中学生でも解ける京大大学院入試問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成２７年度京大大学院理学研究科理学部数学教室の入試問題です。

問題は、
「１以上３５００以下の整数ｘのうち、

が３５００で割り切れるものの個数を求めよ。」
です。


が３５００で割り切れるということは、

となる整数ｍが存在するということです。

そこで（１）の左辺を因数分解し、右辺の３５００を素因数分解すると、

です。

ここから、（２）の左辺の

が２、５、７の倍数になるか調べていきましょう。

● ｘが２の倍数、かつ、４の倍数でないとすると

は奇数になり、（２）は成り立ちません。

したがって、（２）の左辺が４の倍数になるのは、ｘが４の倍数の場合になります。

● ｘが奇数（２ｎ＋１）のとき、

になり、（２）の左辺は４の倍数になります。

● ｘ＝５ｎ、５ｎ±１、５ｎ±２とすると、

なので、

は５の倍数にはなりません。したがって、ｘが

の倍数になります。

●
はどちらも７の倍数になり得ます。

以上から、（２）が成り立つのは、

で、さらに、
① ｘは４の倍数、かつ、７の倍数→ｘは２８の倍数
② ｘが４の倍数、かつ、
　
　が７の倍数
③ ｘが奇数、かつ、７の倍数
④ ｘが奇数、かつ、
　
　が７の倍数
の場合になります。

ここから①から④のそれぞれを調べていきましょう。

①の場合

です。

このとき、１≦ｘ≦３５００なので、問題の条件を満たすｘの個数は１個です。（ｘ＝３５００）

②の場合

です。

また、１≦ｘ＜３５００（①の結果から右側の不等号から等号を除きました）に（３）を代入すると、

です。

ここで（３）を（４）に代入すると、

で、これは

を７で割った余りが４のとき成り立ちます。

そこで、ｋを７で割ったときの余りと

を７で割ったときの余りを調べると、

です。

したがって、

を７で割った余りが４になるのは、

を７で割った余りは２、

を７で割った余りは１なので、（★）から、ｋ＝７ｎ＋３または７ｎ＋４の場合で、さらに（５）からｋ＝３または４になります。

以上から、問題の条件を満たすｘの個数は２個です。（ｘ＝１５００、２０００）

③の場合

です。

また、１≦ｘ＜３５００に（７）を代入すると、

です。

このときｘは奇数なので（８）を満たすのはｋ＝１または３になります。

以上から、問題の条件を満たすｘの個数は２個です。（ｘ＝８７５、２６２５）

④の場合

です。

また、１≦ｘ＜３５００に（９）を代入すると、

です。

ここで（９）を（１０）に代入すると、

で、これは

を７で割った余りが４のとき成り立ちます。

このとき、

を７で割った余りが４になるのは、

を７で割った余りは１なので、（★）から、ｋ＝７ｎ＋２または７ｎ＋５の場合で、さらにｘは奇数なので、（１２）からｋ＝５、９、１９、２３になります。

以上から、問題の条件を満たすｘの個数は４個です。（ｘ＝６２５、１１２５、２３７５、２８７５）

以上をまとめると、問題の条件を満たすｘの個数は、１＋２＋２＋４＝９個で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｆｏｌｌｏｗ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ｓｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｅｄ　ｈｉｍ．
（彼女は彼についていった）
という文があります。

この ｆｏｌｌｏｗ を ロングマン英英辞典 で引いてみると、その 類義語 の ｃｈａｓｅ、ｒｕｎ　ａｆｔｅｒ/ｇｏ　ａｆｔｅｒ、ｓｔａｌｋ、ｐｕｒｓｕｅ、ｇｉｖｅ　ｃｈａｓｅ、ｔａｉｌ、ｔｒａｃｋ との違いについて、

● ｆｏｌｌｏｗ
　ｔｏ　ｗａｌｋ，ｄｒｉｖｅ　ｅｔｃ　ｂｅｈｉｎｄ　ｏｒ　ａｆｔｅｒ　ｓｏｍｅｏｎｅ　ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｓｅｅ　ｗｈｅｒｅ　ｔｈｅｙ　ａｒｅ　ｇｏｉｎｇ：
（例えば、行き先を知るために尾行したり車で追跡すること）

Ｔｈｅ　ｍａｎ　ｈａｄ　ｆｏｌｌｏｗｅｄ　ｈｅｒ　ｈｏｍｅ　ｔｏ　ｆｉｎｄ　ｏｕｔ　ｗｈｅｒｅ　ｓｈｅ　ｌｉｖｅｄ．
（その男は彼女の家を見つけるために家まで彼女を尾行した）

● ｃｈａｓｅ
　ｔｏ　ｑｕｉｃｋｌｙ　ｒｕｎ　ｏｒ　ｄｒｉｖｅ　ａｆｔｅｒ　ｓｏｍｅｏｎｅ　ｏｒ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｃａｔｃｈ　ｔｈｅｍ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅｙ　ａｒｅ　ｔｒｙｉｎｇ　ｔｏ　ｅｓｃａｐｅ：
（逃げようとしている相手を捕まえるため、すばやく走ったり車で追いかけること）

