東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

face のはなし

2020-02-21 11:44:39 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の英語教科書に、
Character’s faces clearly express their feeling.
(登場人物の顔が、彼らの気持ちを分かりやすく表現する)
という文があります。

この face現代英語語法辞典 で調べてみると、その 類義語 countenance、visage との違いについて、

face
 最も一般的な語で頭部の前面をいう。また顔のつくり・目鼻立ちについてもいう

 That girl has a pretty face
(あの女の子はかわいい顔をしている)

countenance
 特に感情・情緒・性格などを反映する部分としての顔をいい、したがって顔の表情・面持ちを示すことが多い

 He has a cheerful countenance.
(彼は快活そうな顔をしている)

visage
 顔の輪郭・釣合いなど顔かたちについてもいうが、特に顔の表情についていう

 his milky-white innocent visage
(彼の乳白色の無邪気な顔)

とあります。

ただし、 countenancevisage文語堅い語 なので、普段は face を使うのがよさそうです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学入試問題R2(16)[筑波大附属駒場中]

2020-02-20 11:25:06 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和2年度筑波大附属駒場中の問題です。

問題は、
「次の問いに答えなさい。

(1) 1個50円の品物A、1個100円の品物Bをそれぞれ何個か買ったところ、代金は1000円でした。A、Bを買った個数の組み合わせとして考えられるものは何通りありますか。
ただし、どの品物もそれぞれ少なくとも1個は買うものとします。

(2) 1個50円の品物A、1個100円の品物B、1個150円の品物Cをそれぞれ何個か買ったところ、代金は700でした。A、B、Cを買った個数の組み合わせとして考えられるものは何通りありますか。
ただし、どの品物もそれぞれ少なくとも1個は買うものとします。

(3) 1個47円の品物X、1個97円の品物Y、1個147円の品物Zをそれぞれ何個か買ったところ、代金は1499円でした。X、Y、Zを買った個数の組み合わせとして考えられるものは何通りありますか。
ただし、どの品物もそれぞれ少なくとも1個は買うものとします。」
です。

品物A、Bを買った個数をそれぞれa、b(a、bは1以上の整数)とすると、
50a+100b=1000
が成り立ち、これを整理すると、
a+2b=20
です。

これと、 a≧1 から
a=20-2b≧1
になり、右側の不等式を整理すると、
2b≦20-1=19
で、このとき、bは1以上の整数なので、
1≦b≦9
です。

したがって、A、Bを買った個数の組み合わせは 9通り で、これが(1)の答えです。

[aとbの組(a,b)は、(2,9)(4,8)(6,7)(8,6)(10,5)(12,4)(14,3)(16,2)(18,1)です]

次に(2)です。

品物A、B、Cを買った個数をそれぞれa、b、c(a、b、cは1以上の整数)とすると、
50a+100b+150c=700
が成り立ち、これを整理すると、
a+2b+3c=14               [1]
です。

これから
3c=14-a-2b≦14-1-2=11
になり、このとき、cは1以上の整数なので、
1≦c≦3
です。

ここから、cで場合分けします。

c=1の場合
[1]から
a+2b=11
です。

これと、 a≧1 から
a=11-2b≧1
になり、右側の不等式を整理すると、
2b≦11-1=10
で、このとき、bは1以上の整数なので、
1≦b≦5
です。

したがって、A、B、Cを買った個数の組み合わせは 5通りです。

c=2の場合
[1]から
a+2b=8
です。

これと、a≧1 から
a=8-2b≧1
になり、右側の不等式を整理すると、
2b≦8-1=7
で、このとき、bは1以上の整数なので、
1≦b≦3
です。

したがって、A、B、Cを買った個数の組み合わせは 3通りです。

c=3の場合
[1]から
a+2b=5
です。

これと、a≧1 から
a=5-2b≧1
になり、右側の不等式を整理すると、
2b≦5-1=4
で、このとき、bは1以上の整数なので、
1≦b≦2
です。

したがって、A、B、Cを買った個数の組み合わせは 2通りです。

以上から、A、B、Cを買った個数の組み合わせは、10(通り) で、これが答えです。

[a、b、cの組(a,b,c)は、(1,5,1)(3,4,1)(5,3,1)(7,2,1)(9,1,1)(2,3,2)(4,2,2)(6,1,2)(1,2,3)(3,1,3)です]

最後の(3)です。

品物X、Y、Zを買った個数をそれぞれx、y、z(x、y、zは1以上の整数)とすると、
47x+97y+147z=1499        [2]
が成り立ちます。

ここで[2]を
50(y+2z)+47(x+y+z)=1499
とし、左辺の2番目の(  )を移項すると、
50(y+2z)=1499-47(x+y+z)  [3]
になります。

このとき、y+2z≧3 から
150≦1499-47(x+y+z)
になり、これを整理すると、
47(x+y+z)≦1499-150=1349
→ x+y+z≦28
です。

