日本数学オリンピックの難しい問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

東久留米の気温は２５℃と過ごしやすい日になりました。しかし明日から気温が上がり、土曜日は３０℃、日曜日には３２℃に達する予報です。その対策の一環で、朝、スーパーマーケットでビール（正しくは発泡酒）を買いました。冷蔵庫で冷やして、週末に飲む予定です。

さて、今回は２０１０年日本数学オリンピック本選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「ＡＢ≠ＡＣなる鋭角三角形ＡＢＣがあり、ＡからＢＣにおろした垂線の足をＨとおく。点Ｐ、Ｑを、３点Ａ、Ｂ、Ｐと３点Ａ、Ｃ、Ｑがともにこの順に一直線上に並ぶようにとると、４点Ｂ、Ｃ、Ｐ、Ｑは同一円周上にあり、ＨＰ＝ＨＱが成り立った。このときＨは三角形ＡＰＱの外心であることを示せ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

まず、図１から簡単に得られる情報について調べてみましょう。

仮定からＢ、Ｐ、Ｑ、Ｃが同一円周上にあるので、
∠ＣＱＰ＋∠ＣＢＰ＝１８０°
∠ＣＱＰ＝１８０°－∠ＣＢＰ　　　　　　　　　　（１）
です。

一方、仮定からＡ、Ｂ、Ｐは一直線上にあるので、
∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＰ＝１８０°
∠ＡＢＣ＝１８０°－∠ＣＢＰ　　　　　　　　　　（２）
です。

したがって、（１）（２）から、図２のように、
∠ＡＢＣ＝∠ＣＱＰ＝∠ＡＱＰ　　　　　　　　　　（３）
が成り立ちます。（∠ＡＣＢ＝∠ＡＰＱも同じです）

▲図２．∠ＡＢＣ＝∠ＡＱＰ（∠ＡＣＢ＝∠ＡＰＱ）です

それでは問題に取り掛かりましょう。

Ｈが△ＡＰＱの外心であることを示すためには、ＨＡ＝ＨＰ（ＨＱ）←△ＨＡＰ（△ＨＡＱ）が二等辺三角形←∠ＨＡＰ＝∠ＨＰＡ（∠ＨＱＡ）を示せばＯＫですが、これより、新たに点Ｒをおいて、四角形ＡＰＱＲが同一円周上にあることを示す方法（よく使う方法です）のほうが簡単そうです。

このとき図３のように、ＲはＡＨを対称軸としてＰと対応する点がよいでしょう。

▲図３．対称軸をＡＨとしてＰの対応する点をＲにしました

初めに、ＰとＲを直線で結ぶと直線ＰＲは直線ＡＨと直交し、∠ＡＨＢ＝∠ＡＭＰなので、
ＢＣ//ＰＲ
です。

そして、平行線の同位角は等しいので、
∠ＡＢＣ＝∠ＡＰＲ　　　　　　　　　　　　　　　（４）
です。

一方、△ＡＰＲは二等辺三角形なので、
∠ＡＰＲ＝∠ＡＲＰ　　　　　　　　　　　　　　　（５）
です。

すると（３）（４）（５）から
∠ＡＱＰ＝∠ＡＲＰ
が成り立ち、円周角の定理の逆から、Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｒは同一円周上にあることが判りました。

ところが、ＨＰ＝ＨＱ＝ＨＲから、Ｐ、Ｑ、Ｒは中心をＨとする円周上にあるので、Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｒも同じ円周上にあることになります。

したがって、Ｈは△ＡＰＱの外心です。


対称の点をおくテクニックは、以前にも取り上げています。（例えばジュニア数学オリンピックの難しい問題（４））　頭にいれておくと役に立つかもしれません。

日本数学オリンピックの簡単な問題（２０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

天気図を見ると、梅雨前線を挟んで北と南の高気圧がにらみ合っていますが、週末には南の高気圧が前線を押し上げ、しばらく晴れ間が続くようです。梅雨明けももう直ぐです。

さて、今回は２０１０年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣの内部に点Ｐがある。ＡＰ＝√３、ＢＰ＝５、ＣＰ＝２、ＡＢ：ＡＣ＝２：１、∠ＢＡＣ＝６０°であるとき、三角形ＡＢＣの面積を求めよ。
　ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように、問題も図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

この△ＡＢＣは、∠Ａ＝６０°、ＡＢ：ＡＣ＝２：１から、三角定規の一方（内角が、３０、６０、９０°）と相似で、∠Ｃ＝９０°です。

そこで図２のように、Ａ、Ｂ、Ｃをそれぞれｙ軸上、ｘ軸上、原点に置いて、解析的に解くのが簡単そうです。

▲図２．Ａ、Ｂ、Ｃをそれぞれｙ軸上、ｘ軸上、原点に置きました

図２で、Ｐの座標を（ｐ，ｑ）、ｐ＞０、ｑ＞０とします。

また、ＣＡ＝ａ（ａ＞０）とすると、ＣＡ：ＣＢ＝１：√３なので、ＣＢ＝√３・ａです。

そして、Ｐからｘ軸、ｙ軸に垂線を下ろし、それらの足をそれぞれＤ、Ｅとします。

そこで、△ＰＣＤ、△ＰＢＤ、△ＰＡＥに三平方の定理を適用して、
ＰＣ^2＝ＣＤ^2＋ＰＤ^2　⇒　４＝ｐ^2＋ｑ^2　　　　　　　　　　 （１）
ＰＢ^2＝ＢＤ^2＋ＰＤ^2　⇒　２５＝（√３・ａ－ｐ）^2＋ｑ^2　　　（２）
ＰＡ^2＝ＰＥ^2＋ＡＥ^2　⇒　３＝ｐ^2＋（ａ－ｑ）^2　　　　　　 （３）
が成り立ちます。

あとは（１）（２）（３）を解くだけです。

まず、（２）（３）を展開、整理して、
２５＝３ａ^2－２√３・ａｐ＋ｐ^2＋ｑ^2　　　　　　　　　　　　　（４）
と
３＝ａ^2－２ａｑ＋ｐ^2＋ｑ^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　（５）
とします。

次に、（４）（５）に（１）を代入して、ｐ、ｑをａで表すと、
２５＝３ａ^2－２√３・ａｐ＋４
２√３・ａｐ＝３ａ^2－２１
ｐ＝３（ａ^2－７）/（２√３・ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　（６）
と
３＝ａ^2－２ａｑ＋４
２ａｑ＝ａ^2＋１
ｑ＝（ａ^2＋１）/２ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（７）
です。