Ｐｏｌｉｃｅ　ｃｈａｓｅｄ　ｔｈｅ　ｃａｒ　ａｌｏｎｇ　ｔｈｅ　ｍｏｔｏｒｗａｙ　ａｔ　ｓｐｅｅｄｓ　ｏｆ　ｕｐ　ｔｏ　９０　ｍｐｈ．
（警察は時速９０マイル超のスピードで高速道路を走行していた車を追いかけた）
　　
● ｒｕｎ　ａｆｔｅｒ/ｇｏ　ａｆｔｅｒ
　ｔｏ　ｑｕｉｃｋｌｙ　ｆｏｌｌｏｗ　ｓｏｍｅｏｎｅ　ｏｒ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｓｔｏｐ　ｔｈｅｍ　ｏｒ　ｔａｌｋ　ｔｏ　ｔｈｅｍ：
（引き止めたり話すためにすばやく相手を追いかけること）

Ｉ　ｒａｎ　ａｆｔｅｒ　ｈｉｍ　ｔｏ　ｓａｙ　ｓｏｒｒｙ，　ｂｕｔ　ｈｅ’ｄ　ａｌｒｅａｄｙ　ｇｏｔ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂｕｓ．
（謝るために彼を追いかけたが、彼はすでにバスに乗って行ってしまっていた）

● ｓｔａｌｋ
　ｔｏ　ｓｅｃｒｅｔｌｙ　ｆｏｌｌｏｗ　ａｎ　ａｎｉｍａｌ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｋｉｌｌ　ｉｔ， ｏｒ　ｔｏ　ｓｅｃｒｅｔｌｙ　ｆｏｌｌｏｗ　ａ　ｐｅｒｓｏｎ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ａｔｔａｃｋ　ｔｈｅｍ：
（動物を仕留めるため隠れて追ったり、人を攻撃するため隠れて後をつけること）

Ｈｅ　ｈａｄ　ａ　ｌｏｎｇ　ｈｉｓｔｏｒｙ　ｏｆ　ｓｔａｌｋｉｎｇ　ｗｏｍｅｎ　ｉｎ　ｈｉｓ　ｎｅｉｇｈｂｏｕｒｈｏｏｄ．
（彼は昔から近所の女性たちをストーカーしていた）

● ｐｕｒｓｕｅ
　（ｗｒｉｔｔｅｎ）ｔｏ　ｃｈａｓｅ　ｓｏｍｅｏｎｅ　ｉｎ　ａ　ｖｅｒｙ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｗａｙ：
（書き言葉/確固たる態度で誰かを追跡すること）

Ｔｈｅ　ｓｈｉｐ　ｗａｓ　ｂｅｉｎｇ　ｐｕｒｓｕｅｄ　ｂｙ　ｅｎｅｍｙ　ｓｕｂｍａｒｉｎｅｓ．
（その船は敵の潜水艦に追跡された）

● ｇｉｖｅ　ｃｈａｓｅ
　（ｗｒｉｔｔｅｎ）ｔｏ　ｃｈａｓｅ　ｓｏｍｅｏｎｅ　ｏｒ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｗｈｏ　ｉｓ　ｔｒｙｉｎｇ　ｔｏ　ｅｓｃａｐｅ　ｆｒｏｍ　ｙｏｕ：
（書き言葉/逃げようとしている相手を追いかけること）

Ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｆｆｉｃｅｒｓ　ｇａｖｅ　ｃｈａｓｅ　ａｎｄ　ａｒｒｅｓｔｅｄ　ｔｈｅ　ｍａｎ．
（警官の一人がその男を追いかけて逮捕した）

● ｔａｉｌ
　ｔｏ　ｓｅｃｒｅｔｌｙ　ｆｏｌｌｏｗ　ｓｏｍｅｏｎｅ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｗａｔｃｈ　ｗｈａｔ　ｔｈｅｙ　ｄｏ　ａｎｄ　ｗｈｅｒｅ　ｔｈｅｙ　ｇｏ：
（何をするのか、どこへ行くのかを監視するために密かに相手をつけること）

Ａｐｐａｒｅｎｔｌｙ， ｔｈｅ　ｐｏｌｉｃｅ　ｈａｄ　ｂｅｅｎ　ｔａｉｌｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｅｒｒｏｒｉｓｔ　ｆｏｒ　ｍｏｎｔｈｓ．
（どうやら警察は数ヶ月間そのテロリストを尾行していたようだ）