したがって、
3≦x+y+z≦28               [4]
です。

一方[3]の左辺が10の倍数であることから、47(x+y+z)の一の位の数は9で、したがって、x+y+z の一の位は7になり、すると[4]から、x+y+z の候補は、7、17、27 です。

次に[3]の両辺を2倍して、
100(y+2z)=2998-94(x+y+z)
とすると、左辺が100の倍数であることから、94(x+y+z) の下2桁の数は98で、上記の x+y+z の候補のなかでこれを満たすのは 17 だけなので(94×7=658、94×17=1598、94×27=2538)、
x+y+z=17                 [5]
になります。

ここで[5]を[3]に代入すると、
50(y+2z)=1499-47×17=700
→ y+2z=14   
です。                      

これと、y≧1 から
y=14-2z≧1
になり、右側の不等式を整理すると、
2z≦14-1=13
で、このとき、zは1以上の整数なので、
1≦z≦6
です。

したがって、X、Y、Zを買った個数の組み合わせは 6通り で、これが答えです。

[x、y、zの組(x,y,z)は、(9,2,6)(8,4,5)(7,6,4)(6,8,3)(5,10,2)(4,12,1)です]

(3)は、
・[2]から、1≦x≦26、1≦y≦13、1≦z≦9 → 3≦y+2z=P≦31、x+y+z=Q
・[3]から、 50P+47Q=1499
・互除法を使って、50×484+47×(-483)=1499 を求め、上式と辺々を引いて、
 50(P-484)+47(Q+483)=0 → P=47k+484
・3≦P=47k+484≦31 → P=14 (k=10)
とするのが一般的解法です。

簡単な問題です。

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elephant のはなし

2020-02-19 11:18:56 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1英語教科書の「動物」に関する Word Bank に、
elephant (象)
があります。

この elephantウィズダム英和辞典 で引いてみると、
● アメリカでは 共和党(員) の象徴
とあったので、早速、 共和党Website を覗いてみたところ、


といった象のマークがありました。

Wikipedia によると、このマークは election symbol(選挙のシンボルマーク)だそうです。

ちなみに、民主党 の象徴は donkey (ロバ)で、民主党Websiteshop コーナーには、


のようなロバの形をした小物がいくつか販売されています。


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中学入試問題R2(15)[開成中]

2020-02-18 10:56:20 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和2年度開成中の問題です。

問題は、
「まっすぐ進む2つのロボットAとBがあります。2つのロボットは、下のような指示が書かれた5枚のカードをそれぞれもっていて、カードがセットされた順にスタート地点から1分間ずつその指示に従って進みます。

カード①:毎分30cmで進みなさい。(このカードは2枚あります)
カード②:1分間停止しなさい。
カード③:毎分45cmで進みなさい。
カード④:毎分60cmで進みなさい。

例えば、カードが①、①、②、③、④の順にセットされた場合、スタートから2分間で60cm進み、そこで1分間停止し、その後1分間で45cm進み、その後1分間で60cm進みます。このようなロボットの進み方をカードの番号を用いて〈11234〉と表すことにします。

いま、2つのロボットAとBを同じ方向に進めたとき、AとBの間の距離をグラフにしたところ下の図のようになりました。このとき、ロボットAの進み方として考えられるものをすべて答えなさい。ただし解答らんはすべて使うとは限りません。」


▲問題図

です。

初めに、問題のグラフでスタートから1分後までの間に先行するロボットを先行ロボット、もう一方のロボットを後続ロボットとします。

このとき、それぞれのカードの組合せで生じる先行ロボットと後続ロボットとの速さの差を調べると、表1のようになります。


▲表1.それぞれのカードの組合せで生じる先行ロボットと後続ロボットとの速さの差です

次に、先行ロボットが後続ロボットの前方または後方にいるときに分けて問題のグラフを書き直すと図1のようになります。


▲図1.問題のグラフを書き直しました

図1のグラフで現れる速さの差は、毎分2目盛り、毎分3目盛り、毎分1目盛り、毎分0目盛りの4種類で、これらと表1から図1の縦軸の1目盛りは15cmになることが判り、図1は図2のようになります。


▲図2.縦軸1目盛りは15cmです

この図2のグラフから、時間毎の後続ロボットに対する先行ロボットの速さをまとめると表2のようになります。


▲表2.時間毎の後続ロボットに対する先行ロボットの速さです

このとき、表2の1~2分では、先行ロボットが後続ロボットより毎分45cm遅く、これをみたすカードの組合せは、表1から、先行ロボット②と後続ロボット③です。

次に、表2の2~3分では、先行ロボットが後続ロボットより毎分15cm遅く、これをみたすカードの組合せは、表1から、先行ロボット①と後続ロボット③、または、先行ロボット③と後続ロボット④です。

