東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

中学入試問題R3(3)[灘中]

2021-01-23 09:13:14 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和3年度灘中の問題です。

問題は、
「2以上の整数Aに対して、Aの約数をすべてかけあわせてできる数を[A]と書きます。例えば、
   [6]=1×2×3×6=36
です。

B=6のとき

です。

また、

となる2以上の整数Cは(②  )です。」
です。


から、48 が①の答えです。

続いて②です。

Cのすべての約数は、2Cの約数に含まれます。

そこでDを、
・2Cを除く2Cの約数
かつ
・Cの約数でない
数の積(2つの条件を満たす数がない場合はD=1)とすると、

になり、これから2Cは192の約数であることが判ります。

一方 192の約数は、1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192で、さらに与えられた条件(Cは2以上→2C≧4)から、2Cの候補は、
4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192
です。

ここから、上記の候補を調べていきます。

2Cが3の倍数でない場合、その約数のなかに3の倍数は存在しないので、Dは3の倍数ではありません。

ところが、D×(2C)=192(=3×64)は3の倍数なので、2Cは3の倍数 になり、したがって、残った候補は、
、6、、12、16、24、32、48、64、96、192
です。

さらに、残った候補を調べていきます。

● 2C=192 → C=96 の場合
64は、192の約数で、96の約数でないので、

になり、これは条件を満たしません。

● 2C=96 → C=48 の場合
32は、96の約数で、48の約数でないので、

になり、これは条件を満たしません。

● 2C=48 → C=24 の場合
16は、48の約数で、24の約数でないので、

になり、これは条件を満たしません。

● 2C=24 → C=12 の場合

になり、これは条件を満たします。

● 2C=12 → C=6 の場合

になり、これは条件を満たしません。

● 2C=6 → C=3 の場合

になり、これは条件を満たしません。

以上から、C=12 で、これが②の答えです。


簡単な問題です。

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same のはなし

2021-01-22 10:25:21 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2の教科書に、
It’s the same shirt in your size.
(あなたのサイズの同じシャツです)
という文があります。

この same現代英語語法辞典 で調べてみると、その 類義語 identical、equal、equivalent、similar との違いについて、
same
 最も一般的な語で、
(a) 同一のものについて全く同じで2つと違ったものがないこととをいう。この場合、唯一的に指定するので通例 the を伴う。また the 以外に this、that、these、those などを伴うことがある

 I get the same feeling of anger every time I see news of the war.
(戦争のニュースを見るたびにいつも同じ怒りの感情を覚える)

(b) 2つ以上のものについて、実際は異なっているが、種類・外観・量・質などの点で区別できないほど類似していることをいう。構文的に、 the same(...)as として用いることも多い

 Someone at the party was wearing the same dress as me.
(パーティーで私と同じドレスを着ている人がいた)

identical
(c) same(a)と同じで、この意味では same と交換可能

 That is the identical [same] man I saw yesterday.
(あれはきのう見たのと同じ人だ)

(d) 2つ以上の異なるものについて性質・外観・形などにおいて細部まで完全に一致していることをいう

 No two people have identical fingerprints.
(同じ指紋の人は2人といない)

equal
 2つ以上のものについて、数量・大きさ・価値・程度などの点で等しいことをいう

 They are of equal height.
(彼らは同じ身長だ)

equivalent
 量・価値・力・意味・重要性などが同じことをいうが、必ずしも完全に同じというわけではない

 Is the British House of Commons roughly equivalent to the American House of Representatives?
(イギリスの下院はアメリカの下院にほぼ相当すると考えていいのですか)

similar
 だいたい似かよっていることをいい、全く同じであることは意味しない

 Japanese and Americans are also generally fond of very similar forms of entertainment, especially movies and television.
(また日本人とアメリカ人は、一般に全く同じような形の娯楽、特に映画とテレビを好む)
と説明しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学入試問題R3(2)[灘中]

2021-01-21 09:40:49 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和3年度灘中の問題です。

問題は、
「直角三角形を図のように三角形ABCと三角形DEFに切り分けます。


これらの2つの三角形を図のように重ねたとき、斜線部分の面積は[   ]cm2 です。」
です。

図1のようにABとEFの交点をPとすると、△BFPは切り分ける前の直角三角形と相似(直角三角形でその一つの鋭角が共通)なので、
BF:FP=8:4=2:1
が成り立ち、このとき、
BF=BC-CF=5-4=1(cm)
から、

