日本数学オリンピックの簡単な問題（４８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

秋晴れを楽しみにしていたのですが、いまひとつパッとしない天気です。明日は雨模様ですが、明後日には回復するようなので、秋晴れの日曜日を期待しましょう。

さて、今回は２００１年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「∠ＡＢＣ＝２∠ＡＣＢとなる三角形ＡＢＣにおいて、∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとする。ＡＢ＝ＣＤのとき∠ＢＡＣは何度（°）か。ただし、線分ＸＹの長さをＸＹで表す。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

ＡＢ＝ＣＤという条件が離れていて扱い難いので、図２のように、線分ＣＤを上方に平行移動させ平行四辺形ＡＤＣＦを作りましょう。

▲図２．平行四辺形ＡＤＣＦを作りました

すると、平行線の錯角は等しいことから、
∠ＣＡＥ＝∠ＡＣＤ＝●
で、平行四辺形の対辺は等しいことから
ＡＤ＝ＥＣ　　　　　　　　（１）
です。

次に図３のように、ＢとＥを直線で結び、辺ＡＣとの交点をＦとし、△ＡＢＣと△ＥＣＢが合同であることを示します。

▲図３．ＢとＥを直線で結び、辺ＡＣとの交点をＦとしました

まず、△ＡＢＣの内角の和から
∠ＡＢＣ（２●）＋∠ＡＣＢ（●）＋∠ＢＡＣ（２■）＝３●＋２■＝１８０°　　　　（２）
です。

一方、△ＡＢＥの内角の着目すると、
∠ＢＡＥ（●＋２■）＋∠ＡＢＥ＋∠ＡＥＢ＝１８０°
で、
∠ＡＢＥ＋∠ＡＥＢ＝１８０°－（●＋２■）
です。

すると、（２）から
∠ＡＢＥ＋∠ＡＥＢ＝２●
になります。

ところが、△ＡＢＥは二等辺三角形なので、
∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ＝●
です。

したがって、
∠ＥＢＣ＝∠ＡＢＣ（２●）－∠ＡＢＥ（●）
　　　　＝●
　　　　＝∠ＡＣＤ
　　　　＝∠ＡＣＢ　　　　　（３）
です。

また、△ＦＢＣと△ＦＡＥはどちらも二等辺三角形なので、ＡＦ＝ＥＦ、ＢＦ＝ＣＦが成り立ちます。

すると、
ＡＣ＝ＡＦ＋ＣＦ
　　＝ＥＦ＋ＢＦ
　　＝ＦＢ　　　　　　　　　（４）
です。

さらに、
ＢＣ＝ＣＢ　　　　　　　　　（５）
で、以上（３）（４）（５）から△ＡＢＣ≡△ＥＣＢです。

したがって、ＡＢ＝ＥＣで、（１）から
ＡＢ＝ＡＤ
です。

つまり、図４に示すように、△ＡＢＤは二等辺三角形で、
∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ＝２●
になります。

▲図４．∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢです

最後に、△ＡＢＣと△ＡＢＤの内角の和に着目すると、
△ＡＢＣから
３●＋２■＝１８０°
で、△ＡＢＤから
４●＋■＝１８０°
が成り立ちます。

この２式から
■＝３６°
になり、
∠ＢＡＣ＝２■
　　　　＝２×３６°
　　　　＝７２°
で、これが答えです。


他には、図５のように、辺ＡＢをＡの方向に延長して二等辺三角形ＢＣＧを作るよき方も簡単そうです。興味のある人は調べてみてください。

▲図５．二等辺三角形ＢＣＧを作ります

日本数学オリンピックの簡単な問題（４７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報通り昨日より５℃ほど下がって、過ごしやすい日になりました。さらに、今朝のラジオでは、明日はすっきりとした秋晴れと言っていました。今秋初めての秋晴れを楽しみにしています。

さて、今回は２００５年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「正五角形ＡＢＣＤＥの内部に∠ＡＢＰ＝６°、∠ＡＥＰ＝１２°となるように点Ｐをとる。このとき∠ＰＡＣの大きさを求めよ。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１を眺めていると、線分ＥＡとＥＰが同じ長さのような感じです。もし、これが正しければ、△ＥＡＰは二等辺三角形になり、∠ＥＡＰの角度が判るので、∠ＰＡＣを求めることができそうです。

そこで、ＥＡ＝ＥＰを示す方針で進めましょう。

まず、図２のように、ＡＥを一辺とする正三角形ＡＥＱを作ります。（補助線として、正三角形や正方形などはよく使われます。参考：正三角形を作って解く図形問題）

▲図２．正三角形ＡＥＱを作りました

ここで、△ＡＢＱについて調べると、
ＡＢ＝ＡＥ＝ＡＱ
から、△ＡＢＱは二等辺三角形であることが判ります。

また、
∠ＢＡＱ＝∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＱ
　　　　　＝１０８°＋６０°
　　　　　＝１６８°
から、△ＡＢＱの底角（∠ＡＢＱと∠ＡＱＢ）の大きさは、
（１８０°－１６８°）/２＝６°
で、仮定から∠ＢＡＰ＝６°なので、点Ｐは辺ＢＱ上にあることが判りました。

一方、
∠ＥＱＰ＝∠ＥＱＡ－∠ＡＱＢ
　　　　　＝６０°－６°
　　　　　＝５４°
で、
∠ＰＥＱ＝∠ＡＥＱ＋∠ＡＥＰ
　　　　　＝６０°＋１２°
　　　　　＝７２°
なので、
∠ＥＰＱ＝１８０°－∠ＥＱＰ－∠ＰＥＱ
　　　　　＝１８０°－５４°－７２°
　　　　　＝５４°
です。

つまり、∠ＥＱＰ＝∠ＥＰＱから△ＥＰＱはＥＰ＝ＥＱの二等辺三角形で、さらに△ＡＥＱは正三角形であることからＥＱ＝ＥＡです。したがって、ＥＡ＝ＥＰが成り立ちます。

これで当初の目標（ＥＡ＝ＥＰを示すこと）を達成することができました。あとは前述したように、∠ＥＡＰを計算して進めてもＯＫですが、ここでは、中心角と円周角の関係を使いましょう。