ところが、後続ロボットの③はすでに決まっているので、2~3分は先行ロボット③と後続ロボット④になります。

すると、ここまでで②③④のカードが決まってしまったので、表2の3~4分は、先行ロボット①と後続ロボット①になります。

表3にここまでの結果をまとめます。


▲表3.1~2、2~3、3~4分のカードが決まりました

残りの0~1分と4~5分では、先行ロボットが後続ロボットより毎分30cm速く、これをみたすカードの組合せは、表1から、先行ロボット①と後続ロボット②、または、先行ロボット④と後続ロボット①になり、これらを表3とまとめると表4のようになります。


▲表4.すべてのカードが決まりました

このとき、ロボットAは先行ロボット、後続ロボットのいずれでもよいので、ロボットAの進み方として考えられるものは、
〈12314〉、〈42311〉、〈23411〉、〈13412〉
で、これが答えです。


簡単な問題です。

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on top of のはなし

2020-02-17 10:33:09 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2の英語教科書に、
Put the roll of scrambled eggs on top of them.
(炒めた卵を巻いたものをそれらの上に置きます)
という文があります。

この on top ofウィズダム英和辞典 で調べてみると、

on top of AA〈人・物〉の上に

 She put her flute on top of the piano.
(彼女はピアノの上にフルートを置いた)
とあり、さらに on との違いについて、

on top ofon強意形 として用い、横幅よりも高さの方が長いものの上に接触している場合に好まれる

 Put your hands on top of your head.
(《警察などが》頭の上に両手をのせろ)

と説明しています。

ちなみに、
one on top of the other(またはone on top of one another
とすると、「(次々と)重ねて」を表し、 ロングマン英英辞典 に例文として、

 We stacked the crates one on top of the other.
(私たちは木箱を次々と積み重ねた)

が挙げてあります。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学入試問題R2(14)[桜蔭中]

2020-02-16 11:00:00 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和2年度桜蔭中の問題です。

問題は、
「1個10g、20g、60gの球があります。
10gの球には1から100までの整数のうち、4の倍数すべてが1つずつ書いてあります。
20gの球には1から100までの整数のうち、3で割って1余る数すべてが1つずつ書いてあります。
60gの球には1から100までの4の倍数のうち、3で割って1余る数すべてが1つずつ書いてあります。
ただし、同じ重さの球にはすべて異なる数が書いてあります。

(1) 60gの球に書いてある数字を分母、20gの球に書いてある数字を分子として分数をつくります。このときできる1未満の分数のうち、分母と分子を5で約分できる分数の合計を求めなさい。

(2)① これらの球から13個の球を選んで、その重さの合計がちょうど250gになるようにします。
10gの球、20gの球、60gの球をそれぞれ何個ずつ選べばよいですか。考えられるすべての場合を答えなさい。ただし、選ばない重さの球があってもよいとします。解答らんは全部使うとは限りません。

   ② ①で求めた選び方の中で、60gの球の個数が2番目に多い選び方について考えます。
13個の球に書かれている数の合計を4で割ると2余りました。合計が最も大きくなるとき、その合計を求めなさい。」
です。

初めに、10g、20g、60gの球に書かれている数を調べてしまいましょう。

《1》 10gの球に書かれている数
4の倍数なので、
4、8、12、・・・、100
の25個です。

《2》 20gの球に書かれている数
3で割って1余る数なので、
4、7、10、・・・、100
の33個です。

《3》 60gの球に書かれている数
4の倍数、かつ、3で割って1余る数なので、
4、16、28、・・・、100
の9個です。

それでは(1)に取り掛かりましょう。

60gの球に書いてある数字を分母、20gの球に書いてある数字を分子とする分数が5で約分できるということは、いずれの球に書かれている数も5の倍数ということです。

そこで、《3》の中から5の倍数を選ぶと、60gの球に書かれている数は、
40、100
のいずれかで、《2》の中から5の倍数を選ぶと、20gの球に書かれている数は、
10、25、40、55、70、85、100
のいずれかになります。

したがって、求める分数の合計は、

で、これが答えです。

次に(2)①です。

与えられた条件をみたす 10g、20g、60gの球の個数をそれぞれx、y、zとすると、
10x+20y+60z=250   [1]
x+y+z=13          [2]
が成り立ちます。

ここで[1]を
x+2y+6z=25
とし、これと[2]の辺々の差をとると、
y+5z=12           
になり、これを変形すると、
5z=12-y           [3]
です。

このとき、[3]の左辺は5の倍数なので、
y=2、7、12
です。

ここから、y=2、7、12のそれぞれの場合を調べていきます。

y=2の場合
[3]から
z=2
で、[2]から
x=9
です。

したがって、x、y、zの組(x,y,z)は、(9,2,2)になります。

y=7の場合
[3]から
z=1
で、[2]から
x=5
です。

したがって、x、y、zの組(x,y,z)は、(5,7,1)になります。

y=12の場合
[3]から
z=0
で、[2]から
x=1
です。

したがって、x、y、zの組(x,y,z)は、(1,12,0)になります。

以上から、10g、20g、60gの球の個数の組(10gの球の個数,20gの球の個数,60gの球の個数)は、
(9個、 2個、2個)
(5個、 7個、1個)
(1個、12個、0個)

