、それぞれ５１と４１と書いてあるカードは何枚目のカードか」というものです。

初めに力ずくで解いてみます。

このカードがＮ枚目（Ｎ≦９９９９）とすると、
Ｎ＝９９ｐ＋５１＝１０１ｑ＋４１　式（１）
が成り立ちます。
ここでｐとｑを０から１ずつ増やして計算すると、ｐ＝ｑ＝５のとにＮ＝５４６になり正解に辿り着きます。（０≦Ｎ≦９９９９の範囲に５４６以外で式（１）を満たすＮの有無を調べていないので不完全ですが）

そこで、少し工夫します。
式（１）を変形して、
１０１ｑ－９９ｐ＝１０　式（２）
とします。

ｐとｑとの大小関係で場合分けすると、
（１）ｐ＝ｑのとき、
１０１ｐ－９９ｐ＝２ｐ＝１０から、ｐ＝５、ｑ＝５
式（１）にｐ＝５を代入して、Ｎ＝５４６

（２）ｐ＞ｑ（ｐ＝ｑ＋ｒ、ｒ≧１を満たす整数）のとき、
式（２）は、１０１ｑ－９９（ｑ＋ｒ）＝２ｑ－９９ｒ＝１０
２ｑ＝９９ｒ＋１０
２ｑ、１０が偶数なのでｒは偶数となり、ｒ＝２とすると、
２ｑ＝２０８より、ｑ＝１０４
ｑ＝１０４を式（１）に代入して、Ｎ＝１０５４５となり、Ｎ≦９９９９に反する。
ｒ≧４の場合も同じ。

（３）ｐ＜ｑ（ｐ＝ｑ－ｒ、ｒ≧１を満たす整数）のとき、
式（２）は、１０１ｑ－９９（ｑ－ｒ）＝２ｑ＋９９ｒ＝１０
２ｑ＝１０－９９ｒ＜０より、ｑの解はなし。

以上より、Ｎ＝５４６となります。


他にも連立合同式を使う解法があります。

Ｎ≡５１（ｍｏｄ９９）　　式（３）
Ｎ≡４１（ｍｏｄ１０１）　式（４）

式（３）、（４）を満たすＮは、

Ｎ≡５１×１０１×Ａ＋４１×９９×Ｂ
〔但し、１０１Ａ≡１（ｍｏｄ９９）、９９Ｂ≡１（ｍｏｄ１０１）〕

そこで、Ａ、Ｂを求めると、
１＝９９×５０＋１０１×（－９９）より、Ａ＝５０
１＝９９×（－５１）＋１０１×５０より、Ｂ＝５０

従って、
Ｎ≡５１×１０１×５０＋４１×９９×５０≡４６０５００
　≡５４６（ｍｏｄ９９９９）

０≦Ｎ≦９９９９より、Ｎ＝５４６となります。



次の小問（３）は、小問（２）より複雑になります。

問題は、「９９９９００枚のカードで、９９、１００および１０１で割ったときの余りが、それぞれ３７、１５、１となるカードを求めよ」というものです。

まず、合同式を使って解いてみます。

Ｍ≡３７（ｍｏｄ９９）　　式（５）
Ｍ≡１５（ｍｏｄ１００）　式（６）
Ｍ≡１　（ｍｏｄ１０１）　式（７）

式（５）、（６）、（７）を満たすＭは、

Ｍ≡３７×１０１００×Ｄ＋１５×９９９９×Ｅ＋１×９９００×Ｆ
〔但し、１０１００Ｄ≡１（ｍｏｄ９９）、９９９９Ｅ≡１（ｍｏｄ１００）、９９００Ｆ≡１（ｍｏｄ１０１）〕

そこで、Ｄ、Ｅ、Ｆを求めると、
１＝１０１００×５０＋９９×（－５１０１）より、Ａ＝５０
１＝９９９９×９９＋１００×（－９８９９）より、Ｂ＝９９
１＝９９００×５１＋１０１×（－４９９９）より、Ｃ＝５１

