塾よりスイミングクラブ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報通りに雨になりました。明日は晴れと雨のマークが出ていて不安定な天気になるようです。

学研から毎月送られてくる小冊子の「Ｄｒ．吉田」先生のコラムについては何回か紹介しましたが、今回は「知能指数と運動」の話題です。

スウェーデンやオランダの大学の研究グループが、この１００年間で知能指数が１４．１ポイント低下したという研究結果を報告したそうです。

視覚的刺激に対する脳の反応時間は、ＩＱの成績とおよそ相関することが明らかにされていて、１８８９年から今までの反応時間を調べた実験結果を分析して、ＩＱの変化を推測したものです。（てっきり、ＩＱは高くなっていると思ってました）

このようにＩＱが大幅に低下したのは、運動する量が減ったことが主な原因である可能性が高いようです。

スウェーデンの大学で、１２０万人超に対して彼らのＩＱと身体検査結果とを分析した結果、心臓血管能力が高い程ＩＱも高いという関係をつきとめました。心臓血管能力とは、血液を循環させ全身に酸素を送り届ける能力のことで、脳に大量の血液（酸素）を送ることができることとＩＱが高いということは関係がありそうです。この心臓血管能力は、毎日の運動量に比例し、日常生活の中で運動する量が多い程、ＩＱが高くなる傾向があるということです。

上記以外にも世界の多くの研究機関で、ＩＱが運動によって高まるということが実証されていて、さらにＩＱを高めるのにより効果的な運動が「有酸素運動」ということも明らかになっています。つまり、酸素を大量に消費しながら長時間に渡って持続する運動、例えば、水泳とか長距離走が効果的ということです。

昔の話になりますが、高校のとき水泳部の連中はよくできると言われていて、確かに医者になった奴が多かった気がするので、そうだったのかも知れません。

ということは、塾よりスイミングクラブということでしょうか。困りました。

三角形の重心と質量の中心は一致するのか

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

少し晴れ間も見られましたが、天気は下り坂で木曜日までは雨模様です。ＧＷが明けて１週間ほど経つと中間試験が始まります。今週末からの連休に予定のある人は、雨模様の３日間でよく勉強しておきましょう。

さて、今日は三角形の重心と質量の中心の話です。三角形の重心は、三角形の各頂点と対辺の中点を結んだ線（中線と言います）の交点です。

それに対して、質量の中心というは、均質な板で作った三角形を下から針で支えバランスの取れる点になります。（これができるか分かりませんが）そして、この場合、重心と質量の中心が一致します。

このことについて、「ファインマン物理学」では次のように記述しています。「質量の中心位置を求める計算は、数学課程の方の領分であって、これは積分学のいい練習になる。微積分を習ってからだと、質量の中心位置を求めるのに役に立つ手をいろいろ覚えるのも、悪くない。そのような手の一つは、いわゆるパップスの定理を使うのである。」

ここで「パップスの定理」というのは、「パップス-ギュルダンの定理」のことで、「平面上の有界な閉領域をそれと交わらない同一平面内の軸を中心として回転させるときにできる体積は、閉領域の面積×閉領域の質量の中心の軌跡の長さ」　になると言うものです。

「ファインマン物理学」では、図１のような底辺がＤ、高さがＨの直角三角形を例として挙げています。

▲図１.直角三角形の質量中心の求め方

図１のＨを軸にして直角三角形を３６０°回転させると円錐ができます。Ｈから質量の中心までの長さをｘとすると、質量の中心の軌跡の長さは、２πｘで、動いた直角三角形の面積は、ＨＤ/２なので、それらを掛け合わせたπｘＨＤは円錐の体積πＤ＾2×Ｈ/３に等しくなります。すなわち、ｘ＝Ｄ/３となる訳です。同様に、Ｄを軸にして回転させた場合を考えれば、ｙ＝Ｈ/３となります。すると、図２に示したように、ｘ＝Ｄ/３、ｙ＝Ｈ/３の点は中線の交点と一致し、これは、重心と質量の中心が一致すると言うことです。

▲図２．直角三角形における重心と質量の中心の一致

この後、ファインマン先生は、「三角形がどんな形をしていても、その質量の中心は、頂点から対辺の中点にひいた中線３本が１点に交わるところである」とジャンプしてしまい、「三角形を一つの底辺に平行に細くきる。中線はそのあらゆる細片を２等分する。よって質量の中心はこの中線の上にある」と言う手がかり（図３）を残して、より複雑な形に進んでしまいます。（三角形の場合、各辺に平行な細辺（微小高さの長方形）を作れることがポイントです）