さらに、（６）（７）を（１）に代入して、
４＝（３（ａ^2－７）/（２√３・ａ））^2＋（（ａ^2＋１）/２ａ）^2
で、これを整理して、
４＝９（ａ^2－７）^2/１２ａ^2＋（ａ^2＋１）^2/４ａ^2
４８ａ^2＝９ａ^4－１２６ａ^2＋４４１＋３ａ^4＋６ａ^2＋３
１２ａ^4－１６８ａ^2＋４４４＝０
ａ^4－１４ａ^2＋３７＝０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（８）
になります。

（８）を解の公式を使って解くと、
ａ^2＝７±√（４９－３７）
　　＝７±２√３
です。

ここで、ａ^2＝７－２√３を（６）に代入すると、
ｐ＝３（７－２√３－７）/（２√３・ａ）
　＝－３/ａ
になり、ａ＞０からｐ＜０です。

ところが、Ｐは△ＡＢＣの内部の点なので、ｐ＞０でなければならず、
ａ^2＝７＋２√３　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１０）
になります。

最後に、△ＡＢＣの面積Ｓは、
Ｓ＝ａ×√３・ａ×１/２
　＝√３/２・ａ^2
なので、これに（１０）を代入して、
Ｓ＝√３/２・（７＋２√３）
　＝３＋７√３/２
で。これが答えです。


他には△ＰＡＢと相似の三角形をＡＢとＡＣが対応するように作る方法やヘロンの公式を利用する方法（計算が大変そうです）がありますが、解析的に解くのが計算するだけなので簡単そうです。興味のある人は調べてみてください。

日本数学オリンピックの簡単な問題（１９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜遅に音を立てて降っていた雨は、昼過ぎには止んで、涼しくて過ごしやすい日になりました。今日はこのまま曇りが続き、明日、曇りから雨に変わるようです。

さて、今回は２０１１年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「∠ＡＢＣ＝９０°である三角形ＡＢＣの辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上に点Ｐ、Ｑ、Ｒがあり、ＡＱ：ＱＣ＝２：１、ＡＲ＝ＡＱ、ＱＰ＝ＱＲ、∠ＰＱＲ＝９０°が成立している。ＣＰ＝１のときＡＲを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１を見て目立つのが、△ＡＱＲが二等辺三角形であることと四角形ＢＰＱＲが円に内接するということですが、これらは、大切なＣＰ＝１と少しばかり離れていて役に立ちそうもありません。

そこでＣＰ＝１を使いやすそうな位置に移動することを考えます。

このときＱＰ＝ＱＲから、△ＱＰＣと合同になりそうな三角形ＱＲＳを思い付けば、あとは簡単です。

それでは、図２のように線分ＢＲ上にＣＰ＝ＳＲとなるようにＳをとり、△ＱＰＣと△ＱＳＲとが合同かを調べましょう。

▲図２．△ＱＰＣと△ＱＳＲとが合同かを調べます

仮定から
ＱＰ＝ＱＲ　　　　　　　　　　（１）
ＣＰ＝ＳＲ　　　　　　　　　　（２）
です。

また、四角形ＢＰＱＲで、∠ＲＢＰ＝∠ＰＱＲ＝９０°なので、
∠ＢＰＱ＋∠ＢＲＱ＝１８０°
で、
∠ＢＲＱ＝１８０°－∠ＢＰＱ
　　　 ＝∠ＣＰＱ　　　　　　　（３）
です。

ここで、∠ＢＲＱ＝∠ＳＲＱなので、（３）から
∠ＳＲＱ＝∠ＣＰＱ　　　　　　　（４）
です。

したがって、（１）（２）（３）から２組の辺とその間の角が等しいので、
△ＱＰＣ≡△ＱＳＲ
です。

すると図３のように、ＱＣ＝ＱＳから
ＡＱ：ＱＳ＝２：１
さらに、∠ＣＱＰ＝∠ＳＱＲから
∠ＣＱＳ＝９０°
です。

▲図３．ＡＱ：ＱＳ＝２：１、∠ＣＱＳ＝９０°です

そこで、直角三角形ＡＱＳに三平方の定理を適用すると、
ＡＳ^2＝ＡＱ^2＋ＱＳ^2
が成り立ち、これにＡＳ＝ＡＱ＋１、ＱＳ＝ＡＱ/２を代入すると、
（ＡＱ＋１）^2＝ＡＱ^2＋（ＡＱ/２）^2
ＡＱ^2＋２ＡＱ＋１＝ＡＱ^2＋ＡＱ^2/４
ＡＱ^2－８ＡＱ－４＝０　　　　　　（５）
です。

ここで（５）を２次方程式の解の公式で解くと、
ＡＱ＝４±√（４^2＋４）
　　＝４±√２０
　　＝４±２√５
で、ＡＱ＞０なので、
ＡＱ＝４＋２√５
です。

最後に、仮定からＡＲ＝ＡＱなので、ＡＲの長さは４＋２√５で、これが答えです。


ここでは、△ＱＣＰ≡△ＱＲＳになるように補助線ＱＳを引きましたが、図４のように、Ｑから辺ＡＢ、辺ＢＣ上に垂線を下ろしても大丈夫です（少し煩雑になるようですが）。

▲図４．Ｑから辺ＡＢ、辺ＢＣに垂線を下ろしました

興味のある人は調べてみてください。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

雲は多めですが晴れて明るい日になりました。昨日の天気予報では、明日からぐずついた日が続くはずでしたが、今日の予報では、週末の金、土曜日は晴れになるようです。天気図を眺めていると毎日ダイナミックに変わるので、この時期の予報が難しいのがよく判ります。

さて、今回は２００９年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「３桁の正の整数が２つあり、どちらも一の位と十の位がともに９である。このような２つの数の積の千の位としてありうる値をすべて求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

２つの３桁の整数をＡ、Ｂとすると、どちらも下２桁は９９なので、
Ａ＝１００ａ＋９９　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
１≦ａ≦９、ａは整数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （２）
Ｂ＝１００ｂ＋９９、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
１≦ｂ≦９、ｂは整数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （４）
と表すことができます。

ここで、ＡとＢとの積Ｐに（１）（３）を代入して、
Ｐ＝ＡＢ
　＝（１００ａ＋９９）（１００ｂ＋９９）
　＝１００００ａｂ＋９９００ａ＋９９００ｂ＋９８０１
　＝１００００（ａｂ＋ａ＋ｂ）＋９８０１－１００ａ－１００ｂ　　　　（５）
です。