で、したがって、

です。


続いて図2のように、Cを通りBCに垂直な直線とABとの交点をQとすると、△BCQと△BFPは相似(直角三角形でその一つの鋭角が共通)なので、

が成り立ち、これから、

です。


次に、ABとCEの交点をRとして△CQRと△EPRを調べます。

∠BCQ=∠BFE=90°からCP//FEで、このとき平行線の錯角は等しいので、∠QCR=∠PER、∠CQR=∠EPRです。さらに、

から△CQRと△EPRは合同になり、したがって、
CR=ER
です。

一方図3のように、RからBCに下した垂線の足をHとすると、
FC:FH=EC:ER=2:1
が成り立ち、このとき、EC=4(cm)から
FH=2(cm)
です。


▲図3.FH=2(cm)です

ここで、△BFPと△BHRは相似(直角三角形でその一つの鋭角が共通)なので
BH:HR=BF:FP=2:1
が成り立ち、このとき、
BH=BF+FH=1+2=3(cm)
から

です。

あとは△BCRと△BFPの面積を計算し、それらの差を求めればお仕舞です。


で、これが答えです。


簡単な問題です。

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electricity のはなし

2021-01-20 09:25:31 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の教科書に、
His village had no electricity
(彼の村には電気がなかった)
という文があります。

この electricity形容詞 には、 electricelectrical があって、それらの違いについて、 コウビルト英語語法辞典 に、
electric
 You use electric in front of nouns to talk about particular machines or devices that use electricity
(electricは名詞の前に置かれ、電力を消費する機会やデバイスについて話すのに使われる)

 The boat runs on an electric motor.
(そのボートは電動モーターで進む)

 My dentist recommends I get an electric toothbrush.
(歯科の先生は電動歯ブラシを購入することを勧める)

electrical
 You use electrical when you are talking in a more general way about machines, devices, or systems that use or produce electricity. Electrical is typically used in front of nouns such as equipment, appliance, and component.
(electricalは電力を消費したり発電したりする機械、デバイス、システムについてより一般的に話すときに使われる。通常、equipment(設備)、appliance(器具)、component(部品)などの名詞の前で使われる)

 They sell electrical appliances such as dishwashers and washing machines
(彼らは皿洗い器や洗濯機などの電気製品を売っている)

 We are waiting for a shipment of electrical equipment.
(私たちは電気設備の出荷を待っています)

 You also use electrical to talk about people or organizations connected with the production of electricity or electrical goods.
(また、electricalは発電や電気製品に関係する人や組織について話のにも使われる)

 Jan is an electrical engineer.
(ジャンは電気技師です)

 They work in the electrical engineering industry.
(彼らは電気工学産業に従事している)


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学入試問題R3(1)[灘中]

2021-01-19 09:49:45 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和3年度灘中の問題です。

問題は、
「3つの容器A、B、Cにあわせて600mLの水が入っています。容器Bの水の体積は容器Aの水の体積の1.5倍です。容器Aから容器Bに水を40mL移すと、容器Bの水の体積は容器Cの水の体積の1.4倍になりました。水を移したあとの容器Bの水の体積は[   ]mLです。」

図1に問題の図を描きました。


▲図1.問題の図を描きました

図2のように、図1の容器Aに

の水を加えると、図2の容器Bの水の体積は容器Aの水の体積の1.5倍になります。


▲図2.容器Bの水の体積は容器Aの水の体積の1.5倍です

ここで容器Bの水の体積をV(mL)とすると、容器Aと容器Cの水の体積は、それぞれ、



になることから、

が成り立ちます。

これを整理してVを求めると、

です。

したがって、水を移したあとの容器Bの水の体積は 280mL で、これが答えです。


簡単な問題です。

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owl のはなし

2021-01-18 09:50:52 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1の教科書に、
It’s an owl
(それはフクロウです)
という文があります。

この owlオックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、
a bird of prey(= a bird that kills other creatures for food) with large round eyes, that hunts at night
(大きな丸い目をした猛禽(他の動物を捕食する鳥)で、夜に餌を探す)
と説明しています。

さらに、
Owls are traditionally thought to be wise
(慣習的に賢いと思われている)
という補足があり、これから、形容詞 owlish は、
looking like an owl, especially because you are wearing round glasses, and therefore seeming serious and intelligent
(特に丸い眼鏡をかけていてフクロウに似ている、さらに転じて、まじめで頭がよさそうに知的に見える)
という意味になります。