▲図３．手がかり

以上のように、三角形の重心と質量の中心が一致することを「パップス-ギュルダンの定理」（これを証明するためには重積分を使います）で理解するより、厳密でないにしろ「手がかり」で直感的に理解することができます。

四鏡と「豊鏡」

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

雲が多く明日から雨が降るようです。週末には良い天気になるようです。

昨夜のＮＨＫ大河ドラマ「軍師官兵衛」は、播磨の争乱の続きです。毛利勢により尼子勝久を頭に山中鹿之助が籠る上月城が落城する一方、織田勢により三木城の支城である神吉城、志方城が落城します。その後、毛利勢が侵攻しなかったため、織田勢は、三木城攻略を秀吉に任せて引き上げます。これが天正６年８月のことで荒木村重の謀反まであと２ヶ月です。

この織田勢撤退の記録は、「黒田家家譜」や「豊鏡」に書かれていて、前者は、黒田藩士であり江戸時代の学者でもあった貝原益軒が編纂したもので、後者は、竹中半兵衛の嫡子・竹中重門が著した秀吉の伝記で、父親半兵衛の活躍も書いてあるようです。

「豊鏡」とは仰々しい名前ですが、「～鏡」というと四鏡と呼ばれる「大鏡」、「今鏡」、「水鏡」、「増鏡」の歴史書が有名です。その他に、「吾妻鏡」、「後鑑」もあります。

「大鏡」を初めととして四鏡はしばしば大学入試問題の出展になったり、また、去年の東大入試では「吾妻鏡」から出題されました。しかし、「豊鏡」から出題されることはなさそうですね。内容は結構面白そうですが・・・。

英文の速読練習

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

暑くもなく寒くもなく、過ごしやすい陽気が続きます。今日も中３生の英語補習です。

語学習得には、たくさん読んだり聴いたりすることが大切です。（多分、これ以外に手段はないと思います）　しかし、中学の教科書の英文量が少なく、かつ、決まった時間に大量の英文を読む訓練をしないため、多くの生徒が都立高校入試問題に梃子摺ります。

そのため週末の補習では、３００～６００ｗｏｒｄｓくらいの英文を速読していきます。その速読方法は、英文和訳式の戻り読みをせずに英文を前から読み下していきます。そこで大切なのは、主語と動詞を中心に文の骨格を把握することで、そのために「～は（が）、」、「～を」、「～に」、「～の」などの助詞をきちんと認識すると良いでしょう。

そのようにして英文を読むスピードが上がってくると単語の読み違えが起こります。例えば、“ｔｒｉｅｄ”　と　“ｔｉｒｅｄ”　や　“ｔｈｅｒｅ”　と　“ｔｈｅｓｅ”　などです。これは、“ｔｉｒｅｄ”　という単語を記憶している場合、“ｔｒｉｅｄ”　という単語を見たときに自分の意識よりもその記憶のほうが先に文字を認識してしまうことにより生じます。

これに対しては、誤読した単語を覚えておいて、次からそれらの単語に注意を払いながら読むことが大切です。そこで誤読していないかを確認するため、訳文をチェックするか、誰かに確認してもらいながら速読することが効果的です。

重心の求め方

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

暖かい日が続きます。来週の半ばに少し崩れるようですが、ＧＷ中は概ね良い天気になりそうです。今日も中３生の英語の補習授業です。

昨晩ファインマン物理学を読んでいたら巻末の演習問題に重心を求める問題がありました。図１のように、直径２０ｃｍの円板に直径１０ｃｍの円形の穴を作ったとき、その重心の位置を求める問題です。

▲図１.重心の問題

図２のようにｘｙ座標を定めて、ｘ軸上のＧを通りｙ軸に平行な直線で左右の重さのバランスが取れるとすればＧが重心になるのですが、これを計算で求めるのは大変です。

▲図２．重心の問題２

そこで、２質点の重心公式
Ｘｇ＝（ｍ1Ｘ1＋ｍ2Ｘ2）/（ｍ1＋ｍ2）
を使うのですが、このとき、穴の部分の質量を負とするのがポイントです。

円板の面密度をρとして計算すると、
ｍ1＝１００πρ
ｍ2＝２５πρ
Ｘ1＝０ｃｍ
Ｘ2＝－５ｃｍ
より、
Ｘｇ＝－（２５πρ×（－５））/（（１００－２５）πρ）
　　＝１２５/７５＝１．６７ｃｍ
となります。