従って、
Ｍ≡１８６８５０００＋１４８４８５１５＋５０４９００≡３４０３８４１５
　≡４１８１５（ｍｏｄ９９９９００）

０≦Ｍ≦９９９９００より、Ｍ＝４１８１５となります。

合同式を使うとシステマティックに解けるのですが、この問題のように法が大きい数の場合、電卓が欲しいところです。

そこで、合同式を使わないで解いてみましょう。

Ｍ＝９９Ｑ＋３７　　　式（８）
Ｍ＝１００Ｒ＋１５　　式（９）
Ｍ＝１０１Ｓ＋１　　　式（１０）

Ｑ＝Ｒ＋ｎ、Ｒ＝Ｓ＋ｍとすると、
式（８）、（９）から、
９９Ｑ＋３７＝１００（Ｑ－ｎ）＋１５
Ｑ＝１００ｎ＋２２

また、式（９）、（１０）から、
１００Ｒ＋１５＝１０１（Ｒ－ｍ）＋１
Ｒ＝１０１ｍ＋１４

そこで、
Ｑ＝Ｒ＋ｎより、
１００ｎ＋２２＝１０１ｍ＋１４＋ｎ
１０１ｍ－９９ｎ＝８　　式（１１）

つまり、式（１１）を満たす整数ｍ、ｎを求めればよい。
（ここで、場合分けは省略して）
ｍ＝ｎ＝４
従って、Ｑ＝４２２、Ｒ＝４１８、Ｓ＝４１４

以上より、Ｍ＝９９×４２２＋３７＝４１８１５
（実は、面倒な場合分けを省略しているので不完全なのですが・・・）

合同式は高校でも詳しく勉強しませんが、整数問題などに威力を発揮するツールです。興味があれば、勉強してみて下さい。

それにしても麻布中の問題は楽しいですね。明日は、大問６を紹介します。

麻布中の算数入試問題（大問１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

まだ雪が残っている所も多いですが、地域住民の皆さんの雪かきのおかげで歩行通路は確保できています。少し暖かいので雪もじきに融けるでしょう。

麻布中の算数入試問題は興味深い問題が多いです。試験問題は、６つの大問からなっていますが、特に、大問１、５と６が面白そうです。今日は、大問１を紹介します。

問題は、「２、３、５を用いて３０を作る方法は何通りあるか。但し、足す順序が異なるだけのものは同じ方法とする」というものです。

まず、この問題を言い換えると、「２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｎ＝３０　を満たす正の整数Ｌ、ＭおよびＮの組み合わせは何通りか」となります。

次に、Ｌ、ＭおよびＮの取り得る範囲を求めます。Ｌ、ＭおよびＮは正の整数ですから、左辺の２Ｌ、３Ｍおよび５Ｎの項も正の整数になります。つまり、０≦Ｌ≦１５、０≦Ｍ≦１０、０≦Ｎ≦６　とそれぞれの範囲が決まりました。

最後に、これらの範囲にある整数の組み合わせが等式を満たすか虱潰しに調べれば正解できます。ポイントは、効率的で系統的な調べ方ということになるのですが、Ｎについて場合分けしていけばＯＫでしょう。５＝２＋３なので、２（Ｌ＋Ｎ）＋３（Ｍ＋Ｎ）＝３０と変形したくなりますが、手間は変わらないようです。いずれにしても簡単に解けるので、合格者は全員正解でしょう。

そこで、この問題を違った視点から眺めて見ます。高校で勉強するのですが、２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｎ＝３０は、Ｌ、ＭおよびＮを軸とする空間での平面を表します。（図１の三角形ＡＢＣ）　つまり、問題は、「三角形ＡＢＣの中にある格子点の数はいくつあるか」と言い換えることができます。

▲図1.“２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｌ＝３０”の表す平面

しかし、三角形ＡＢＣは、Ｌ、ＭおよびＮの軸に対して傾いているので、三角形ＡＢＣ上の格子点を数えるのは面倒です。そこで、Ｎ＝０、１、２、・・・、に対するＬＭ平面に平行な三角形を作り、それらの斜辺（Ｌ軸上の点とＭ軸上の点を結んだ線分）の上の格子点を数えます。

Ｎ軸上から見て、Ｎ＝０～６における格子点（●）を重ね合わせたものを図２に示します。

▲図２．三角形ＡＢＣ上の格子点

ここで、Ｎ＝０、１、２、・・・、に対するＬＭ平面に平行な三角形を作ることは、２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｎ＝３０でＮ＝０、１、２・・・、と場合分けするのと同じことです。しかし、図２のグラフは、Ｎ＝０、１、２、・・・のとき、それぞれ、２Ｌ＋３Ｍ＝３０、２Ｌ＋３Ｍ＝２５、・・・、２Ｌ＋３Ｍ＝０となる７本の直線をＬＭ平面に描いたもので、これらの７本の直線と格子点とが交わる点（つまり、２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｎ＝３０の解）には規則性があることが判ります。