また ロングマン英英辞典birds of prey (猛禽類)として、
・ eagle  : ワシ
・ falcon : ハヤブサ
owl    : フクロウ
・ vulture: ハゲワシ
の写真が掲載されています。


▲猛禽類

頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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数式の問題(34)

2021-01-17 09:46:34 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、1990年AIMEの計算問題です。

問題は、
「実数a、b、x、y が、次の方程式
 
を満たすとき、

の値を求めよ。」
です。


の積をつくると、

になり、

を x+y と xy で表すことができます。

同様に、

の積をつくると、それぞれ、



になり、これらの式から x+y と xy を求めて(1)に代入すればお仕舞です。

そこで、(2)×7-(3)×3から
  -49(x+y)+48(x+y)=-16×7+42×3
→ x+y=-14
になり、これを(2)に代入して、
  3xy-7×(-14)=-16
→ xy=-38
です。

したがって、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

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relaxed のはなし

2021-01-16 09:29:12 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2教科書の「好きな国についてエッセイを書こう」というコーナーに、
feel relaxed
(気分がおちつく)
という言葉があります。

この relaxedロングマン英英辞典 で調べてみると、その 類義語 calm、chilled-out、laid-back、mellow、cool、keep your head との違いについて、
relaxed
 not worried about anything, especially so that people feel comfortable
(何事に対しても心配がなく、その結果、特に心地よさを感じるような状態)

● calm
 not getting angry, nervous, or upset, even in a difficult situation
(困難な状況の中でさえ、怒ったり、緊張したり、気持ちが動転したりしないこと)

● chilled-out (chilled)
(informal)very relaxed and not worried-used especially by young people
(くだけた言葉/とてもリラックスしいて悩みのない状態で、特に若い人が使う)

● laid-back
(informal)someone who is laid-back is always relaxed and never seems to get worried or annoyed about anything
(くだけた言葉/いつもリラックスして、何事に対しても心配やいらいらするように思えない状態)

● mellow
(informal)relaxed, friendly, and happy, especially after drinking alcohol
(くだけた言葉/特に飲酒後に、リラックスし友好的で幸福な状態)

● cool
(informal)staying calm and not showing your emotions, especially when other people are getting excited or angry
(くだけた言葉/特に他人が興奮したり怒っているとき落ち着いていて自分の感情を見せないこと)

● keep your head
 to manage to stay calm and behave in a sensible way in a difficult or frightening situation
(困難または恐ろしい状況の中で、何とか冷静さを保ち良識ある態度で振る舞おうとすること)
と説明しています。

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数列の問題(4)

2021-01-15 09:32:10 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2016年AIMEの数列の問題(改題)です。

問題は、
「正の整数a1、a2、a3、・・・、a13 は狭義単調増加数列(an+1>an)で、1≦k≦6の正整数kに対して、部分列 a2k-1、a2k、a2k+1 は等比数列になり、1≦k≦5の正整数kに対して、部分列 a2k、a2k+1、a2k+2 は等差数列になる。
ここで a13=2016 のとき、a1 を求めよ。」
です。

1=a、部分列 {a1,a2,a3}、{a3,a4,a5}、{a5,a6,a7}、{a7,a8,a9}、{a9,a10,a11}、{a11,a12,a13}の公比をそれぞれ r1、r2、r3、r4、r5、r6 (これらの公比は1より大きい実数です)とすると、an (1≦n≦13)は下表のようになります。


▲表.an を aと公比 ri (1≦i≦6)で表しました

ここで、a13=2016 から

が成り立ち、このとき a と2016が整数であることから、

は整数(かつ平方数)で、(1)を満たすものは、4、9、16、36、144、つまり、
123456=2,3,4,6,12
のいずれかになります。

一方、部分列{a2,a3,a4}、{a4,a5,a6}、{a6,a7,a8}、{a8,a9,a10}、{a10,a11,a12}は等差数列なので、

が成り立ち、これから、

です。

すると(2)から、

になります。

あとは、r123456=2(a=504),3(a=224),4(a=126),6(a=56),12(a=14)の場合を調べていきます。

① r123456=2の場合

で、これらから数列の各項を計算すると、
{504,588,686,784,896,1008,1134,1260,1400,1540,1694,1848,2016}
になり、これは条件を満たします。