次に、この問題を一般化して、図３のように半径ａの円板から半径ｂ（２ｂ＜ａ）の円形の穴を開けた場合を考えます。このとき穴の中心の座標を（ｘ2，０）とします。

▲図３．重心の問題の一般化

そこで、
ｍ1＝πρａ＾2　　　（Ａ＾2は、Ａの２乗を表します）
ｍ2＝πρｂ＾2
Ｘ1＝０
を２質点の重心公式に代入し、
Ｘｇ＝－（πρｂ＾2Ｘ2）/（πρ（ａ＾2－ｂ＾2））
　　＝－ｂ＾2Ｘ2/（ａ＾2－ｂ＾2）
となります。

この式から判ることは、ＸｇがＯ（円板の重心）と一致するのは、ｂ＝０またはＸ2＝０のときで、ｂ＝０は穴がないとき、Ｘ2＝０は穴の中心がＯに一致するときで、つまり、ドーナツ型の図形になるときです。（当たり前ですね）

また、ｂがａに近づくと分母が０に近づき、Ｘｇが発散してしまいますが、これは、ｂ＝ａでは円板自体がなくなり問題の意味がなくなってしまうことに対応します。

小６算数「折り紙問題」

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

晴れの日が続きます。 ＧＷも始まるのでこれが続くと嬉しいです。

小６の算数は、対称図形から始まりますが、そこに「折り紙問題」と言うものがあります。これは、折り紙を何回か折った後、その一部を切り取り、そして折り紙を広げたとき、どのように切り取られているかを問う問題です。

図１は簡単な例で、折り紙を２回折った後、２つの灰色の三角形（△ＥＨＩと△ＤＦＧ）を切り取った場合です。

▲図１.折り紙問題

この程度であれば、頭の中でイメージできる児童もいるのですが、折る回数を増やしていくと、普通はお手上げになってしまいます。多分、３回折ったものを頭の中でイメージできれば相当頭が良いと思いますが、解答の手順をきちんと踏んでいけば、誰でも正解することができます。

▲図２.折り紙問題　解答手順

図２に解答手順を示します。折り紙を折り終わり、指定部分を切り取ったものから順番に広げていきます。図２では、２つの灰色の三角形△ＥＨＩと△ＤＦＧを切り取りました。そこで折り紙を１回広げます。そのとき広げた折り目、つまり、ＤＥが対称軸になるので、△ＥＨＩに対して△ＥＨ’Ｉ、△ＤＦＧに対して△ＤＦ’Ｇが切り取られていることになります。

続いて、次の折り目を広げます。その折り目、つまり、ＡＣは対称軸なので、△ＩＨＨ’に対して、△Ｉ’ＨＨ’、△ＤＦＦ’に対して、△ＢＪＪ’が切り取られていることになります。つまり、正解は図２の左図となる訳です。

このように折った順番を１回ずつ巻き戻しながら、切り取られた図形の折り目に関する鏡映像を描いていけば正解することができます。

ＧＷ中に暇な時間があったら、３、４回折った折り紙問題を頭の中で考えてみたらいかがでしょうか。

大きな桁の整数の割り算

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

良い天気が続きます。将棋名人戦は、羽生三冠が２連勝で名人位奪回に幸先良いスタートです。森内名人も巻き返してくるでしょうからこれからの勝負が楽しみです。

公立中高一貫校の適性検査問題では、いくつかの学校で桁数の大きい整数の割り算が出題されます。例えば、都立小石川中では、日本の工業製品出荷額の割合を計算する問題が出題されました。東京、愛知、大阪、福岡の４都府県について、それぞれ、８４４８８、３８３５３２、１５８９３２、８２４９１を２９０８０２９で割り、百分率で小数第１位まで求めるというものです。

これをそのまま筆算しても良いのですが、百分率にして小数第１位まで求めれば良いのですから、少し簡単に計算したいものです。

そこで、割る数をａ、割られる数をｂ、ａとｂの中で丸める数をαとβとすると、ｂ/ａと（ｂ＋β）/（ａ＋α）が小数第４位まで一致するようにα、βを決めれば良いということになり、式で表すと、
ｌｂ/ａ－（ｂ＋β）/（ａ＋α）ｌ＜０．０００１　　　
となります。（ここで　ｌｘｌ は、ｘの絶対値を表します）

ここで、左辺の２項目の分子、分母をａで除すると、
ｌｂ/ａ－（ｂ/ａ＋β/ａ）/（１＋α/ａ）ｌ
＝ｌｂ/ａ－（ｂ/ａ）/（１＋α/ａ）－（β/ａ）/（１＋α/ａ）ｌ　　式（１）

