高校入試問題Ｒ２（２４）[都立国立高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度都立国立高の問題です。

問題は、
「下の図１で、点Ｏは原点、曲線ｆは

のグラフを表している。

▲図１．問題図（１）

原点から点（１，０）までの距離、および原点から点（０，１）までの距離をそれぞれ１ｃｍとする。
次の各問に答えよ。

[問１]

において、ｘの変域が－２≦ｘ≦４であるとき、ｙの最大値から最小値を引いた値を求めよ。

[問２] 下の図２は図１において、ｘ軸上にあり、ｘ座標が正の数である点をＡ、曲線ｆ上にあり、ｘ座標が正の数である点をＰとし、点Ｏと点Ｐ、点Ａと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を表している。

▲図２．問題図（２）

ＯＰ＝ＰＡのとき、次の（１）、（２）に答えよ。

（１） ∠ＯＰＡ＝９０°であるとき、ＯＰの長さは何ｃｍか。
ただし、答えだけではなく、答えを求める過程がわかるように、途中の式や計算なども書け。

（２） 下の図３は図２において、点Ａを通りｘ軸に垂直な直線上にある点で、ｙ座標が

である点をＱ、直線ＡＰと曲線ｆとの交点のうち、点Ｐと異なる点をＲ、点Ｑと点Ｒを通る直線と曲線ｆとの交点のうち点Ｒと異なる点をＳとした場合を表している。

▲図３．問題図（３）

ＲＳ：ＳＱ＝３：２
であるとき、点Ｐのｘ座標を求めよ。」
です。

図４の青色矢印がｘの変域で、それに対応してｙの変域は赤色矢印になります。

▲図４．ｘとｙの変域をそれぞれ青色矢印と赤色矢印で示しました

このとき、ｙの最大値と最小値はそれぞれ０と－８なので、ｙの最大値から最小値を引いた値は、
０－（－８）＝ ８
で、これが（１）の答えです。

次に[問２]の（１）です。

△ＯＰＡは直角二等辺三角形で、これを４つ、図５のように並べた図形は、１つの辺をＯＡとする正方形になります。

▲図５．△ＯＰＡは直角二等辺三角形です

このとき直線ＯＰは、正方形の対角線の１つを含むので、直線ＯＰの式は、
ｙ＝－ｘ
になります。

すると、

から、点Ｐのｘ座標は２で、点Ａのｘ座標は４になります。

したがって、

で、これが答えです。

最後の[問２]の（２）です。

図６のように、点Ｐのｘ座標をｔとすると、点Ｐの座標は

です。

▲図６．点Ｐのｘ座標をｔとしました

また、△ＰＯＡは二等辺三角形なので、点Ａの座標は（２ｔ，０）で、点Ｑの座標は

になります。

すると、直線ＡＰは、

になり、さらに、

から、点Ｒのｘ座標は－２ｔで、このとき点Ｒは曲線ｆ上にあるので、点Ｒの座標は

になります。

ここまでで図７のように、点Ｑと点Ｒの座標をｔで表すことができました。

▲図７．点Ｑと点Ｒの座標をｔで表すことができました

あとは、点Ｓが、線分ＲＱを３：２に内分する点であることと曲線ｆ上にあることを使ってｔを計算すればお仕舞です。

点Ｓが線分ＲＱを３：２に内分する点であることから、点Ｓの座標は、

で、さらに点Ｓが曲線ｆ上にあることから、点Ｓのｙ座標は、

になり、したがって、

です。

このとき、ｔ＞０なので、点Ｐのｘ座標は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｐｏｏｒ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の教科書に、
Ｓｏｍｅ　ｖｉｌｌａｇｅｓ　ｉｎ　Ｍａｌａｗｉ　ａｒｅ　ｖｅｒｙ　ｐｏｏｒ．
（マラウイのいくつかの村はとても貧しい）
という文があります。

この ｐｏｏｒ を 英語語義語源辞典 で引いてみると、その 類義語 について、
● ｐｏｏｒ
　単に生活に困っていることから快適な生活をする手段や資力をもたない範囲までを示す単純で直接的な語

