東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

数式の問題(21)

2020-09-25 09:22:28 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年AIMEの数式の問題です。

問題は、
「a0=2、a1=5,a2=8 で、2より大きいnについて、an は 4(an-1+an-2+an-3)を11で割ったときの余りとする。
このとき、a2018・a2020・a2022 の値を求めよ。」
です。

11で割ったときの余りは、0から10までの整数なので、an には周期性がありそうです。

そこで、その周期を見つけるためにいくつか試行してみると、

になり、10項周期であることが判りました。

ここで、
2018÷10=201・・・8
2020÷10=202・・・0
2022÷10=202・・・2
から、
2018=a8=7
2020=a0=2
2022=a2=8
になるので、
2018・a2020・a2022=7・2・8= 112
で、これが答えです。


簡単な問題です。

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hug のはなし

2020-09-24 10:18:20 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の教科書に、
Sawyer’s mother hugged him.
(ソーヤーのお母さんは彼を抱きしめた)
という文があります。

この hugロングマン英英辞典 で引いてみると、この 文法解説 があって、そこに、
Hug is a recipocal verb. This type of verb is used when saying that two or more people or things do something that involves both or all of them. It does not need to have an object:

She and her friend hugged

In this sentence, hug is intrasitive and does not have an object.

You can also say:

She hugged her friend.
She and her friend hugged each other.

In these sentences, hug is transitive.

(hugは 相互動詞 で、この種類の動詞は、2人以上または2つ以上が彼らまたはそれらすべてを巻き込む何かを行うことをいうときに使われ、それは目的語を必要としない。彼女と彼女の友達は抱き合った。この文では、hugは自動詞で、目的語を持たない。また次のように言うこともできる。彼女は友達を抱きしめた。彼女と友達はお互いに抱き合った。これらの文では、hugは他動詞である)
とあります。

ただし、この recipocal verb は、手元にある英文法・語法書には取り上げられていないようで、唯一、 コウビルト英語語法辞典 に、
a verb that describes an action involving two people doing the same thing to each other.
(2人がお互いに同じことを行うことを伴う行動を表す動詞)
とあり、例文として、
They met in the street.
(彼らは街頭で会った)
を挙げています。


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整数問題(55)

2020-09-23 09:19:29 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2019年AIMEの整数問題です。

問題は、

  
のとき、Nのすべての桁の数の和を求めよ。」
です。


と変形します。

このとき、右辺の整数は下5桁目から下322桁目まで「1」が322-4=318(個)並んでいるので、Nのすべての桁の和は、
1×318+7+8+9= 342
で、これが答えです。


簡単な問題です。

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Right? のはなし

2020-09-22 08:56:28 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1の教科書に、
You are Ken.Right?
(あなたは健だよね)
という文があります。

この Right?オックスフォード実例英語用法辞典 で調べてみると、「より単純な付加疑問文」の項に、
形式張らない話し言葉 では、 No? (肯定文の後で用いられる)と Right? が情報を確かめたりあるいは同意を求めたりするのに用いられることが極めて多い
とあって、例文として、
We’re seeing her tomorrow, no?
(明日彼女に会うんだよね)

They all speak English, right?
(あの人たちみんな英語をはなすんでしょ)

You haven’t got a ticket, right?
(切符持ってないよね)
を挙げています。

さらに 、 right は、
This is your last chance, right?
(これがおまえの最後のチャンスだぞ、いいな)

I’m not working extra hours, right?
(わたし残業しませんから、お分かり?)
のように、「分かっているか?」の意味で かなり攻撃的に用いる ことができる
とあります。


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確率の問題(10)

2020-09-21 10:06:20 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年AIMEの確率の問題です。

問題は、
「集合U={1,2,3,・・・.18} のすべての部分集合Tについて、s(T)をTの元の和とする。このとき、s(ф)=0とする。
ここで、Uの部分集合のなかから無作為に選んだTについて、s(T)が3で割り切れる確率が既約分数

で表わすとき、mの値を求めよ。」
です。

集合Uを
集合A={1,4,7,10,13,16}
集合B={2,5,8,11,14,17}
集合C={3,6,9,12,15,18}
の3つの集合に分けて調べましょう。

ここで、集合Tの元が、
・ 集合Aと集合Bの元の個数を3で割った余りが等しい
・ 集合Cの元の個数が0、1、2、3、4、5、6個
を満たすとき、s(T)は3で割り切ります。