で、これが答えです。

最後の(2)②です。

(2)①の答えで、60gの球の個数が2番目に多い選び方は、(5個、7個、1個)ですから、問題は、「10g、20g、50gの球をそれぞれ5個、7個、1個選び、それらの球に書かれている数の和が4で割ると2余るときの13個の数の和の最大値を求める」ということになります。

ところが、10gと60gの球に書かれている数は4の倍数なので、10gの球に書かれている5個の数と60gの球に書かれている1個の数の和は4の倍数になります。

したがって、問題は、「20gの球を7個選び、それらの球に書かれている数の和が4で割ると2余るときの7個の数の和の最大値に、10gの球に書かれている大きいものから5個の数の和と60gの球に書かれている最大の数を加えた値を求める」ということになります。

そこで、20gの球に書かれている数を大きい順に並べ、その右側の(  )に4で割ったときの余りを記すと、
100 (0)
 97 (1)
 94 (2)
 91 (3)
 88 (0)
 85 (1)
 82 (2)
 79 (3)
   :
   :
になり、これらの中から、和が最大、かつ、余りの和が6、10、14、・・・になる7個の数の選び方は、
100+ 97+94 +91 +88 +85 +79 =634
(0)+(1)+(2)+(3)+(0)+(1)+(3)=(10)
になります。

また、10gの球に書かれている大きいものから5個の数の和は、
100+96+92+88+84=460
で、60gの球に書かれている最大の数は、
100
です。

以上から、求める合計は、
6344601001194
で、これが答えです。


簡単な問題です。

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octopus のはなし

2020-02-15 11:09:53 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の英語教科書に、
Have you ever eaten octopus
(今までにタコを食べたことありますか)
I have never eaten octopus
(一度もタコを食べたことがありません)
という文があります。

これらの文の背景には 欧米の食文化 があり、例えば、 オックスフォード現代英英辞典 に、
octopus
  a sea creature with a soft round body and eight long arms, that is sometimes used for food

(タコ:柔らかく丸い胴体と8本の長い腕をもった海洋生物で、ときどき食される)
とあるように、欧米には タコ を頻繁に食べる食習慣がないことが判ります。

また ウィズダム英和辞典 にも、
イギリスではレストランのシーフードサラダとして以外はあまり食されない
とあり、さらに BBC/FOODタコ を使った料理を調べてみたところ、その 10,000以上レシピ の中で、タコ を食材にしたものが 16レシピ であるのに対して、
beef(牛肉)   :  813レシピ
pork(豚肉)   :  558レシピ
chicken(鶏肉):1,735レシピ
squid(イカ)  :  148レシピ
といった塩梅で、やはり タコ は馴染みの薄い食材のようです。

ちなみに、「シーフードサラダ」だけではなく「 魚の煮込み」もありました。

タコ の入った Fish stew です

美味そうです。

頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学入試問題R2(13)[麻布中]

2020-02-14 10:48:06 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和2年度麻布中の問題です。

問題は、
「下の図のように、半径5cmの半円を、4つの直線によって ア、イ、ウ、エ、オ の5つの部分に分けます。ここで、図の点C、D、Eは直径ABを4等分する点です。また、〇の印がついた4つの角の大きさはすべて45°です。


このとき、以下の問いに答えなさい。

(1) アの面積は何cm2ですか。
(2) イとエの面積の和からウとオの面積の和を引くと、何cm2になりますか。」
です。

図1のように、アとイを区切る直線と弧ABとの交点で、Bでない方の点をFとすると、△DBFは直角二等辺三角形になります。


▲図1.アとイを区切る直線と弧ABとの交点をFとしました

したがって、

で、これが(1)の答えです。

続いて(2)です。

図2のように、イとウ、ウとエ、エとオを区切る直線と弧ABとの交点をそれぞれG、H、Iとします。


▲図2.イ、ウ、エ、オを区切る直線とと弧ABとの交点をそれぞれG、H、Iとしました

さらに図3のように、直線EG、直線DH、直線CIと直線AFとの交点をそれぞれK、L、Mとし、
台形BFKE → い
台形EKLD → う
台形DLMC → え
三角形CMA → お
とします。      


▲図3.い、う、え、お を決めました

ここで、求める面積の差をZとすると、
Z=(面積イ)+(面積エ)-{(面積ウ)+(面積オ)}
 =(面積い)+(KFGの面積)+(面積え)+(LHIMの面積)
  -{(面積う)+(LHGKの面積)+(面積お)+(MAIの面積)}
で、このとき、図形KFG≡図形MAI、図形LHIM≡図形LHGK から、
Z=(面積い)+(面積え)-{(面積う)+(面積お)}    [★]
です。