● ｎｅｅｄｙ
　生活ができないほど極端に貧しいこと

　ａ　ｎｅｅｄｙ　ｆａｍｉｌｙ （貧困家庭）

● ｉｍｐｏｖｅｒｉｓｈｅｄ
　以前は富裕であったが今は落ちぶれて貧しくなったこと

　ａｎ　ｉｍｐｏｖｅｒｉｓｈｅｄ　ａｒｉｓｔｏｃｒａｔ （没落貴族）

● ｐｅｎｎｉｌｅｓｓ
　一文なしの極貧を指す
と説明しています。

さらに、これら以外の 類義語 を探してみると、 ｈａｒｄ　ｕｐ、 ｂａｄｌｙ　ｏｆｆ [《米》ｂａｄ　ｏｆｆ]、ｄｅｐｒｉｖｅｄ、ｄｅｓｔｉｔｕｔｅ、ｐｏｖｅｒｔｙ-ｓｔｒｉｃｋｅｎ などが見つかりました。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

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学研CAIスクール 東久留米滝山校
https://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533

高校入試問題Ｒ２（２３）[都立日比谷高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度都立日比谷高の問題です。

問題は、
「下の図１で、点Ｏは原点、曲線ｆは

のグラフを表している。

▲図１．問題図（１）

ｘ軸上にあり、ｘ座標が正の数である点をＡとする。
点Ａを通り、傾きが負の数である直線をｌとする。
直線ｌと曲線ｆとの交点のうち、ｘ座標が正の数である点をＢ、ｘ座標が負の数である点をＣとする。
点Ｏから点（１，０）までの距離、および点Ｏから点（０，１）までの距離をそれぞれ１ｃｍとして、次の各問に答えよ。

[問１] 線分ＡＣとｙ軸との交点をＤ、線分ＯＡの中点をＥとし、２点Ｄ、Ｅを通る直線の傾きが

、点Ｂのｘ座標が

であるとき、直線ｌの式を求めよ。

[問２] 下の図２は、図１において、点Ｃを通り、ｘ軸に平行な直線ｍを引き、曲線ｆとの交点のうち、点Ｃと異なる点をＦ、ｙ軸との交点をＧとし、２点Ｂ、Ｇを通る直線ｎを引き、曲線ｆとの交点のうち、点Ｂと異なる点をＨとした場合を表している。

▲図２．問題図（２）

次の（１）、（２）に答えよ。

（１） 点Ｂと点Ｆ、点Ｃと点Ｈをそれぞれ結んだ場合を考える。

△ＢＨＣと△ＢＦＧの面積比が１３：４、直線ｎの傾きが

のとき、点Ｂのｘ座標をｔとして、その値を求めよ。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

（２） 下の図３は、図２において、直線ｎとｘ軸との交点をＩとした場合を表している。

▲図３．問題図（３）

のとき、直線ｎの傾きを求めよ。」
です。

図４のように、点Ｂは、

上にあり、そのｘ座標が

なので、点Ｂの座標は、

です。

また、直線ｌの傾きは、

です。

したがって、直線ｌの式は、

で、これが（１）の答えです。

次に（２）です。


はｙ軸に対して対称なのでＧＦ＝ＧＣで、図５のように、△ＢＦＧの面積と△ＢＣＧの面積は等しくなります。

▲図５．（△ＢＦＧの面積）＝（△ＢＣＧの面積）です

すると、△ＢＧＣと△ＨＧＣの面積比は４：９になり、したがって、ＢＧ：ＧＨ＝４：９です。

ここで点Ｂのｘ座標をｔとすると、点Ｈのｘ座標は、

で、したがって、点Ｂと点Ｈの座標はそれぞれ

です。

今、点Ｈからｘ軸に下した垂線の足をＫ、点Ｂから直線ＨＫに下した垂線の足をＬとすると、直線ｎの傾きは、

です。

一方、直線ｎの傾きは、

と与えられているので、

が成り立ち、これを解くと、

で、これが答えです。

最後の（３）です。

図６のように、△ＢＡＩ∽△ＢＣＧで、その相似比は４：５なので、ＡＩ：ＣＧ＝４：５になり、したがって、

です。

また、点Ｂの座標を

とすると、点Ｃのｙ座標は、

になり、このとき、点Ｃは、

上にあるので、点Ｃのｘ座標は、

で、

になります。

これらから、

が成り立ち、これを解くと、

で、したがって、点Ｂと点Ｃの座標は、それぞれ

になります。

ここで、点Ｂからｙ軸に下した垂線の足をＰとすると、直線ｎの傾きは、

で、これに

を代入して整理すると、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

電話番号の読み方 のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１教科書の 「数字」 についての Ｗｏｒｄｓ ＆ Ｓｏｕｎｄｓ に、「電話番号を英語らしく言ってみよう」という課題があって、電話番号 の例として、
１６０８－４７５２
を挙げています。