● ｔｒａｃｋ
　ｔｏ　ｆｏｌｌｏｗ　ａｎｄ　ｆｉｎｄ　ａ　ｐｅｒｓｏｎ　ｏｒ　ａｎｉｍａｌ　ｂｙ　ｌｏｏｋｉｎｇ　ａｔ　ｔｈｅ　ｍａｒｋｓ　ｔｈｅｙ　ｌｅａｖｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｇｒｏｕｎｄ：
（地面に残した目印を見て、人や動物を追跡し発見すること）

Ｔｈｅ　ｂｕｓｈｍｅｎ　ｗｅｒｅ　ｔｒａｃｋｉｎｇ　ａｎｔｅｌｏｐｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｋａｌａｈａｒｉ　ｄｅｓｅｒｔ．
（ブッシュマンはカラハリ砂漠でアンテロープを追っかけていた）
と説明しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２１７）（つづき４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成９年度東大大学院理学系研究科物理学専攻の入試問題の続きです。

問題は、
「

　　　　　　
を満たす正の整数ｘ、ｙ、ｚの組合せをすべて求める方法を考える。ここでｘ、ｙ、ｚのどの２つも、たがいに素（最大公約数が１）とする。

（ａ） ｘとｙは、一方が偶数、もう一方が奇数であることを証明せよ。

（ｂ） 以下では、偶数の方をｘとする。残りのｙとｚの２数から、Ａ＝（ｚ＋ｙ）/２、Ｂ＝（ｚ－ｙ）/２と定義するとき、ＡとＢは整数であり、たがいに素であることを証明せよ。

（ｃ） 一般に、たがいに素な正の整数ＡとＢの積が正の整数Ｃの２乗、すなわち

で表せる場合、

となる整数α、βが存在することを証明せよ。

（ｄ） （１）式を満たす３つの整数ｘ、ｙ、ｚを、２つの整数α、β（ここでα＞β＞０）から導く式を示せ。

（ｅ） （ｄ）の結果を用いて、α≦６の範囲で、たがいに素なすべてのｘ、ｙ、ｚの組み合わせを示せ。」
です。

今回は、最後の（ｅ）です。

αとβが取り得る値は、
① ６≧α＞β＞０
② αとβはたがいに素
を満たします。

さらに（ｄ）の答え

で、ｙ、ｚは奇数なので、
③ αとβの偶奇は異なる
を満たします。

したがって、①、②、③を満たすαとβの組合せ（α，β）は、下表のように、（２，１）、（４，１）、（６，１）、（３，２）、（５，２）、（４，３）、（５，４）、（６，５）の８通りになります。

▲表．αとβの組合せを○で示しました

ここで、これらのα、βに対応するｘ、ｙ、ｚの組合せ（ｘ，ｙ，ｚ）を計算すると、
（α，β）　　（ｘ，ｙ，ｚ）
（２，１）→（４，３，５）
（４，１）→（８，１５，１７）
（６，１）→（１２，３５，３７）
（３，２）→（１２，５，１３）
（５，２）→（２０，２１，２９）
（４，３）→（２４，７，２５）
（５，４）→（４０，９，４１）
（６，５）→（６０，１１，６１）
で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｓｈａｍｐｏｏ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
‘Ｂａｎｄａｎｎａ’　ａｎｄ　‘ｓｈａｍｐｏｏ’　ａｒｅ　ｆｒｏｍ　Ｈｉｎｄｉ．
（「バンダナ」や「シャンプー」はヒンディー語が起源だよ）
という文があります。

イギリスとインドの関係は、イギリス東インド会社によるインド統治以来、長く深い繋がりがあり、そのため教科書の例文の ｂａｎｄａｎｎａ や ｓｈａｍｐｏｏ など多くのインドの言葉が英語に入り込みました。

それについて、「パックス・ブリタニカ（下）」（ジャン・モリス著、椋田直子訳、講談社）に、「驚くほど多くのインドの言葉が、誰もさして気に留めないまま、英語に滑り込んできた」ことを示す例文として、

「彼女は ジャングル〔ｊｕｎｇｌｅ〕 を抜けて バンガロー〔ｂｕｎｇａｌｏｗ〕 に戻ると、 キャラコ〔ｃａｌｉｃｏ〕 のボネットを チーク〔ｔｅａｋ〕 のテーブルに投げ出し、 ギンガム〔ｇｉｎｇｈａｍ〕 のエプロンを着けて、 サンダル〔ｓａｎｄａｌ〕 を突っかけた。紅茶を キャディ（缶、箱）〔ｃａｄｄｙ〕 に小分けして、 カレー〔ｃｕｒｒｙ〕 用の チャツネ〔ｃｈｕｔｎｅｙ〕 を作って、 バザール〔ｂａｚａａｒ〕 で ペッパー〔ｐｅｐｐｅｒ〕 と チェルート（葉巻）〔ｃｈｅｒｏｏｔ〕 を注文しなくては － 召使いに チット（書きつけ）〔ｃｈｉｔ〕 を持っていかせよう。子どもたちは外で、 ディンギー（ボート）〔ｄｉｎｇｈｙ〕 に乗っているから、 カーキ〔ｋｈａｋｉ〕 色の ダンガリー〔ｄｕｎｇａｒｅｅ〕 をびしょ濡れにして帰るに違いない。 シャンプー〔ｓｈａｍｐｏｏ〕 もしたいし、トムの パジャマ〔ｐａｊａｍａ〕 も繕わなくてはいけない。それに、 ベランダ〔ｖｅｒａｎｄａ〕 用の チンツ（平織り布地）〔ｃｈｉｎｔｚ〕 のカーテンもまだ仕上がっていない。やれやれ、でも ダーム（インドの銅貨）〔Ｄａｍ〕 をやったわけじゃないだから。彼女は ショール〔ｓｈａｗｌ〕 を肩にはおって、 パンチ〔ｐｕｎｃｈ〕 を一杯注いだ」