一方、

で、これは、い、う、え、お の面積の和に等しいので、
(面積い)+(面積う)+(面積え)+(面積お)=25(cm2) [1]
になります。

さらに、△ABF∽△AEK∽△ADL∽△ACM で、これらの相似比は 4:3:2:1 なので、

です。

このとき、
△AEKの面積は、う、え、お の面積の和
△ADLの面積は、え、お の面積の和
△ACMの面積は、お の面積
と等しいので、

です。

すると、
[1]-[2]から

[2]-[3]から

[3]-[4]から

になり、これらと[★]から

で、これが答えです。


簡単な問題です。

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put on と take off のはなし

2020-02-13 11:20:17 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1英語教科書の「いろいろな動作」に関する Word Bank に、
put on my clothes
(服を着る)
take off my shoes
(靴を脱ぐ)
という言葉があります。

これらの put ontake offonoff を入れかえた 句動詞英語イディオム・句動詞大辞典 で調べてみたところ、

put off
 《堅い表現》(衣服など)を取り去る、脱ぐ

 I have put off my coat.
 (私は上着を脱いだ)

と、互いに反対の意味を表す用法がありました。

それに対して、 take on は「(衣服など)着る」という意味なく、そこで他の 句動詞 を探してみたところ、

get on
 (衣服など)を着る;をはく

  I can’t get these boots on.
 (この靴ははけない)

  They got on their good clothes.
 (彼らは晴れ着を着た)

pull on
 (引っ張って)...を着る、はく、はめる

  Pull on a sweater and come for a nice brisk walk.
 (セーターを着てさっそうと散歩に出かけようよ)

が見つかりました。

ちなみに、 ウィズダム英和辞典 には、

pull on
 (急いで・苦労して)〈衣服など〉を着る[はく、身に着ける]
 
  pull on one’s shirt
 (さっとシャツを着る)

pull off
 (急いで・苦労して)〈衣服など〉を脱ぐ、取る

  pull one’s socks off
 (さっと靴下を脱ぐ)

と説明しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学入試問題R2(12)[灘中]

2020-02-12 10:49:09 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和2年度灘中の問題です。

問題は、
「展開図が下の図ような立体の体積は、すべての面が1辺の長さが1cmの正三角形からなる三角すいの体積の[  ]倍です。


ただし、印●をつけた角の大きさはすべて60°です。」
です。

展開図の下側の面を底面にして見取り図を描くと下図のようになります。


▲図.見取り図を描きました

この見取り図の左右の三角すいの体積の和から、左右の三角すいが重なっている三角すい(赤色でマークした部分)の体積を引けばOKです。

左右の三角すいは1辺4cmの正三角形からなるので、片側の体積は、1辺が1cmの三角すいの体積の
4×4×4=64(倍)
で、したがって、左右の三角すいの体積の和は、
64+64=128(倍)
になります。

一方、左右の三角すいが重なっている部分は1辺2cmの三角すいなので、その体積は、1辺が1cmの三角すいの体積の
2×2×2=(倍)
になります。

したがって、与えられた展開図で表される立体の体積は、1辺が1cmの三角すいの体積の
128-8= 120 (倍)
で、これが答えです。


簡単な問題です。

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crescent のはなし

2020-02-11 10:48:55 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2の英語教科書に、
It makes a curve like a crescent
(それは三日月のように曲がっています)
という文があります。

この crescentウィズダム英和辞典 で調べてみると、写真にあるそれぞれの月相の呼称が載っていて、左側から順に、



  crescent (三日月)
→ half moon(半月) 
→ gibbous 
→ full moon(満月) 
→ gibbous 
→ half moon(半月) 
→ crescent(三日月) 
→ (写真にはありませんが)new moon (新月)
                            
とあります。

ここで、 gibbous は 「隆起した、凸状の」の意で、 天文学用語 では 「(月が)半月と満月の間の形の」を表し、 gibbous moon は three-quarter moon とほぼ同じ意味になるようです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学入試問題R2(11)[筑波大附属駒場中]

2020-02-10 11:21:45 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和2年度筑波大附属駒場中の問題です。

問題は、
「100から199までの100個の整数から1つ選び、それを「もとの数」と呼びます。「もとの数」の各桁の数字を入れかえてできる数と「もとの数」のうち、たがいに異なるものの和を「合計数」と呼びます。ただし、百の位が0となるものは2桁の数、百の位と十の位がともに0となるものは1桁の数として和を考えます。

例えば、
「もとの数」が100のとき、「合計数」は100、10、1の和で、111になります。
「もとの数」が101のとき、「合計数」は101、110、11の和で、222になります。
「もとの数」が111のとき、入れかえても111だけなので、「合計数」は111になります。

このとき、選んだ「もとの数」と「合計数」との関係は次の表のようになります。



次の問いに答えなさい。

(1) 「もとの数」が105のとき、「合計数」を求めなさい。
(2) 「合計数」が999となるような「もとの数」があります。そのような「もとの数」をすべて答えなさい。
(3) 「合計数」が72020より大きくなる「もとの数」が7あります。そのような「もとの数」は何個ありますか。」
です。