（５）の右辺の第１項目の千の位は０なので、Ｐの千の位の数は、第２、３、４項目の和の千の位の数と同じになります。

そこで、
Ｐ’＝９８０１－１００ａ－１００ｂ
とすると、（２）（４）から
８００１≦Ｐ’≦９６０１
です。（左の等号はａ＝ｂ＝９のとき、右の等号はａ＝ｂ＝１のとき、成り立ちます）

つまり、Ｐ’の千の位の数は８または９になり、Ｐの千の位の数も同じです。

したがって、２つの数の千の位としてありうるのは８と９で、これが答えです。　　　　　


簡単な問題でした。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今朝、ラジオの天気予報で、湿度が下がってさわやかな暑さになると言っていたのですが、確かにここ数日と比べて湿度が低いものの、十分に蒸し暑く感じます。南下している梅雨前線は明日もそのままですが、明後日には戻ってきて、それからしばらく梅雨らしい天気が続くようです。

さて、今回は２０１３年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「∠ＢＡＣが直角である二等辺三角形ＡＢＣがある。辺ＢＣ上に点Ｄ、辺ＣＡ上に点Ｅがあり、∠ＡＤＥ＝４５°となっている。ＢＤ：ＤＣ＝１：５のときＡＥ：ＥＣを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

まず図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１を一見すれば、△ＡＢＤと△ＤＣＥが相似ということが判るので、これを利用すれば簡単に解けそうです。

そこで、△ＡＢＤ∞△ＤＣＥを示しましょう。

図２のように、△ＡＢＣは∠Ａ＝９０°の直角二等辺三角形なので、
∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
です。

▲図２．△ＡＢＤ∞△ＤＣＥを示します

また、∠ＡＤＣは△ＡＢＤの１つの外角なので、
∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ
　　　　＝４５°＋∠ＢＡＤ
で、
∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ－４５°　　　　　　　　　　　　　（２）　
です。

一方、
∠ＣＤＥ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＥ
で、仮定から∠ＡＤＥ＝４５°なので、
∠ＣＤＥ＝∠ＡＤＣ－４５°　　　　　　　　　　　　　（３）
です。

したがって、（２）（３）から
∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＥ　　　　　　　　　　　　　　　　 （４）
で、（１）（２）から２組の内角が等しいので、△ＡＤＣ∞△ＤＣＥです。

あとはＡＢの長さの比を計算して、ＥＣの長さの比を求めればお仕舞いです。

△ＡＢＣは直角二等辺三角形ですから、
ＡＢ：ＡＣ：ＢＣ＝１：１；√２
で、図３のように、ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＣ＝（１）＋（５）＝（６）なので、
ＡＢ＝ＡＣ＝（３√２）
です。ここで、（　）はＢＤを１としたときの割合を表します。

▲図３．ＡＢとＥＣの長さの比を計算します

そして、△ＡＢＤ∞△ＤＣＥから
ＡＢ：ＢＤ＝ＤＣ：ＣＥ
で、ＡＢ＝（３√２）、ＢＤ＝（１）、ＤＣ＝（５）を代入して、
（３√２）：（１）＝（５）：ＣＥ
ＣＥ＝（５）/（３√２）
　　＝（５√２/６）
です。

ここで、ＡＥ＝ＡＣ－ＣＥから
ＡＥ＝（３√２）－（５√２/６）
　　＝（１３√２/６）
です。

したがって、
ＡＥ：ＥＣ＝ＡＥ：ＣＥ
　　　　　＝（１３√２/６）：（５√２/６）
　　　　　＝１３：５
で、これが答えです。


図を描けば簡単に解ける問題でした。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

東久留米の気温は３０℃で蒸し暑い日になりました。西から来る高気圧が梅雨前線を押し下げるので、久しぶりに明日、明後日は晴れるようです。

さて、今回は２０１０年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「３桁の整数ｍ、ｎがあり、ｍとｎとはちょうど１つの桁の数字が異なる。またｎはｍの倍数である。考えられる組（ｍ，ｎ）は何通りあるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ｍ、ｎは３桁の整数なので、
１００≦ｍ、ｎ≦９９９　　　　　　　　　　　（１）
です。

また、ｍとｎは互いに異なり、かつ、ｎはｍの倍数なので、
ｎ＝ｋｍ、ｋは２以上の整数　　　　　　　　　（２）
で、
ｎ≧２ｍ　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
が成り立ちます。

すると、（１）（３）から
１００≦ｍ≦４９９　　　　　　　　　　　　　（４）
１００≦ｎ≦９９９　　　　　　　　　　　　　（５）
になります。

次に、「ｍとｎとはちょうど１つの桁の数字が異なる」という条件について調べましょう。

（４）からｍの３桁目の数は、１、２、３、４で、そのときｎの３桁目の数は、（３）から、それぞれ２以上、４以上、６以上、８以上になります。

つまり、ｍとｎとでちょうど１つの数字が異なる桁は、３桁目になります。

すると、ｎとｍの差は、１００の倍数になるので、
ｎ－ｍ＝１００ａ、１≦ａ≦８、ａは整数　　　（６）
が成り立ちます。

そこで、（６）に（２）を代入して、
ｋｍ－ｍ＝１００ａ
（ｋ－１）ｍ＝１００ａ
ですから、ｍは、１００（ａ＝１）、２００（ａ＝２）、３００（ａ＝３）、４００（ａ＝４）、５００（ａ＝５）、６００（ａ＝６）、７００（ａ＝７）、８００（ａ＝８）の約数になります。

ここで、ｍは４９９以下の３桁の整数ですから、１００ａ（ａ＝１、２，３、・・・、８）に対してｍが取り得るのは、
・１００のとき、ｍ＝１００
・２００のとき、ｍ＝１００、２００
・３００のとき、ｍ＝１００、１５０、３００
・４００のとき、ｍ＝１００、２００、４００
・５００のとき、ｍ＝１００、１２５、２５０
・６００のとき、ｍ＝１００、１２０、１５０、２００、３００
・７００のとき、ｍ＝１００、１４０、１７５、３５０
・８００のとき、ｍ＝１００、１６０、２００、４００
になり、これをまとめると、ｍは、
１００、１２０、１２５、１４０、１５０、１６０、１７５、２００、２５０、３００、３５０、４００
です。

