東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

中学生でも解ける東大大学院入試問題(220)

2019-08-18 10:19:13 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成30年度東大大学院工学系研究科の入試問題です。

問題は、
「n人の子供が一列に並んでいる。あなたはm個のアメ玉を持っており、列の1番目の子供から順に1個か2個を配布していく。列の最後までアメ玉を配り終えるか、アメ玉が無くなった時点で配布を終了する。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、n、mは正の整数とする。

Ⅰ.n=m=4のとき、アメ玉の配り方は何通りあるか。

Ⅱ.m≧2nのとき、アメ玉の配り方は何通りあるか。

Ⅲ.n≧mのとき、m個のアメ玉の配り方の場合の数を Xm とする。 Xm が満たす漸化式を求めよ。

Ⅳ.問Ⅲの漸化式から Xm を求めよ。

Ⅴ.アメ玉の数よりも子供の人数の方が多い状況を考える。全ての配り方のうち、最後にアメ玉を2個配って終了する配り方の割合をP(m)とする。このとき、mを大きくしていくとP(m)はある値に収束する。その値を求めよ。

Ⅵ.m≧2nの状況を考える。アメ玉の配布において、次のルールを加える。列の1番目の子供は、確率1/2で1個のアメ玉、確率1/2で2個のアメ玉をもらう。もし、ある子供が1個のアメ玉をもらった場合、その次の子供は確率1/2で1個のアメ玉、確率1/2で2個のアメ玉をもらう。もし、ある子供が2個のアメ玉をもらった場合、その次の子供は確率3/4で1個のアメ玉、確率1/4で2個のアメ玉をもらう。列のn番目の子供が2個のアメ玉をもらう確率を求めよ。」
です。

4人の子供への4個のアメ玉の配り方は、表1のように、
A : 4人の子供に1個ずつ配る
B : 1、2番目の子供に1個ずつ、3番目の子供に2個配る
C : 1、3番目の子供に1個ずつ、2番目の子供に2個配る
D : 2、3番目の子供に1個ずつ、1番目の子供に2個配る
E : 1、2番目の子供に2個ずつ配る
5通り で、これがⅠの答えです。


▲表1.4人の子供への4個のアメ玉の配り方


次にⅡです。

m≧2n から、n人の子供全員に1または2個のアメ玉を配った後に残るアメ玉の個数は0以上になるので、n人の子供全員に1または2個のアメ玉が配られることになります。

このとき、それぞれの子供に、アメ玉は1個、または、2個配られるので、n人の子供へのアメ玉の配り方は、

で、これが答えです。

続いてⅢです。

n≧m から、m個のアメ玉は余ることはなく、すべて配りきられることになります。

このとき、m個のアメ玉の配り方 Xm は、
〔1〕m-2(個目)のアメ玉が配られた(この配り方はXm-2)子供の次の子供に2個のアメ玉を配る
〔2〕m-1(個目)のアメ玉が配られた(この配り方はXm-1)子供の次の子供に1個のアメ玉を配る
の和になるので、
m=Xm-1+Xm-2
で、これが答えです。


次回はⅣからです。

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post office のはなし

2019-08-17 10:30:41 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1英語教科書の 「いろいろな場所」を紹介したページに post office(郵便局) があります。

この post現代英語語法辞典 で引いてみると、

手紙や小包を集配する公共事業 は、普通、イギリス英語 では postアメリカ英語 では mail と呼ばれている

特定の時間に配達される手紙や小包 を、イギリス英語 では post といい、アメリカ英語 では mail という

● 「郵便を出す」の意の場合も、イギリス英語postアメリカ英語mail を普通用いる

とあり、郵便に関連する事柄 について、イギリス英語 では postアメリカ英語 では mail が一般的に使われているようです。

すると、首記の post office は、アメリカ英語mail office になりそうですが、実は、アメリカ英語 でも post office と言います。

このような イギリス英語アメリカ英語共通な郵便関係の語 は、post office のほかに、
postcard   (郵便はがき)
postmaster (郵便局長)
mailbag    (郵袋)
mail order (通信販売)
などがあります。

ちなみに、
        イギリス英語       アメリカ英語
郵便配達人  postman       mailman
                    mail carrier

郵便ポスト  postbox      mailbox
       letter box 
     
といいます。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学生でも解ける京大大学院入試問題(3)

2019-08-16 10:56:02 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成29年度京大大学院経済学研究科(修士課程)の入試問題です。