例えば、Ｍを一定のときのＬの間隔は５で、Ｌ一定のときのＭの間隔も５になります。また、右下に並ぶ点の列にも規則性があります。この特徴は、２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｌ＝３００など右辺が大きな数になったとき強力な武器になります。

以上のように、数と図形との関係を勉強すると算数・数学が判り易くなり、そして楽しくなるかも知れません。

筑波大附属駒場中の算数入試問題（大問２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

大変な雪でした。朝、家と教室の雪かきをしたので汗だくです。

さて、筑波大附属駒場中の算数入試問題ですが、昨日の大問１に続いて、今日は大問２に取り掛かります。

大問２は３つの小問からなり、それらのはどれも同じような問題です。それは、隙間なく並べてある正六角形のなかに点Ａ、点Ｂ、点Ｐおよび点Ｑが与えられていて、ＡＢの長さが３０ｃｍのとき、ＡＰとＰＱの長さを求めるというものです。小問（１）から（３）の問題図をそれぞれ図１から３に示します。

▲図１．筑波大附属駒場中　算数入試問題　大問２（１）

▲図２.筑波大附属駒場中　算数入試問題　大問２（２）

▲図３．筑波大附属駒場中　算数入試問題　大問２（３）

一つのセルが正六角形なので、辺や中心（長い方の対角線の交点）から頂点までの長さが等しいことなど使いたくなったり、解析的に解きたくなったりするかもしれませんが、ここは適当な目盛を持つ軸に対して平行射影して比を求めるのが簡単です。

正六角形の２つの頂点を通る直線を引いてそれを軸とした場合、すべての軸は周期性を持ちます。しかし、選んだ頂点同士が離れていては長さの基準（目盛）が大きくなりすぎて、各点を平行射影したときの点の位置が測れません。つまり、それなりの周期性をもつ直線を軸に選ぶことが肝要です。

▲図４．筑波大附属駒場中　算数入試問題　大問２説明図

ごちゃごちゃと書きましたが、実は簡単で、図４のＬ１、Ｌ２およびＬ３、ならびにＭ１、Ｍ２およびＭ３はそれを満たしています。（他にも軸として使えるものがたくさんあります）Ｌ１、Ｌ３、Ｍ１、およびＭ３は、正六角形の長い方の対角線の半分（六角形の辺の長さ）を目盛とした軸で、Ｌ２とＭ２は、正六角形の短い方の対角線の半分を目盛とした軸になっています。

これらの軸に点Ａ、点Ｐおよび点Ｑを平行射影します。その際、平行射影の方向はを正六角形の辺の方向に合わせるのがポイントです。例えば、点Ａは正六角形の頂点なので辺の方向は３つありますが、点Ｐや点Ｑは正六角形の辺上にあるので方向は１つです。そこで、辺上の点Ｐまたは点Ｑを辺の方向に射影し、その方向に合わせて点Ａを平行射影します。

このようにして軸に点Ａ、ＰおよびＱを平行射影させて、軸の目盛から各点間の長さの比を求めます。そして、ＡＢの長さからＡＰとＡＱの長さとＰＱ＝ＡＱ－ＡＰを計算して終わりです。

具体的に、軸としてＬ１とＭ１を使う場合を示します。点Ｐを正六角形の辺の方向に（上下方向）にＬ１上に射影し、その点を点Ｐ１とします。次に点Ａを同じ方向に平行射影し、点Ａ１とします。するとＡ１Ｂの長さは、正六角形の長い方の対角線の半分の長さの３倍で、Ａ１Ｐ１の長さは２倍であることが判ります。したがって、ＡＢ：ＡＰ＝Ａ１Ｂ：Ａ１Ｐ１＝３：１となり、ＡＢは３０ｃｍなのでＡＰ＝１０ｃｍとなります。

点Ｑについても同じ操作をして、ＡＢ：ＡＱ＝Ａ６Ｂ：Ａ６Ｑ６＝２：１、ＡＱ＝１５ｃｍとなり、ＰＱ＝ＡＱ－ＡＰ＝１５－１０＝５ｃｍと正解できます。

さらに、点Ｐと点Ｑとが存在する正六角形の辺の方向が異なっているので、２つの方向に平行射影しなければなりませんが、必ずしも２つの軸を必要としません。例えば、図４のＬ１とＭ１は同じ軸で、２つの辺と平行でなければ１つの軸で充分です。