そして、１/（１＋α/ａ）＝１－α/ａ＋（α/ａ）＾2－・・・
で２次以上の項を無視して、代入すると、
式（１）≒ｌ（ｂ/ａ）×α/ａ－（β/ａ）（１－α/ａ）ｌ　
　　　　≒ｌ（ｂ/ａ）×α/ａ－β/ａｌ　　　　　　　

この式の２項の桁数を考えると、ｂとαの桁数の和がａの桁数の２倍より５桁小さくなり、βの桁数がａの桁数より５桁少なければ、０．０００１より小さくできそうです。

そこで、実際に小石川中の問題を計算してみると、
東京の場合、８４５００÷２９１００００＝２．９０３％（２．９０５％）
愛知では、３８３５００÷２９０８０００＝１３.１８７％（１３．１８８％）
大阪では、１５８９００÷２９０８０００＝５．４６４％（５．４６５％）
福岡では、８２５００÷２９１００００＝２．８３５％（２．８３６％）
【（　）の中の数値は、与えられた数字を使った計算値を小数第４位以下を切り捨てたもの】

となり、小数第２位まで一致していることが分かります。

以上のように計算は簡単になりましたが、それ以前が面倒で適性検査には使えないですね。割られる数を丸めるのは簡単ですが、どちらかと言うと割る数を簡単にしたいので、またその方法を考えて見ます。

Ｓｔｅｉｎｅｒの問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

良い天気になりました。ここ暫く雨にはならないようです。昨日から将棋名人戦第２局が始まりました。羽生三冠の先手番で、第１局と同じ「相掛り」です。両雄の意地と意地のぶつかり合いと言ったところでしょうか。

さて、今日の話題は、Ｓｔｅｉｎｅｒ（シュタイナー）の問題です。これは、平面上の３点を結ぶとき、その全長を最小にする結び方を問うものです。

例えば、図１のように、平面上の３点をＡ、Ｂ、Ｃとしたとき、平面内に第４の点Ｐを求め、ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にするということです。

▲図１．Ｓｔｅｉｎｅｒの問題

この答えは、△ＡＢＣにおいて、すべての角が１２０°より小さいならば、Ｐは３辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡのそれぞれが１２０°の角を張るような点で、△ＡＢＣの角のどれかが１２０°に等しいかそれより大きいならば、Ｐはその角の頂点に一致します。

では、解説を始めます。まず、Ｐが、Ａ、Ｂ、Ｃのどれかに一致する場合、Ｐは△ＡＢＣの最大の角を持つ頂点に一致します。例えば、Ｃが最大の角とすれば、ＡＢ＞ＣＡ、ＣＢなので、ＣＡ＋ＣＢ＜ＣＡ＋ＡＢ、ＣＢ＋ＡＢとなるからです。

次に、ＰがＡ、Ｂ、Ｃと一致しない場合を調べます。図２のように、Ａを中心とする円を描いて、その円周上にＰがあるとすると、ＣＰ＋ＢＰが最小ならば、∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＣとなります。

▲図２．Ｓｔｅｉｎｅｒの問題の解説１

図３のように、ＢおよびＣを中心とする円を描いたときも同様で、∠ＢＰＡ＝∠ＢＰＣ、∠ＣＰＡ＝∠ＣＰＢ　より、∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝１２０°　となります。

▲図３．Ｓｔｅｉｎｅｒの問題の解説２

ここで、円Ａを描いたとき、Ｂ、Ｃが円の外側にあるとしていますが、（円Ｂ、Ｃの場合も同様）これは証明が必要です。

そこで、仮に、Ｂが円Ａの円周上または内部にあったとすれば、ＢＰ＋ＣＰ≧ＢＣですが、ＡＢ≦ＡＰなので、ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧ＡＢ＋ＢＣとなります。これは、ＰがＢに一致したときにＡＰ＋ＢＰ＋ＢＣが最小になることを意味していて、これは、ＰがＡ、Ｂ、Ｃに一致しないという仮定に反します。したがって、Ｂは円Ａの外部にあることになります。円Ｂ、円Ｃについても同様です。

“Ｗｈａｔ ｄｏ ｙｏｕ ｔｈｉｎｋ ～？” と “Ｈｏｗ ｄｏ ｙｏｕ ｆｅｅｌ～？”

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日の予報では明日まで雨模様となっていましたが、変更になったようで晴れ曇りの日が続くようです。