初めに、「もとの数」を 100+10a+b として、これと「合計数」Sの関係を調べると、

① a≠1,b≠1,a≠b のとき
S= (100+10a+b)+(100+10b+a)
  +(100a+10×1+b)+(100a+10b+1)
  +(100b+10a+1)+(100b+10×1+a)
 =200(1+a+b)+20(1+a+b)+2(1+a+b)
 =(200+20+2)(1+a+b)
 =222(1+a+b)

② a=1,b≠1 のとき
S= (100+10×1+b)+(100+10b+1)
  +(100b+10×1+1)
 =100(2+b)+10(2+b)+(2+b)
 =(100+10+1)(2+b)
 =111(2+b)

③ a≠1,b=1 のとき
S= (100+10a+1)+(100+10×1+a)
  +((100a+10×1+1)
 =100(2+a)+10(2+a)+(2+a)
 =(100+10+1)(2+a)
 =111(2+a)

④ a=b,a≠1,b≠1 のとき
S= (100+10a+a)
  +(100a+10×1+a)+(100a+10a+1)
 =100(1+2a)+10(1+2a)+(1+2a)
 =(100+10+1)(1+2a)
 =111(1+2a)

になります。

それでは、(1)から始めましょう。

「もとの数」が105のとき、これは①に当てはまるので、S=222(1+a+b)に a=0、b=5 を代入すると、
S=222(1+0+5)=222×6=1332
です。

したがって、「合計数」は 1332 で、これが答えです。

次に(2)です。

「合計数」が999になるときの a、bを、①から④のそれぞれの場合について調べていきます。

①の場合
S=222(1+a+b)=999
になりますが、左辺が偶数、右辺が奇数なので、これをみたす整数a、bはありません。

したがって、「合計数」が999になるような「もとの数」はありません。

②の場合
S=111(2+b)=999
から、
2+b=9 → b=7
です。

したがって、「合計数」が999になるような「もとの数」は 117 です。

③の場合
S=111(2+a)=999
から、
2+a=9 → a=7
です。

したがって、「合計数」が999になるような「もとの数」は 171 です。

④の場合
S=111(1+2a)=999
から、
1+2a=9 → a=4
です。

したがって、「合計数」が999になるような「もとの数」は 144 です。

以上から、「合計数」が999となるような「もとの数」は 117、144、171 で、これが答えです。

最後の(3)です。

(2)と同じように、「合計数」が2020より大きくなるときの a、bを、①から④のそれぞれの場合について調べていきましょう。

①の場合
S=222(1+a+b)>2020
から

で、これから、
9-a≦b
になり、このとき、0≦b≦9 から
9-a≦b≦9    (★)
が成り立ちます。

そこで、(★)をみたすa、bの組を a≠1、b≠1、a≠bに注意して勘定すると、
・ a=0 のとき、9≦b≦9 から1個
・ a=2 のとき、7≦b≦9 から3個
・ a=3 のとき、6≦b≦9 から4個
・ a=4 のとき、5≦b≦9 から5個
・ a=5 のとき、4≦b≦9 かつ b≠5 から5個
・ a=6 のとき、3≦b≦9 かつ b≠6 から6個
・ a=7 のとき、2≦b≦9 かつ b≠7 から7個
・ a=8 のとき、1≦b≦9 かつ b≠1,8 から7個
・ a=9 のとき、0≦b≦9 かつ b≠1,9 から8個
になります。

したがって、「合計数」が2020より大きくなる「もとの数」の個数は、合計 1+3+4+5+5+6+7+7+8=46(個)です。

②、③の場合
S=111(2+b)>2020
から

です。

ここで bは、0≦b≦9 をみたす整数なので、条件をみたすbはありません。

したがって、「合計数」が2020より大きくなる「もとの数」はありません。

③も同様、「合計数」が2020より大きくなる「もとの数」はありません。

④の場合
S=111(1+2a)>2020
から

です。

ここで aは、0≦a≦9 をみたす整数なので、
・ a=9 のとき、b=9 から1個
になります。

したがって、「合計数」が2020より大きくなる「もとの数」の個数は、1(個)です。

以上から、「合計数」が2020より大きくなる「もとの数」の個数は 4647(個)で、これが答えです。


簡単な問題です。

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国名の the のはなし

2020-02-09 10:55:05 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の英語教科書に、フィリピン人マリア さんと ロシアボリス くんが将来の夢について話している単元があり、そのなかで二人は、
Maria, the Philippines
Boris, Russia
と紹介されています。

この the Philippines の正式名称(英語表記)は the republic of the Philippines で、これには、 the United States of America と同じように 冠詞 the をつけますが、それに対して、 RussiaJapan と同じく、冠詞 the がつきません。

このような 国名 における 冠詞 the の有無 について、 オックスフォード実例現代英語用法辞典 に解説があって、そこには、

● 大陸、、州、郡、県などには 冠詞を付けないのが普通

● 名前が republic、state、union といった 普通名詞 である(または、その名詞を含んでいる)場合は例外となる
  the People’s Republic of China
 (中華人民共和国)
  the United Kingdom
 (連合王国)
  the United States
 (合衆国)