問題は、
「次の連立方程式について以下の問に答えなさい(aとbは実数とする)。

          x +2y+ z= 3
             ay+5z=10
          2x+7y+az= b

(ⅰ)この連立方程式がただ一つの解をもつためにaが満たすべき条件を求めなさい。

(ⅱ)この連立方程式が複数の解をもつために(a,b)が満たすべき条件を求めなさい。」
です。

与えられた連立方程式を
x +2y+ z= 3         (1)   
   ay+5z=10         (2)
2x+7y+az= b         (3)
とします。

(3)-(1)×2から
3y+(a-2)z=b-6       (4)

(2)×3-(4)×aから
(a+3)(a-5)z=a(b-6)-30
です。

ここで、a≠-3,5のとき、

で、与えられた連立方程式はただ一つの解をもちます。

ちなみに、xとyはそれぞれ、


です。

一方、a=-3のとき、(2)と(4)は、それぞれ、
-3y+5z=10            (5)
 3y-5z=b-6           (6)
になり、(5)+(6)から
0=b+4
で、b=-4のとき 不定、b≠-4のとき 不能 です。

さらに、a=5のとき、(2)と(4)は、それぞれ、
5y+5z=10
 y+ z=2              (7)
3y+3z=b-6            (8)
になり、(7)×3-(8)から
0=12-b
で、b=12のとき 不定、b≠12のとき 不能 です。

以上をまとめると、
(ⅰ)与えられた連立方程式がただ一つの解をももつためにaが満たすべき条件は、
   a≠-3,5

(ⅱ)与えられた連立方程式が複数の解をもつために(a,b)が満たすべき条件は、
   (-3,-4)、(5,12)
で、これらが答えです。


簡単な問題です。

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expensive のはなし

2019-08-15 11:16:12 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2英語教科書の 「moreやmostと一緒に使われる形容詞」 という Word Bank に、 expensive という単語があります。

この expensive は 「高価な」という意味で、これを ウィズダム英和辞典 で引いてみると、類義語 high、costly との違いについて、

expensive
  本来の価値以上または買い手の財力以上の費用がかかることをいい、「価格が高い」の意ですでに「価格」の意を含むので、通例、物・事、時に人を表す名詞と用いる

 His car is expensive×high〕.
(彼の車は高価だ)

high
  price(価格)、cost(費用)、tax(税金)、salary(給料)、rate(料金)、fee(料金)、fare(運賃)、rent(賃貸料)、stakes(賭け金) など、「価格」の意を含む名詞と用い、それらが高いことを表す

 His salary is high〔非標準expensive〕.
(彼の給料は高い)

costly
  ややかたい語で、予想以上に費用がかかり、お金を浪費してしまうことや比喩的に犠牲・損失が大きいことをいう場合にも用いる

 The project proved too costly.
(その計画はあまりに費用がかさむことがわかった)

と説明しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学生でも解ける東大大学院入試問題(219)(つづき2)

2019-08-14 11:19:58 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成23年度東大大学院工学系研究科の入試問題のつづき2です。

問題は、
「あるコロニーに生息するアリの数 N 匹を、2回の捕獲によって推定する。1回目の捕獲では、捕獲数が n1 匹であり、そして、捕獲したすべてのアリにマーキングをして放した。2回目の捕獲では、捕獲数が n2 匹で、そのうち m 匹(m≠0)にマーキングが認められた。ただし、2回目の捕獲は同じアリの母集団からの無作為抽出であり、捕獲とマーキングはアリの行動には影響しない。

Ⅰ.2回目の捕獲で、マーキングされたアリが m 匹含まれる組合せの数を求めよ。

Ⅱ.2回目の捕獲で、マーキングされたアリが m 匹含まれる確率Pm(N)を N、n1、n2、m を用いて表せ。

Ⅲ.Pm(N)≧Pm(N+1) を満たす N の条件を求めよ。

Ⅳ.Pm(N)は N に関して最大値を持つことを既知として、Pm(N)を最大とする N を n1、n2、m を用いて表せ。」
です。

今回は、最後のⅣです。

m(N) が最大値であるとすると、
m(N)≧Pm(N+1)     (3)
m(N)≧Pm(N-1)     (4)
が成り立ち、ここで(3)を満たすNの条件はⅢの結果です。

そこでⅢと同じように、(4)を満たすNの条件を調べましょう。


で、

になります。

これらを(4)に代入すると、

で、これを整理すると、

になります。

このとき、

から

なので、(5)は、

になります。

したがって、(4)を満たすNの条件は、

になり、さらにⅢの結果から

です。

このとき、Nは整数なので、

(〔x〕は、xを超えない最大の整数を表します)
で、これが答えです。


誘導形式で簡単な問題です。

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kabuki のはなし

2019-08-13 12:21:32 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の英語教科書に、
We watched kabuki there.
(私たちはそこで歌舞伎を観たの)
という文があります。