そこで、図３のように、対角線ＡＣとＢＥとの交点をＲとすると、四角形ＣＤＥＲはひし形なので、ＥＲ＝ＣＤで、ＣＤ＝ＥＡからＥＲ＝ＥＡです。

一方、ＥＡ＝ＥＰなので、これらをまとめると、
ＥＡ＝ＥＰ＝ＥＲ
が成り立ち、したがって、頂点Ａと点Ｐ、Ｒは頂点Ｅを中心とする円の周上にあることになります。

▲図３．頂点Ａと点Ｐ、ＲはＥを中心とした円の周上にあります

すると、∠ＲＥＰと∠ＲＡＰは中心角と円周角の関係で、
∠ＲＡＰ＝１/２∠ＲＥＰ
です。

ここで、
∠ＲＥＰ＝∠ＤＥＡ－∠ＤＥＲ－∠ＡＥＰ
　　　　　＝１０８°－７２°－１２°
　　　　　＝２４°
なので、
∠ＲＡＰ＝１/２・２４°
　　　　　＝１２°
です。

また、∠ＣＡＰ＝∠ＲＡＰから、
∠ＣＡＰ＝１２°で、これが答えです。


正三角形の補助線に気が付けば簡単な問題です。

日本数学オリンピックの簡単な問題（４６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

もうすぐ１０月だというのに、正午の東久留米の気温は３１℃と真夏日になりました。しかし、これから天気は下り坂で、明日は５℃ほど下がるようです。また、南の海上には台風１８号が発生し、それは１７号の進路をたどる予想ですが、いつ向きを変えるか判らないので、十分に注意しましょう。

さて、今回は２００７年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「平面上に長さ７の線分ＡＢがあり、点Ｐと直線ＡＢとの距離は３である。ＡＰ×ＢＰのとりうる最小の値を求めよ。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

ここで、点と直線の距離というのは、点から直線に下ろした垂線の長さのことで、図１では、線分ＰＨの長さが３になり、つまり、図２のように、直線ＡＢとの距離が３である直線Ｌ上に点Ｐがあることになります。

▲図２．点Ｐは直線Ｌ上にあります

したがって、問題は、点Ｐが直線Ｌ上を動くとき、ＡＰ×ＢＰの最小値はいくつかということになります。

そこで、図３のように、直線ＡＰに点Ｂから垂線を下ろし、その足をＱとしましょう。

▲図３．直線ＡＰに点Ｂから垂線を下ろし、その足をＱとします

ここで、△ＡＢＰの面積を考えます。

まず、線分ＡＢを底辺とした場合、
（△ＡＢＰの面積）＝ＡＢ×ＰＨ×１/２
　　　　　　　　　　　＝７×３×１/２
　　　　　　　　　　　＝２１/２
で、線分ＡＰを底辺とした場合、
（△ＡＢＰの面積）＝ＡＰ×ＢＱ×１/２
になります。

つまり、
ＡＰ×ＢＱ×１/２＝２１/２
ＡＰ×ＢＱ＝２１
が成り立ちます。

このとき、ＢＰ≧ＢＱなので、
ＡＰ×ＢＰ≧ＡＰ×ＢＱ＝２１
で、等号はＢＰ＝ＢＱのとき成り立ちます。

したがって、ＡＰ×ＢＰの最小値は２１で、これが答えです。

具体的には、図４に示すように、ＡＨ＝（７－√１３）/２≒１．７、ＡＨ’＝（７＋√１３）/２≒５．３の場合です。

▲図４．ＡＨ＝（７－√１３）/２とＡＨ’＝（７＋√１３）/２の場合、ＡＰ×ＢＰが最小になります

他の解き方としては、ＡＨ＝ｘとおいて、ＡＰ×ＢＰをｘの式で表し（混合のなかがｘの４次式になります）、それを微分して最小値を求めることもできます。興味のある人は調べてみてください。

日本数学オリンピックの簡単な問題（４５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と同じような空模様ですが、気温は少し高く、より蒸し暑く感じます。今は北に上がっている秋雨前線が、明後日には東京辺りまで南下してきて、雨模様になり、素晴らしい秋晴れはもう少し先のようです。

さて、今回は２００８年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「凸四角形ＡＢＣＤは、ＡＢ＝ＢＣ＝２、ＣＤ＝２√３、ＤＡ＝２√５をみたす。また、ＡＣ、ＢＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとすると、ＭＮ＝√２となる。このとき、四角形ＡＢＣＤの面積を求めよ。
　ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さをあらわすものとる。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

線分ＭＮが浮いた位置にありますが、中点連結定理を使って、四角形ＡＢＣＤの辺の長さの条件を、線分ＭＮの周りに集めることができます。

例えば、図２のように、辺ＡＤの中点をＥとすると、△ＡＣＤにおいて、Ｍ、Ｅはそれぞれ辺ＡＣ、ＡＤの中点なので、線分ＭＥの長さは線分ＣＤの長さの１/２になり、つまり、ＭＥ＝√３です。

▲図２．中点連結定理からＭＥ＝√３、ＮＥ＝１です

さらに、△ＤＡＢにおいて、Ｎ、Ｅはそれぞれ辺ＤＢ、ＤＡの中点なので、ＮＥ＝１/２・ＡＢ＝１です。

すると嬉しいことに、△ＭＮＥの３辺の長さは、ＭＮ＝√２、ＮＥ＝１、ＭＥ＝√３で、ＭＥ^2＝ＭＮ^2＋ＮＥ^2が成り立ちます。つまり、△ＭＮＥは、∠ＭＮＥ＝９０°の直角三角形です。