そして、これらのｍに対して、可能なｎを調べると、（５）からｎは９９９以下の整数なので、
・ｍ＝１００のとき、ｎ＝２００、３００、４００、５００、６００、７００、８００、９００の８通り
・ｍ＝１２０のとき、ｎ＝７２０の１通り
・ｍ＝１２５のとき、ｎ＝６２５の１通り
・ｍ＝１４０のとき、ｎ＝８４０の１通り
・ｍ＝１５０のとき、ｎ＝４５０、７５０の２通り
・ｍ＝１６０のとき、ｎ＝９６０の１通り
・ｍ＝１７５のとき、ｎ＝８７５の１通り
・ｍ＝２００のとき、ｎ＝４００、６００、８００の３通り
・ｍ＝２５０のとき、ｎ＝７５０の１通り
・ｍ＝３００のとき、ｎ＝６００、９００の２通り
・ｍ＝３５０のとき、なし。０通り
・ｍ＝４００のとき、ｎ＝８００の１通り
で、考えられる組（ｍ．ｎ）は、８＋１＋１＋１＋２＋１＋１＋３＋１＋２＋０＋１＝２２通りになり、これが答えです。


少し具体例を調べてみれば、ｍとｎで１つの数字が異なる桁が３桁目ということが直ぐに判ります。見通しが悪いときには、具体例を調べてみましょう。

日本数学オリンピックの難しい問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日より気温が下がって蒸し暑さが和らぎ、過ごしやすい日になりました。今は雨は降っていませんが、これから降り始めて、明日も雨模様です。明後日、明々後日は晴れ間が見られるようです。

さて、今回は２００９年日本数学オリンピック本選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣの外接円をΓとする。点Ｏを中心とする円が、線分ＢＣと点Ｐで接し、Γの弧ＢＣのうちＡを含まない方と点Ｑで接している。
　∠ＢＡＯ＝∠ＣＡＯのとき、∠ＰＡＯ＝∠ＱＡＯであることを示せ。」
です。

早速、図１のように問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１では手掛かりが少ないので、この図形の特徴を少し詳しく調べてみましょう。

まず図２のように、直線ＡＯの延長と円Γの交点をＲとすると、与えられた条件∠ＢＡＯ＝∠ＣＡＯから弧ＢＲ＝弧ＣＲなので、Ｒと円Γの中心Ｄを結んだ直線は直線ＢＣと直交します。ここで、直線ＲＤと円Γの交点でＲでない方の点をＳとしました。

▲図２．直線ＢＣと直線ＲＤは直交します

さらに、円Γと円ＯはＱを相似の中心とする相似図形で、Ｓでの円Γの接線と直線ＢＣが平行であることから、ＰとＳが互いに対応する点になります。

したがって、図３のように、Ｑ、Ｐ、Ｓは同一直線上にあります。（Ｑを固定して円Ｏを拡大して円Γに一致させるとＰはＳと一致します。そのときのＰは直線ＱＰ（ＱＳ）上を動きます）

▲図３．Ｑ、Ｐ、Ｓは同一直線上にあります

ここで転じて、問題の∠ＰＡＯ＝∠ＱＡＯをどのようにして示すことができるかを調べてみましょう。

例えば、図４のように、直線ＡＰの延長と円Γの交点をＴとして、
（１）弧ＲＴ＝弧ＲＱ
を示すことができればＯＫです。

また、
（２）４点Ａ、Ｐ、Ｏ、Ｑが同一円周上にある
ことを示す手もありそうです。

▲図４．弧ＲＴ＝弧ＲＱか４点Ａ、Ｐ、Ｏ、Ｑが同一円周上にあることを示せば∠ＰＡＯ＝∠ＱＡＯです

ここで（１）を示す場合、Ｔが、直線ＲＳを対称軸としてＱに対応する点であることなどを示せばよいのですが、このときＰが円Ｏと直線ＢＣの接点という条件を使うのが大変そうです。

それに比べて（２）の場合、直線ＰＯが直線ＲＳと平行になるといったように、Ｐが円Ｏと直線ＢＣの接点という条件を自然に取り込めて都合が良さそうです。

そこで図５のように、ＰとＯを結んで直線ＰＯを引き、円Γとの交点をＵ、Ｖとします。

▲図５．直線ＰＯと円Γとの交点をＵ、Ｖとしました

次に、４点Ａ、Ｐ、Ｏ、Ｑが同一円周上にあることを示すのですが、
（３）隣り合う２点の弧に対する２つの円周角が等しい
（４）四角形ＡＰＯＱの対角の和が１８０°
のどちらかを示すのが常套手段です。

ここでは（３）を示しましょう。

まず、ＲＳ//ＵＶで、その錯角は等しいので、
∠ＯＰＱ＝∠ＲＳＱ　　　　　　　　　　　　　［１］
です。

また、円周角の定理から
∠ＲＳＱ＝∠ＲＡＱ
で、∠ＲＡＱ＝∠ＯＡＱなので、
∠ＲＳＱ＝∠ＯＡＱ　　　　　　　　　　　　　［２］
です。

［１］と［２］から
∠ＯＰＱ＝∠ＯＡＱ
で、円周角の定理の逆から、４点Ａ、Ｐ、Ｏ、Ｑは同一円周上にあることが判りました。

ここで、ＯＰとＯＱは円Ｏの半径なのでＯＰ＝ＯＱです。

したがって、円周角の定理より∠ＰＡＯ＝∠ＱＡＯです。


実際にこの問題を解いたときは、結論が成り立つ場合、他の部分がどのようになっていなければならないかを調べて、４点Ａ、Ｐ、Ｏ、Ｑが同一線上にあることを導きました。このように結論から違う目標を導くと見通しがよくなることもあります。頭にいれておくと役に立つかもしれません。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

東久留米ではこのところ、午前中に小雨が降って、午後からときどき晴れるといった天気が続き、特に午後は蒸し暑くなります。体調に気をつけて過ごしましょう。

さて、今回は２００９年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「下図において、三角形ＯＡＢ、ＯＢＣ、ＯＣＤはそれぞれ∠ＯＡＢ、∠ＯＢＣ、∠ＯＣＤを直角とする直角二等辺三角形である。
　三角形ＯＣＤの面積が１２のとき、三角形ＯＡＢの面積を求めよ。」
です。