を挙げています。


頭に入れておくと自慢できる場面もあるかもしれません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２１７）（つづき３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成９年度東大大学院理学系研究科物理学専攻の入試問題の続きです。

問題は、
「

　　　　　　
を満たす正の整数ｘ、ｙ、ｚの組合せをすべて求める方法を考える。ここでｘ、ｙ、ｚのどの２つも、たがいに素（最大公約数が１）とする。

（ａ） ｘとｙは、一方が偶数、もう一方が奇数であることを証明せよ。

（ｂ） 以下では、偶数の方をｘとする。残りのｙとｚの２数から、Ａ＝（ｚ＋ｙ）/２、Ｂ＝（ｚ－ｙ）/２と定義するとき、ＡとＢは整数であり、たがいに素であることを証明せよ。

（ｃ） 一般に、たがいに素な正の整数ＡとＢの積が正の整数Ｃの２乗、すなわち

で表せる場合、

となる整数α、βが存在することを証明せよ。

（ｄ） （１）式を満たす３つの整数ｘ、ｙ、ｚを、２つの整数α、β（ここでα＞β＞０）から導く式を示せ。

（ｅ） （ｄ）の結果を用いて、α≦６の範囲で、たがいに素なすべてのｘ、ｙ、ｚの組み合わせを示せ。」
です。

今回は（ｄ）です。


を（２）に代入すると、

になり、これと（１）から

が成り立ちます。

このとき（ｂ）からＡ、Ｂはたがいに素な整数で、さらにｘは偶数なので

は整数になります。

すると（ｃ）から

を満たす整数α、βが存在し、（１１）＋（１２）から

（１０）－（１１）から

が成り立ちます。

さらに、（１０）に（１１）、（１２）を代入すると、

になり、ｘ＞０から

です。

以上をまとめると、

で、これが答えです。


次回は、最後の（ｅ）です。

ｌａｄｙ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ａｎｄ　ｔｈａｔ　ｙｏｕｎｇ　ｌａｄｙ　ｉｓ　ｃａｌｌｉｎｇ　ｙｏｕ．
（あの若い女性が君を呼んでいるよ）
という文があります。

この ｌａｄｙ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、 類義語 ｗｏｍａｎ、ｆｅｍａｌｅ との違いについて、
● ｌａｄｙ
　 ｇｅｎｔｌｅｍａｎ と対応させて、大人の女性としての特性を強調する語で、育ちの良さ・上品さ・教養・社会的地位の高さを暗示するが、場違いな状況で皮肉としても用いられる。くだけた言葉では、しばしば ｗｏｍａｎ の丁寧語として優先して用いられたり、差別的表現を避けるために用いられることがある

ａｎ　ｏｌｄ〔ｅｌｄｅｒｌｙ〕ｌａｄｙ　お年を召したご婦人
ａ　ｌｅａｄｉｎｇ　ｌａｄｙ　　　　　　主演女優

また Ｆｉｒｓｔ　Ｌａｄｙ（米大統領夫人）、Ｌａｄｙ　Ｍｅｌａｎｉａ（メラニア夫人）など、特定の社会的地位をもつ女性に対する敬称として用いられる。当人の前で「こちらの女性」という場合は ｔｈｉｓ　ｌａｄｙ を用いる

● ｗｏｍａｎ
　 大人の女性を表す最も一般的な語。女性の特性を問題とする場合、中立的な立場で述べる場合などに好まれる

ａ　ｐｒｅｇｎａｎｔ〔ｍａｒｒｉｅｄ〕ｗｏｍａｎ　妊娠した〔既婚〕女性
ａｎ　ｏｌｄｅｒ〔ａ　ｙｏｕｎｇｅｒ〕ｗｏｍａｎ　年配の〔若い〕女性

● ｆｅｍａｌｅ
　 性別を強調する語で、人間だけでなく動物・植物にも用いるが、名詞としては ｍａｌｅ と対応させて主に公式文書、生物学・科学分野などで使用される。日常的な女性の意味で用いるのは軽蔑的に響くことがあるので避けられる