中３の英語で、「彼によってどんな本がかかれたのですか」　という語句の並べ替え問題がありました。答えは、“Ｗｈａｔ　ｂｏｏｋｓ　ｗｅｒｅ　ｗｒｉｔｔｅｎ　ｂｙ　ｈｉｍ？”　となっています。ここの　「どんな本」　というのを　“Ｗｈａｔ　ｂｏｏｋｓ”　とするのは迷わないと思うのですが、ときどき、“Ｗｈａｔ”　と　“Ｈｏｗ”　のどちらを使うのか迷うケースがあります。

よくある例が、「あなたは、それについてどう思いますか」　と言うもので、“Ｗｈａｔ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｔｈｉｎｋ　ａｂｏｕｔ　ｉｔ？”　と　“Ｈｏｗ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｔｈｉｎｋ　ａｂｏｕｔ　ｉｔ？”　のどちらが正しいのか迷う人もいるかと思います。正しいのは　“Ｗｈａｔ　ｄｏ　ｙｏｕ　・・・？”　です。

原則として、名詞や名詞句および名詞節が返答になる場合は、“Ｗｈａｔ”　を使い、形容詞、副詞やそれらの句や節が返答になる場合は、“Ｈｏｗ”　を使います。

この原則に照らすと、「あなたは、それについてどう思いますか」　の返答を　「私は良いと思います」　とすると、“Ｉ　ｔｈｉｎｋ　ｔｈａｔ　ｉｔ　ｉｓ　ｇｏｏｄ．”　となって、“ｔｈａｔ　ｉｔ　ｉｓ　ｇｏｏｄ”　の名詞節が返答の中心となるので、“Ｗｈａｔ　ｄｏ　ｙｏｕ　・・・？”　が正しいということになります。（普通、“Ｉ　ｔｈｉｎｋ　ｔｈａｔ”　は省略されて、“Ｉｔ　ｉｓ　ｇｏｏｄ．”　が返答になります）

しかし、面白いことに、同じような意味の　「あなたは、それについてどう感じますか」　に対しては、“Ｈｏｗ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｆｅｅｌ　ａｂｏｕｔ　ｉｔ？”　となります。

これは、“ｔｈｉｎｋ”　が、目的語を取るのに対し、“ｆｅｅｌ”　は、補語をとるためです。

なぜ、天正６年６月１６日と分かるのか

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

肌寒い日が続きます。暖かくなるのは木曜日からのようです。

昨夜のＮＨＫ大河ドラマ「軍師官兵衛」では、尼子勝久、山中鹿之助が籠る上月城が毛利軍に包囲され、落城寸前です。上月城を救援したい秀吉は信長の指示を仰ぐため京都に行くのですが、これは天正６年６月１６日の出来事です。どうして日付まで判るかと言うと、「信長公記」という史料があり、そこに記されているからです。

この「信長公記」以外に、この時代の信長を中心とした中央政権に関する史料としては、「兼見卿記」「家忠日記」「多聞院日記」などがあり、これらの史料は一次史料で真実性が高いとされています。

また、その他にも歴史学ではあまり重要視されていない軍記物などもあります。「太閤記」が有名ですが、中国攻めに関しては、「備前軍記」「播州佐用軍記」「陰徳太平記」などがあります。こちらはこちらで大変面白いものですが。

ときどき、ドラマで妙に詳細なシーンだったり、はたまた、ちょっとした台詞の中に出てきたり、あの史料に書いてあることだな、などと思い当たると嬉しくなります。

入試に見る反射の問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

雲っていて肌寒い日になりました。予報では、晴れ間を見られるのは来週の半ば以降のようです。

さて、ここ暫く最短ルートの問題を紹介してきましたが、これらは反射の問題として入学試験に出題されていて、古いところでは１９５７年の東大、その他にも名大、阪大などの難関大学から中学入試にも散見されます。２００６年の豊島岡女子中では、３次元に拡張した問題が出題されています。

これらの反射の問題（最短ルート問題）を解くポイントは、与えられた図形の鏡映像を並べて運動の軌跡を直線に変換することです。これさえ知っていれば、簡単な問題なのですが、知らないと難しいものになります。

今回は、１９９１年の名大の問題を紹介します。

問題は、「∠ＡＯＢを直角とする直角三角形ＯＡＢ上で玉突きをする。ただし、各辺では、入射角と反射角が等しい完全反射をするものとし、玉の大きさは無視する。Ａから打ち出された玉が各辺１回ずつ当たって、Ｂに達することができるための∠ＯＡＢに対する条件を求めよ」　というものです。