そこで、上の2つの条件を満たす集合A、B、Cのそれぞれの元の個数をまとめると表1のようになります。


▲表1.s(T)が3で割り切れる場合の集合A、B、Cの元の個数です

ここで、6個の元のなかからの0、1、2、3、4、5、6個の元の選び方が、それぞれ、

であることと、6個の元のなかからの0~6個のいずれかの個数の元の選び方が、

であることを使って、表1の各項の元の個数をそれぞれの集合A、B、Cからの選び方に直すと、表2のようになります。


▲表2.各項の元の個数を集合A、B、Cからの選び方に直しました

すると、s(T)が3で割り切れる部分集合Tの選び方は、

になります。

一方、元の個数が18個の集合Uの部分集合は、

なので、s(T)が3で割り切れる確率は、

になり、したがって、m= 683 で、これが答えです。


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material のはなし

2020-09-20 09:10:56 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2の教科書に、
For some kinds, you need special materials
(ある種類の寿司には、特殊な材料が必要です)
という文があります。

この material食材 を表していますが、例えば、 BBC FOOD で紹介している レシピ の写真の右上にあるように、普通は ingredients を用いるようです。


ここでちょっと話が逸れますが、上の料理の 照り焼きサーモンteriyaki は、
・ オックスフォード現代英英辞典
・ コリンズ英英大辞典
・ WEBSTER’S NEW WORLD COLLEGE DICTIONARY
・ The AMERICAN HERITAGE dictionary of the English Language

見出し語 として掲載されています。

話を戻すと、この ingredient(s) 以外で 食材 を意味する言葉には、
・ foodstuff(s)
・ food material(s)

がありますが、これらの 使用頻度Google Ngram Viewer で調べてみると、(2019年、アメリカ英語)
ingredients : foodstuffs : food materials = 194 : 14 : 1
と圧倒的に ingredients が優勢です。


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図形問題(51)

2020-09-19 09:36:26 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2016年AIMEの図形問題です。

問題は、
「△ABCの内心をI、∠ACBの二等分線と辺ABとの交点をLとし、直線CLと△ABCの外接円の交点でCでないほうをDとする。
ここで、mとnを互いに素な整数として、

になるとき、m+nの値を求めよ。」
です。

図1に問題の図を描きました。


▲図1.問題の図を描きました

まず図2のように、BとDを直線で結びます。


▲図2.DB=5です

ここで△DBIに注目すると、円周角の定理と三角形の2つの内角と外角の関係を利用して、
∠DBI=∠DBA+∠ABI=∠DCA+∠ABI=
∠DIB=∠IBC+∠ICB=
になることから、∠DBI=∠DIB、つまり、△DBIは二等辺三角形で、したがって、
DB=DI=DA+LI=3+2=5
です。

一方、図3のように、△ACL∽△DBL(円周角の定理から∠CAL=∠BDL、∠ACL=∠BDL)で、このとき、DB:DL=5:3からAC:AL=5:3です。


▲図3.△ACL∽△DBL、AC:AL=5:3です

あとは、角の二等分線定理を利用して、

になり、したがって、m=10、n=3から、m+n= 13 で、これが答えです。


簡単な問題です。

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statue のはなし

2020-09-18 09:27:26 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の教科書に、
They built a statue of her.
(彼らは彼女の像を建てました)
という文があります。

この像は、広島平和記念公園 にある「原爆の子の像」で、佐々木禎子さん をモデルとして建立されたものです。


▲「原爆の子の像」

さて、この statueオックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、
a figure of a person or an animal in stone, metal, etc., usually the same size as in real life or larger
(石や金属などでできた人や動物の像で、普通、実物大またはそれよりも大きい)
と説明しています。

また ウィズダム英和辞典 によると、「~の像を建てる」は、
build a statue of~
のほかに、
put up a statue of~
erect a statue of~
とも表現するようです。

ちなみに、 statue を含む語に、
statuesque
 《かたい語》〈主に女性が〉(彫像のように)背が高く美しい
statuette
 小さな彫像
があります。


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数列の問題(1)

2020-09-17 09:35:15 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2016年AIMEの数列の問題です。

問題は、
「数列 1,a2,a3,...は単調に増加する等差数列で、そのすべての項は整数であり、また、数列 1,b2,b3,...は単調に増加する等比数列で、そのすべての項は整数である。
ここで、cn=an+bn とすると、ck-1=100、ck+1=1000 になる。このとき、ck の値を求めよ。」
です。

