東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

規則動詞の過去形・過去分詞形 のはなし

2018-04-22 11:19:26 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の塾生が通う中学校で不規則動詞の小テストがあったのですが、規則動詞 の変化にも面白いものがあります。

Forest の 「一般動詞の過去形・過去分詞形」 という項に、
・規則動詞の多くは原形の語尾に-edをつけて過去形と過去分詞形を作る
 listen-kistened-listened

・-eで終わる同志は語尾に-dだけつける
 hope-hoped-hoped

・<子音字+y>で終わる動詞はyをiに変えて-edをつける
 carry-carried-carried

・<母音字+y>で終わる動詞はそのまま-edをつける
 play-played-played

・<1母音字+1子音字>で終わる動詞は最後の子音を重ねて-edをつける
 stop-stopped-stopped

・<2母音字+1子音字>で終わる1音節の動詞はそのまま-edをつける
 look-looked-looked

・<1母音字+1子音字>で終わる動詞でも、最終音節にアクセントがないものはそのまま-edをつける
 visit-visited-visited
とあります。

ここまでの 規則動詞変化 については、例に挙げた中学英語教科書に頻出の動詞を見れば、細かい規則の知識の有無にかかわらず、それらの過去形・過去分詞形を上手く処理しているわけですが、さらに、もう1つ分類があります。

それは、
・原形の語尾が-cで終わる動詞はkを加えて-edをつける
というもので、これに該当する動詞は中学英語教科書に登場しないようで、具体的には、
panic -panicked -panicked   (<人>をうろたえさせる)
picnic-picnicked-picnicked  (<人が>ピクニックをする)
frolic-frolicked-frolicked  (<子供・動物なんどが>はしゃぐ)
などがあります。

ちなみに、これらの -ing形 は、
panic-panicking
のようになります。


頭に入れておくとよいでしょう。

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中学生でも解ける東大大学院入試問題(206)

2018-04-21 11:36:00 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成30年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「O、A、B、Cを頂点とする4面体の3つの線分OA、OB、OCが互いに直交し、それぞれの長さがa、b、cであるとき、頂点Oから平面ABCへ下ろした垂線の長さを求めよ。」
です。

点(x1,y1,z1)から平面ax+by+cz+d=0へ下ろした垂線の長さが、

になることを知っていれば簡単です。

図1のように、空間座標に4面体OABCをおくと、平面ABCは、

で、これを整理すると、

になります。


▲図1.空間座標に4面体OABCをおきました

原点Oから平面ABCに下ろした垂線の長さは、

で、これが答えです。

点から平面に下ろした垂線の長さの関係を利用しなくても次のように解くことができます。

4面体OABCで、底面を△OABと考えると、∠AOB=90°なので、その面積S(OAB)は、
S(OAB)=ab/2
です。

このとき、∠AOC=∠BOC=90°から高さはcになり、4面体OABCの体積V(OABC)は、
V(OABC)=ab/2×c×1/3=abc/6       (★)
になります。

次に、△ABCを底面として4面体OABCの体積を表します。

図2に示すように、AB、BC、CAの長さは、三平方の定理から、

です。


▲図2.△ABCを底面として4面体OABCの体積を表します

そこで図3のように、AからBCに下ろした垂線の足をD、BD=x、AD=yとすると、三平方の定理から

が成り立ち、これらから

です。


▲図3.△ABCに注目します

したがって、△ABCの面積S(ABC)は、

になります。

ここで、Oから平面ABCに下ろした垂線の足をH、OHの長さをhとすると、4面体OABCの体積V(OABC)は、

で、これは(★)と等しいので、

が成り立ちます。

これをhについて解くと、

になり、前の答えと同じになりました。


簡単な問題です。

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Me too. のはなし

2018-04-20 11:13:22 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

近頃、世の中を騒がしている言葉に Me too. がありますが、これは中1の教科書にも
    Ken : I’m hungry.
        (お腹減ったよ。)
Meiling : Me too. What do you have?
        (私も。何もっているの。)
という会話文で登場します。

この Me too.ウィズダム英和辞典 で調べてみると、「話し言葉で相手の発言内容を繰り返して肯定する決まり文句」という説明があって、例文として、
A : I’m tired.
  (憑かれたよ。)
B : 《くだけた話言葉》Me too.
  (私もよ。)
が挙げられています。

そして、より硬い表現として、
I am too. (× I’m too.)