▲図１．反射の例題（１９９１年　名大）

図１に示したように、△ＯＡＢの辺ＯＢに対する鏡映像△ＯＡ’Ｂを描きます。続けて、△ＯＡ’Ｂの辺ＢＡ’に対する鏡映像△Ｏ’Ａ’Ｂ、同様に、△Ｏ’Ａ’Ｂを描けば正解まであと一歩です。

Ａから打ち出された玉が辺ＯＢに衝突するのが点Ｐで、そこから反射して辺ＡＢと衝突するのが点Ｑになるのですが、玉の軌跡を直線に変換すると点Ｑは点Ｑ’に対応します。同様に、玉が辺ＡＯに衝突する点Ｒは点Ｒ’に、目的地である頂点Ｂは△Ｏ’Ａ’Ｂ’の頂点Ｂ’に対応することになります。

つまり、線分ＡＢ’が４つ三角形の内部に引ける、言い換えれば、点Ｑ’および点Ｒ’が、それぞれ線分Ａ’Ｂおよび線分Ｏ’Ａ’を内分する点になるか、と言うことになります。

上記が成り立つ条件は、∠ＡＡ’Ｂ’＜１８０°、∠ＡＢＢ’＜１８０°です。

ここで、∠ＡＡ’Ｂ’＝３∠ＯＡＢ、∠ＡＢＢ’＝３∠ＯＢＡ　なので、
∠ＯＡＢ＜６０°　　・・・（１）
∠ＯＢＡ＜６０°
となります。

また、∠ＯＡＢ＋∠ＯＢＡ＝９０°なので、
∠ＯＢＡ＝９０°－∠ＯＡＢ＜６０°　より、
∠ＯＡＢ＞３０°　　・・・（２）
です。

（１）、（２）をまとめると、３０°＜∠ＯＡＢ＜６０°が正解となります。

与えられた図形の鏡映像を並べて軌跡を直線に変換するというテクニックを覚えておいてください。３次元に拡張した問題は後日紹介します。

乗法公式の演習方法

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報と違い良い天気になりました。明日から曇り、明後日以降しばらく、雨模様のようです。今日から土、日曜日の補習を始めます。対象は中３生で、内容は高校入試演習で、当面、英語長文読解になります。

中３の数学では、乗法公式を勉強しています。教科書には４つの公式が挙げられていて、それらは、
（１）（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝ｘ＾2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ
（２）（ｘ＋ａ）＾2＝ｘ＾2＋２ａｘ＋ａ＾2
（３）（ｘ－ａ）＾2＝ｘ＾2－２ａｘ＋ａ＾2
（４）（ｘ＋ａ）（ｘ－ａ）＝ｘ＾2－ａ＾2
です。（Ａ＾2　は、Ａの２乗を表します）

ここで、（１）の＋ａや＋ｂを変えることで（２）以下の公式が導けるのですが、素早く展開するために（１）（２）および（４）を覚えておくことが必要です。

（１）は、２つの（ ）の中の第１項目を２乗し、第２項目同士の和に第１項目を掛け、第２項目同士を掛ける、
（２）は、第１項目を２乗し、第１項目と第２項目を掛けて２倍し、第２項めを２乗する、
（４）は、第１項目の２乗から第２項目の２乗を引く、
と言う操作ですが、これを頭で覚えるのではなく、身体（手）で覚えることが大切です。

まず、（１）（２）（４）のタイプに分かれた問題でそれぞれの操作を演習してください。それぞれの操作に習熟したら、それぞれのタイプが混在した問題に移り、与式を一見してどのタイプかを見抜き、適切な操作で展開する演習をしましょう。自信を持ったところで終わりにして、翌日、３つのタイプが混在した問題を演習し、全問正解すればＯＫです。もし、間違えたのであれば、間違えたタイプの操作を復習して演習を繰り返します。

早い人でしたら１時間内、遅い人でも２時間あれば習得できるので完全にマスターしましょう。計算力は数学の基礎力ですから、速く、正確に計算できるようになることが最重要です。頑張ってください。

「最短ルート問題」の類題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報通り朝から雨になりました。しばらくの間、ぐずぐずした日が続くようです。

先日、直線Ｌに対して同じ側にある２点ＰとＱが与えられたとして、Ｌ上に点Ｒをどのように取ればＰＲ＋ＲＱが最短ルートになるかという問題を扱いましたが、今回は、２点ＰとＱとが、Ｌに対して互いに反対側にある場合を取り上げます。