数列1,a2,a3,...の一般項は、初項a1=1、公差d(1以上の整数)とすると、
n=1+(n-1)d
で、一方、数列1,b2,b3,...の一般項は、初項b1=1、公比r(2以上の整数)とすると、

です。

これらから、

で、したがって、

になります。

ここから、rとkの取りうる範囲を調べていきます。

1=a1+b1=2≠100 から、k-1≧2 → k≧3です。

ここで、r≧10とすると、

になり、これは(2)に反します。

したがって、2≦r≦9 で、これをさらに細かく調べていくと、
① 6≦r≦9の場合


② 4≦r≦5の場合


③ r=3 の場合


④ r=2の場合

になり、これらをまとめ直すと、
㋐ k=3の場合、2≦r≦9
㋑ k=4の場合、2≦r≦5
㋒ k=5の場合、2≦r≦3
㋓ k=6の場合、2≦r≦3
㋔ k=7の場合、r=2
㋕ k=8の場合、r=2
㋖ k=9の場合、r=2

になります。

ここから、(1)と(2)を使って、㋐から㋖の場合を調べていきます。
㋐ k=3、2≦r≦9の場合
(1)(2)にk=3を代入すると、

で、さらに、(4)-(3)×3から

です。

すると,r=2,3,6,9で、これらの値を

に代入すると、それぞれ、

になります。

一方、(5)からr=2,3,6,9に対して、順に、

になり、

の値が一致するのは、r=9の場合です。

したがって、㋐の場合、r=9が条件を満たし、このとき(3)から、d=90で、これらから、

です。

㋑ k=4,2≦r≦5の場合
(1)(2)にk=4を代入すると、

で、さらに(7)-(6)×2から

です。

すると、r=3で、これを

に代入すると、

になります。

一方、(8)からr=3に対して、

になり、

の値は一致せず、条件を満たすrはありません。

㋒ k=5,2≦r≦3の場合
(1)(2)にk=5を代入すると、

で、さらに、(10)×3-(9)×5から

で、これを満たすrはありません。

㋓ k=6,2≦r≦3の場合
(1)(2)にk=6を代入すると、

で、さらに、(12)×2-(11)×3から

です。

すると、r=3で、これを

に代入すると、

です。

一方、(13)からr=3に対して、

になり、

の値は一致せず、条件を満たすrはありません。

㋔ k=7,r=2の場合
(1)(2)にk=7を代入すると、

で、さらに、(15)×5-(14)×7から

で、これを満たすrはありません。

㋕ k=8,r=2の場合
(1)(2)にk=8を代入すると、

で、さらに、(17)×3-(16)×4から

で、これを満たすrはありません。

㋖ k=9,r=2の場合
(1)(2)にk=9を代入すると、

で、さらに、(19)×7-(18)×9から

で、これを満たすrはありません。

以上から、ck262 で、これが答えです。


簡単な問題です。

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absent のはなし

2020-09-16 09:27:44 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1教科書に、「教室で使う英語」をまとめたページがあって、そのなかに、
Who’s absent
(誰が欠席ですか)
という文があります。

この absentウィズダム英和辞典 で引いてみると、その 類義語 との違いについて、
be absent(from...)
 病気や意思によって学校・職場などいるべき場所にいないことを客観的な立場で述べ、やや堅い響きをもつ

stay away [(at)home](from...)
 「(...に)近づかないで[家にいる]」の意でよりくだけた言い方

not come
 くだけた言葉で、単に来ていないことを表わす

be not here [there]
 くだけた言葉で、文脈に応じて、ここ [そこ] にいないことを表し、主にアメリカ英語では、点呼の返事として Here! のように単独でも用いる

be away
 「他の場所に行っている」の意で、主に長期の不在を伝える際に好まれる

be off
 「その場を離れている」の意で、一時的不在や長期の不在を伝える際に好まれる

be not in
 「在宅 [出勤] していない」ことをいう言い方

be out
 家や職場などで短時間の不在を表すのに用いる
などを挙げ、用例として、
  John stayed away [home] from school yesterday.
≒ John didn’t come to school yesterday.