そこで オックスフォード実例現代英語用法辞典 で 「電話番号」 を調べてみると、その 読み方 について、
● 数字を別々に、３つ、４つ（しかし、２つではだめ）をまとめて、間に小休止を置きながら言う。数字０はしばしばアルファベットと同じく ｏｈ と呼ぶ
とあります。

つまり、教科書の例では、
ｏｎｅ　ｓｉｘ　ｏｈ [ｚｅｒｏ]　ｅｉｇｈｔ， ｆｏｕｒ　ｓｅｖｅｎ　ｆｉｖｅ　ｔｗｏ
と読み、「 ，」のところで一休みということです。

また ウィズダム英和辞典 には、
・ 日本と同じく数字を１桁ずつ読む
・ ０は /ｏｕ/ 、混乱を避けたい時は ｚｅｒｏ /zɪ́ərou/ と読む
・ ９９など同じ数字が続く時は ｄｏｕｂｌｅ　ｎｉｎｅ とも読む
としています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学入試問題Ｒ２（３４）[灘中]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度灘中の問題です。

問題は、
「１周６００ｍの円形の散歩コースがあります。ＡさんとＢさんはコース上のＳ地点を同時に同じ向きに進みはじめ、Ａさんは毎分５０ｍの速さで歩き、Ｂさんは一定の速さで走ります。Ａさんが１周してＳ地点に戻った時点で２人は止まります。２人が進んでいる間、Ｓ地点とＡさんの距離、Ｓ地点とＢさんの距離、ＡさんとＢさんの距離の３種類を測ります。ただし、これらの距離は散歩コースに沿って、短い方（等しいときはその等しい距離）が計測されます。そして、これらの３種類の距離のうち最も短いものを「最短距離」と呼ぶことにします。例えば、Ｓ地点とＡさん、Ｂさんの位置が、下の図１、図２、図３、図４のとき、３種類の距離と「最短距離」は下の表のようになります。

（１） Ｂさんが毎分１００ｍで走る場合、出発後の時間（分）と「最短距離」（ｍ）の関係を表すグラフを、次の方眼に実線で書き入れなさい。

（２） Ｂさんが毎分１５０ｍで走る場合、出発後の時間（分）と「最短距離」（ｍ）の関係を表すグラフとして正しいものを、次の４つから１つ選び、選んだグラフの右上のグラフ番号を囲った破線をなぞりなさい。さらに、選んだグラフの空欄に適切な数を書き入れなさい。」
です。

グラフを利用すれば簡単です。

Ａさんは毎分５０ｍの速さで歩くので、Ｓ地点とＡさんの距離のグラフは、図５の青色の折れ線になります。

▲図５．Ａさんが毎分５０ｍで歩き、Ｂさんが毎分１００ｍで走る場合の３種類の距離のグラフと「最短距離」のグラフです

一方、Ｂさんは毎分１５０ｍの速さで走るので、Ｓ地点とＢさんの距離のグラフは、図５の緑色の折れ線になります。

このとき、ＡさんとＢさんは毎分５０ｍ（＝１００－５０）ずつ離れていくので、２人の距離のグラフは、図５の青色の折れ線になります。

すると、「最短距離」のグラフは、図５の上側のグラフで最も小さい値になるグラフを繋いだものになるので、図５の下の図の赤色の折れ線が（１）の答えです。

続いて（２）です。

（１）と同様に、Ｓ地点とＡさん、Ｂさんの距離のグラフ（それぞれ青色と緑色の折れ線）とＡさんとＢさんの距離（黄色の折れ線）を書き入れると図６の上側のグラフになり、さらに、、それらのなかで最も小さい値になるグラフを繋いだ「最短距離」のグラフ（赤色の折れ線）を書き加えると、図６の下側のグラフになります。