図１のようにＰＲ＋ＲＱが最小になるのは、線分ＰＱと直線Ｌとの交点をＲとする場合であることは明らかです。

▲図１．ＰＲ＋ＲＱ　を最小にする場合

そこで、ＰとＱからＲへの距離の差の絶対値を最大にする場合を調べます。つまり、ｌＰＲ－ＱＲｌ　が最大となる直線Ｌ上の点Ｒを求めるということです。

初めに、点Ｐを直線Ｌに関して鏡映させて点Ｐ’を得ます。当然、点Ｐ’と点Ｑは同じ側にあることになります。

次に、直線Ｌ上の任意の点Ｒ’を取り、△Ｒ’Ｐ’Ｑを考えます。三角形の２辺の長さの差は残りの辺の長さより大きくないので、ｌＰ’Ｒ’－ＱＲ’ｌ＜Ｐ’Ｑ　となります。つまり、３点Ｒ’、Ｐ’およびＱが三角形を形成する場合は、最大値を持たないということで、最大値を持つのは、それらの点が直線上にあるときです。すなわち、直線Ｐ’Ｑと直線Ｌとの交点がＲとなるとき、ｌＰＲ－ＱＲｌ＝Ｐ’Ｑ　で、このとき、ｌＰＲ－ＱＲｌ　が最大となります。

▲図２．ｌＰＲ－ＱＲｌ　を最大にする場合

それでは、Ｐ’Ｑと直線Ｌが平行で交点を持たない場合はどうでしょうか。点Ｒが直線Ｌのどこにあろうと、３点Ｒ、Ｐ’およびＱは三角形を形成します。つまり、ｌＰ’Ｒ－ＱＲｌ　は、最大値を持たないということで、点Ｒが直線Ｌのどちらかの方向に無限に進むとすると、ｌＰ’Ｒ－ＱＲｌ＝ｌＰＲ－ＱＲｌ　の極限値がＰ’Ｑとなるということになります。

続いて、ｌＰＲ－ＱＲｌ　が最小にする場合を調べます。これは、ＰＲ＝ＱＲ、つまり、ｌＰＲ－ＱＲｌ＝０の場合で、図３のように、直線ＰＱの垂直二等分線と直線Ｌの交点がＲとなります。

▲図３．ｌＰＲ－ＱＲｌ　を最小にする場合

では、ＰＱと直線Ｌが直交する場合、すなわち、直線ＰＱと直線Ｌとが平行となる場合を考えます。もし、直線Ｌが線分ＰＱの垂直二等分線であれば、直線Ｌ上の点ＲがどこにあってもＰＲ＝ＱＲなので、ｌＰＲ－ＱＲｌ＝０（最小値）となります。

それでは、図４のように、直線Ｌまでの距離が点Ｐと点Ｑとで異なる場合は、直線Ｌと線分ＰＱの垂直二等分線は交点を持ちません。そこで点Ｒが直線Ｌのどちらかの方向に無限に進むとすると、ｌＰＲ－ＱＲｌ　は０に近づきます。つまり、ｌＰＲ－ＱＲｌ　は最小値を持たず、極限値０を持つということになります。

図４．ＰＱ⊥Ｌで　ｌＰＲ－ＱＲｌ　を最小にする場合

“ｍａｎｙ” と “ｍｕｃｈ” の使い方

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

夜から曇るようで、明日は雨模様です。

数量を表す形容詞で身近な単語は、“ｍａｎｙ”　と　“ｍｕｃｈ”　でしょう。　“ｍａｎｙ”　は数えられる名詞に、“ｍｕｃｈ”　は数えられない名詞に使うと習います。

ここで手元にある４種類の文法書を開いてみると、どれも　“ｍａｎｙ”、“ｍｕｃｈ”　は主に否定文と疑問文に用いられ、肯定文にはあまり用いられないとあります。

「オックスフォード実例現代英語用法辞典」に至っては、“Ｊｏｈｎ’ｓ　ｇｏｔ　ｍａｎｙ　ｆｒｉｅｎｄｓ　ｂｅｃａｕｓｅ　ｈｅ’ｓ　ｇｏｔ　ｍｕｃｈ　ｍｏｎｅｙ．”　を誤用としています。

しかし、同書の次のページには、比較的形式ばった文体では、“ｍｕｃｈ”　と　“ｍａｎｙ”　は肯定文でもかなりよく使われる、とあって、例文として、　“Ｍｕｃｈ　　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｃａｒｒｉｅｄ　ｏｕｔ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｔｈｅ　ｃａｕｓｅ　ｏｆ　ｃａｎｃｅｒ．”　を挙げていたり・・・。