次に、図３のように、辺ＡＢの中点をＦとしましょう。

▲図３．辺ＡＢの中点をＦとしました

ここで、△ＢＡＤにおいて、Ｎ、Ｆはそれぞれ辺ＢＤ、ＢＡの中点なので、ＮＦ＝１/２・ＤＡ＝√５です。

一方、線分ＭＮの延長と辺ＡＢとの交点をＨとすると、ＮＥ//ＢＡ、∠ＭＮＥ＝９０°から∠ＭＨＡ＝９０°です。

ここまでで、線分ＭＮの周りに四角形ＡＢＣＤの辺の長さの条件を集めることができました。

続いて、△ＢＡＣに注目しましょう。

△ＢＡＣは二等辺三角形で、Ｍは底辺ＡＣの中点なので、ＢＭ⊥ＡＣです。

したがって、図４のように、Ｆは△ＡＢＭの外接円の中心になり、ＦＭ＝ＦＡ＝１になります。

▲図４．ＦＭ＝１です

ここで、図５のように、いままでに判った線分の長さをまとめましょう。

▲図５、いままでに判った線分の長さをまとめました

図５で、線分ＭＨ、ＦＨの長さをそれぞれｘ、ｙとして、２つの直角三角形ＮＦＨ、ＭＦＨに三平方の定理を適用すると、
△ＮＦＨで、
ＮＦ^2＝ＮＨ^2＋ＦＨ^2
から
√５^2＝（√２＋ｘ）^2＋ｙ^2
ｘ^2＋ｙ^2＋２√２ｘ＝３　　　　　（１）
です。

さらに、△ＭＦＨで、
ＭＦ^2＝ＭＨ^2＋ＦＨ^2
から
１^2＝ｘ^2＋ｙ^2
ｘ^2＋ｙ^2＝１　　　　　　　　　　（２）
です。

そして、（１）（２）から
２√２ｘ＝２
ｘ＝√２/２
ｙ＝√２/２
になります。

これで、ＮＨ＝ＭＮ＋ＭＨ＝√２＋√２/２＝３√２/２と判ったので、△ＤＡＢの面積は、辺ＡＢ（＝２）を底辺とすると、その高さはＮＨ×２（＝３√２）から、（△ＤＡＢの面積）＝１/２・２・３√２＝３√２と求めることができます。

さらに、直角三角形ＢＮＨに三平方の定理を適用してＢＮを求めると、△ＤＢＣの３辺の長さが判るので、その面積を計算することができます。

しかし、ここでは、図６のように、四角形ＡＦＭＥと四角形ＡＢＣＤが相似比２の相似図形であることを利用しましょう。

▲図６．四角形ＡＦＭＥ∽四角形ＡＢＣＤでその相似比は２です

つまり、四角形ＡＦＭＥの面積を求め、それを４倍すれば、四角形ＡＢＣＤの面積を求めることができます。

ここで、
（四角形ＡＦＭＥの面積）＝（台形ＡＨＮＥの面積）－（△ＭＮＥの面積）－（△ＭＦＨの面積）
から
（四角形ＡＦＭＥの面積）＝１/２・（ＡＨ＋ＥＮ）・ＮＨ－１/２・ＭＮ・ＮＥ－１/２・ＭＨ・ＦＨ
　　　　　　　　　　　　　　　＝１/２（１＋√２/２＋１）（√２＋√２/２）－１/２・√２・１－１/２・√２/２・√２/２
　　　　　　　　　　　　　　　＝１/２（（２＋√２/２）・３√２/２－√２/２－１/２）
　　　　　　　　　　　　　　　＝１/２（２√２＋１）
なので、
（四角形ＡＢＣＤの面積）＝４（四角形ＡＦＭＥの面積）
　　　　　　　　　　　　　　　＝４√２＋２
で、これが答えです。


楽しい問題でした。

日本数学オリンピックの簡単な問題（４４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

時々陽が射す曇り空で、気温も湿度も高めなので、少々蒸し暑くなりました。明日も同じような天気で、明後日から雨模様になるようです。

さて、今回は２００７年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「凸四角形ＡＢＣＤは、ＡＢ＝３、ＢＣ＝４、ＣＤ＝５、ＤＡ＝６、∠ＡＢＣ＝９０°をみたす。ＡＢＣＤの面積を求めよ。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

まず図２のように、ＡとＣを結びましょう。

▲図２．ＡとＣを結んで△ＡＢＣを作りました

ここで、△ＡＢＣは直角三角形なので、三平方の定理から
ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2
　　　 ＝３^2＋４^2
　　　 ＝９＋１６
　　　 ＝２５
で、
ＡＣ＝５
です。（いちいち計算しなくても、３辺の長さの比が３：４：５の直角三角形です）

すると、△ＣＡＤは、ＣＡ＝ＣＤ＝５の二等辺三角形であることが判ります。

そこで、図２のように、Ｃから辺ＡＤに垂線を下ろし、その足をＨとすると、Ｈは辺ＡＤの中点なので、ＤＨ＝３です。

▲図３．Ｃから辺ＡＤに垂線を下ろしその足をＨとするとＤＨ＝３です

ここで、△ＣＤＨは３辺長さの比が３：４：５の直角三角形なので、
ＣＨ＝４
です。

以上から、
（四角形ＡＢＣＤの面積）＝（△ＡＢＣの面積）＋（△ＣＡＤの面積）
　　　　　　　　　　　　　　　＝１/２・ＡＢ・ＢＣ＋１/２・ＡＤ・ＣＨ
　　　　　　　　　　　　　　　＝１/２・３・４＋１/２・６・４
　　　　　　　　　　　　　　　＝６＋１２
　　　　　　　　　　　　　　　＝１８
で、これが答えです。


Ｂを原点、直線ＢＣ、ＢＡをそれぞれｘ、ｙ軸、Ａ（０，３）、Ｃ（４，０）とし、三平方の定理を使ってＤの座標を計算すると、（１４４/２５，１１７/２５）になり、これから四角形ＡＢＣＤの面積を求めることもできます。興味のある人は調べてみてください。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（７５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

久しぶりに晴れて、気温も２６℃と快適な日になりました。明日からは、また曇りがちの日が続くようですが、南の海上にある台風は日本に近づいてこないようで、一安心です。

さて、今回は２００４年ジュニア数学オリンピックに出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「平面上に一辺の長さが１の正六角形がある。正六角形の少なくともどれか一つの頂点からの距離が１以下である部分のうち、正六角形の外側の部分の面積をＳとする。一辺の長さが１の正六角形の面積をＴとしたとき、Ｓ－Ｔを求めなさい。
　ただし、円周率はπとする。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１の青色部分の面積がＳになります。