▲問題図

図１のように、△ＯＣＤを△ＯＡＢと合同な４つの三角形に分割すると、１２÷４＝３から、△ＯＡＢの面積が３であることが直ぐに判ります。

▲図１．△ＯＣＤは△ＯＡＢと合同な４つの三角形に分割されます

相似を利用する場合、図２のように、ＯＣの長さをａとして、ＯＣ：ＯＢ＝√２：１からＯＢ＝√２/２・ａで、さらにＯＢ：ＡＢ＝√２：１からＡＢ＝１/２・ａです。

▲図２．△ＯＣＤと△ＯＡＢの相似比を求めます

つまり、△ＯＣＤと△ＯＡＢの相似比は、ａ：１/２・ａ＝１：１/２で、それらの面積比は１：（１/２）^2＝１：１/４です。

したがって、△ＯＡＢの面積は、（△ＯＣＤの面積）×１/４＝１２×１/４＝３になります。


とても簡単な問題でした。

日本数学オリンピックの簡単な問題（１８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝から降っていた細かい雨が止んだり降ったりと、今日も梅雨らしい天気になりました。予報によると、梅雨前線が日本の南に停滞するようで、鬱陶しい日がしばらく続くようです。

さて、今回は２０１０年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「四角形ＡＢＣＤは半径１の円に内接し、対角線どうしのなす角は６０°である。対角線の交点をＰとすると、ＡＰ＝１/３、ＣＰ＝２/３である。このときＢＰとＤＰの差の絶対値としてありうるものをすべて求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

まず図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

ここで忘れてはならないのは、問題に「対角線どうしのなす角は６０°」とあるので、図１のように、∠ＡＰＢ＝６０°になる場合と、図２のように、∠ＣＰＢ＝６０°になる場合の２通りがあるということです。

▲図２．∠ＣＰＢ＝６０°の場合です

ここでは初めに図１の∠ＡＰＢ＝６０°の場合を調べましょう。

図１から方べきの定理で、ＢＰ・ＤＰ＝ＡＰ・ＣＰ＝１/３・２/３として、さらにもう一つの条件、∠ＡＰＢ＝６０°からＢＰなりＤＰについての情報を引き出すといった作戦もあるのかもしれません。

しかし、ここではＡＰ＋ＣＰ＝１/３＋２/３＝１＝（円の半径）に着目し、いくつかの正三角形を並べるのが簡単そうです。

そこで図３のように、１辺の長さが１の３つの正三角形（△ＯＡＣ、△ＯＡＦ、△ＯＥＦ）を描き入れましょう。

▲図３．３つの正三角形を描き入れました

図３で、ＣＥは円Ｏの直径で、∠ＯＣＡ＝∠ＡＰＢ＝６０°からＣＥ//ＤＢです。さらに、Ｏを通りＣＥと直交する直線（赤色の線）は対称軸です。

つまり、ＤＰ＝ＢＱなのでＢＰとＤＰの長さの差は、ＰＱの長さになり、これはＲＳの長さと同じです。

そこで、△ＰＣＲと△ＱＥＳに着目すると、これらの三角形は三角定規の一方（内角が３０、６０、９０°）と相似で、ＰＣ：ＣＲ＝２：１、ＱＥ：ＥＳ＝２：１なので、ＣＲ＝ＥＳ＝１/３です。

ここで、ＣＥは円Ｏの直径（＝２）なので、
ＲＳ＝ＣＥ－（ＣＲ＋ＥＳ）
　　＝２－２/３
　　＝４/３
です。

したがって、ＢＰとＤＰの差の絶対値は４/３です。

続いて、図２に示した∠ＣＰＢ＝６０°の場合を調べましょう。

先ほどと同じく図４のように、３つの正三角形（△ＯＡＣ、△ＯＣＨ、△ＯＧＨ）を描き入れます。

▲図４．この場合も３つの正三角形を描き入れます

すると先ほどと同じように、ＢＰとＤＰの長さの差はＵＶの長さになり、ＡＵ＝ＧＶ＝１/６から
ＵＶ＝ＡＧ－（ＡＵ＋ＧＶ）
　　＝２－１/３
　　＝５/３
です。

したがって、ＢＰとＤＰの差の絶対値は５/３です。

以上から、ＢＰとＤＰの差の絶対値としてありうるものは４/３と５/３で、これが答えです。


ＡＣの長さが１になっていることに気が付けば簡単な問題です。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昼過ぎまでは梅雨らしい小雨が降っていたのですが、その後晴れて、さらに蒸し暑くなりました。天気図では、本州の南岸にある梅雨前線がしばらくじっとしていて、今週一杯は雨が降ったり曇ったりといった天気になるようです。

さて、今回は２０１１年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「ｘを２桁の正の整数、ｙを１桁の正の整数とする。ｘの十の位、ｘの一の位、ｙがすべて異なるとき、ｘｙとしてありうる最大の値を求めよ。」
です。

この手の問題と出くわすと反射的に、ｘ＝１０ａ＋ｂ、ｙ＝ｃとおいてしまいますが、この場合、ａ、ｂ、ｃの条件が、
ａ≠ｂ≠ｃ
１≦ａ，ｃ≦９、０≦ｂ≦９、　ａ、ｂ、ｃは整数
だけなので、行き詰ってしまいます。

このようなときには、少し具体例を調べてみるのがよいでしょう。

例えば、ｘ＝５６とすると、５６×ｙが最大になるのですから、ｙ＝９と判ります。

さらに、ｙ＝９とすると、ｘ×９が最大になるのですから、ｘ＝８７と判ります。

つまり、ｘｙが最大になるのは、ｘの十の位の数、一の位の数とｙは、９、８、７の組合せということが判ります。（具体例を調べなくてもピンとくる人も多いと思いますが）

そこで、
（１）９８×７
（２）８９×７、
（３）９７×８
（４）７９×８
（５）８７×９
（６）７８×９
の６通りのうち、最大のものを求めます。

まず、（１）＞（２）、（３）＞（４）、（５）＞（６）なので、
（１）９８×７
（３）９７×８
（５）８７×９
の３つに絞り込むことができます。

続いて、（１）－（３）、（３）－（５）を計算すると、
（１）－（３）＝９８×７－９７×８
　　　　　　　＝９８×７－９７×７－９７
　　　　　　　＝（９８－９７）×７－９７
　　　　　　　＝７－９７
　　　　　　　＝－９０
　　　　　　　＜０
（３）－（５）＝９７×８－８７×９
　　　　　　　＝９７×８－８７×８－８７
　　　　　　　＝（９７－８７）×８－８７
　　　　　　　＝８０－８７
　　　　　　　＝－７
　　　　　　　＜０
で、（５）＞（３）＞（１）が判ります。