So am I.
を挙げています。

また Forest には、
“I can’t eat raw fish.”
(私は生の魚を食べられません。)
“Me,neither.(≒ I can’t,either.)”
(私もですよ。)
のように、相手の否定的発言内容を繰り返して自分もそうではないときの口語表現として、 Me neither. を挙げています。


頭に入れておくと役に立つことがあるかもしれません。

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ジュニア数学オリンピックの難しい問題(20)

2018-04-19 11:24:38 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年ジュニア数学オリンピック本選に出題された最小値を求めるを取り上げます。

問題は、
「5人の人がいる。すべての2人組に対して年令差を計算したところ、それらはすべて異なる正の整数値であった。最も年上の人と最も年下の人の年令差としてありうる最小の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図1のように、5人の人を若い順にA、B、C、D、Eとし、AとB、BとC、CとD、DとEの年令差をそれぞれp、q、r、sとしましょう。


▲図1.5人をA、B、C、D、E、年令差をp、q、r、sとしました

ここで p、q、r、sの順に可能な最小値を入れて、AとEのおよその年令差を見積もりましょう。

まず図2のように、p=1、q=2とすると、p+q、つまりAとCの年令差は3になります。


▲図2.p=1、q=2としました

するとrに入れることが可能な最小値は4になり、図3のように、AとD、BとDの年令差はそれぞれ7と6になります。


▲図3.r=4としました

このとき、sに入れることが可能な最小値は5になり、図4のように、AとE、BとE、CとEの年令差はそれぞれ12、11、9になります。


▲図4.s=5としました

以上から、最も年上の人と最も年下の人の年令差は12以下で、
p+q+r+s≦12
が成り立ちます。

一方、p、q、r、sは互いに異なる正の整数なので、
p+q+r+s≧1+2+3+4=10
で、これらをまとめると、
10≦p+q+r+s≦12
になります。

ここで、すべての2人組の年令差がすべて異なる正の整数になるということについて調べましょう。

例えば、AとBの年令差と、AとCの年令差のように明らかに異なるものを除くと、考えなければならない年令差は、
p、q+r、r+s、q+r+s
q、(r+s)
r、p+q
s、(p+q)、(q+r)、p+q+r
で、これらがすべて異なる値にならなければなりません。

そこで、p+q+r+s=10の場合、上の重複していない5個の式(( )を除いたもの)が異なる値をとることができるか調べてみましょう。

p+q+r+s=10になるp、q、r、sの組合せは、1、2、3、4の並び替えで、これらのなかの2つの和で互いに異なるものは、3、4、5、6、7です。

これらの5個の整数のうち、p、q、r、sの値である1、2、3、4と異なるものは、5、6、7の3個で、12個の式のなかの2つの和p+q、q+r、r+sは、5、6、7の並び替えになります。

このとき、(p+q)+(q+r)+(r+s)=p+2q+2r+s=18で、これから、p+q+r+s=10を引くと、q+r=8になり、q+r=5、または、6、または、7と矛盾します。

したがって、p+q+r+s=10の場合、すべての2人組の年令差がすべて異なる正の整数になることはありません。

続いて、p+q+r+s=11の場合です。

この場合、図5のように、p=2、q=5、r=1、s=3のとき、すべての2人組の年令差がすべて異なる正の整数になります。


▲図5.すべての2人組の年令差がすべて異なる

以上から、最も年上の人と最も年下の人の年令差としてありうる最小の値は 11 で、これが答えです。


見通しのよい問題です。

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Pardon? のはなし

2018-04-18 11:03:32 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1の英語教科書の最初の Lesson に、
Kumi : Hello. I am Tanaka Kumi.
     (こんにちは。田中久美です。)
Paul : Pardon?
     (すみませんがもう一度言ってください。)
で始まる会話文があります。