小問（２）も（３）も同様に正解できます。大問１もそうでしたが、筑波大附属駒場中の問題は、同じような小問が多く、少し冗長な感じがします。小問（１）を正三角形をセルとした２次元の問題にして、小問（２）を正四面体をセルにした３次元の問題にすると面白かったかも知れません。

今まで、開成中、灘中、そして筑波大附属駒場中の面白そうな問題を見てきましたが、すべて男子中なので、女子中も調べたくなりました。そこで、女子中の筆頭格である桜陰中の問題を見たのですが、残念ながら面白そうな問題はありませんでした。何気なく麻布中を調べると、今回の問題に似た感じのものなど結構面白そうな問題が多かったので、次回は麻布中の入試問題を取り上げたいと思います。

筑波大附属駒場中の算数入試問題（大問１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

大雪になりました。教室の前を雪かきしたのですが、あっと言う間に白くなりました。

今まで開成中、灘中の算数入試問題を見てきましたが、やはり外せないのは筑波大附属駒場中学校です。昔は、東京教育大附属駒場中学校で「キョーコマ」と言っていました。

その「旧キョーコマ」の問題を一瞥すると、面白そうなのは大問１と２です。

大問１は、４桁整数　１１１１　および６桁の整数　１１１１１１　について、一の位は１から１ずつ、十の位は１から２ずつ、百の位は１から３ずつ、千の位は１から４ずつ、万の位は１から５ずつ、十万の位は１から６ずつ増やし、それぞれ一の位の数を各桁に持つ数についての問題です。

例えば、４桁の　１１１１　の場合は、順に、５４３２、９７５３、３０７４、７３９４、１６１５、・・・　となります。

そのようにして作った数について、（問１－ア）１００番目の数はいくつになるか、（問２－イ）１番目から１００番目までの数のうち、６の倍数は何個あるか、というものです。

（問１－ア）は、等差数列の知識があればあっと言う間に正解ですが、後の問題を考慮すると、各桁の数がどのように巡回するかを調べて解くのが良いようです。

（問１－イ）の６の倍数の個数については、２の倍数（偶数）でかつ３の倍数であるものを数えればＯＫです。そのとき、３の倍数は、各桁の数の和が３の倍数になるということを利用しましょう。

６桁の問題では、（問２－ア）１番目から２０１４番目までの各桁に数字　「１」　は全部で何個あるか、（問２－イ）１番目から２０１４番目までの数のうち、８の倍数は何個あるか、というものです。

（問２－ア）で等差数列を使うと、２０１４×６＝１２０８４回計算しなければならないので、ここは各桁の数の巡回を調べましょう。

（問２－イ）の８の倍数の個数については、１０００＝８×１２５なので下３桁が８の倍数かを調べればＯＫです。とは言っても、２０１４個の３桁の数を８で割ってみるというのも骨が折れそうですが、実際は１０個の数が巡回するだけで簡単です。

具体的には、下３桁の数が、１１１、４３２、７５３、０７４、３９５、６１６、９３７、２５８、５７９、８９０、１１１、・・・、と巡回します。これらから２の倍数でないものを除くと、４３２、０７４、６１６、２５８、８９０が残り、次に４の倍数でないもの、つまり、下２桁の数が４の倍数でないものを除くと、４３２、６１６になります。この２つの数を８で割ってみれば両者とも８の倍数であることが判ります。

問１、２とも倍数の判定が必要です。２の倍数は一の位の数が偶数、３の倍数は各位の数の和が３の倍数、等々などよく知られていますが、ここでは一般化された倍数の判定法を紹介します。

ある数ＡがＮの倍数か調べたいとき、１０進数の基数（１、１０、１００、・・・）をＮで割った余りとＡのその基数に対応する桁の数との積和がＮの倍数であるかどうかを調べる方法です。

例えば、４３２が８の倍数かどうかを調べます。１００、１０および１を８で除した余りは、それぞれ、４、２および１になります。そこで、４×４＋３×２＋２×１＝２４となり、２４は８の倍数ですから４３２は８の倍数になります。さらに２４について同様な」操作をすると、２×２＋４×１＝８となり、これは８の倍数です。簡単で覚えやすいので便利です。

大問１は一見取っ付き難いように見えますが、巡回に着目すれば簡単です。まあ、２０１４個の数を扱うとなれば、何か規則性を見つけて簡単にしなければ時間内に解けない訳ですから、巡回に着目するのは当然でしょう。今日は大問１が長くなってしまったので、大問２は明日にします。