初めにＳを求めましょう。

図１の青色部分は、図２の青色部分を６個並べたものなので、図２の青色部分の面積を求め、それを６倍してＳを求めます。

▲図２．青色部分の面積を求めます

図２の青色部分の面積ｓは、
ｓ＝（半径１の半円の面積）－（（半径１、中心角６０°の扇形の面積）－（一辺１の正三角形の面積））
です。

そこで、右辺の各項を計算すると、
（半径１の半円の面積）＝π/２
（半径１、中心角６０°の扇形の面積）＝π/６
（一辺１の正三角形の面積）＝√３/４
なので、
ｓ＝π/２－π/６＋√３/４
　＝π/３＋√３/４
です。

したがって、
Ｓ＝ｓ×６
　＝２π＋３√３/２
になります。

一方、一辺の長さが１の正六角形の面積Ｔは、
Ｔ＝（一辺１の正三角形の面積）×６
　＝３√３/２
です。

以上から、
Ｓ－Ｔ＝２π＋３√３/２－３√３/２
　　　＝２π
で、これが答えです。

また、半径１の円の面積をＵとすると、図３のように、
（（半径１、中心角６０°の扇形の面積）－（一辺１の正三角形の面積））×６＝Ｕ－Ｔ
になります。

▲図３．扇形の面積と正三角形の面積の差の６倍は半径１の円の面積と一辺１の正六角形の面積の差になります

したがって、
Ｓ－Ｔ＝Ｕ/２×６－（Ｕ－Ｔ）－Ｔ
　　　＝３Ｕ－Ｕ
　　　＝２Ｕ
　　　＝２π
と、正六角形や正三角形の面積を計算しなくても答えを求めることができます。


簡単な問題でした。

日本数学オリンピックの簡単な問題（４３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

近くにある東久留米市の地域センターでダンス大会が開催されるようで、多くの小学生が予行練習をしていました。曇り空ですが、どうにか天気はもちそうなので良かったです。始まったら見に行こうと思います。

さて、今回は２００４年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｄがあり、ＡＢ＝ＡＤ＝２、ＢＤ＝１、∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤである。ＣＤの長さを求めよ。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１を一見すれば、三平方の定理と角の二等分線定理で片付きそうです。

まず、図２のように、Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとすると、△ＡＢＤは二等辺三角形なので、Ｈは線分ＢＤの中点になります。

▲図２．Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとしました

ここで、直角三角形ＡＤＨに三平方の定理を適用すると、
ＡＤ^2＝ＡＨ^2＋ＤＨ^2
が成り立ち、これにＡＤ＝２、ＤＨ＝１/２を代入して、
ＡＨ^2＝２^2－（１/２）^2
　　　＝１５/４
ＡＨ＝√１５/２
です。

次に、図３のように、ＣＤ＝ｘ、ＡＣ＝ｂとして、直角三角形ＡＣＨに三平方の定理を適用すると、
ＡＣ^2＝ＡＨ^2＋ＣＨ^2
ｂ^2＝（√１５/２）^2＋（ｘ＋１/２）^2
ｂ^2＝１５/４＋（ｘ＋１/２）^2　　　　　　　　　（１）
です。

▲図３．三平方の定理と角の二等分線定理を使います

さらに、角の二等分線定理から
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ
が成り立ち、これに、ＡＢ＝２、ＡＣ＝ｂ、ＢＤ＝１、ＣＤ＝ｘを代入して、
２：ｂ＝１：ｘ
ｂ＝２ｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
です。

そこで、（１）に（２）を代入して整理すると、
（２ｘ）^2＝１５/４＋（ｘ＋１/２）^2
３ｘ^2－ｘ－４＝０
を得ることができます。

これを因数分解すると、
（ｘ＋１）（３ｘ－４）＝０
になり、ｘ＞０から
ｘ＝４/３
です。

したがって、ＣＤの長さは４/３で、これが答えです。


三角関数の余弦定理、２倍角の公式を使っても解くことができます。興味のある人は調べてみてください。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（７４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

秋雨前線が関東にかかっていて、小雨が降ったり止んだりの空模様です。この秋雨前線は、明後日には東に遠ざかり、晴れ間が見られるようです。ところが、南の海上に、また台風が発生して、今は台湾に向かって西進しています。来週末あたりに日本に近づいてきそうです。

さて、今回は２００７年ジュニア数学オリンピックに出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ、ＢＤは四角形の内部の点Ｐで交わっている。ＡＣ＝２、ＢＤ＝３、∠ＡＰＢ＝６０°であるとき、ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡがとりうる最小値を求めよ。」
です。

初めに、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

２点間の距離が最小になるのは、２点を直線で結んだときなので、両端が固定点になる２点の間に、四角形の４辺を上手く並べることができれば、それらの和の最小値は２つの固定点間の距離になり、簡単に最小値が判るのですが、これは少しハードルが高そうです。

そこで、４辺を２辺ずつに分けて、それぞれが両端が固定点になるように並べましょう。（←これは簡単です）

まず、図２のように、線分ＡＣを平行移動して線分ＢＦと線分ＤＥをつくり、さらに、ＢＤを平行移動して線分ＦＥをつくります。（このとき、四角形ＡＢＣＤが決まれば、Ｅ、Ｆは決まるので固定点になります）

▲図２．線分ＡＣ、ＢＤを平行移動して、線分ＤＥ、ＦＥをつくりました

すると、四角形ＡＣＥＤ、ＡＢＦＣはどちらも平行四辺形なので、ＡＤ＝ＣＥ、ＡＢ＝ＣＦになり、四角形の２辺ＤＡとＢＣと同じ長さ線分を固定点ＢとＥの間に、また、２辺ＡＢとＣＤと同じ長さの線分を固定点ＤとＦの間に上手く置くことができました。

そこで、ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡをＬとすると、
Ｌ＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ
　＝ＣＦ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＣＥ
　＝（ＣＢ＋ＣＥ）＋（ＣＤ＋ＣＦ）
で、Ｌが最小になるのは、Ｃが四角形ＢＦＥＤの対角線の交点になるときであることが判ります。