▲図６．Ａさんが毎分５０ｍで歩き、Ｂさんが毎分１５０ｍで走る場合の３種類の距離のグラフと「最短距離」のグラフです

このとき、図６の「最短距離」のグラフは、グラフ３と同じ形をしているので、グラフ３を選びます。

ここで、図６の下側の図のように、点ＯからＷを定めると、△ＰＯＱ∽△ＰＲＳ、ＯＱ：ＲＳ＝１：１から、点Ｐは線分ＯＲを１：１に内分する点になるので、「最短距離」の上側の[　　]と出発後の時間の左側の[　　]の値は、それぞれ１５０（＝３００÷２）と３（＝６÷２）になります。

また、△ＵＴＶ∽△ＵＷＲ、ＴＶ：ＷＲ＝２：３から、点Ｕは線分ＴＲを２：３に内分する点になるので、「最短距離」の下側の[　　]と出発後の時間の右側の[　　]の値は、それぞれ、１２０（＝３００÷５×２）と７．２（＝６＋３÷５×２）になります。

これらをまとめると図７になり、これが（２）の答えです。

▲図７．（２）の答えです

簡単な問題です。

ｉｓｌａｎｄｓ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の教科書に、
Ｔｈｅ　Ｏｇａｓａｗａｒａ　Ｉｓｌａｎｄｓ　ｂｅｃａｍｅ　ａ　Ｗｏｒｌｄ　Ｈｅｒｉｔａｇｅ　Ｓｉｔｅ　ｉｎ　２０１１．
（小笠原諸島は２０１１年に世界遺産になりました）
という文があります。

この ｉｓｌａｎｄｓ は ｉｓｌａｎｄ の 複数形 で 「複数の島の集まり」 を表し、したがって、「諸島」となるわけです。

ところが、日本地図を広げてみると、 「諸島」 以外にも。、例えば、北海道の 歯舞群島 などの 「群島」 や 長崎県の 五島列島 などの 「列島」 といった 「複数の島の集まり」 を表す語が使われています。

そこで、これらの「諸島」、「群島」、「列島」の違いについて調べてみると、 国土地理院 のＱ＆Ａコーナーに、
Ｑ：島、群島、列島の違いは何ですか？

Ａ：二つ以上の島の分散の度合いにより、集団をなすものを諸島、そのうち、塊状をなすものを群島、同様に列状をなすものを列島と呼んでいます。
諸島と群島は別称でありますが、概念としては同じであるといわれ、群島は，「字」に近い用いられ方をしており、地元で呼ばれている名称が尊重されるため、ときに諸島であったり、群島であったり、統一した呼称として定義するのは困難といわれています。
という解説がありました。

ちなみに、 「英語は朗読でうまくなる！」（青谷優子氏著）の記事のなかにある
Ｏｎ　ａｖｅｒａｇｅ， ｔｈｅ　ａｒｃｈｉｐｅｌａｇｏ　ｉｓ　ｈｉｔ　ｂｙ　２０　ｓｔｒｏｎｇ　ｔｙｐｈｏｏｎｓ　ａ　ｙｅａｒ．
（その諸島[フィリピン諸島]は、平均して年間２０もの強い台風に襲われています）
のように、 ａｒｃｈｉｐｅｌａｇｏ も 「諸島」を表し、これを ウィズダム英和辞典 で引いてみると、
● 群島、 諸島；多島海
とあり、用例に、
ｔｈｅ　Ｊａｐａｎｅｓｅ　Ａｒｃｈｉｐｅｌａｇｏ （日本列島）
を挙げています。（「日本列島」は ｔｈｅ　Ｊａｐａｎｅｓｅ　Ｉｓｌａｎｄｓ とも表し、 Ｊａｐａｎｅｓｅ　Ａｒｃｈｉｐｅｌａｇｏ の方が格式張った表現になりますが、前者を地名と共に使うときはより一般的になるそうです）


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

高校入試問題Ｒ２（２２）[都立西高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度都立西高の問題です。

