こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、平成27年度京大大学院理学研究科理学部数学教室の入試問題です。
問題は、
「1以上3500以下の整数xのうち、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6e/15/dd5679a3a7c87ff2dc3417f336e5684e.jpg)
が3500で割り切れるものの個数を求めよ。」
です。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6e/15/dd5679a3a7c87ff2dc3417f336e5684e.jpg)
が3500で割り切れるということは、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/76/a7/04377ffda54a66809f36968a148b1b11.jpg)
となる整数mが存在するということです。
そこで(1)の左辺を因数分解し、右辺の3500を素因数分解すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/50/b7/7102b9ab9dc697a098d9392fde3e8a29.jpg)
です。
ここから、(2)の左辺の
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7e/88/d735ed1ec1f7aa8146280a61ad521a92.jpg)
が2、5、7の倍数になるか調べていきましょう。
● xが2の倍数、かつ、4の倍数でないとすると
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/77/f5/e7de2e4feb2fbb4879256b96d6fb4857.jpg)
は奇数になり、(2)は成り立ちません。
したがって、(2)の左辺が4の倍数になるのは、xが4の倍数の場合になります。
● xが奇数(2n+1)のとき、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/62/cc/e6997a3e5e54aba18d0ba839d60049f9.jpg)
になり、(2)の左辺は4の倍数になります。
● x=5n、5n±1、5n±2とすると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/43/68/8b63b49ebf01695f29464848b00360de.jpg)
なので、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/77/f5/e7de2e4feb2fbb4879256b96d6fb4857.jpg)
は5の倍数にはなりません。したがって、xが
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1a/96/c21b98958376af57c9bf8b2940546583.jpg)
の倍数になります。
●![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7e/88/d735ed1ec1f7aa8146280a61ad521a92.jpg)
はどちらも7の倍数になり得ます。
以上から、(2)が成り立つのは、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/74/d6/c0a8ae74244a66fa53152d4673cdb5cd.jpg)
で、さらに、
① xは4の倍数、かつ、7の倍数→xは28の倍数
② xが4の倍数、かつ、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/77/f5/e7de2e4feb2fbb4879256b96d6fb4857.jpg)
が7の倍数
③ xが奇数、かつ、7の倍数
④ xが奇数、かつ、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/77/f5/e7de2e4feb2fbb4879256b96d6fb4857.jpg)
が7の倍数
の場合になります。
ここから①から④のそれぞれを調べていきましょう。
①の場合
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/69/31/6864f101818974c07c4f68200b41aafe.jpg)
です。
このとき、1≦x≦3500なので、問題の条件を満たすxの個数は1個です。(x=3500)
②の場合
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3b/33/634efe06ec2d17c627705896145424e0.jpg)
です。
また、1≦x<3500(①の結果から右側の不等号から等号を除きました)に(3)を代入すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4f/1a/0c82fd605bc5cd1fed7598d306592875.jpg)
です。
ここで(3)を(4)に代入すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/03/1a/78a536b089e8c332f9f31fefcfe03e74.jpg)
で、これは
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6d/af/3ff209ed19829796211eb9715980d984.jpg)
を7で割った余りが4のとき成り立ちます。
そこで、kを7で割ったときの余りと
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/22/bf/49984cffd01a1a5083428190c22c4ecc.jpg)
を7で割ったときの余りを調べると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7b/04/8002f10ecbc0064c9b92afbfb366d418.jpg)
です。
したがって、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6d/af/3ff209ed19829796211eb9715980d984.jpg)
を7で割った余りが4になるのは、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/03/5e/2bc038e34d9748c744a47151f23f85ea.jpg)
を7で割った余りは2、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4a/71/3750139811925c33d9bf0d62be240411.jpg)
を7で割った余りは1なので、(★)から、k=7n+3または7n+4の場合で、さらに(5)からk=3または4になります。
以上から、問題の条件を満たすxの個数は2個です。(x=1500、2000)
③の場合
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/12/80/dd3cd86f44fb6f2bd547314eb2a85a47.jpg)
です。
また、1≦x<3500に(7)を代入すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7f/6a/1a3b0b7e380918dea693a00184a1899a.jpg)
です。
このときxは奇数なので(8)を満たすのはk=1または3になります。
以上から、問題の条件を満たすxの個数は2個です。(x=875、2625)
④の場合
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/36/b2/6f0103724e66cd558d9734ede3a0b09c.jpg)
です。
また、1≦x<3500に(9)を代入すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7c/96/b9fb9ed434cc7ec771d3f1c7c2364a45.jpg)
です。
ここで(9)を(10)に代入すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3b/31/5c8568c8ce2618565ac0c43f0c6193b1.jpg)
で、これは
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3f/fd/9b271c0e5befd050b6e4e4f4b81b4b9c.jpg)
を7で割った余りが4のとき成り立ちます。
このとき、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3f/fd/9b271c0e5befd050b6e4e4f4b81b4b9c.jpg)
を7で割った余りが4になるのは、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6e/47/3bf7c23909b5f69fcbf266db22a93ef4.jpg)
を7で割った余りは1なので、(★)から、k=7n+2または7n+5の場合で、さらにxは奇数なので、(12)からk=5、9、19、23になります。
以上から、問題の条件を満たすxの個数は4個です。(x=625、1125、2375、2875)