また、いま最も人気のある文法書の一つである、「総合英語　Ｆｏｒｅｓｔ」には、“ｍａｎｙ”　が主語を修飾するときは、肯定文でも用いられるとあり、例文に、　　“Ｍａｎｙ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｕｓｅ　ｔｈｅ　ｓｃｈｏｏｌ　ｃａｆｅｔｅｒｉａ．”　を挙げています。

さらに、少し古いのですが、「フロンティア英文法」には、「しかし、“ｍａｎｙ”　や　“ｍｕｃｈ”　を肯定文で使っても、間違いだというわけではない」とあります。

“ｍａｎｙ”　も　“ｍｕｃｈ”　もなかなか奥が深いようで。

そこで、教科書を調べると、中３の教科書にこれに適した例文があって、それは、　“Ｉ　ｗｏｎｄｅｒ　ｗｈｙ　ｗｅ　ｈａｖｅ　ｓｏ　ｍｕｃｈ　ｗａｓｔｅ．　Ｉ　ｔｈｉｎｋ　ｗｅ　ｂｕｙ　ｔｏｏ　ｍａｎｙ　ｔｈｉｎｇｓ．”　です。

確かに、どの文法書にも、“ｍａｎｙ”　と　“ｍｕｃｈ”　は、“ｔｏｏ”、“ｓｏ”、“ａｓ”　を伴うと肯定文で普通に使われるとあるので、全く問題ありません。

結論として、肯定文では、“ａ　ｌｏｔ　ｏｆ　”　や　“ｌｏｔｓ　ｏｆ　”　などを使うのが良さそうです。数えられる名詞とか数えられない名詞とか関係ないので便利ですし。

２次方程式の複素数解を作図で求める

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日も良い天気になりました。中２の塾生が新学期早々のテストで国語（多分、漢字です）と英語（不規則動詞の変化）で両方とも１００点を取って、ちょっと自慢げでした。今日、数学のテストがあるということで、昨夜は遅くまで頑張っていました。

さて、昨日の続きです。昨日は２次方程式の実数解の作図による解法を取り上げましたが、今日は複素数解の解法です。実数解よりは手間が掛かりますが簡単です。

昨日と同じ様に２次方程式を　ｘ＾２－ａｘ＋ｂ＝０　として、点Ｐ（ａ，ｂ）と点Ｕ（０，１）を結んだ線分ＰＵが直径となる円Ｃを描きます。与えられた２次方程式が実数解を持たないと言うことは、円Ｃがｘ軸と交わらないということです。

ここで、原点Ｏを通る円Ｃの接線を引き、接点をＴとします。次に線分ＯＴを半径とする円Ｏを描き、点Ｃを通るｙ軸に平行な直線を引いたとき、この直線と円Ｏの交点ｚ1 および ｚ2 が複素数解になります。

▲図１．２次方程式の複素数解の作図

では、これを確認しましょう。点Ｃの座標は（ａ/２，（ｂ＋１）/２）で、
ＯＣ＾2＝（ａ/２）＾2＋（（ｂ＋１）/２）＾2　、
ＣＰ＾2＝ＣＴ＾2＝（ａ/２）＾2＋（（ｂ－１）/２）＾2　
です。△ＯＣＴに三平方の定理を使って、
ＯＴ＾2＝ｂ　となります。

次に、△ＯＳｚ1 を考えます。
Ｏｚ1＾2＝ＯＴ＝ｂ、ＯＳ＾2＝（ａ/２）＾2　なので、三平方の定理により、
Ｓｚ1＾2＝ｂ－（ａ/２）＾2　
となります。

すなわち、ｚ1　の座標は、
ｘ座標が　ａ/２、
ｙ座標が、（ｂ－（ａ/２）＾2）＾1/2　（Ａ＾1/2 はＡの平方根を表します）
となり、ここで、ｘｙ平面を複素数平面と考えると、
ｚ１，ｚ２＝ａ/２±（（ｂ－（ａ/２）＾2）＾1/2）ｉ　
　　　　　＝ａ/２±（（ａ＾2－４ｂ）＾1/2）ｉ/２　　　（ｉ は虚数単位です）
となります。これは与えられた２次方程式を解の公式で解いたものと同じものです。

また、重解の場合は、円Ｏが直線ＣＳと接し、さらに、円Ｃがｘ軸と接することになります。