ここで kabuki が、英語でなく外国語であることを表す イタリック体 表記なので、ちょっと不思議に思い、手元にある英英辞典で kabuki を引いてみたところ、

ロングマン英英辞典
コウビルト英英辞典
には 掲載されていません が、

オックスフォード現代英英辞典
WEBSTER’S COLLEGE DICTIONARY
コリンズ英英大辞典
The AMERICAN HERITAGE dictionary of the English Language
にはしっかりと 載っていました

また、 ONLINE ETYMOLOGY DICTIONARY には、 kabuki だけではなく、 onnagata(女形) も 見出し語 として挙げてあります。
(手元の英英辞典には onnagata はありません)

kabuki が載っていない 英英辞典 があることに驚きましたが、近いうちに イタリックなし で表記されるようになるでしょう。 

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中学生でも解ける東大大学院入試問題(219)(つづき1)

2019-08-12 11:40:54 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成23年度東大大学院工学系研究科の入試問題です。

問題は、
「あるコロニーに生息するアリの数 N 匹を、2回の捕獲によって推定する。1回目の捕獲では、捕獲数が n1 匹であり、そして、捕獲したすべてのアリにマーキングをして放した。2回目の捕獲では、捕獲数が n2 匹で、そのうち m 匹(m≠0)にマーキングが認められた。ただし、2回目の捕獲は同じアリの母集団からの無作為抽出であり、捕獲とマーキングはアリの行動には影響しない。

Ⅰ.2回目の捕獲で、マーキングされたアリが m 匹含まれる組合せの数を求めよ。

Ⅱ.2回目の捕獲で、マーキングされたアリが m 匹含まれる確率Pm(N)を N、n1、n2、m を用いて表せ。

Ⅲ.Pm(N)≧Pm(N+1) を満たす N の条件を求めよ。

Ⅳ.Pm(N)は N に関して最大値を持つことを既知として、Pm(N)を最大とする N を n1、n2、m を用いて表せ。」
です。

今回はⅢです。

Ⅱから

です。

これらを Pm(N)≧Pm(N+1)に代入すると、

になり、したがって、

です。

このとき、2回目の捕獲でマーキングされていない N-n1 (匹)のアリの中から、マーキングされていない n2-m (匹)のアリを捕獲することができるので、

で、これから

になります。

したがって、(2)から

です。

以上から、Pm(N)≧Pm(N+1) を満たす N の条件は、

で、これが答えです。

次回は最後のⅣです。

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is not のはなし

2019-08-11 11:53:01 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1の英語教科書に、
He is not a PE teacher.
(彼は体育の先生ではありません)
という文があります。

この is not短縮形 isn’t について、 オックスフォード実例現代英語用法辞典 を調べてみると、

否定表現 の場合、2通りの短縮形が可能 になることがあり、he isn’the’s not はともによく用いられる

二重の短縮形 は普通は綴られることはなく、例えば、 he’sn’t という形は認められない

と記しています。

さらに be動詞以外の動詞 については、

アメリカ英語 では、例えば he hadn’t のように n’t を伴った形態 をとり、 南部のイギリス標準英語 でもこの形態が一般的

北部のイギリス英語スコットランド英語 では、例えば he’d not のように not を伴った形態 のほうがよく見られる傾向にある

と解説しています。


ちなみに、 フロンティア英文法 に、 am〔are,is,have,has〕not の短縮形 として ain’t という形が、特に アメリカの口語・俗語 でよく使用されるとありますが、 ain’t標準的ではない ので、学校の授業で、
He ain’t a PE teacher.
と言わない方がいいでしょう。

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中学生でも解ける東大大学院入試問題(219)

2019-08-10 11:00:12 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成23年度東大大学院工学系研究科の入試問題です。

問題は、
「あるコロニーに生息するアリの数 N 匹を、2回の捕獲によって推定する。1回目の捕獲では、捕獲数が n1 匹であり、そして、捕獲したすべてのアリにマーキングをして放した。2回目の捕獲では、捕獲数が n2 匹で、そのうち m 匹(m≠0)にマーキングが認められた。ただし、2回目の捕獲は同じアリの母集団からの無作為抽出であり、捕獲とマーキングはアリの行動には影響しない。