したがって、ｘｙの最大値は、
８７×９＝８７×（１０－１）
　　　 ＝８７０－８７
　　　 ＝７８３
で、これが答えです。


行き詰ったときには具体例を調べてみると手掛かりを見つけることができるかもしれません。試してみてください。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

曇りの予報ですが、晴れ間の多い天気になりました。天気図では梅雨前線がしっかりしてきて、今週は梅雨らしくなりそうです。

さて、今回はジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「一辺の長さが３の正方形ＡＢＣＤがある。ＡＢを２：１に内分する点をＰとし、ＣＤを１：２、２：１に内分する点をそれぞれＱ、Ｒとし、ＤＡを１：２、２；１に内分する点をそれぞれＳ、Ｔとする。直線ＰＲと直線ＱＴの交点をＵとし、直線ＳＵと直線ＢＣの交点をＶとするとき、線分ＢＶの長さを求めよ。」
です。

▲問題図

まず図１のように、与えられた条件を書き入れましょう。条件は比で与えられていますが、正方形の１辺の長さが３と判っているので、長さに換算して書き入れました。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

相似図形を利用しますが、求める線分の長さがＢＶなので、図２のように、線分ＰＲと線分ＱＴを延長して互いに相似の三角形△ＵＷＸと△ＵＹＴを作るのがよさそうです。

▲図２．相似三角形△ＵＷＸと△ＵＹＴを作りました

図２で、中点連結定理から、
ＷＢ＝ＢＣ＝３
ＤＹ＝ＡＤ＝３
で、△ＣＱＸは直角二等辺三角形なので、
ＣＸ＝１
です。

ここで、△ＵＷＸ∞△ＵＹＴで、その相似比は、
ＷＸ：ＹＴ＝７：５
です。

さらに、△ＵＶＸ∞△ＵＳＴで、その相似比はＵＸ：ＵＴになり、これは△ＵＷＸと△ＵＹＴの相似比と同じです。

つまり、
ＵＸ：ＵＴ＝ＳＴ：ＶＸ＝７：５
が成り立ち、これにＳＴ＝１を代入して、
ＶＸ＝５/７
になります。

すると、
ＢＶ＝ＢＣ－ＣＶ
　　＝ＢＣ－（ＶＸ－ＣＸ）
　　＝３－（５/７－１）
　　＝１３/５
で、これが答えです。

他に解析的に解く方法もあります。

図３のように、与えられた図形をＢを原点としてｘｙ平面上に置きます。

▲図３．与えられた図形をＢを原点としてｘｙ平面上に置きました

まず、Ｕの座標を求めるため、直線ＰＲと直線ＱＴの式を求めます。

直線ＰＲは、Ｐ（０，１）とＲ（３．２）を通るので、
ｙ＝１/３・ｘ＋１　　　　　　（１）
です。

直線ＱＴは、Ｑ（３，１）とＴ（１，３）を通るので、
ｙ＝－ｘ＋４　　　　　　　　 （２）
です。

ここで、Ｕは（１）と（２）の交点なので、（１）と（２）の連立方程式を解いて、
Ｕ（９/４，７/４）
です。

すると、直線ＳＵは、Ｓ（２，３）とＵ（９/４，７/４）を通るので、
ｙ＝－５ｘ＋１３　　　　　　（３）
です。

そして、Ｖはｘ軸と（３）の交点ですから、（３）でｙ＝０として、
０＝－５ｘ＋１３
ｘ＝１３/５
で、Ｖ（１３/５，０）です。

したがって、ＢＶ＝１３/５になります。


相似を利用するか解析的に解くかは好みの問題ですが、解析的に解くほうが計算だけすればいいので楽かもしれませんね。

日本数学オリンピックの簡単な問題（１７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

太平洋上の高気圧が、西にある梅雨前線を北に押し上げていて、まるで梅雨明けのような状況です。ただ、来週は低気圧が東北地方を横断するのでぱっとしない天気になるようです。

さて、今回は２０１２年日本数学オリンピック予選の図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣの外心をＯとする。線分ＡＢ上に点Ｄ、線分ＡＣ上に点Ｅをとると、線分ＤＥの中点がＯと一致した。ＡＤ＝８、ＢＤ＝３、ＡＯ＝７のとき、ＣＥを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

まず図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

さらに、Ｏは外心なのでＯＢ＝ＯＣ＝７です。図２に、これらを書き入れましょう。

▲図２．Ｏは外心なので、ＯＢ＝ＯＣ＝７です

ここで△ＯＡＢに着目すると、３辺の長さが決まっているので、この三角形についての情報はすべて計算できて、線分ＯＤの長さを求めることができます。

そこで図３のように、Ｏから辺ＡＢに垂線を下ろしその足をＦとすると、△ＯＡＦ、△ＯＤＦは直角三角形になり、それらに三平方の定理を適用します。

▲図３．△ＯＡＦと△ＯＤＦに三平方の定理を適用します

まず、△ＯＡＦでは、
ＯＡ^2＝ＯＦ^2＋ＡＦ^2
です。

ここで、ＯＡ＝７、ＡＦ＝ＡＢ/２＝１１/２ですから、
ＯＦ^2＝７^2－（１１/２）^2
　　　＝４９－１２１/４
　　　＝７５/４
です。

次に、△ＯＤＦでは、
ＯＤ^2＝ＯＦ^2＋ＤＦ^2
です。

ここで、ＯＦ^2＝７５/４、ＤＦ＝１１/２－３＝５/２ですから、
ＯＤ^2＝７５/４＋（５/２）^2
　　　＝７５/４＋２５/４
　　　＝２５
で、
ＯＤ＝５
です。

続いて、△ＯＡＤに着目すると、この三角形も３辺の長さが決まりました。

つまり、図４のように、Ａから辺ＯＤに下ろした垂線の足をＧとすると、ＡＧとＯＧの長さが判るということです。

▲図４．△ＯＡＤに着目し、Ａから辺ＯＤに下ろした垂線の足をＧとします

△ＯＡＧと△ＡＤＧに三平方の定理を適用して、
ＯＡ^2＝ＯＧ^2＋ＡＧ^2　　　　　　　　　　　　　（１）
ＡＤ^2＝ＡＧ^2＋ＤＧ^2　　　　　　　　　　　　　（２）
です。