ｍａｌｅ-ｆｅｍａｌｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ　男女の関係

と説明しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２１７）（つづき２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成９年度東大大学院理学系研究科物理学専攻の入試問題の続きです。

問題は、
「

　　　　　　
を満たす正の整数ｘ、ｙ、ｚの組合せをすべて求める方法を考える。ここでｘ、ｙ、ｚのどの２つも、たがいに素（最大公約数が１）とする。

（ａ） ｘとｙは、一方が偶数、もう一方が奇数であることを証明せよ。

（ｂ） 以下では、偶数の方をｘとする。残りのｙとｚの２数から、Ａ＝（ｚ＋ｙ）/２、Ｂ＝（ｚ－ｙ）/２と定義するとき、ＡとＢは整数であり、たがいに素であることを証明せよ。

（ｃ） 一般に、たがいに素な正の整数ＡとＢの積が正の整数Ｃの２乗、すなわち

で表せる場合、

となる整数α、βが存在することを証明せよ。

（ｄ） （１）式を満たす３つの整数ｘ、ｙ、ｚを、２つの整数α、β（ここでα＞β＞０）から導く式を示せ。

（ｅ） （ｄ）の結果を用いて、α≦６の範囲で、たがいに素なすべてのｘ、ｙ、ｚの組み合わせを示せ。」
です。

今回は（ｃ）です。


と素因数分解します。（ｓ≠ｔのときｃｓとｓｔはたがいに素な正の整数です）

ここで（２）に（９）を代入すると、

になります。

このとき、ＡとＢはたがいに素なので、

はＡの因数かＢの因数かのいずれかになります。

そこで

で、Ａの因数になるものを

、Ｂの因数になるものを

とすると、

になります。（因数がない場合は１とします）

ここで、

とおくと、

になり、このときα、βは整数です。

以上から、問題の条件を満たすα、βが存在することを示すことができました。


次回は（ｄ）です。

ｈｏｇ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１英語教科書に Ｍｏｔｈｅｒ　Ｇｏｏｓｅ の ‘Ｂｏｗ－ｗｏｗ，ｓａｙｓ　ｔｈｅ　ｄｏｇ’ と題する歌が載っていて、その歌詞のなかに、
Ｇｒｕｎｔ， ｇｒｕｎｔ， ｇｏｅｓ　ｔｈｅ　ｈｏｇ，
（ブー、ブーと豚はいいます）
という一節があります。

この ｈｏｇ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、見出し語 ｐｉｇ のところに、「昔は ｓｗｉｎｅ，ｈｏｇ で、ｐｉｇ は１９世紀以降に一般化」と記してあり、古い童謡の Ｍｏｔｈｅｒ　Ｇｏｏｓｅ では ｈｏｇ が使われているのでしょう。

さらに、「ｐｉｇ、《米》ｈｏｇ はブタを表す一般的な語で、 ｈｏｇ は ｐｉｇ に比べて より大きく、がさつなイメージがある」とあります。

鳴き声 については、上記の ｇｒｕｎｔ のほかに、 ｏｉｎｋ や ｓｑｕｅａｌ もあるようです。

ちなみに、ｓｗｉｎｅ は動物学用語として以外では古い言葉ということで、近頃、岐阜県、愛知県などで発生している「豚コレラ」は、 イギリス英語 では ｓｗｉｎｅ　ｆｅｖｅｒ と言います。（アメリカ英語では ｈｏｇ　ｃｈｏｌｅｒａ です）


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２１７）（つづき１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成９年度東大大学院理学系研究科物理学専攻の入試問題の続きです。

問題は、
「

　　　　　　
を満たす正の整数ｘ、ｙ、ｚの組合せをすべて求める方法を考える。ここでｘ、ｙ、ｚのどの２つも、たがいに素（最大公約数が１）とする。

（ａ） ｘとｙは、一方が偶数、もう一方が奇数であることを証明せよ。

（ｂ） 以下では、偶数の方をｘとする。残りのｙとｚの２数から、Ａ＝（ｚ＋ｙ）/２、Ｂ＝（ｚ－ｙ）/２と定義するとき、ＡとＢは整数であり、たがいに素であることを証明せよ。

（ｃ） 一般に、たがいに素な正の整数ＡとＢの積が正の整数Ｃの２乗、すなわち

で表せる場合、

となる整数α、βが存在することを証明せよ。

（ｄ） （１）式を満たす３つの整数ｘ、ｙ、ｚを、２つの整数α、β（ここでα＞β＞０）から導く式を示せ。

（ｅ） （ｄ）の結果を用いて、α≦６の範囲で、たがいに素なすべてのｘ、ｙ、ｚの組み合わせを示せ。」
です。

今回は（ｂ）です。

まず、ＡとＢが整数になることから証明しましょう。

ｘが偶数、ｙが奇数なので、

です。

すると（１）から

は奇数になり、したがって、ｚは奇数です。

このとき、ｚ＋ｙ、ｚ－ｙは偶数なので、ＡとＢは整数になります。

次に、ＡとＢがたがいに素であることを示します。

（１）から

なので、ｚ＋ｙとｚ－ｙは正の整数になります。

ここで、ｚ＋ｙとｚ－ｙの最大公約数をｇとすると、
ｚ＋ｙ＝ｇｐ　　　　　（７）
ｚ－ｙ＝ｇｑ　　　　　（８）
（ｐとｑは正の整数でたがいに素）
とおくことができます。