改訂前の教科書では、 PaulPardon?ではなく “Excuse me?” と返事していたので、この両者の違いを調べてみたところ、 ウィズダム英和辞典 の 「相手に聞き返す際の表現」 という語法解説に、次のようにありました。

Sorry? は、《イギリス英語》で好まれ、《アメリカ英語》では、 Excuse me?(↗) が多く用いられる。

かたい表現》では、 Pardon?(↗)、 I beg your pardon?(↗)、Pardon me?(↗) なども用いられる。

一方、《くだけた表現》では、 What (did you say)? なども用いられるが、ぶっきらぼうに響くので親しい間柄を除いて避けたほうがよい。

また、 Once again [more]. は命令的に響き、上位の者が下位の者に用いる。


頭に入れておくとよいでしょう。

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中学生でも解ける東大大学院入試問題(205)

2018-04-17 12:23:48 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成30年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「ある船が真っ直ぐに進み港Aから港Bに到着し、すぐに同じルートで港Bから港Aに戻ってくる。この往復の間、無風では船の速度は一定である。つぎに、風が港Aから港Bに向かって吹いているとき、船の速度は無風の場合よりも、ある速度だけ追い風では増加し、向かい風では同じ速度だけ減少する。風がある場合、無風の時に比べ往復時間は、(1)増える、(2)減る、(3)同じ、のうちいずれであるか。なお速度は対地速度とする。」
です。

無風の場合の船の様子を図1に示します。


▲図1.無風の場合の船の様子です

港Aと港Bとの距離を L、無風の場合の船の速度を V とすると、往路、復路とも所要時間は t=L/V で、したがって、往復にかかる時間は T=2L/V です。

次に図2のように、港Aから港Bに風が吹き、船の速度が、往路で v だけ速くなり、復路で v だけ遅くなった場合、往路と復路の所要時間は それぞれ t’=L/(V+v) および t’’=L/(V-v) で、往復にかかる時間は T’=L/(V+v)+L/(V-v) です。


▲図2.風が吹いている場合の船の様子です

そこで、T と T’ の大小を調べましょう。

T’ を通分すると、

です。

T/T’ を計算すると、

から

です。

以上から、風のある場合、無風の時に比べ往復時間は、(1)増える、 が答えです。


簡単な問題です。

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else のはなし

2018-04-16 11:55:32 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1の英語教科書に、
Emma : I see six birds. They are cute.
     (6羽の鳥が見えます。かわいいです。)
Ken  : Anything else
     (ほかには。)
という会話文を見つけることができます。

この else は「そのほかの」を意味する副詞で、その 置かれる位置 ついて、 ウィズダム英和辞典 に次のようにあります。

something、anywhere など、 some[any、every、no]で始まり thing[one、body、place、where]で終わる語
 Let’s talk about something else
(何かほかのことを話そう)

no[any、every]one など、不定代名詞[副詞]に相当する語
 No one else wants to join us.
(ほかには私たちの仲間に入りたい人はいない) 

much、little、《かたく》 all や a lot of、a great deal、enough など数量を表す語句
 do little else than read books
(読書のほかはほとんど何もしない)

which を除く疑問詞(whatever、whomever などを含む)
 Who else will come to the party?
(ほかに誰がパーティに来るんですか)

原則として、これらの語や語句の直後に置かれる。但し、疑問詞の場合はまれに文末に置かれることもある。
What else do you know? が普通で、 What do you know else はまれ)


頭に入れて置くとよいでしょう。

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ジュニア数学オリンピックの難しい問題(19)

2018-04-15 11:33:27 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年ジュニア数学オリンピック本選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「AB≠ACをみたす三角形ABCの辺AB、AC上(端点を含まない)にそれぞれ点D、Eを、4点B、C、D、Eが同一円周上にあるようにとる。直線DEと直線BCの交点をFとし、三角形ABCの外接円と直線AFの交点のうちAでない方をGとする。点Hを辺DE上にとり、直線AHと三角形ABCの外接円の交点のうちAでない方を I とする。このとき、4点F、G、H、I は同一円周上にあることを示せ。ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