② r123456=3の場合

で、これらから数列の各項を計算すると、
{224,298.6・・・,・・・}
になり、これは条件を満たしません。

③ r123456=4の場合

で、これらから数列の各項を計算すると、
{126,189,283.5,・・・}
になり、これは条件を満たしません。

④ r123456=6の場合

で、これらから数列の各項を計算すると、
{56,102.6・・・,・・・}
になり、これは条件を満たしません。

⑤ r123456=12の場合

で、これらから数列の各項を計算すると、
{14,39.6・・・,・・・}
になり、これは条件を満たしません。

以上から条件を満たすのは①の場合になり、したがって a1504 で、これが答えです。


原題は無限数列ですが、13項の数列に変更しました。

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sprain のはなし

2021-01-14 09:57:49 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の教科書に、
I sprained my ankle.
(足首を捻挫しました)
という文があります。


この「足首を捻挫する」を 英辞郎 で調べてみると、sprain one’s ankle のほかに、
strain one’s ankle
twist one’s ankle
wrench one’s ankle
wrick one’s ankle
turn one’s ankle
tweak one’s ankle
などといった様々な言い方が挙げてあります。

このなかの sprainstrain との違いについて、 現代英語語法辞典 に、
● 身体の損傷について述べるときは、両語には実際上の違いはほとんどないと言える。その違いをしいて言えば、
sprain
 足首や肩などの靱帯を急に激しくねじったり、裂いたりすることから生じる

・ strain
 身体を伸ばしすぎたり、使いすぎたりすることが原因で起こり、普通伸ばしすぎるが裂けない状態の筋肉や靱帯に用いる

sprain は、普通 strain より損傷が大きい

 I fell down the steps and sprained my ankle.
 (階段から転げ落ちて足首をねじった)

 You’ll strain your eyes trying to read in this light.
 (このような(暗い)照明で本を読むなら、目を傷めるだろう)
と解説しています。

また、 ロングマン英英辞典 には、
sprain,twist
 to hurt your knee, wrist, shoulder etc by suddenly twisting it while you are moving
(体を動かしている最中に、突然、膝、手首や肩などを捩じって傷めること)

strain, pull
 to hurt one of your muscles by stretching it or using it too much
(筋肉を伸ばしすぎたり使いすぎたりして傷めること)
と説明しています。


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整数問題(68)

2021-01-13 09:29:10 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2002年AIMEの整数問題です。

問題は、
「kが正の整数であるnの方程式
 
で、これが整数解をもたない場合のkの最小値を求めよ。ただし、[x] は、xより小さい、または、等しい最大の整数とする。」
です。

与えられた方程式を

と変形します。

ここで(★)を満たす整数nが存在しないためには、少なくとも、

が成り立つことが必要で、これを整理して、

とします。

このとき、

から

です。

あとは、k=44から順に(★)を満たす整数nが存在するか否かを調べていくと、

になり、k=49 のとき、nの整数解が存在しないことが判ります。

したがって、条件を満たす正の整数kの最小値は 49 で、これが答えです。


簡単な問題です。

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cook のはなし

2021-01-12 09:32:18 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1の教科書に、
I sometimes cook it for my family.
(ときどき、家族のためにそれを料理します)
という文があります。

この cook動詞 で「料理する」を表しますが、他に 名詞 の「コック、調理人、料理をつくる人」という意味もあり、これを オックスフォード現代英英辞典 で調べてみると、
● a person who cooks food or whose job is cooking
 (料理をつくる人または料理つくることを仕事にする人)
とあり、日本語での「コックさん」とは限らないことが判ります。


これに対して、 chef は、
● a professinal cook, especially the most senior cook in a restaurant, hotel, etc.
 (プロの料理人で、特にレストランやホテルなどでの最上位のコック)
とあり、かなり腕のいいコックさんを指すようです。

ちなみに、 cooker は、
● a large piece of equipment for cooking food, containing an oven and gas or electric rings on top
 (オーブンや最上部にガスまたは電気コンロがある料理用の大型設備)
とあり、料理をつくるための道具を表します。


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組合せの問題(28)

2021-01-11 09:09:15 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2013年AIMEの組合せの問題です。

問題は、
「赤、青、緑のいずれかで塗られたm×1(mは正の整数)のタイルをそれらが重なることがなく、かつ隙間がないように7×1の板に敷き詰める。ここで、いずれの色のタイルも少なくとも1枚使われるような敷き詰め方をNとするとき、Nを1000で割った余りを求めよ。
例えば、1×1の赤タイルに続けて、2×1の緑タイル、1×1の緑タイル、2×1の青タイル、1×1の緑タイルという敷き詰め方は条件を満たし、さらにこのなかの2×1の青タイルを1×1の青タイル2枚に置きかえた場合も異なる敷き詰め方になる。」
です。