一方、四角形ＢＦＥＤは、ＢＦ//ＤＥ、ＢＤ//ＦＥなので、平行四辺形で、∠ＢＦＧ＝６０°です。（直線ＥＦにＢから垂線を下ろし、その足をＧとしました）

そこで、図３のように、平行四辺形ＢＦＥＤを抜き出し、その対角線の交点をＣ’としましょう。

▲図３．平行四辺形ＢＦＥＤと対角線の交点をＣ’にしました

すると、
（Ｌの最小値）＝（Ｃ’Ｂ＋Ｃ’Ｅ）＋（Ｃ’Ｄ＋Ｃ’Ｆ）
　　　　　　　　＝ＢＥ＋ＤＦ
で、ＢＥ、ＤＦの長さは、三平方の定理から
ＢＥ^2＝ＥＧ^2＋ＢＧ^2
　　　＝４^2＋√３^2
　　　＝１９
ＢＥ＝√１９
になり、
ＤＦ^2＝ＦＨ^2＋ＤＨ^2
　　　＝２^2＋√３^2
　　　＝７
ＤＦ＝√７
になるので、
（Ｌの最小値）＝√１９＋√７
です。

したがって、四角形ＡＢＣＤの４辺の和ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡがとりうる最小値は、√１９＋√７で、これが答えです。


四角形ＡＢＣＤが平行四辺形のとき、つまり、Ｐが対角線ＡＣとＢＤの中点のときに、Ｌは最小になり、余弦定理を使って、
（Ｌの最小値）＝２√（ＰＡ^2＋ＰＢ^2－２・ＰＡ・ＰＢｃｏｓ６０°）＋２√（ＰＣ^2＋ＰＤ^2－２・ＰＣ・ＰＤｃｏｓ１２０°）
　　　　　　　＝２√（１＋９/４－２・１・３/２・１/２）＋２√（１＋９/４－２・１・３/２・（－１/２））
　　　　　　　＝２√（７/４）＋２√（１９/４）
　　　　　　　＝√７＋√１９
と求めることができます。興味のある人は調べてみてください。

日本数学オリンピックの簡単な問題（４２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜からしっかりとした雨が降っています。東久留米の気温は２０℃で、涼しいを通り越して少し寒いほどです。明日は暖かくなるようですが、風邪など引かぬよう気をつけましょう。

さて、今回は２００５年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「ＯＡ＝２、ＯＰ＝ａ、∠ＡＯＰ＝９０°なる直角三角形ＡＯＰの辺ＯＡの中点を点Ｂとする。このとき∠ＡＰＢを最大にするようなａの値を求めよ。」
です。

以前に取り上げた京大入試問題に同じようなものがあります。（中学生でも手が届く京大入試問題（１２））

初めに、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

次に、図２のように、ＡとＢを通り、直線ＯＰに接する円Ｃを描きます。

▲図２．ＡとＢを通り、直線ＯＰに接する円Ｃを描きました

ここで、円Ｃと直線ＯＰとの接点をＰ’とすると、Ｐ’を除く直線ＯＰ上のすべての点Ｐは、円Ｃの外部にあるので、∠ＡＰ’Ｂ＞∠ＡＰＢになり、ＰがＰ’に一致するとき、∠ＡＰＢは最大になります。

そこで、図３のように、Ｐを接点とした図に描き直しましょう。

▲図３．Ｐを接点にしました

図３で、Ｃから辺ＯＡに垂線を下ろし、その足をＤとします。

このとき、△ＣＡＢは二等辺三角形なので、Ｄは線分ＡＢの中点で、ＡＤ＝ＢＤ＝１/２、さらに、ＯＤ＝１＋１/２＝３/２です。

一方、ＤＯ＝ＣＰで、ＣＰは円Ｃの半径なので、ＣＰ＝ＣＡが成り立ち、したがって、ＣＡ＝３/２になります。

そこで、直角三角形ＣＡＤに三平方の定理を適用して、
ＣＡ^2＝ＡＤ^2＋ＣＤ^2
（３/２）^2＝（１/２）^2＋ＣＤ^2
ＣＤ^2＝９/４－１/４
　　　 ＝２
から
ＣＤ＝√２
です。

ここで、ＣＤ＝ＯＰ＝ａですから、∠ＡＰＢが最大になるのは
ａ＝√２
のときで、これが答えです。


続いて、高校で勉強する三角関数を使って解いてみましょう。

図５のように、∠ＡＰＢ＝θとします。

▲図５．三角関数を利用します

図５で、辺ＡＰと線分ＢＰの長さは、三平方の定理から、それぞれ、√（ａ^2＋４）および√（ａ^2＋１）です。

ここで、△ＰＡＢに余弦定理を適用すると、

が成り立ちます。

このとき、０°＜θ＜９０°　（θ＝９０°になるのは、Ｐが線分ＡＢを直径とする円の周上にあるときで、この円は図５の直線ＯＰと交わりません）なので、θが最大になるのは、ｃｏｓθが最小になるときです。

つまり、上式の根号のなかにある、ａ^2＋５＋４/ａ^2　が最小のとき、ｃｏｓθが最小になり、θが最大になります。

そこで、相加相乗平均の不等式から

が成立し、ここで等号は、
ａ^2＝２
のとき成り立ちます。

したがって、ａ＝√２のとき、θは最大になります。


前半の解き方のＡ、Ｂを通り、直線ＯＰに接する円を描くテクニックを頭に入れておくと役に立つことがあるかも知れません。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（７３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

台風一過で秋晴れとはなりませんでしたが、明るい曇り空で過ごしやすい日になりました。明日の秋分の日は雨模様で、次に晴れ間が見られるのは日曜日になるようで、秋の長雨です。

さて、今回は２０１４年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「辺ＢＣ、ＡＤが平行である台形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝１、ＢＣ＝１、ＣＤ＝１、ＤＡ＝２が成り立っている。辺ＢＣの中点をＭとする。辺ＡＤ上に２点Ｅ、Ｆが、辺ＣＤ上に点Ｇがあり、∠ＥＭＧ＝∠ＦＧＭ＝９０°およびＥＦ＝３/２をみたしている。このとき、線分ＤＣの長さを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

四角形ＡＢＣＤは等脚台形で、その平行線から相似三角形ができそうで、∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡ＝６０°から三角定規の直角二等辺三角形でないほうも作ることができそうです。

さらに、∠ＥＭＧ＝∠ＦＧＭ＝９０°から三平方の定理も使えそうです。

このように使えそうな材料はたくさんありそうなのですが、ＥＦ＝３/２が少しそっぽにあるので、これを、図２のように、主戦場になる右下に移してしまいましょう。（あとで判ったのですが、ＤからＥＭに垂線を引けば必要ありませんでした）