主にアメリカ英語John skipped school yesterday.
(ジョンは昨日学校を休んだ)
を記しています。


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整数問題(54)

2020-09-15 09:22:52 | 学習塾塾長の日記
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2017年AIMEの整数問題です。

問題は、
「702、787、855のそれぞれを正の整数mで割ったとき、その余りはいずれも正の整数rになり、412、722、815のそれぞれを正の整数nで割ったとき、その余りはいずれもrと異なる正の整数sになる。
このとき、m+n+r+sの値を求めよ。」
です。

与えられた条件を立式すると、
702=mQ1+r     (1)
787=mQ2+r     (2)
855=mQ3+r     (3)
412=nQ4+s     (4)
722=nQ5+s     (5)
815=nQ6+s     (6)
になります。

ここで、(2)-(1)、(3)-(2)、(5)-(4)、(6)-(5)をつくると、それぞれ、
85=m(Q2-Q1)    (7)
68=m(Q3-Q2)    (8)
310=n(Q5-Q4)   (9)
93=n(Q6-Q5)    (10)
です。

このとき、(7)、(8)の左辺が
85=5×17
68=4×17
であることから、
m=1または17
ですが、m=1の場合、r=0になり、これはrが正の整数であることに反します。

したがって、m=17で、これと(1)から、
702÷17=41・・・5
で、r=5になります。

また、(9)、(10)の左辺が
310=2×5×31
93=3×31
であることから、
n=1または31
ですが、n=1の場合、s=0になり、これはsが正の整数であることに反します。

したがって、n=31で、これと(4)から、
412÷31=13・・・9
で、s=9になります。

以上から、m=17、n=31、r=5、s=9になり、m+n+r+s=17+31+5+9= 62 で、これが答えです。


簡単な問題です。

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restroom のはなし

2020-09-14 09:47:56 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2の教科書に、
Where is the restroom
(トイレはどこですか)
という文があります。

このような トイレの場所を尋ねる表現 について、「日本人の9割が知らない英語の常識181」(キャサリン・A・クラフト著)に、
どこかの家にお邪魔しているとき
 Where is the bathroom?

ホテルやレストランなどの公共の場にいるとき
 Where is the restroom
と説明しています。

一方、オックスフォード現代英英辞典 には、
In British English, but not in North American English, the room that has a toilet in it is usually referred to as a toilet. This room in people’s house can also be called the lavatory,・・・.

In north American English, the room that contains a toilet is usually called the bathroomnever the toilet.A room with a toilet in a public place can also be called a restroom,・・・.

(アメリカ英語ではなくイギリス英語では、toiletがある部屋を、普通、toiletと呼ぶ。一般家庭ではlavatoryと呼ばれることもある・・・。アメリカ英語では、toiletがある部屋を、普通、bathroomと呼び、決してtoiletとは言わない。公共の場にあるtoiletがある部屋をrestroomと呼ぶこともある)  
と記しています。

まとめると、
・ イギリスでは、一般家庭、公共の場にかかわらず、
 Where is a toilet?
または、
 Where is a lavatory?

・アメリカでは、一般家庭、公共の場にかかわらず、
 Where is a bathroom?
特に、公共の場では、
 Where is a restroom
となるようです。

ちなみに、教科書の文の丁寧な言い方は、
Could you tell me where the restroom is?
(お手洗いはどちらですか)
になります。


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組合せの問題(16)

2020-09-13 09:17:24 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年AIMEの組合せの問題です。

問題は、
「集合{1,2,3,4,・・・,20}の4つの元からなる部分集合で、異なる2つの元の和が16と24になるものはいくつあるか。例えば、{3,5,13,19}や{6,10,20,18}はそのような部分集合である。」
です。

元を4つもつ部分集合で、異なる2つの元が16と24になるものは、
① {k,16-k,l,24-l}
② {k,16-k,24-k,l}
③ {k,16-k,k+8,l}
(k、lは集合{1,2,3,4,・・・,20}の元です)
と表せます。

ここから①、②、③のそれぞれの個数を調べていきましょう。

①の場合
例えば、k=1 → 16-k=15、k=15 → 16-k=1 と2組の元は同じになるので、k<16-k としてもOKです。同様に、l<24-l とすると、
1≦k<16-k≦20
1≦l<24-l≦20
が成り立ち、これらを整理すると、
1≦k,k<8,-4≦k → 1≦k≦7     (1)
1≦l,l<12,4≦l → 4≦l≦11    (2)
です。

したがって、これらを満たすkとlの組の個数は、7×8=56(個)です。

ところが、4つの元はそれぞれ異なるものでなければならないので、
・ k≠l
・ k≠24-l
・ 16-k≠l
・ 16-k≠24-l → k≠l-8
にならなければなりません。