4点が同一円周上にあることを示すには、・円周角の定理の逆、・方べきの定理の逆、・四角形の対角の和が180°になる、などを利用しますが、ここでは図2のように∠FGI と∠FHI に着目し、これらの2つの角が等しいことを示すことで、円周角の定理の逆から4点F、G、H、I が同一円周上にあることを示しましょう。


▲図2.∠FGI と∠FHI が等しいことを示します

図3のように、点Bと点Gを結びます。


▲図3.点Bと点Gを結びました

すると、円周角の定理から
∠AGB=∠ACB
です。

さらに、四角形BCEDは円に内接しているので、
∠ECB=∠ADE
で、∠ECB=∠ACBですから
∠AGB=∠ACB=∠ADE=
になります。

一方、円周角の定理から
∠BAI=BGI=
です。

ここで、
∠FGI=180°-∠AGB-∠BGI=180°-
∠FHI=∠AHD=180°-∠ADE-∠BAI=180°-
なので、
∠FGI=∠FHI
です。

したがって、4点F、G、H、I は同一円周上にあります。

図4のように、△ABCでAB<ACの場合も同様です。


▲図4.AB<ACの場合です



判りやすい問題です。

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前置詞+hand のはなし

2018-04-14 11:41:13 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

hand (手)は、体の一部ということもあってか、馴染み深い英単語で、例えば、中1の英語教科書の初めのほうに、
What do you have in your hand
(手に何を持ってるの)
という英文が登場します。

この handウィズダム英和辞典 で引いてみると、前置詞+hand という言葉を多く見つけることができて、それらを拾い上げると次のようになります。

at hand
 《かたい言葉》(時間・位置的に)近くに、
In effective treatment for cancer may be close at hand
 (がんの効果的な治療法が発見される日はもう間近かもしれない)
the job at hand
 (目下抱えている仕事)
keep some money at hand just in case
 (万一に備え金をいくらか手元に置いておく)

by hand 
 (機械ではなく)人(の手)によって、(タイプなどではなく)手書きで、(郵便ではなく)手渡しで、 
wash silk sweaters by hand
 (シルクのセーターを手洗いする)
write by hand
 (手書きをする)
a letter delivered by hand
 (使いの者が持ってきた手紙)

in hand
  手元に、(仕事・問題などが)(目下)進行中で、(時間・金などが)手元にあって、(事態などが)(人に)掌握されて、
have the problem in hand
 (その問題について検討中である)

off hand
 《話し言葉》[通例否定文で]準備せずに、即座に、

on hand
 <人が>(必要に備え)すぐ控えて、<物が>(すぐ使えるように)手元にあって、

out of hand
 手に負えない、きっぱりと、
work out a solution before things get out of hand
 ( 事態の収拾がつかなくなる前に解決策を考える)
refuse the offer out of hand
 (その申し出を即座に断る)

to hand
 (位置的に)手のすぐ届く所に、
have a pen close to hand
 (ペンをすぐそばに置いておく)


頭に入れておくといいかもしれません。

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中学生でも解ける東大大学院入試問題(204)

2018-04-13 14:15:26 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成30年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「1辺の長さが1の正方形に内接する正三角形を考える。

(1)上述の正三角形の面積が最大となる場合を図示せよ。

(2)最大となる面積を求めよ。」
です。

図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

図1の正方形に内接している正三角形の面積を最大にするということです。

そこで図2のように、正三角形の一つの頂点を、正方形の辺上に沿って少しずつ動かしてみましょう。


▲図2.正三角形の一つの頂点を正方形の辺上に沿って少しずつ動かしました

正方形の頂点をA、B、C、D、正三角形の頂点をP、Q、Rとします。

状態1はPがAと一致している場合、状態2はPA<RDの場合、状態3はPA=RDの場合、状態4はRがDと一致している状態で、この後同様な動きを繰り返します。

ここで、各状態での正三角形の辺の長さPRに注目すると、
(状態1のPR)=(状態4のPR)>(状態2のPR)>(状態3のPR)=1
で、つまり、状態1や4のように正三角形の一つの頂点が正方形の頂点と一致するとき、正三角形の面積は最大になります。