赤、青、緑のいずれのタイルも少なくとも1枚以上使わなくてはならないので、7×1の板は3個以上7個以下の領域に分割されます。

そこで、初めに7×1の板をn個(3≦n≦7)の領域に分割する場合の数を勘定しましょう。

例えば、3個の領域に分割する場合の数は、□□□□□□□の6つの隙間に2つの仕切りを入れる場合の数になるので、それは、

です。

同様に、

です。

続いて、n個に分割された領域に赤、青、緑タイルを置く場合の数を勘定します。

n個の領域それぞれに赤、青、緑タイルを置く場合の数は、

で、このうちn個の領域がすべて同じ色の場合が3通りあるので、n個の領域に3色または2色のタイルを置く場合の数は、

になります。

次に、n個の領域それぞれに2色または1色のタイルを置く場合の数は、

で、このうちn個の領域がすべて同じ色の場合が2通りあるので、n個の領域に2色のタイルを置く場合の数は、

になります。

このとき、2色の選び方は、

なので、赤、青、緑タイルから2色のタイルを選んでn個の領域に置く場合の数は、
  
になり、これと(★)から、赤、青、緑タイルのいずれも少なくとも1枚以上使ってn個の領域に置く場合の数は、

です。

あとは、
・7×1の板をn個に分割する場合の数

・n個に分割された領域に赤、青、緑タイルを置く場合の数
を掛け合わせてn=3,4,・・・,7のそれぞれの場合の数を計算し、それらの和を求めればお仕舞です。

・ n=3の場合


・ n=4の場合


・ n=5の場合


・ n=6の場合


・ n=7の場合

から、
N=90+720+2250+3240+1806=8106
です。

したがって、Nを1000で割った余りは 106 で、これが答えです。


簡単な問題です。

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clean のはなし

2021-01-10 09:23:25 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2の教科書に、
Shall we clean the room?
(部屋の掃除をしましょうか)
という文があります。

この clean現代英語語法辞典 で調べてみると、 cleanse との違いについて、
clean
 洗ったり、掃いたり、ブラシをかけたりして「きれいにする」の意味をもつ一般的な語

cleanse
 ・道徳的、宗教的な意味で「(洗い)清める」の意

 She felt cleansed of her sins after confession.
(彼女は告白して罪が洗い清められたような気がした)

 ・「(薬剤・消毒などで)徹底的にきれいにする」の意

 This wonderful new soap will cleanse your skin without making it feel dry.
(この素晴らしい新石鹸はかさかさした感じを与えることなしに肌をきれいにしてくれます)
と説明しています。


また、イギリス英語clean が使われるところに アメリカ英語 では cleanse が用いられる場合があって、その例として、
a street-cleansing department
(街清掃局)
carpet cleansing
(カーペットのクリーニング)
を挙げています。

ちなみに、 cleanse の発音は、[klenz] です。


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図形問題(64)

2021-01-09 08:45:52 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2014年AIMEの図形問題です。

問題は、
「AB=10、∠A=30°、∠C=45° である△ABCで、直線BC上に、AH⊥BC、∠BAD=∠CAD、BM=CM となるH、D、Mをとる。さらに、線分HMの中点をNとし、Nを通りBCに垂直な直線とADとの交点をPとする。
ここで、互いに素な正の整数mとnで、

と表せるとき、m+nの値を求めよ。」
です。

図1に問題の図を描きました。


▲図1.問題の図を描きました

△HACが直角二等辺三角形になることから、図2のように、AH=CH=h、BH=bとすれば、BC上にある点間の長さをhとbで表すことができるので、これは期待できそうです。


▲図2.AH=CH=h、BH=bとしました

初めに、hとbの値を求めておきましょう。

△ABHは、∠CAH=45°、∠BAC=30°から∠BAH=15°なので、内角が15°、75°、90°の直角三角形です。

したがって、

が成り立ち、これから、

です。

次にCMとNHの長さをhとbで表します。

図3のように、

になり、これから、

です。


▲図3.CM、NHをhとbで表しました

ここで、Pを通りAHに下した垂線の足をQとすると、四角形HNPQは長方形なので、

です。

このとき△APQはその内角が30°、60°、90°の直角三角形なので、
AP:PQ=2:1
から

になり、これに(★)を代入すると、

です。

したがって、m=75、n=2からm+n= 77 で、これが答えです。


簡単な問題です。

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