そこで、
・ k=l
・ k=24-l
・ 16-k=l
・ k=l-8
になるkとlの組の個数を(1)、(2)を使って勘定すると、
・ k=l → 4≦k,l≦7 → 4個
・ 13≦24-l≦20 → 0個
・ 9≦16-k≦15 → 9≦16-k,l≦11 → 3個
・ -4≦l-8≦3 → 1≦k,l-8≦3 → 3個
で、合わせて、4+3+3=10(個)です。

したがって、①の部分集合の個数は、56-10=46(個)になります。

②の場合
k<16-k → k<8 → k≦7
16-k<24-k → 16<24
から
1≦k≦7                  (3)
で、このとき、   
1≦l≦20                  (4)
です。

したがって、これらを満たすkとlの組の個数は、7×20=140(個)です。

ところが、4つの元はそれぞれ異なるものでなければならないので、
・ k≠l
・ 16-k≠l
・ 24-k≠l
にならなければなりません。

そこで、
・ k=l
・ 16-k=l
・ 24-k=l
になるkとlの組の個数を(3)、(4)を使って勘定すると、
・ k=l → 1≦k,l≦7 → 7個
・ 9≦16-k≦15 → 9≦16-k,l≦15 → 7個
・ 14≦24-k≦23 → 14≦24-k,l≦20 → 7個
で、合わせて、7+7+7=21(個)です。

したがって、②の部分集合の個数は、140-21=119(個)です。

③の場合
k<16-k → k<8 → k≦7
16-k<8+k → 4<k → 5≦k
から
5≦k≦7                   (5)
で、このとき、
1≦l≦20                   (6)
です。

したがって、これらを満たすkとlの組の個数は、3×20=60(個)です。

ところが、4つの元はそれぞれ異なるものでなければならないので、
・ k≠l
・ 16-k≠l
・ 8+k≠l
にならなければならず、さらに②と重複するので、
・ 24-k≠l
でなければなりません。

そこで、
・ k=l
・ 16-k=l
・ 8+k=l
・ 24-k=l
になるkとlの組の個数を(5)、(6)を使って勘定すると、
・ k=l → 5≦k,l≦7 → 3個
・ 9≦16-k≦11 → 9≦16-k,l≦11 → 3個
・ 13≦8+k≦15 → 13≦8+k,l≦15 → 3個
・ 14≦24-k≦19 → 14≦24-k,l≦19 → 6個
で、合わせて、3+3+3+6=15(個)です。

したがって、③の部分集合で②と重複しないものの個数は、60-15=45(個)です。

以上から、与えられた条件を満たす部分集合の個数は、46+119+45= 210(個) で、これが答えです。


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return のはなし

2020-09-12 09:21:24 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2の教科書に、
The Master will return soon.
(和尚様は間もなく戻ってこられるよ)
という文があります。

この returnコウビルト英語語法辞典 で調べてみると、
Return is fairly formal word. In conversation and in less formal writing, you usually use go backcome back, or get back
(returnはかなり形式ばった言葉で、会話やそれほど堅くない文書では、普通、go back、come back、get back を使う)
と解説しています。

また注意すべきポイントとして、
Don’t say that someone ‘returns back’ to a place.
(誰かがある場所にreturns backするとは言わない)
などと、 returnback を伴わない点を挙げています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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図形問題(50)

2020-09-11 09:20:20 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2015年AIMEの図形問題です。

問題は、
「下図の四角形ABCDは正方形で、点Eは辺ADの中点である。


点Fと点Gは線分CE上にあり、点Hと点Jはそれぞれ辺AB上と辺BC上にあって、四角形FGHJは正方形である。

点Kと点Lは線分HG上にあり、点Mと点Nはそれぞれ辺AD上と辺AB上にあって、四角形KLMNは正方形である。

正方形KLMNの面積が99のとき、正方形FGHJの面積を求めよ。」
です。

正方形FGHJと正方形KLMNの相似比を求め、それらの面積比が相似比の2乗の比になることを利用しましょう。

そこで図1のように、直角三角形CDEに着目すると、三平方の定理から、

になり、これから、

です。


また図2のように、△CDE∽△JFC∽△HBJ∽△NKH∽△MANです。


▲図2.△CDE∽△JFC∽△HBJ∽△NKH∽△MANです

ここで、正方形FGHJと正方形KLMNの辺の長さをそれぞれ2bと2cとすると、図3のように、

になります。


▲図3.必要な線分の長さをbとcで表しました

このとき、

で、さらに、AB=BCから、

になり、正方形FGHJと正方形KLMNの相似比が判りました。

後は、

から、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

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