Ⅰ.2回目の捕獲で、マーキングされたアリが m 匹含まれる組合せの数を求めよ。

Ⅱ.2回目の捕獲で、マーキングされたアリが m 匹含まれる確率Pm(N)を N、n1、n2、m を用いて表せ。

Ⅲ.Pm(N)≧Pm(N+1) を満たす N の条件を求めよ。

Ⅳ.Pm(N)は N に関して最大値を持つことを既知として、Pm(N)を最大とする N を n1、n2、m を用いて表せ。」
です。

2回目の捕獲前に、N 匹のアリのうち、マーキングされたアリが n1 匹、マーキングされていないアリが N-n1 匹います。

このとき、n1 匹のマーキングされたアリから m 匹捕獲する組合せは、

で、N-n1 (匹)のマーキングされていないアリから n2-m(匹)捕獲する組合せは、

なので、これらの積

がマーキングされたアリが m 匹含まれる組合せ数になります。

ここで、

を使って(1)を変形すると、

で、これがⅠの答えです。

ここで、

です。

次にⅡです。

2回目に、N 匹のアリから n2 匹を捕獲する組合せは、

なので、2回目の捕獲で、マーキングされたアリが m 匹含まれる確率Pm(N)は、

で、これが答えです。


次回はⅢです。

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final のはなし

2019-08-09 10:46:29 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中2の英語教科書に、
Are you going to stay until the final talk.
(最後の講演までいる?)
という文があります。

この finalコンパスローズ英和辞典 で調べてみると、その類義語の last との違いについて、
final
  物事の最終を意味し、それで終わりということを表す

 Her final goal isn’t clear.
(彼女の究極の目標は不明だ)

last
  順序・時間・場所など一連のもののうち最後を意味するが、 final と違ってそれで終わりということは必ずしも示さない

 the last day of a month
(月の最終日)
と説明しています。

ちなみに 「最後から2番目の」 は、 penultimate と言い、日常英語 では、《米》next to last、《英》last but one などと言います。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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中学生でも解ける東大大学院入試問題(218)(つづき2)

2019-08-08 11:21:30 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成25年度東大大学院工学系研究科の入試問題です。

問題は、
「赤玉k個(kは2以上の整数)、白玉k個と、袋A、Bがある。袋Aには2個、袋Bには残りの玉が入っている。袋Aの中にある玉が赤玉2個の場合を状態S0、赤玉1個と白玉1個の場合を状態S1、白玉2個の場合を状態S2とする。
 ここで、袋Aから無作為に1つ玉を取り出して袋Bに入れ、次に袋Bから無作為に1つ玉を取り出して袋Aに戻す過程を1回の操作とする。
 以下の問いに答えよ。

Ⅰ.袋Aの最初の状態がS1であるとき、1回目の操作後に、袋Aがとる各状態の確率を求めよ。

Ⅱ.袋Aの最初の状態がS0であるとき、2回目の操作後に、袋Aがとる各状態の確率を求めよ。

Ⅲ.n回目(nは自然数)の操作後に袋Aがとる各状態の確率が与えられた時、これらを用いて、n+1回目の操作後に袋Aがとる各状態の確率を表せ。

Ⅳ.十分大きな回数の操作を行った後に、袋Aがとる状態の確率を求めよ。」
です。

今回は、最後のⅣです。

Ⅲで求めた連立漸化式

を解きましょう。

(2)と(4)から

で、

です。

したがって、n→のとき、

です。

また、(5)を(1)に代入すると、

が成り立ち、この特性方程式

を解くと

です。

これから(7)は、

と変形することができます。

ここで、p0を操作前のS0の確率(0または1)として、

と書き並べ、左辺と右辺のそれぞれの積をとると、

が成り立ち、これを変形すると、

になります。

このとき、

で、k≧2から

になり、n→のとき、

です。

したがって、n→のとき、

です。

すると(4)、(6)、(8)から、n→のとき、

です。

以上をまとめると、十分大きな回数の操作を行った後に、袋Aがとる各状態の確率は、

で、これが答えです。

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improve のはなし

2019-08-07 11:06:56 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中3の英語教科書に、
Little by little, my skills improved and my interest in the sport grew.
(すこしずつ、ぼくの技術は向上し、そしてそのスポーツ(テニス)への興味が大きくなった)
という文があります。

この improveロングマン英英辞典 で引いてみると、その REGISTER(使用域)の項に、

In everyday English, people often say something gets better rather than improves
(日常英語で、何かが improve すると言うよりも get better すると言うことのほうが多い)
とあり、例文として、
Her English is definitely getting better
(彼女の英語は確かに上手くなっている)

I hope things get better soon.
(状況はすぐによくなると思うよ)
を挙げています。


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中学生でも解ける東大大学院入試問題(218)(つづき1)

2019-08-06 10:53:00 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成25年度東大大学院工学系研究科の入試問題です。