灘中の算数試験問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

毎日寒い日が続きますが、ついに明日はしっかりした雪が降るようです。この週末は、受験生の皆さんは暖かくして家で勉強しましょう。

開成中入学試験の算数問題に続いて、西の雄・灘中の問題をチェックしました。方程式などの知識があれば難しくはないですが、それを使わないと時間内に正解するのは大変そうです。そのなかで面白そうな問題が大問４のパズルでした。

▲灘中算数試験問題 大問４

１から１９までの数を図のように配置して、直線上に並んだ数の合計を３８にするという問題です。

一見したところ、空欄の○が１１個で、直線上に並んだ数の和が３８になるという条件で１３式作れるので、１１元１次連立方程式を解けば終わりです。しかし、変数が１１というのも骨が折れるので手間をかけずに正解したいところです。

図をよく見ると、ア列、ク列、サ列の交点が９になることが判るので、１から１９までの１９個の数のうち既に使っている（配置されている）数は１０個で、残り９個になります。つまり、残りの９個を配置すればよい訳です。

次に、どこの空欄に着目すれば良いかを考えると、空欄が２つある列と３つある列がありますが、ここは当然空欄が２つの列です。例えば、ウ列、カ列、ソ列の交点にある１０に着目すると、カ列とソ列のそれぞれ２つの空欄には、和が２８となる数が配置されなければなりません。残りの９個の数から２つの数の和が２８となる組み合わせは、（１２，１６）、（１３，１５）の２通りですから、カ列とソ列の合わせて４つの空欄には、１２、１３、１５および１６のどれかが配置されるということです。同じ作業をア列、オ列、コ列にも施してお仕舞いです。

ところで、ア列、ク列、サ列の交点はどうして空欄にしてあったのですかね。灘中受験生に失礼じゃないかなぁ。

開成中算数試験問題大問１の（１）と「ユークリッドの互除法」

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜は身を切る寒さでした。それに比べると、今日はましですが、それでも充分に寒いです。

中１の塾生が空間図形の勉強のあと、開成中の算数入試問題に挑戦しました。好きな問題を選ばせたところ、大問１の（１）の、「３つの整数ア、イ、ウがあります。アとイの最大公約数は２１、イとウの最大公約数は３５、アとウの最大公約数は９８です。また、アとイとウの合計は１０００以下です。ア、イ、ウに当てはまる数を答えなさい」という問題を選びました。

大問１の（１）と（２）は易しいのでＧｏｏｄ Ｃｈｏｉｃｅです。数分間の格闘後、見事に正解に辿り着きました。

塾生の解法は、アは２１と９８との最小公倍数、イは２１と３５との最小公倍数、ウは３５と９８との最小公倍数を求めるというものです。ちょっと不完全ではあるものの合格です。（別解としては、ア＝２１×ｐ＝９８×ｑ、イ＝２１×ｒ＝３５×ｓ、ウ＝３５×ｔ＝９８×ｕ、などと置いて解くのも判り易い方法です。私の好みはこちらです。）

ところで、塾生が解答に時間が掛かったのは、最小公倍数を求めるのに苦労していたためでした。小５で（最大）公約数、（最小）公倍数を勉強するのですが、最小公倍数の求め方は、各々の数の倍数を書き出して同じ数になるものを見つけるというものです。上の問題の３５と９８との最小公倍数は４９０なので、３５、７０、１０５、・・・と１４の数字を書き出さなければならないということです。

この苦労を解決してくれるのが「ユークリッドの互除法」です。図に、今回の問題の２１と９８、２１と３５、３５と９８の最小公倍数の求め方を例に挙げました。

▲ユークリッドの互除法

２つの数字を横に並べて書き、割り算の筆算に出てくる形を上下逆さまにした線を引きます。次に２つの数字の公約数を左に書いて、元の数の下に元の数を公約数で除した数を書きます。左側の例では、２１と９８の公約数は７なので、横に７と書いて、２１の下に３（２１÷７＝３）、９８の下に１４（９８÷７＝１４）を書きます。この場合、最下にある３と１４には公約数がないのでここで終わりです。（違う数の組み合わせで公約数がある場合は、この操作を公約数がなくなるまで繰り返します）