▲図２．線分ＥＦを平行移動して線分ＣＮを作りました

図２で、ＧからＣＮに垂線を下ろし、その足をＨとすると、∠ＧＣＨ＝６０°なので、△ＧＣＨは三角定規の直角二等辺三角形でないほうと相似になります。

また、△ＭＧＨと△ＭＮＧは相似なので、これも利用できそうです。

そこで、図３のように、求める線分ＤＧの長さをｘとして、必要な線分の長さをｘで表すことにしましょう。

▲図３．線分ＤＧの長さをｘとして、必要な線分の長さをｘで表します

まず、
ＣＧ＝１－ｘ
で、ＣＨ：ＣＧ：ＧＨ＝１：２：√３なので、
ＣＨ＝（１－ｘ）/２　　　　　　　　　　　　　（１）
ＧＨ＝√３（１－ｘ）/２　　　　　　　　　　 （２）
です。

また、△ＭＧＨは直角三角形なので、三平方の定理から
ＭＧ^2＝ＭＨ^2＋ＧＨ^2　　　　　　　　（３）
が成り立ちます。

ここで、（１）から
ＭＨ＝ＭＣ＋ＣＨ
　　＝１/２＋（１－ｘ）/２
　　＝（２－ｘ）/２　　　　　　　　　　　　　（４）
で、（３）に（２）（４）を代入して、
ＭＧ^2＝（（２－ｘ）/２）^2＋（√３（１－ｘ）/２））^2
　　　＝（４－４ｘ＋ｘ^2）/４＋（３－６ｘ＋３ｘ^2）/４
　　　＝（４ｘ^2－１０ｘ＋７）/４　　　　　（５）
です。

続いて、図４で示したように、△ＭＧＨ∽△ＭＮＧから、

▲図４．△ＭＧＨ∽△ＭＮＧです

ＭＧ：：ＭＨ＝ＭＮ：ＭＧ
ＭＧ^2＝ＭＨ・ＭＮ
が成り立ち、これに（４）（５）とＭＮ＝３/２を代入して、
（４ｘ^2－１０ｘ＋７）/４＝（２－ｘ）/２・３/２
４ｘ^2－１０ｘ＋７＝６－３ｘ
４ｘ^2－７ｘ＋１＝０
とｘの２次方程式を得ることができました。

これを解の公式で解くと、
ｘ＝（７±√３３）/８
で、０＜ｘ＜１から
ｘ＝（７－√３３）/８
です。

したがって、線分ＤＧの長さは、（７－√３３）/８　でこれが答えです。


他にもいろいろな解き方がありそうです。興味のある方は調べてみてください。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（７２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の塾生が今日から京都、奈良に修学旅行なのですが、台風と鉢合わせになってしまいました。今日の奈良見物は大変そうですが、明日から天気は回復するので、楽しい京都になるでしょう。

さて、今回は２０１６年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｄ、Ｅがあり、Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｃはこの順に並んでいる。∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＥ＝∠ＥＡＣ＝４５°であるとし、三角形ＡＢＥの外接円と直線ＡＣとの交点のうち、Ａでない方をＦとする。ＡＣ＝３、ＡＤ＝１のとき、線分ＤＦの長さを求めよ。
　ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１を一見すると、三平方の定理、角の二等分線定理、方べきの定理など利用できそうなツールが思い浮かびます。

そこで、ここでは、角の二等分線定理と三平方の定理から△ＡＢＥの外接円の半径を求め、続いて、方べきの定理で線分ＡＦの長さを計算し、最後に、直角三角形ＡＤＦに三平方の定理を適用して線分ＤＦの長さを求めることにしましょう。

まず、図２のように、直角三角形ＡＣＤに三平方の定理を適用して、
ＣＤ^2＝ＡＣ^2＋ＡＤ^2
　　　＝３^2＋１^2
　　　＝１０
から
ＣＤ＝√１０
です。

▲図２．直角三角形ＡＣＤに三平方の定理と角の二等分線定理を適用します

次に、△ＡＣＤに角の二等分線定理を適用して、
ＤＥ：ＥＣ＝ＡＤ：ＡＣ
　　　　 　＝１：３
で、これとＣＤ＝√１０から
ＤＥ＝√１０/４
ＥＣ＝３√１０/４
です。

さらに、図３のように、Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとすると、
（△ＡＣＤの面積）＝１/２×ＡＣ×ＡＤ
　　　　　　　　　　　＝１/２×ＣＤ×ＡＨ
から
１/２×３×１＝１/２×√１０×ＡＨ
ＡＨ＝３√１０/１０
になります。

▲図３．Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとします

また、直角三角形ＡＨＣに三平方の定理を適用して、
ＡＣ^2＝ＡＨ^2＋ＣＨ^2
３^2＝（３√１０/１０）^2＋ＣＨ^2
９＝９/１０＋ＣＨ^2
から
ＣＨ＝９√１０/１０
です。

次に、図４のように、△ＡＢＥの外接円の中心をＯとすると、∠ＢＡＥ＝９０°なので、Ｏは線分ＢＥの中点になります。

▲図４．△ＡＢＥの外接円の中心Ｏは線分ＢＥの中点です

ここで、△ＡＢＥの外接円の半径をｒとし、直角三角形ＯＡＨに三平方の定理を適用して、ｒを求めましょう。

ＯＡ＝ｒ
ＡＨ＝３√１０/１０
で
ＯＨ＝ＯＥ＋ＣＥ－ＣＨ
　　＝ｒ＋３√１０/４－９√１０/１０
　　＝ｒ－３√１０/２０
です。

これらを
ＯＡ^2＝ＡＨ^2＋ＯＨ^2
に代入して、
ｒ^2＝（３√１０/１０）^2＋（ｒ－３√１０/２０）^2
　　＝９/１０＋ｒ^2－３√１０/１０・ｒ＋９/４０
から
３√１０/１０・ｒ＝４５/４０
ｒ＝３√１０/８
になります。