ＯＡ＝７、ＡＤ＝８、ＤＧ＝ＯＤ－ＯＧ＝５－ＯＧを（１）と（２）に代入して、
７^2＝４９
　　＝ＯＧ^2＋ＡＧ^2　　　　　　　　　　　　　　（３）
８^2＝６４
　　＝ＡＧ^2＋（５－ＯＧ）^2
　　＝ＡＧ^2＋２５－１０ＯＧ＋ＯＧ^2
から
１０ＯＧ＝ＯＧ^2＋ＡＧ^2－３９　　　　　　　　　（４）
です。

ここで（３）を（４）に代入して、
１０ＯＧ＝４９－３９
　　　　＝１０
ＯＧ＝１
です。

これを（３）に代入して、
ＡＧ^2＝４９－１^2
　　　＝４８
ＡＧ＝４√３
です。

次に図５の△ＡＥＧに着目すると、これも直角三角形なので、三平方の定理が適用できます。

▲図５．△ＡＥＧも直角三角形です

つまり、
ＡＥ^2＝ＡＧ^2＋ＥＧ^2
が成り立ちます。

これに、ＡＧ＝４√３、ＥＧ＝ＯＥ＋ＯＧ＝５＋１＝６を代入して、
ＡＥ^2＝４８＋３６
　　　＝８４
ＡＥ＝２√２１
です。

ここまでで、随分と求めたい線分ＣＥに近づいてきました。もう一息です。

さらに、３辺の決まっている三角形を探すと、△ＯＡＥがありました。

これまでと同様、図６のように、Ｏから辺ＡＥに垂線を下ろしその足をＨとします。

▲図６．△ＯＡＥに着目し、Ｏから辺ＡＥに下ろした垂線の足をＨとします

そこで、△ＯＡＨと△ＯＥＨに三平方の定理を適用して、
ＯＡ^2＝ＯＨ^2＋ＡＨ^2　　　　　　　　　　　　（５）
ＯＥ^2＝ＯＨ^2＋ＥＨ^2　　　　　　　　　　　　（６）
です。

ＯＡ＝７、ＯＥ＝５、ＥＨ＝ＡＥ－ＡＨ＝２√２１－ＡＨを（５）と（６）に代入して、
７^2＝４９
　　＝ＯＨ^2＋ＡＨ^2　　　　　　　　　　　　　（７）
５^2＝２５
　　＝ＯＨ^2＋（２√２１－ＡＨ）^2
　　＝ＯＨ^2＋８４－４√２１ＡＨ＋ＡＨ^2
から
４√２１ＡＨ＝５９＋ＯＨ^2＋ＡＨ^2　　　　　　（８）
です。

ここで、（８）に（７）を代入して、
４√２１ＡＨ＝５９＋４９
　　　　　 ＝１０８
ＡＨ＝２７/√２１
　　＝９√２１/７
です。

最後に、ＡＣ＝２ＡＨからＡＣ＝１８√２１/７で、
ＣＥ＝ＡＣ－ＡＥ
　　＝１８√２１/７－２√２１
　　＝４√２１/７
になり、これが答えです。


合同条件を満たしている三角形では、それに関するすべての情報を求めることができるということ（一般の角（９０°などでない角）については高校で勉強する三角関数が必要です）を頭に入れておくとよいでしょう。また、他の解き方としては、△ＡＢＣの外接円があるので、方べきの定理やトレミーの定理を利用することができそうです。興味のある人は調べてみてください。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

太平洋高気圧が元気よく梅雨前線を分断して真夏のような天気になりました。月曜日には再び前線が本州を横断するので、梅雨らしい天気に戻りますが、今年の梅雨は明けるのが早そうです。

さて、今回は２０１２年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「１桁の正の整数の組（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）のうち、ａ＋ｂｃｄ＝ａｂ＋ｃｄ　をみたすものは何組あるか。」
です。

前回取り上げた問題と同じように、与えられた式を因数分解しましょう。

すると、
ａ＋ｂｃｄ－ａｂ－ｃｄ＝ａ（１－ｂ）－ｃｄ（１－ｂ）
　　　　　　　　　　　＝（ａ－ｃｄ）（１－ｂ）
　　　　　　　　　　　＝０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
となります。

そこで、（１）を満たすａ、ｂ、ｃ、ｄを調べていきます。

まず、ｂ＝１のとき、ａ、ｃ、ｄは任意の数でＯＫです。

ところが、ａ、ｃ、ｄは１桁の正の整数なので、それぞれ９通りの数を取ることができます。

したがって、その組合せの個数は、９×９×９＝７２９通りです。

次に、ｂ≠１のとき、
ａ＝ｃｄ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
です。

ここで、ａについて場合分けして勘定していきます。なお、（２）を満たすｃ、ｄの組合せを（ｃ，ｄ）とします。

・ａ＝１の場合
（１，１）の１通りです。

・ａ＝２の場合
（１，２）、（２，１）の２通りです。

・ａ＝３の場合
（１，３）、（３，１）の２通りです。

・ａ＝４の場合
（１，４）、（２，２）、（４，１）の３通りです。

・ａ＝５の場合
（１，５）、（５，１）の２通りです。

・ａ＝６の場合
（１，６）、（２，３）、（３，２）、（６，１）の４通りです。

・ａ＝７の場合
（１，７）、（７，１）の２通りです。

・ａ＝８の場合
（１，８）、（２，４）、（４，２）、（８，１）の４通りです。

・ａ＝９の場合
（１，９）、（３，３）、（９，１）の３通りです。

以上から（２）を満たすａ、ｃ、ｄの組合せは、１＋２＋２＋３＋２＋４＋２＋４＋３＝２３通りです。

一方、ｂは２から９までの８通りの数を取ることができるので、（１）を満たすａ、ｂ（≠１）、ｃ、ｄの組合せは、２３×８＝１８４通りです。

したがって、（１）を満たすａ、ｂ、ｃ、ｄの組合せは、７２９＋１８４＝９１３通りで、これが答えです。


簡単な問題でした。

日本数学オリンピックの簡単な問題（１６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

天気予報が外れて、青空に小さい雲の塊がぽつぽつ見られるような夏空になりました。東久留米は、気温３０℃、湿度８２％と蒸し暑く、この週末も同じような天気が続くようです。水分補給を十分にして熱中症に気をつけましょう。

さて、今回は２００９年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「次の２つの式をみたす正の整数の組（ａ，ｂ，ｃ）をすべて求めよ。ただし、３つの数の並ぶ順番が異なる組は区別する。
　　ａｂ＋ｃ＝１３
　　ａ＋ｂｃ＝２３　　」
です。