この計算式から最小公倍数を求めるには、左側の数と最下の数の積を作ります。例では、左側の数が７、最下の数が３と１４なので、７×３×１４＝２９４で、最小公倍数は２９４になります。

この「ユークリッド互除法」を中学校の頃、勉強したような気がするのですが、小中学校では扱わないようです。但し、中学入試では最小公倍数や最大公約数が出題されるので、覚えておくと良いでしょう。

開成中の算数試験問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日午後の早い時間から本格的な雪が降り始めたので積雪を心配したのですが、夕方には止んで良かったです。

そんな雪のせいか小学生の塾生の休みが多かったので、空いた時間に今年の開成中の算数試験問題を見てました。

問題は４つで、どれも攻略方針を決めるのは難しくないのですが、いざ実行するとなかなか大変です。それらのなかで興味深いものが問題３の時計問題です。

▲図１．2014年開成中学校 算数試験問題３

１日が１０時間（午前５時間、午後５時間）、１時間が２５分、１分が２５秒という架空の時計を扱った問題で、３つの小問からなっています。（１）は、現在時刻（図１）午後２時５分０秒から始めて、短針と長針とが重なる時刻を求めて短針、長針および秒針を時計に書き込むという問題で、これは力ずくで簡単に片付けられそうですが、（３）は、３針が１００回目に重なるのは何日後の何時何分かというもので、なかなか骨が折れそうです。

結局、各針が０時となす角を時間と回転回数で表して解いたのですが、力ずくでねじ伏せるにしても立式して計算するにしても手間の掛かる問題です。ほとんどの小６生（おそらく中高校生も）には歯が立たないでしょう。合否にかかわらず、これらの難問に挑戦した１，１３０人の受験生には感心する次第です。

中高一貫校適性検査問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午後から雨という予報通り、昼になって段々雲ってきました。久しぶりの雨になりそうです。昨日で冬期講習が終わり、今日から通常授業です。

近ごろ公立の中高一貫校が人気ですが、その適性検査のいくつかの問題を見ると、小学校のころ、楽しく読んでいた多湖輝氏の「頭の体操」シリーズを思い出して楽しいです。

適性検査の問題は、単純な計算問題ではなく目新しいもので、かつ会話形式なのでなかなか面白く、問題作成者のご苦労を感じますが、一方、解答者の小学６年生も苦労が多いことでしょう。というのは、適性検査問題は小学校でのテスト問題と大きく違うので、計算問題と単純な文章問題しか経験のない普通の小６生では正解への手掛かりが掴み難いためです。

では、どうすれば手掛かりを掴めるかというと、問題を読んでその意味を理解すること以外に手はありません。意味が分かり難いときは、単純化したり、実際に数値を代入してみて確かめることが有効です。多くの小学生（中学生も）は、「イミフ～」と口にしますが、その「イミフ」を乗り越えて意味を探りあてる訓練が必要です。

「計算ができる」ことと「計算の仕方を知っている」こと

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

少し風がありますが、今日も快晴で明るい一日です。

算数（数学）の問題を解くプロセスは、
（１）問題読解
（２）立式
（３）計算
（４）検算
となり、計算問題の場合は、（１）と（２）がありません。

このプロセスから分かるように「計算ができない」と正しい解答に辿り着けないので、計算はとても大切な要素になります。しかし、多くの生徒は「計算ができる」ことと「計算の仕方を知っている」こととを混同しているようで、例えば、２０問の計算問題をやって１９問正解であれば１００点満点中９５点になり、「良くできた。うっかりミスさえなければ１００点だったのに」となりがちです。確かに、それはその通りで、普通、経験とともに計算力が向上しうっかりミスも減っていくので、あまり目くじらを立てる必要もないことかもしれません。しかし、あくまでもこの状態は「計算の仕方を知っている」という状態だということを認識する必要があります。

特に、中学受験を考えている小学生の場合、－当然、志望校のレベルによって違いますが－、「計算ができる」状態にすることが望ましいと思います。小学校のテストの計算問題で間違えないのは最低限の計算力でしょう。もし、間違えるのであれば、数字の書き方や大きさなどのテクニカルな問題なのか、集中力不足などの気持ちの問題なのかを見極めて対策する必要があります。

是非、保護者の方はお子さんの答案を確認して「計算ができる」状態なのか、「計算の仕方を知っている」状態なのかを把握することをお勧めします。そして必要と考えるのならば、その原因を探り対策すると良いでしょう。

明日は、苦手と言う人が多い文章題について取り上げる予定です。