以上をまとめると、問題の条件を満たすxの個数は、1+2+2+4=9個で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、平成27年度京大大学院理学研究科理学部数学教室の入試問題です。
問題は、
「1以上3500以下の整数xのうち、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6e/15/dd5679a3a7c87ff2dc3417f336e5684e.jpg)
が3500で割り切れるものの個数を求めよ。」
です。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6e/15/dd5679a3a7c87ff2dc3417f336e5684e.jpg)
が3500で割り切れるということは、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/76/a7/04377ffda54a66809f36968a148b1b11.jpg)
となる整数mが存在するということです。
そこで(1)の左辺を因数分解し、右辺の3500を素因数分解すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/50/b7/7102b9ab9dc697a098d9392fde3e8a29.jpg)
です。
ここから、(2)の左辺の
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7e/88/d735ed1ec1f7aa8146280a61ad521a92.jpg)
が2、5、7の倍数になるか調べていきましょう。
● xが2の倍数、かつ、4の倍数でないとすると
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/77/f5/e7de2e4feb2fbb4879256b96d6fb4857.jpg)
は奇数になり、(2)は成り立ちません。
したがって、(2)の左辺が4の倍数になるのは、xが4の倍数の場合になります。
● xが奇数(2n+1)のとき、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/62/cc/e6997a3e5e54aba18d0ba839d60049f9.jpg)
になり、(2)の左辺は4の倍数になります。
● x=5n、5n±1、5n±2とすると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/43/68/8b63b49ebf01695f29464848b00360de.jpg)
なので、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/77/f5/e7de2e4feb2fbb4879256b96d6fb4857.jpg)
は5の倍数にはなりません。したがって、xが
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1a/96/c21b98958376af57c9bf8b2940546583.jpg)
の倍数になります。
●
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7e/88/d735ed1ec1f7aa8146280a61ad521a92.jpg)
はどちらも7の倍数になり得ます。
以上から、(2)が成り立つのは、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/74/d6/c0a8ae74244a66fa53152d4673cdb5cd.jpg)
で、さらに、
① xは4の倍数、かつ、7の倍数→xは28の倍数
② xが4の倍数、かつ、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/77/f5/e7de2e4feb2fbb4879256b96d6fb4857.jpg)
が7の倍数
③ xが奇数、かつ、7の倍数
④ xが奇数、かつ、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/77/f5/e7de2e4feb2fbb4879256b96d6fb4857.jpg)
が7の倍数
の場合になります。
ここから①から④のそれぞれを調べていきましょう。
①の場合
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/69/31/6864f101818974c07c4f68200b41aafe.jpg)
です。
このとき、1≦x≦3500なので、問題の条件を満たすxの個数は1個です。(x=3500)
②の場合
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3b/33/634efe06ec2d17c627705896145424e0.jpg)
です。
また、1≦x<3500(①の結果から右側の不等号から等号を除きました)に(3)を代入すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4f/1a/0c82fd605bc5cd1fed7598d306592875.jpg)
です。
ここで(3)を(4)に代入すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/03/1a/78a536b089e8c332f9f31fefcfe03e74.jpg)
で、これは
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6d/af/3ff209ed19829796211eb9715980d984.jpg)
を7で割った余りが4のとき成り立ちます。
そこで、kを7で割ったときの余りと
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/22/bf/49984cffd01a1a5083428190c22c4ecc.jpg)
を7で割ったときの余りを調べると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7b/04/8002f10ecbc0064c9b92afbfb366d418.jpg)
です。
したがって、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6d/af/3ff209ed19829796211eb9715980d984.jpg)
を7で割った余りが4になるのは、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/03/5e/2bc038e34d9748c744a47151f23f85ea.jpg)
を7で割った余りは2、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4a/71/3750139811925c33d9bf0d62be240411.jpg)
を7で割った余りは1なので、(★)から、k=7n+3または7n+4の場合で、さらに(5)からk=3または4になります。
以上から、問題の条件を満たすxの個数は2個です。(x=1500、2000)
③の場合
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/12/80/dd3cd86f44fb6f2bd547314eb2a85a47.jpg)
です。
また、1≦x<3500に(7)を代入すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7f/6a/1a3b0b7e380918dea693a00184a1899a.jpg)
です。
このときxは奇数なので(8)を満たすのはk=1または3になります。
以上から、問題の条件を満たすxの個数は2個です。(x=875、2625)
④の場合
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/36/b2/6f0103724e66cd558d9734ede3a0b09c.jpg)
です。
また、1≦x<3500に(9)を代入すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/7c/96/b9fb9ed434cc7ec771d3f1c7c2364a45.jpg)
です。
ここで(9)を(10)に代入すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3b/31/5c8568c8ce2618565ac0c43f0c6193b1.jpg)
で、これは
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3f/fd/9b271c0e5befd050b6e4e4f4b81b4b9c.jpg)
を7で割った余りが4のとき成り立ちます。
このとき、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3f/fd/9b271c0e5befd050b6e4e4f4b81b4b9c.jpg)
を7で割った余りが4になるのは、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/6e/47/3bf7c23909b5f69fcbf266db22a93ef4.jpg)
を7で割った余りは1なので、(★)から、k=7n+2または7n+5の場合で、さらにxは奇数なので、(12)からk=5、9、19、23になります。
以上から、問題の条件を満たすxの個数は4個です。(x=625、1125、2375、2875)
以上をまとめると、問題の条件を満たすxの個数は、1+2+2+4=9個で、これが答えです。
簡単な問題です。