問題は、
「赤玉k個(kは2以上の整数)、白玉k個と、袋A、Bがある。袋Aには2個、袋Bには残りの玉が入っている。袋Aの中にある玉が赤玉2個の場合を状態S0、赤玉1個と白玉1個の場合を状態S1、白玉2個の場合を状態S2とする。
 ここで、袋Aから無作為に1つ玉を取り出して袋Bに入れ、次に袋Bから無作為に1つ玉を取り出して袋Aに戻す過程を1回の操作とする。
 以下の問いに答えよ。

Ⅰ.袋Aの最初の状態がS1であるとき、1回目の操作後に、袋Aがとる各状態の確率を求めよ。

Ⅱ.袋Aの最初の状態がS0であるとき、2回目の操作後に、袋Aがとる各状態の確率を求めよ。

Ⅲ.n回目(nは自然数)の操作後に袋Aがとる各状態の確率が与えられた時、これらを用いて、n+1回目の操作後に袋Aがとる各状態の確率を表せ。

Ⅳ.十分大きな回数の操作を行った後に、袋Aがとる状態の確率を求めよ。」
です。

今回はⅢです。

図4に、S0、S1、S2のそれぞれの状態から、1回の操作によって移行する状態とその確率をまとめました。


▲図4.各状態から1回の操作によって移行する状態とその確率です

ここで、n回目の操作後に袋AがとるS0、S1、S2の確率をそれぞれpn、qn、rnとすると、図4から、

になり、これが答えです。


次回は最後のⅣです。

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little のはなし

2019-08-05 11:44:10 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1の英語教科書に、
The egg said,“I’m Humpty Dumpty. What’s your name, little girl?”
(その卵が、「わしはハンプティ・ダンプティじゃ。君の名前はなんだね、お嬢ちゃん」と言った)
という文があります。

この littleウィズダム英和辞典 で引いてみると、その 類義語small、tiny との違いについて、

little
  形状や規模の小ささをいうが、かわいらしさ、未成熟、つまらなさ、卑しさなど好き嫌いを表す感情がしばしば含まれる。そのため、話者の主観的な判断を表すほかの形容詞と共に用いられることが多い

small
  客観的に形状だけでなく数量・価値・規模などの小ささを表す

tiny
  形や数量が極端に小さいことを表し、通例話者の驚きを暗示

という説明があり、さらに little について、

● 形状の小ささをいう little は、be動詞 などの後で 叙述的に用いる場合 や、 前に very を伴う場合避けられる とあり、その例として、

The boy is still small for his age.
(その子は年齢の割りにまだ小さい)
に対して、
The boy is still little for his age.
まれ

a very small〔tiny〕 fish
に対して、
a very little fish
まれ

を挙げています。


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中学生でも解ける東大大学院入試問題(218)

2019-08-04 12:19:36 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成25年度東大大学院工学系研究科の入試問題です。

問題は、
「赤玉k個(kは2以上の整数)、白玉k個と、袋A、Bがある。袋Aには2個、袋Bには残りの玉が入っている。袋Aの中にある玉が赤玉2個の場合を状態S0、赤玉1個と白玉1個の場合を状態S1、白玉2個の場合を状態S2とする。
 ここで、袋Aから無作為に1つ玉を取り出して袋Bに入れ、次に袋Bから無作為に1つ玉を取り出して袋Aに戻す過程を1回の操作とする。
 以下の問いに答えよ。

Ⅰ.袋Aの最初の状態がS1であるとき、1回目の操作後に、袋Aがとる各状態の確率を求めよ。

Ⅱ.袋Aの最初の状態がS0であるとき、2回目の操作後に、袋Aがとる各状態の確率を求めよ。

Ⅲ.n回目(nは自然数)の操作後に袋Aがとる各状態の確率が与えられた時、これらを用いて、n+1回目の操作後に袋Aがとる各状態の確率を表せ。

Ⅳ.十分大きな回数の操作を行った後に、袋Aがとる状態の確率を求めよ。」
です。

図1に、1回の操作による状態S1からの遷移図を示します。


▲図1.1回の操作による状態S1からの遷移図です

図1から、袋Aの最初の状態がS1であるとき、1回目の操作後に、袋Aがとる各状態の確率は、

で、これがⅠの答えです。

続いてⅡです。

Ⅰと同じように、1回の操作による状態S0およびS2からの遷移を調べると、図2のようになります。


▲図2.1回の操作による状態S0およびS2からの遷移図です

図1と2から、2回の操作による状態S0からの遷移は、図3のようになります。


▲図3.2回の操作による状態S0からの遷移図です

図3から、袋Aの最初の状態がS0であるとき、2回目の操作後に、袋Aがとる各状態の確率は、

で、これが答えです。


Ⅲは次回です。

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