以上から、図3が答えです。


▲図3.(1)の答えです

続いて(2)です。

図4のように QC=x と置くと、



になります。


▲図4.QC=xと置きました

△PQRは正三角形なので、

ですから、

が成り立ちます。

これを整理すると、

になり、これを解いて、

です。

ここで、

から、

で、これが答えです。


楽しい問題です。

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blue のはなし

2018-04-12 12:25:48 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。


日曜日の 読売新聞 に、1週間の注目ニュースなどが掲載されている 「えいご工房」という紙面があって、これを読んで、知らなかった単語や表現をA6の手帳にメモするのが日曜日の日課になっています。

その 「えいご工房」 のなかで秀逸なのが 「特派員直伝とらべる英会話」 というコラムで、各地の特派員が英語にまつわる話題を面白おかしく書き綴ったものなのですが、前回の話題は 「ステーキの焼加減」 でした。

ステーキの焼加減は、raremediumwell done などがお馴染みですが、rare より火を通さない焼加減を blue といい、それは、肉の表面を数秒焼く程度だそうです。

そこでステーキの焼加減について調べたところ、それは 10段階 に分かれているようで、
raw             全く火が通っていない状態
blue            数秒焼いた、ほぼ火は通っていない状態
blue rare       数十秒焼いた状態
rare            表面は焼けていて、中心部は生の状態
medium rare     中心部に生の部分が残っている状態
medium          中心部にちょうどよく火が通っている状態
medium well     生ではないが柔らかさも残っている状態
well            しっかりと火は通っているが肉汁も残っている状態
well done       肉汁がほとんど出ない状態
very well done  赤い肉や肉汁がない完全に火を通した状態
ということです。


機会があれば、使ってみるといいかもしれません。

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日本数学オリンピックの難しい問題(20)

2018-04-11 14:48:35 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年日本数学オリンピック本選に出題された数の問題を取り上げます。

問題は、
「黒板に1以上100以下の整数が1つずつ書かれている。黒板から整数a、bを選んで消し、新たに



の最大公約数を書くという操作を繰り返し行う。黒板に書かれている整数が1つだけになったとき、その整数は平方数でないことを示せ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

取り付きにくい問題のときは、いくつか実験してみるのが一手ですが、このでは与えられた式の3と2に注目して、2と3の余りを調べてみることにしましょう。

表1に、aとbがそれぞれ偶数、奇数の場合、与えられた2つの式の偶奇とそれらの最大公約数の偶奇をまとめました。


▲表1.aとbがそれぞれ偶数、奇数の場合です

表1から規則性を発見するのは難しそうです。

そこで表2のように、aとbをそれぞれ3で割った余りで分類して調べてみましょう。


▲表2.aとbをそれぞれ3で割った余りで分類して調べました

表2をじっくり眺めると、次のようなことが判ります。

● 消されるa、bがいずれも3の倍数でない場合、新たに書かれる最大公約数は3の倍数ではない⇒3の倍数の個数は不変
● 消されるa、bのいずれか一方が3の倍数の場合、新たに書かれる最大公約数は3の倍数⇒3の倍数の個数は不変
● 消されるa、bがいずれも3の倍数の場合、新たに書かれる最大公約数は3の倍数ではない⇒3の倍数の個数は2個減少

これらをまとめると、表3のようになります。


▲表3.aとbがいずれも3の倍数の場合、3の倍数は2個減少し、ほかの場合は3の倍数の個数は不変です

この規則性が見つかれば、あとは簡単です。

1以上100以下の整数のなかに3の倍数は33個あるので、問題の操作を繰り返すと、3の倍数の個数は、33→31→・・・→3→1 と減少します。

したがって、最後の操作直前のa、bは3の倍数と3の倍数でないものになり、最後に書かれる最大公約数は3の倍数になります。

そして、この最後に書かれた最大公約数が3の倍数であり、かつ、平方数でないということは、それが9の倍数でないということです。


は、a、bのいずれも3の倍数、または、a、bのいずれか一方が3の倍数のとき、9の倍数でないので、



の最大公約数は9の倍数ではありません。

以上から、黒板に書かれている整数が1つだけになったとき、その整数は平方数ではありません。


楽しい問題です。

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decade のはなし(つづき)