すると（７）＋（８）から

（７）－（８）から

が成り立ちます。

このとき、ｙとｚはたがいに素なので、ｇ＝１または２になります。

まず、ｇ＝１の場合を調べます。

ｇ＝１と（７）、（８）から
ｚ＋ｙ＝ｐ
ｚ－ｙ＝ｑ
になり、これらから

です。

ここで、ｐとｑはたがいに素なので、ＡとＢが同時に整数になることはありません。

これは、ＡとＢがいずれも整数であることに反するので、ｇ≠１です。

次に、ｇ＝２の場合、（７）、（８）から
ｚ＋ｙ＝２ｐ
ｚ－ｙ＝２ｑ
になり、これらから

です。

このとき、ｐとｑはたがいに素なので、ＡとＢはたがいに素になります。

以上から、ＡとＢは整数であり、たがいに素であることを証明することができました。


次回は（ｃ）です。

ｍｅｓｓａｇｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２英語教科書の「電話をしよう」という単元に、
Ｗｉｌｌ　ｙｏｕ　ｇｉｖｅ　ｈｅｒ　ａ　ｍｅｓｓａｇｅ， ｐｌｅａｓｅ？
（彼女に伝言をお願いできますか）
という文があり、他にも、
Ｃａｎ　Ｉ　ｔａｋｅ　ｙｏｕｒ　ｍｅｓｓａｇｅ？
（伝言を受けましょうか）

Ｃａｎ　Ｉ　ｌｅａｖｅ　ａ　ｍｅｓｓａｇｅ？
（伝言をお願いしていいですか）
など、 ｍｅｓｓａｇｅ を含む例文が挙げられています。

この ｍｅｓｓａｇｅ を オックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、Ｌｅａｖｉｎｇ　ａ　ｐｈｏｎｅ　ｍｅｓｓａｇｅ（電話で伝言を残すこと） という記事のなかに、

Ｉｆ　ｙｏｕ　ｐｈｏｎｅ　ｓｏｍｅｏｎｅ　ｗｈｏ　ｉｓ　ｎｏｔ　ａｂｌｅ　ｔｏ　ｔａｋｅ　ｙｏｕｒ　ｃａｌｌ， ｙｏｕ　ｍａｙ　ｎｅｅｄ　ｔｏ　ｌｅａｖｅ　ａ　ｍｅｓｓａｇｅ：
（電話をして相手がそれに出ることができないなら、あなたは伝言を残す必要があるかもしれない）
という状況説明に続いて、

● Ｃｏｕｌｄ　Ｉ　ｓｐｅａｋ　ｔｏ　Ｊａｙ　Ｂｌａｃｋ， ｐｌｅａｓｅ？
　（ジェイ　ブラックさんとお話できますか）

● Ｃｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ｇｉｖｅ　ｈｉｍ　ａ　ｍｅｓｓａｇｅ？
　（彼に伝言をお願いできますか）

● Ｉｓ　ｔｈｅｒｅ　ａ　ｔｉｍｅ　ｔｈａｔ　ｍｉｇｈｔ　ｂｅ　ｇｏｏｄ　ｆｏｒ　ｍｅ　ｔｏ　ｔｒｙ　ｈｉｍ　ａｇａｉｎ？
　（再度電話するご都合のよい時間はありますか）

● Ｃａｎ　ｙｏｕ　ｌｅｔ　ｈｉｍ　ｋｎｏｗ　Ｉ’ｌｌ　ｃａｌｌ　ｂａｃｋ？
　（電話をかけ直すことをお伝えください）

● Ｃｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ａｓｋ　ｈｉｍ　ｔｏ　ｃａｌｌ　ｍｅ　ｂａｃｋ？　Ｍｙ　ｎｕｍｂｅｒ　ｉｓ...
　（電話をするように伝えていただけませんか。私の電話番号は...です）
といった電話で重宝しそうな言葉が挙げてあります。


頭に入れておくと役に立つかもしれません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２１７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成９年度東大大学院理学系研究科物理学専攻の入試問題の続きです。

問題は、
「　　　　　　

を満たす正の整数ｘ、ｙ、ｚの組合せをすべて求める方法を考える。ここでｘ、ｙ、ｚのどの２つも、たがいに素（最大公約数が１）とする。

（ａ） ｘとｙは、一方が偶数、もう一方が奇数であることを証明せよ。

（ｂ） 以下では、偶数の方をｘとする。残りのｙとｚの２数から、Ａ＝（ｚ＋ｙ）/２、Ｂ＝（ｚ－ｙ）/２と定義するとき、ＡとＢは整数であり、たがいに素であることを証明せよ。