続いて、図５の線分ＣＢ、ＣＦに方べきの定理を適用します。

▲図５．線分ＣＢ、ＣＦに方べきの定理を適用します

ＣＦ・ＣＡ＝ＣＥ・ＣＢ
で、ここで、
ＣＦ＝ＣＡ＋ＡＦ
　　＝３＋ＡＦ
ＣＡ＝３
ＣＥ＝３√１０/４
ＣＢ＝ＣＥ＋２ｒ
　　＝３√１０/４＋３√１０/８×２
　　＝３√１０/２
を代入して、
（３＋ＡＦ）・３＝３√１０/４・３√１０/２
　　　　　　　　＝４５/４
ＡＦ＝３/４
です。

最後に、図６の直角三角形ＡＤＦに三平方の定理を適用して、
ＤＦ^2＝ＡＤ^2＋ＡＦ^2
　　　　＝１^2＋（３/４）^2
　　　　＝１＋９/１６
　　　　＝２５/１６
から
ＤＦ＝５/４
で、これが答えです。

▲図６．直角三角形ＡＤＦに三平方の定理を適用します

ゴリゴリ計算して答えにたどり着きましたが、もっとスマートな解き方があるかもしれないです。興味のある方は探してみてください。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（７１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

天気図を見ると、台風１６号が九州に上陸し、その後、四国、紀伊半島、東海、関東と日本を横断しそうな様子です。今年は上陸する台風が多いですね。十分に注意しましょう。

さて、今回は２０１４年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「円に内接する五角形ＡＢＣＤＥがあり、ＡＢ＝２、ＢＣ＝５、ＣＤ＝２、ＤＥ＝５、ＡＤ＝８である。このとき線分ＢＥの長さを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図２のように、五角形ＡＢＣＤＥの残りの対角線を引くと、ＡＣ＝ＢＤ＝ＣＥとなるので、ここではトレミーの定理がぴったりです。

▲図２．ＡＣ＝ＢＤ＝ＣＥです

ここで、ＡＣ＝ＢＤ＝ＣＥ＝ａ、ＢＥ＝ｘとしましょう。

まず、図３に示す四角形ＡＢＣＤについて、トレミーの定理から
ＡＣ・ＢＤ＝ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＡＤ
ａ^2＝２・２＋５・８
　　＝４４　　　　　　　　　　　（１）
です。

▲図３．四角形ＡＢＣＤに注目します

次に、図４に示す四角形ＢＣＤＥについて、トレミーの定理から
ＢＤ・ＣＥ＝ＢＣ・ＤＥ＋ＣＤ・ＢＥ
ａ^2＝５・５＋２ｘ
　　＝２５＋２ｘ　　　　　　　　（２）
です。

▲図４．四角形ＢＣＤＥに注目します

（１）を（２）に代入して、
４４＝２５＋２ｘ
ｘ＝１９/２
です。

したがって、線分ＢＥの長さは１９/２で、これが答えです。


トレミーの定理は、以前の記事（トレミーの定理）で取り上げたように、三角形の相似を使って証明することがでます。覚えやすい式で役に立つので頭に入れておくとよいでしょう。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（７０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

気温は２５℃なのですが、湿度は９２％と肌がべたつく感じです。秋雨前線が関東にかかっていて、雨模様の天気が続くようです。また、台風も近づいているので注意しましょう。

さて、今回は２０１６年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「頂点Ｂにおける内角が１８０°よりも大きい四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ：ＣＤ＝√２：１、ＡＤ＝２、ＢＣ＝１が成り立っている。直線ＢＣと辺ＡＤの交点をＥ、直線ＡＢと辺ＣＤの交点をＦとおくと、∠ＣＥＤ＝∠ＡＦＤ＝４５°が成立した。このとき、四角形ＡＢＣＤの面積を求めよ。
　ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

▲問題図

問題図にいくつかの相似三角形が見つけられるので、それを使って簡単に解けそうですが、やってみると一筋縄ではいかないようです。（上手い手があるのかも知れませんが）

そこで、与えられた角度４５°と与えられた線分比√２：１から連想される三角定規の直角二等辺三角形を作ることにしましょう。

図１のように、線分ＣＤをＣがＢと一致するように平行移動しその線分をＢＧとすると、△ＡＢＧは底角が４５°の直角二等辺三角形になります。

▲図１．線分ＣＤをＣがＢと一致するように平行移動しました

さらに、四角形ＢＣＤＧは平行四辺形になるので、ＢＥ//ＤＧで、その錯角は等しいことから、
∠ＢＥＤ＝∠ＥＤＧ＝４５°
です。

すると、∠ＡＢＧ＝∠ＡＤＧ＝４５°から、図２のように、四角形ＡＢＤＧは円に内接します。

▲図２．四角形ＡＢＤＧは円に内接します

すると、円周角の定理から
∠ＡＤＢ＝∠ＡＧＢ＝９０°
で、△ＡＢＤは直角三角形になります。

ここで、ＣＤ＝ＢＧ＝ＡＧ＝ａとおくとＡＢ＝√２・ａになり、これらと三平方の定理から
ＡＢ^2＝ＡＤ^2＋ＢＤ^2
２ａ^2＝２^2＋ＢＤ^2
ＢＤ＝√（２ａ^2－４）
です。

さらに、円に内接する四角形ＡＢＤＧについて、トレミーの定理から
ＡＤ・ＢＧ＝ＡＢ・ＤＧ＋ＡＧ・ＢＤ
２・ａ＝√２・ａ・１＋ａ・√（２ａ^2－４）
が成り立ち、
ａ^2＝５－２√２
になり、
ＢＤ＝√（２（５－２√２）－４）
　　＝√（６－４√２）
　　＝√（６－２√８）
　　＝２－√２
です。

いよいよ本丸の面積計算に取り掛かりましょう。

図３のように、直線ＡＤにＣから垂線を下ろし、その足をＨとしましょう。

▲図３．直線ＡＤにＣから垂線を下ろし、その足をＨとしました

すると、△ＣＥＨは底角が４５°の直角三角形で、ＢＣ＝１から
ＤＨ＝√２/２
です。

一方、ＢＤ//ＣＨなので、（△ＢＣＤの面積）＝（△ＢＨＤの面積）で、
（四角形ＡＢＣＤの面積）＝（△ＡＢＨの面積）
になります。

以上から
（四角形ＡＢＣＤの面積）＝（△ＡＢＨの面積）
　　　　　　　　　　　　＝１/２・ＡＨ・ＢＤ
　　　　　　　　　　　　＝１/２・（ＡＤ＋ＤＨ）・ＢＤ
　　　　　　　　　　　　＝１/２・（２＋√２/２）・（２－√２）
　　　　　　　　　　　　＝（３－√２）/２
で、これが答えです。