(The)Ukraine(The)Lebanon(The)Gambia(The)Sudan のように、かつては 国名the をつけていたが今では 冠詞 をつけないのが通常になった国も少数ながらある

ちなみに、 オランダ(Holland)の正式名称は the Netherlands で、その憲法上の首都 アムステルダムAmsterdam であるのに対して、事実上の首都(政治的中心地)の ハーグthe Hague と表記するそうです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学入試問題R2(10)[開成中]

2020-02-08 10:40:35 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和2年度開成中の問題です。

問題は、
「あるクラスで、生徒全員から決まった金額を集めることになりました。そこで、学級委員の太郎君と花子さんは集めやすくするために次のようなルールを作りました。

ルール1 使えるお金は1円玉、5円玉、10円玉、50円玉、100円玉、500円玉の6種類の硬貨とする。

ルール2 おつりは無いように持ってくる。

ルール3 硬貨は、1人につき10枚まで持ってくることができる。

(1)クラスの40人から28円ずつ集めることにしました。
  (ア)ルールに合うように28円持ってくる方法は全部で何通りありますか。
  (イ)集まったお金のうち、1円玉を数えたら165枚ありました。このとき、5円玉を1枚も持ってこなかった生徒は何人ですか。

(2)このルールについて、太郎君と花子さんは次のようなやり取りをしています。空らん①~⑧にあてはまる数を答えなさい。

太郎「集める硬貨が多くなり過ぎないようなルールを決めたけど、このルールだと集められない金額ってあるよね。」

花子「たしかにそうね。例えば389円を用意するとしたら、ルール1ルール2を守れば、最低でも[ ① ]枚の硬貨が必要だから、ルール3を守れないわね。」

太郎「このような金額ってどれくらいあるのかな。」

花子「そのうち一番低い金額は[ ② ]円だとわかるけど、たくさんありそうね。」

太郎「49円までの金額を用意するのに必要な最低枚数の表を作ってみたよ。」


花子「なるほど、この情報と50円玉、100円玉、500円玉の組み合わせを考えると、ルール1ルール2を守れば、ルール3を守れないものは、300円までの金額では[ ⑦ ]通りあり、1000円までの金額では[ ⑧ ]通りあるわね。」

太郎「次に集めるときはルールを考え直してみないといけないね。」」
です。  

早速、取り掛かりましょう。

1円玉x枚、5円玉y枚、10円玉z枚で28円にすることにします。(このとき、ルール2から50円玉、100円玉、500円玉は使えません)

すると、
x+5y+10z=28    [1]
と、ルール3から
x+y+z≦10       [2]
になります。

ここで、[1]を
5(y+2z)=28-x
と変形すると、左辺が5の倍数であることから、x=3、8、13、18、23、28になりますが、x≧13はルール3をみたさないので、x=3または8になります。

ここから、x=3と場合とx=8の場合をそれぞれ調べていきましょう。

x=3の場合
[1]から
5y+10z=25
→y+2z=5        [3]
で、[2]から
y+z≦7          [4]
です。

このとき、[3]をみたすy、zの組(y,z)は、(1,2)、(3,1)、(5,0)で、これらはいずれも[4]をみたします。

したがって、3つのルールを守るx、y、zの組は3通りです。

x=8の場合
[1]から
5y+10z=20
→y+2z=4        [5]
で、[2]から
y+z≦2          [6]
です。

このとき、[5]をみたすy、zの組(y,z)は、(0,2)、(2,1)、(4,0)で、これらのなかで[6]をみたす組は(0,2)です。

したがって、3つのルールを守るx、y、zの組は1通りです。

以上から、3つのルールを守る組み合わせは合わせて (通りで、これが(1)の(ア)の答えです。

次に(1)の(イ)です。

(ア)から、3つのルールを守って28円にするx、y、zの組(x,y,z)は、(3,1,2)、(3,3,1)、(3,5,0)、(8,0,2)で、これらから、5円玉を少なくとも1枚持ってきた生徒は1円玉を3枚持ってきていて、5円玉を1枚も持ってこなかった生徒は1円玉を8枚もってきていることが判ります。

そこでクラスの40人中5円玉を1枚も持ってこなかった生徒の人数をnとすると、
8n+3(40-n)=165
が成り立ち、これを整理して、
5n=45
から
n=9
です。

したがって、5円玉を1枚も持ってこなかった生徒は 人で、これが答えです。

続いて(2)です。

389円を用意するのに使う硬貨の枚数が最小になるのは、100円玉が3枚、50円玉が1枚、10円玉が3枚、5円玉が1枚、1円玉が4枚の場合ですから、その合計の枚数は 3+1+3+1+4= 12 (枚)で、これが①の答えです。