2018-04-10 10:48:44 | その他
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

先日、decade (10年間)(decade のはなし)を取り上げましたが、今回はそのつづきです。

decadeカレッジライトハウス英和辞典 で引いてみると、その関連語として、

century    世紀
decade   10年間
year        年
month       月
week        週
day         日
hour        時
minute      分
second      秒
が挙げてあります。

さらに同じような言葉を 英辞郎 で探してみると、

millennium      1000年
century          100年
score             20の集まり
decade            10年
septennium         7年
quinquennium       5年
quadrennium        4年
olympiad           4年
(1つの競技会から次までの4年間)
triennium          3年
biennium           2年
などを見つけることができました。


頭の片隅に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(147)

2018-04-09 12:12:49 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「一辺1の立方体が8個あり、その各面を赤または青のいずれか1色で塗る。次の2つの条件を同時にみたす塗り方は何通りあるか。

(ⅰ) 5つの赤い面と1つの青い面をもつ一辺2の立方体になるように積むことができる。
(ⅱ) 1つの赤い面と5つの青い面をもつ一辺2の立方体になるように積むことができる。

 ただし、立方体どうしを入れ替えたり、立方体を回転させたりして一致する塗り方は同じものとみなす。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

一辺1の立方体で、6面すべてが赤または青のものは、(ⅰ)も(ⅱ)も満たしません。

一辺1の立方体で、その6面のうち1面が青で残りの5面が赤のものは、(ⅰ)を満たす可能性がありますが、(ⅱ)を満たさず、色を逆にした6面のうち1面が赤で残りの5面が青のものは、(ⅱ)を満たす可能性はありますが、(ⅰ)を満たしません。

したがって、一辺1の8個の立方体は、同じ色が2面または3面に塗られたものになります。

ここで、同じ色が2面の立方体を考えると、その2面が1組の対面に配色されている場合、その面と隣接する面が異なる色になるので、(ⅰ)と(ⅱ)を同時に満たすことはありません。

以上から、一辺1の8個の立方体の色の塗り方は、
[1] 隣接する2面が同色で残りの4面が異なる色
[2] 3面が同色で残りの3面が異なる色
になります。

ここで[1]と[2]でできる立方体を調べていきましょう。

[1]の場合
下図に示すように、隣接する2面に赤、残りの4面に青を塗る塗り方(A)は1通りで、逆の色に塗る場合(B)も同様です。

[2]の場合
3組の対面すべてを異なる色で塗る塗り方(C)と、3組の対面のうち1面を異なる色で塗る塗り方(D)の2通りです。


▲図.一辺1の立方体の色の塗り方です

あとは、(ⅰ)(ⅱ)を満たすA、B、C、Dの組合せの個数を計算すればお仕舞いです。

ここで、A、B、C、Dの個数をそれぞれa、b、c、dとします。

すると、
a+b+c+d=8        (1)
0≦a,b,c,d≦8       (2)
です。

まず、一辺2の立方体を(ⅰ)のように積む場合、青い面を構成する4つの1辺1の立方体は、1つの青い面に2つの赤い面が隣接していなければなりませんが、これはA、B、C、Dのすべてが満たしています。

さらに、一辺2の立方体を(ⅰ)のように積む場合、青い面の対面を構成する4つの1辺1の立方体は、1つの赤い面に2つの赤い面が隣接していなければならず、これを満たすのはBとCなので、
b+c≧4            (3)
が成り立ちます。

一方、一辺2の立方体を(ⅱ)のように積む場合、赤い面を構成する4つの1辺1の立方体は、1つの赤い面に2つの青い面が隣接していなければなりませんが、これはA、B、C、Dのすべてが満たしています。

さらに、一辺2の立方体を(ⅱ)のように積む場合、赤い面の対面を構成する4つの1辺1の立方体は、1つの青い面に2つの青い面が隣接していなければならず、これを満たすのはAとCなので、
a+c≧4            (4)
が成り立ちます。