（ｃ） 一般に、たがいに素な正の整数ＡとＢの積が正の整数Ｃの２乗、すなわち

で表せる場合、

となる整数α、βが存在することを証明せよ。

（ｄ） （１）式を満たす３つの整数ｘ、ｙ、ｚを、２つの整数α、β（ここでα＞β＞０）から導く式を示せ。

（ｅ） （ｄ）の結果を用いて、α≦６の範囲で、たがいに素なすべてのｘ、ｙ、ｚの組み合わせを示せ。」
です。

① ｘとｙがいずれも偶数の場合と、② ｘとｙがいずれも奇数の場合が起こりえないことを示すことによって、ｘとｙは、一方が偶数、もう一方が奇数であることを証明しましょう。

① ｘとｙがいずれも偶数の場合
ｘ＝２ｍ、ｙ＝２ｎ（ｍ、ｎは正の整数）とおくことができます。

このとき、ｘとｙは公約数２をもつので、ｘとｙがたがいに素であるという条件に反します。

したがって、ｘとｙがいずれも偶数であることはありません。

② ｘとｙがいずれも奇数の場合
ｘ＝２ｍ＋１、ｙ＝２ｎ＋１（ｍ、ｎは非負の整数）　　　　（３）
とおくことができます。

このとき、

は奇数なので、（１）から

は偶数になり、したがって、ｚは偶数で、
ｚ＝２ｋ　（ｋは正の整数）　　　　　　（４）
と表すことができます。

一方、（１）の左辺に（３）、右辺に（４）を代入すると、それぞれ、

になり、（５）、（６）を２で割ると、

と、前者が奇数、後者が偶数になります。

したがって、（１）を満たす（３）は存在せず、すなわちｘとｙがいずれも奇数であることはありません。

以上から、問題の条件を満たすｘとｙは、一方が偶数、もう一方が奇数になります。


（ｂ）は次回です。

ａｗａｒｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｔｈｅｙ　ｗｅｒｅ　ｓｕｄｄｅｎｌｙ　ａｗａｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｅｏｐｌｅ　ｏｆ　Ｓｕｄａｎ　ｆａｃｅｄ．
（世界中の人々がスーダンの人々が直面している問題に突然気づいた）
という文があります。

この ａｗａｒｅ を コンパスローズ英和辞典 で引いてみると、その 類義語 の ｃｏｎｓｃｉｏｕｓ との違いについて、
● ａｗａｒｅ
　 感覚器官によって外界の事物に気づくこと

● ｃｏｎｓｃｉｏｕｓ
　 感覚器官によって気づいたことを自分の心の中で受け止め自覚していること

とあり、例文として、
　Ｓｈｅ　ｉｓ　ａｗａｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｈａｒｇｅ　ａｇａｉｎｓｔ　ｈｅｒ， ｂｕｔ　ｃｏｎｓｃｉｏｕｓ　ｏｆ　ｈｅｒ　ｉｎｎｏｃｅｎｃｅ．
　（彼女は自分に対する非難に気づいてはいるが、自分が無実であることを自覚している）
を挙げています。

教科書の文では、１枚の写真を見ることによってスーダンの食糧難の状況に気づいたということで、 ａｗａｒｅ が用いられているのでしょう。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２１６）（つづき２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１０年度東大大学院理学系研究科物理学専攻の入試問題の続きです。

問題は、
「Ａ、Ｂの２人があるゲームを繰り返し行う。Ａが２回続けて勝つまでゲームを続ける。各々のゲームでＡが勝つ確率は２/３とする。

（ａ） Ｎ回のゲームでも終了しない確率を
　
とする。
　
を
　
で表せ。

（ｂ）
　
をＮの関数として求めよ。

（ｃ） 行なわれるゲームの回数の期待値を求めよ。」
で、今回は（ｃ）です。

行なわれるゲームの回数の期待値Ｅは、

です。

ここで、（８）の部分和

を調べましょう。

（９）に（ｂ）の答え

を代入して整理すると、

になります。

このとき、（１０）の右辺の｛　　｝の中の式を計算するために、

を考えます。

（１１）の両辺にｒを乗じて

を導き、（１１）と（１２）の辺々の差をとると、

が成り立ち、これから、

になります。

したがって、（１０）の右辺の第１項目と第２項目の｛　　｝の中の式は、それぞれ、

と

になります。

ここで、Ｎ→∞のとき、

です。

また、ｒ≠０のとき、

とおき、二項定理を使って変形すると、

が成り立ちます。

すると、

になり、Ｎ→∞のとき

になります。

以上から、Ｎ→∞のとき、

で、これが答えです。


高校の範囲が多くて中学生では難しいですね。

ｈｕｎｇｒｙ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ａｒｅ　ｙｏｕ　ｈｕｎｇｒｙ？
（お腹減ってるかい）
という文があります。