相似を使った解き方ももう少し調べてみるつもりです。興味のある方は調べてみてください。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（６９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝は晴れていたのですが、だんだん雲が増えてきて、これから雨になるようです。明日以降も降水確率が高い日が１週間ほど続き、祝日が２日ある来週の天気は、残念ながら、あまりぱっとしないようです。

さて、今回は２０１６年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「円に内接する四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＣ＝２８である。線分ＢＤの中点Ｍは、∠ＡＭＢ＝∠ＣＭＢ、ＡＭ＝２０、ＣＭ＝１６をみたしている。このとき、ＢＡ：ＢＣを求めよ。
　ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

まず、△ＡＢＭと△ＢＣＭの面積比を求めましょう。

図２のように、ＡとＣからＢＭに垂線を下ろし、それぞれの足をＰおよびＱとします。

▲図２．△ＡＢＭと△ＢＣＭの面積比を求めます

すると、仮定から、∠ＡＭＰ＝∠ＣＭＱ、∠ＡＰＭ＝∠ＣＱＭなので、△ＡＭＰ∽△ＣＭＱで、
ＡＭ：ＣＭ＝ＡＰ：ＣＱ＝２０：１６＝５：４　　　　　　　（１）
です。

一方、（△ＡＢＭの面積）＝１/２・ＢＭ・ＡＰ、（△ＢＣＭの面積）＝１/２・ＢＭ・ＣＱなので、（１）から
（△ＡＢＭの面積）：（△ＢＣＭの面積）＝５：４　　　　　（２）
になります。

次に、△ＡＢＭと△ＢＣＭが相似であることを示しましょう。

まず、△ＢＣＭと△ＤＣ’Ｍが合同であることを示します。

図３のように、ＡＭの延長と円の交点をＣ’、円の中心ＯとＭを結んだ直線と円の交点をＲ、Ｓとします。

▲図３．△ＢＣＭ≡△ＤＣ’Ｍを示します

図３で、対頂角は等しいので、∠ＡＭＢ＝∠ＤＭＣ’で、仮定から∠ＡＭＢ＝∠ＢＭＣですから、
∠ＤＭＣ’＝∠ＢＭＣ
です。

また、線分ＢＤは円の弦で、Ｍはその中点ですから、ＢＤとＯＭは直交するので、
∠ＣＭＳ＝∠ＢＭＣ＋９０°
　　　 　 ＝∠ＤＭＣ’＋９０°
　　　　　＝∠Ｃ’ＭＳ
です。

ここで、線分ＲＳは円の直径ですから、ＣとＣ’は直線ＲＳを対称軸とする対称の点になります。

したがって、
ＣＭ＝Ｃ’Ｍ
ＢＭ＝ＤＭ
∠ＢＭＣ＝∠ＤＭＣ’
から
△ＢＣＭ≡△ＤＣ’Ｍ
になります。

次に、△ＡＢＭと△Ｃ’ＤＭが相似であることを示します。

図４のように、∠ＢＡＣ’と∠ＢＤＣ’は弧ＢＣ’の円周角なので、
∠ＢＡＣ’＝∠ＢＤＣ’
です。

▲図４．△ＡＢＭ∽△Ｃ’ＤＭを示します

さらに、対頂角は等しいので、
∠ＡＭＢ＝∠ＤＭＣ’
です。

したがって、
△ＡＢＭ∽△ＤＣ’Ｍ
です。

以上をまとめると、△ＢＣＭと△ＤＣ’Ｍが合同で、△ＡＢＭと△ＤＣ’Ｍが相似なので、△ＡＢＭと△ＢＣＭは相似になります。

ところが、（２）から△ＡＢＭと△ＢＣＭの面積比は５：４なので、それらの相似比は√５：２になり、したがって、
ＡＢ：ＢＣ＝ＢＡ：ＢＣ＝√５：２
で、これが答えになります。


ＡＣ＝２８の意味が判らないので調べているところです。ご存知の方はご教示ください。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（６８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

東久留米の気温は２５℃と低めなのですが、湿度が９０％近くで、蒸し暑く感じます。明日、明後日は気温が上がるようで、不快な週末になりそうです。

さて、今回は２０１４年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「５００以下の正の整数ｎについて、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人が以下のように話している：
　
　Ａ「ｎは２でちょうど３回だけ割り切れる。」
　Ｂ「ｎは３でちょうど２回だけ割り切れる。」
　Ｃ「ｎは７でちょうど１回だけ割り切れる。」
　Ｄ「ｎの各桁の数字の和は１５だ。」

このうち３人の発言は正しいが、残りの１人の発言は誤りである。このときｎを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

Ａ、Ｂ、Ｃの発言から、ｎは少なくともそれぞれ８の倍数、９の倍数、７の倍数になります。

このとき、８、９、７は互いに素ですから、もし、Ａ、Ｂ、Ｃの発言が正しいとすると、ｎは８×９×７＝５０４の倍数になり、ｎが５００以下という条件に反します。

つまり、Ａ、Ｂ、Ｃの誰かの発言が誤っていて、したがって、Ｄの発言は正しいことになります。

そこで、Ｄの発言を調べてみましょう。

もし、ｎが９の倍数であれば、ｎの各桁の数字の和は９の倍数になります。ところが、Ｄはそれが１５と言っているので、ｎは９の倍数ではありません。

したがって、４人のうち誤りの発言をしたのは、Ｂになります。

あとは、
（Ａ）２で３回だけ割り切れる
（Ｃ）７で１回だけ割り切れる
（Ｄ）各桁の数字の和が１５　→　３の倍数
（＊）５００以下
の条件を満たすｎを見つけるだけです。

（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）から
ｎ＝８×７×３ｍ
　＝１６８ｍ
になり、（４）から
ｍ＝１、２
です。

ところが、ｍ＝２のとき、ｎは２で４回割り切れてしまい（Ａ）に反するので、ｍ＝１になります。

つまり、
ｎ＝１６８
で、この各桁の数字の和は１＋６＋８＝１５と、（３）を満たします。

したがって、ｎは１６８で、これが答えです。


楽しい問題でした。