ここから(1)(2)(3)(4)を満たすa、b、c、dの組合せの個数を勘定しますが、ここではdで場合分けしましょう。

● d=0の場合
(1)から
a+b+c=8
で、これから
b+c=8-a
a+c=8-b
で、それぞれ(3)(4)に代入し、
8-a≧4 ⇒ a≦4 ⇒ 0≦a≦4 ((2)より)
8-b≧4 ⇒ b≦4 ⇒ 0≦b≦4 ((2)より)
で、0≦a,b≦4を満たすすべてのa、bの組合せに対してcが決まるので、この場合のa、b、c、dの組合せの個数は、
5×5=25(通り)
です。

● d=1の場合
(1)から
a+b+c=7
で、これから
b+c=7-a
a+c=7-b
で、それぞれ(3)(4)に代入し、
7-a≧4 ⇒ a≦3 ⇒ 0≦a≦3 ((2)より)
7-b≧4 ⇒ b≦3 ⇒ 0≦b≦3 ((2)より)
で、0≦a,b≦3を満たすすべてのa、bの組合せに対してcが決まるので、この場合のa、b、c、dの組合せの個数は、
4×4=16(通り)
です。

● d=2の場合
(1)から
a+b+c=6
で、これから
b+c=6-a
a+c=6-b
で、それぞれ(3)(4)に代入し、
6-a≧4 ⇒ a≦2 ⇒ 0≦a≦2 ((2)より)
6-b≧4 ⇒ b≦2 ⇒ 0≦b≦2 ((2)より)
で、0≦a,b≦2を満たすすべてのa、bの組合せに対してcが決まるので、この場合のa、b、c、dの組合せの個数は、
3×3=9(通り)
です。

● d=3の場合
(1)から
a+b+c=5
で、これから
b+c=5-a
a+c=5-b
で、それぞれ(3)(4)に代入し、
5-a≧4 ⇒ a≦1 ⇒ 0≦a≦1 ((2)より)
5-b≧4 ⇒ b≦1 ⇒ 0≦b≦1 ((2)より)
で、0≦a,b≦3を満たすすべてのa、bの組合せに対してcが決まるので、この場合のa、b、c、dの組合せの個数は、
2×2=4(通り)
です。

● d=4の場合
(1)から
a+b+c=4
で、これから
b+c=4-a
a+c=4-b
で、それぞれ(3)(4)に代入し、
4-a≧4 ⇒ a≦0 ⇒ a=0 ((2)より)
4-b≧4 ⇒ b≦0 ⇒ b=0 ((2)より)
で、a=b=0を満たすa、bの組合せに対してc=4が決まるので、この場合のa、b、c、dの組合せの個数は、
1×1=1(通り)
です。

以上から、すべてのa、b、c、dの組合せの個数は、
25+16+9+4+1= 55(通り)
で、これが答えです。


楽しい問題です。

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decade のはなし

2018-04-08 12:33:41 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の英語教科書に decade (10年間) という単語が出てきて、それは、
For these reasons, manga has become very popular in the last few decades
(これらの理由のため、マンガはここ数十年でとても人気が出ました)
というように使われています。

この decadeウィズダム英和辞典 で引いてみると、アクセントが前にある発音と後にあるもの が併記されていて、その注釈に イギリス英語、アメリカ英語とも8割以上の人が前にアクセントを置く傾向がある と記してあります。

つまり、このアクセントの位置の違いは、イギリス英語とアメリカ英語の違いによるものではない ようで、 オックスフォード現代英英辞典 にも イギリス英語アメリカ英語 にそれぞれ2種類のアクセントが掲載されていることから、 decadeイギリス-アメリカ英語の違いによらず2種類のアクセントをもつ単語のようです。

ちなみに、 イギリス英語とアメリカ英語でアクセントの異なる身近な単語 には、
adress        (住所)    《英》後   /《米》前または後
adult         (大人)    《英》前   /《米》後
advertisement (広告)    《英》ver /《米》tis
detail        (細部)    《英》前   /《米》前または後
donate        (~を寄付する)《英》後   /《米》前
garage        (車庫)    《英》ga  /《米》ra
locate        (~を置く)  《英》後   /《米》前
perfume        (香水)    《英》前   /《米》後
などがあります。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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