この ｈｕｎｇｒｙ を ロングマン英英辞典 で引いてみると、これらの 類義語 について、
● ｈｕｎｇｒｙ
　 ｗａｎｔｉｎｇ　ｔｏ　ｅａｔ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ
　（何かを食べたいこと）

　Ｗｅ　ｗｅｒｅ　ｒｅａｌｌｙ　ｈｕｎｇｒｙ　ａｆｔｅｒ　ｏｕｒ　ｌｏｎｇ　ｗａｌｋ．
　（長い時間歩いたので、私たちは本当に腹がすいていた）

● ｐｅｃｋｉｓｈ
　 〔ｎｏｔ　ｂｅｆｏｒｅ　ｎｏｕｎ〕ＢｒＥ ｉｎｆｏｒｍａｌ / ａ　ｌｉｔｔｌｅ　ｈｕｎｇｒｙ
　（小腹がすくこと）

　 Ｉ’ｍ　ｆｅｅｌｉｎｇ　ａ　ｂｉｔ　ｐｅｃｋｉｓｈ． Ｗｈａｔ’ｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｒｉｄｇｅ？
　（ちょっと小腹がすいたなぁ。冷蔵庫に何がある）

● ｓｔａｒｖｉｎｇ/ｒａｖｅｎｏｕｓ　ＡｍＥ ｓｔａｒｖｅｄ
　 〔ｎｏｔ　ｂｅｆｏｒｅ　ｎｏｕｎ〕ｓｐｏｋｅｎ / ｖｅｒｙ　ｈｕｎｇｒｙ　ａｎｄ　ｗａｎｔｉｎｇ　ｔｏ　ｅａｔ　ａｓ　ｓｏｏｎ　ａｓ　ｐｏｓｓｉｂｌｅ
　（とても腹がすいていて、一刻も早く食べたいこと）

　 Ｉ　ｍｉｓｓｅｄ　ｌｕｎｃｈ　ａｎｄ　Ｉ’ｍ　ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ　ｓｔａｒｖｉｎｇ．
　（昼飯を食べ損ねて腹ぺこだよ）

● Ｉ　ｃｏｕｌｄ　ｅａｔ　ａ　ｈｏｒｓｅ！　
　 ｓｐｏｋｅｎ / ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｓａｙ　ｔｈａｔ　ｙｏｕ　ａｒｅ　ｖｅｒｙ　ｈｕｎｇｒｙ
　（凄くお腹がすいていることを言うのに使われる）

　 ‘Ａｒｅ　ｙｏｕ　ｈｕｎｇｒｙ？’　‘Ｙｅａｈ， Ｉ　ｃｏｕｌｄ　ｅａｔ　ａ　ｈｏｒｓｅ．’
　（お腹すいているの。ああ、馬だって食えるよ）

● ａｐｐｅｔｉｔｅ
　 ｔｈｅ　ｄｅｓｉｒｅ　ｆｏｒ　ｆｏｏｄ　ｔｈａｔ　ｙｏｕ　ｈａｖｅ　ｗｈｅｎ　ｙｏｕ　ａｒｅ　ｈｕｎｇｒｙ
　（お腹がすいているときに感じる食べ物への欲求）

　 Ｅｘｅｒｃｉｓｅ　ｕｓｕａｌｌｙ　ｇｉｖｅｓ　ｍｅ　ａｎ　ａｐｐｅｔｉｔｅ．
　（僕は、運動するといつも食欲がわきます）


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（２１６）〔つづき１〕

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１０年度東大大学院理学系研究科物理学専攻の入試問題の続きです。

問題は、
「Ａ、Ｂの２人があるゲームを繰り返し行う。Ａが２回続けて勝つまでゲームを続ける。各々のゲームでＡが勝つ確率は２/３とする。

（ａ） Ｎ回のゲームでも終了しない確率を
　
とする。
　
を
　
で表せ。

（ｂ）
　
をＮの関数として求めよ。

（ｃ） 行なわれるゲームの回数の期待値を求めよ。」
で、今回は（ｂ）です。

前回求めた（ａ）の答えの３項間漸化式

の特性方程式

の解は、

から

なので、

とすると、これは（６）を満たします。（計算は省略します）

ここで（７）の係数ｐ、ｑを求めるために

の値を計算します。

・ Ｎ＝２のときにゲームが終了しない

は、Ａの勝ちと負け（引き分けを含む）をそれぞれ○および×とした場合、○×、×○、××なので、

です。

・ Ｎ＝３のときにゲームが終了しない

は、○×○、○××、×○×、××○、×××なので、

です。

これらと（７）から

が成り立ち、この連立方程式を解くと、

です。

これらを（７）に代入して整理すると、

で、これが（ｂ）の答えです。


（ｃ）は次回です。