早速、取り掛かりましょう。

整数問題を解くテクニックの一つに、未知数を含む式を因数分解して、それらの因数が整数の約数であることを利用する方法がありますが、ここでは、これが使えそうです。

まず、
ａｂ＋ｃ＝１３　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
ａ＋ｂｃ＝２３　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
とします。

（１）の左辺も（２）の左辺も因数分解できないので、（１）と（２）の辺々の和と差を作ってみましょう。

和は、
ａｂ＋ｃ＋ａ＋ｂｃ＝３６
で、左辺を整理すると、
ａ（ｂ＋１）＋ｃ（ｂ＋１）＝（ａ＋ｃ）（ｂ＋１）
と上手く因数分解できました。

したがって、
（ａ＋ｃ）（ｂ＋１）＝３６　　　　　　　　　　　　（３）
です。

差は、
ａ＋ｂｃ－ａｂ－ｃ＝１０
で、左辺を整理すると、
ａ（１－ｂ）－ｃ（１－ｂ）＝（ａ－ｃ）（１－ｂ）
と、これも上手く因数分解できました。

したがって、
（ａ－ｃ）（１－ｂ）＝１０　　　　　　　　　　　　（４）
です。

ここまでくればあとは簡単で、（３）と（４）の右辺の３６と１０の約数を調べればお仕舞いです。３６と１０では後者のほうが約数が少ないので、ここでは（４）から手をつけましょう。

１０の約数は、±１、±２、±５、±１０なので、（４）から
ａ－ｃ＝±１，　１－ｂ＝±１０
ａ－ｃ＝±２，　１－ｂ＝±５
ａ－ｃ＝±５，　１－ｂ＝±２
ａ－ｃ＝±１０，１－ｂ＝±１
（複号同順）
です。

ここで、ｂは正の整数なので、
ａ－ｃ＝－１，　ｂ＝１１　　　　　　　　　　　　　（５）
ａ－ｃ＝－２，　ｂ＝６　　　　　　　　　
ａ－ｃ＝－５，　ｂ＝３　　　　　　　　　　　　　　（６）
ａ－ｃ＝－１０，ｂ＝２　　　　　　　　　　　　　　（７）
です。

そこで、これらのｂの値を（３）に代入して、
（ａ＋ｃ）（１１＋１）＝３６⇒ａ＋ｃ＝３　　　　　（８）
（ａ＋ｃ）（６＋１）＝３６　⇒ａ＋ｃ＝３６/７　　 （９）
（ａ＋ｃ）（３＋１）＝３６　⇒ａ＋ｃ＝９　　　　　（１０）
（ａ＋ｃ）（２＋１）＝３６　⇒ａ＋ｃ＝１２　　　　（１１）
です。ここで、ａとｃは正の整数なので、（９）は不適です。

そこで、（５）と（８）、（６）と（１０）、（７）と（１１）を組み合わせてａ、ｃを計算すると、
（５）と（８）から、　ａ＝１、ｃ＝２
（６）と（１０）から、ａ＝２、ｃ＝７
（７）と（１１）から、ａ＝１、ｃ＝１１
で、ａ、ｂ、ｃの組合せ（ａ，ｂ，ｃ）は、（１，１１，２）、（２，３，７）、（１，２，１１）で、これが答えです。


他にもいろいろな解き方がありそうです。興味のある人は調べてみてください。

日本数学オリンピックの簡単な問題（１５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今は曇りですが、西から低気圧が近づいてきて夕方から雨になるようです。明日は曇りときどき雨のぱっとしない天気ですが、明後日は晴れて真夏日になるようです。

さて、今回は２００９年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「半径２の円Ｏ1と半径４の円Ｏ2が点Ｐで外接している。Ｏ1、Ｏ2の周上にＰと異なる点Ａ、Ｂをそれぞれとったところ、Ａ、Ｐ、Ｂが一直線上に並んでいた。線分ＡＢの長さが４であるとき、線分ＰＢの長さを求めよ。」
です。

▲問題図

問題図を眺めると、線分ＡＢの長さ４と円Ｏ2の半径４が大分違っているようですが、そこは気にしないことにしましょう。

まず、与えられた条件を書き入れましょう。とは言っても、円Ｏ1、Ｏ2　の半径を書き入れるところがないので、図１のように、円Ｏ1とＯ2の中心をそれぞれＣ1およびＣ2とし、ＰとＣ1、Ｃ2を結んでそれぞれの半径を作りましょう。

▲図１．円Ｏ1、Ｏ2の中心をＣ1、Ｃ2とし、ＰとＣ1、Ｃ2を結びました

このときＰを通る円Ｏ1、Ｏ2の接線をｔとすると、∠Ｃ1Ｐｔ＝９０°、∠Ｃ2Ｐｔ＝９０°なので、∠Ｃ1ＰＣ2＝１８０°になり、Ｃ1、Ｐ、Ｃ2は一直線上にあることが判ります。

それでは図２のように、与えられた条件を書き入れましょう。

▲図２．与えられた条件を書き入れました

あとは簡単で、図３のように、ＡとＣ1、ＢとＣ2を結んで△Ｃ1ＡＰ、△Ｃ2ＢＰを作ります。

▲図３．△Ｃ1ＡＰと△Ｃ2ＢＰを作りました

すると、これらの三角形は二等辺三角形で（どちらも２辺が半径です）、
∠Ｃ1ＡＰ＝∠Ｃ1ＰＡ
∠Ｃ2ＢＰ＝∠Ｃ2ＰＢ
です。

さらに、対頂角は等しいので、
∠Ｃ1ＰＡ＝∠Ｃ2ＰＢ
です。

したがって、
∠Ｃ1ＡＰ＝∠Ｃ1ＰＡ＝∠Ｃ2ＰＢ＝∠Ｃ2ＢＰ
で、
△Ｃ1ＡＰ∞△Ｃ2ＢＰ
です。

すると、
Ｃ1Ｐ：Ｃ2Ｐ＝ＡＰ：ＢＰ
　　　　　　＝（ＡＢ－ＢＰ）：ＢＰ
が成り立ち、ここに、Ｃ1Ｐ＝２、Ｃ2Ｐ＝４、ＡＢ＝４を代入して、
２：４＝１：２＝（４－ＢＰ）：ＢＰ
ＢＰ＝２×（４－ＢＰ）
ＢＰ＝８/３
で、これが答えです。


円の中心と周上の異なる２点（それらが直径にならないもの）を結ぶと二等辺三角形ができるので、それらを結ぶ補助線は役に立つことが多いです。