ルール3を守ることができない金額のうち一番低いものの各硬貨の枚数は、1円玉が4枚、5円玉が1枚、10円玉が4枚、50円玉が1枚、100円玉が1枚の場合(硬貨の合計枚数が11枚です)ですから、その金額は 1×4+5×1+10×4+50×1+100×1= 199 (円)で、これが②の答えです。

次に③、④、⑤、⑥です。

1円玉5枚で5円玉1枚、5円玉2枚で10円玉1枚に両替できるので、表1のように、
・矢印aに沿って  1から 4
・矢印bに沿って  5から 9
・矢印dに沿って 15から19
・矢印eに沿って 20から24
・矢印fに沿って 25から29
・矢印gに沿って 30から34
・矢印hに沿って 35から39
・矢印iに沿って 40から44
・矢印jに沿って 45から49
が並ぶことになります。


▲表1.1から49までを並べました

この表1から、③は 、④は 、⑤は 、⑥は で、これが答えです。

次に⑦です。

表1から、
● 49円を用意するのに必要な硬貨の合計枚数は9枚なので、これに50円玉と100円玉を合わせて2枚以上(ただし、50円玉は0枚または1枚、100円玉は0枚以上4枚以下)加えた金額がルール3を守れないものになり、
49+50×1+100×1=199
49+50×0+100×2=249
49+50×1+100×2=299
(100円玉が3枚以上のときは金額が300円を超えます)
から、199円、249円、299円の3通りが該当します。

● 39円、44円、48円を用意するのに必要な硬貨の合計枚数は8枚なので、これに50円玉と100円玉を合わせて3枚以上加えた金額がルール3を守れないものになり、
39,44,48+50×1+100×2=289,294,298
(100円玉が3枚以上のときは金額が300円を超えます)
から、289円、294円、298円の3通りが該当します。

● ある金額A円を用意するのに必要な硬貨の合計枚数が7枚以下のものについては、これに50円玉と100円玉を合わせて4枚以上加えた金額がルール3を守れないものになります。

このとき、50円玉と100円玉を合わせて4枚でできる最低の金額は50円玉1枚、100円玉3枚なので、それとA円との合計金額は
A+50×1+100×3=A+350>300
になり、これは300円を超えるので、該当するものはありません。

したがって、300円までの金額でルール3を守れないものは (通り)で、これが⑦の答えです。

最後の⑧です。

ある金額A円を用意するのに必要な硬貨の合計枚数が4枚以下のものについて、これに50円玉、100円玉、500円玉を合わせて7枚以上加えた金額がルール3を守れないものになります。

このとき、50円玉、100円玉、500円玉を合わせて7枚でできる最低金額は、50円玉1枚、100円玉4枚、500円玉2枚なので、それとA円との合計金額は、
A+50×1+100×4+500×2=A+1450>1000
になり、これは1000円を超えるので、該当するものはありません。したがって、加える50円玉、100円玉、500円玉の合計枚数は6枚以下になります。

そこで表2に、加える50円玉、100円玉、500円玉の枚数とそれらの場合の数をまとめました。


▲表2.加える硬貨の枚数とそれらの場合の数

ここで、表1の最低枚数が9枚(1通り)、8枚(3通り)、7枚(5通り)、6枚(7通り)、5枚(9通り)の金額に対して、それぞれ、2枚以上(16通り)、3枚以上(12通り)、4枚以上(8通り)、5枚以上(4通り)、6枚以上(1通り)の硬貨を加えた場合にルール3が守られず、したがって、その総数は、
1×16+3×12+5×8+7×4+9×1=16+36+40+28+9= 129 (通り)で、これが⑧の答えです。


簡単な問題です。

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always のはなし

2020-02-07 10:45:35 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1の英語教科書に、
We always practice on Tuesdays and Thursdays.
(私たちはいつも火曜日と木曜日に練習しているの)
という文があります。

この alwaysウィズダム英和辞典 で調べてみると、

always のような 「頻度の副詞」 は習慣的な行為や状況がだいたい何回繰り返されるかを示すので、典型的には進行形を用いず、単純現在[過去]形や現在完了形とともに用いられる傾向がある
とあり、一方 always が進行形と一緒に使われる場合は、

(1) 頻繁に起こる(偶然の)出来事を表す

 A child is always learning.
(子供は絶えず学習している)

 I’m always meeting Ed in the supermarket.
(スーパーでエドとよく出くわす)
これに対して、
 I always meet Ed in the supermarket.
(エドとはいつもスーパーで落ち合うことにしている)

(2) 常識を越える頻度で起こっているような言い方になるため、話し手の非難・いらだち、時に称賛などの感情が表されることがある。しばしば日本語の「・・・してばかりいる」に対応する。人格や物の属性を述べるのに適している

 That car’s always breaking down!
(あの車は故障ばかりする)

 Mary’s really considerate. She’s always helping people.
(メアリーはとても思いやりのある女性です。いつも人の役に立とうとしています)

(3) always の代わりに forever、continually、constantly も用いられる


と解説しています。


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