問題は、
「下の図１で、点Ｏは原点、曲線ｆは

のグラフである。

▲図１．問題図（１）

２点Ａ、Ｂはともに曲線ｆ上にあり、点Ａのｘ座標は負の数、点Ｂのｘ座標は正の数であり、点Ａと点Ｂのｘ座標の絶対値は等しい。
点Ａと点Ｂを結ぶ。
点Ｏから点（１，０）までの距離、および点Ｏから点（０，１）までの距離をそれぞれ１ｃｍとして、次の各問に答えよ。

[問１] 下の図２は、図１において、

、点Ａのｘ座標を－１とし、四角形ＡＢＣＤが正方形となるようにｙ座標はともに正の数となる点Ｃと点Ｄをとり、点Ｂと点Ｃ、点Ｃと点Ｄ、点Ｄと点Ａをそれぞれ結んだ場合を表している。

▲図２．問題図（２）

２点Ｂ、Ｄを通る直線の式を求めよ。

[問２] 下の図３は、図１において、点Ａのｘ座標を－１とし、点Ｅは曲線ｆ上にあり、ｘ座標が３となる点とし、点Ｆは曲線ｆ上にあり、ｘ座標が負の数で、ｙ座標が点Ａのｙ座標より大きい点とし、点Ｏと点Ｂ、点Ｂと点Ｅ、点Ｅと点Ｏ、点Ｂと点Ｆ、点Ｆと点Ａをそれぞれ結んだ場合を表している。

▲図３．問題図（３）

△ＢＥＯと△ＡＢＦの面積が等しくなるとき、点Ｆのｘ座標を求めよ。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

[問３] 下の図４は、図１において、点Ａを通り、傾きが曲線ｆの式における比例定数ａと等しい直線をｌとし、点Ｂから直線ｌに引いた垂線と直線ｌとの交点をＧとし、点Ｂと点Ｇを結んだ場合を表している。

▲図４．問題図（４）

点Ａのｘ座標が

、△ＡＢＧの面積が７ｃｍ2のとき、ａの値を求めよ。」
です。

図５のように、点Ａは

で、曲線ｆはｙ軸に対して対称なので、点Ｂは

になります。

また、正方形ＡＢＣＤの辺ＡＢはｘ軸に平行なので、直線ＢＤの傾きは－１です。

したがって、求める直線の式は、

で、これが（１）の答えです。

次に（２）です。

例えば、点Ｆのｘ座標をｔとおいて、△ＢＥＯと△ＡＢＦの面積をａとｔで表して、互いの面積が等しいことから等式を導いて解いてもＯＫですが、ここでは相似を利用してみましょう。

図６のように、直線ＡＢとｙ軸との交点をＰ、点Ｅからｙ軸に下した垂線の足を点Ｑ、直線ＡＢと直線ＯＥとの交点をＲとします。

▲図６．点Ｐ、Ｑ、Ｒを定めました

ここで、点ＢとＥのｙ座標がそれぞれａと９ａであることから、ＯＰ：ＯＥ＝１：９になり、△ＢＥＯの面積をＳとすると、△ＢＰＯの面積は

になります。

また、△ＯＥＱ∽△ＯＲＰでその相似比は９：１なので、

になり、したがって、

です。

これらから、

が成り立ちます。

一方、△ＡＢＦの面積Ｓは、底辺をＡＢとしたときの高さをｈとすると、線分ＡＢの長さが２であることから、

です。

（１）に（２）を代入すると、

で、したがって、点Ｆのｙ座標は、
ａ＋３ａ＝４ａ
です。

このとき、点Ｆは曲線ｆ上にあり、かつａ≠０であることから、点Ｆのｘ座標は、

になり、ここでｘ＜０から、
ｘ＝ －２
で、これが答えです。

最後の（３）です。（単位は省略します）

図７のように、点Ｇから直線ＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、

、△ＡＢＧの面積が７であることから、

になります。

このとき、△ＡＧＨ∽△ＧＢＨから、
ＡＨ：ＧＨ＝ＧＨ：ＢＨ → ＡＨ×ＢＨ＝７　　　　（３）
で、さらに、

です。

すると、（３）と（４）から、

になり、これを変形・整理して、

です。

したがって、直線ｌの傾きａは、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｓａｄ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の教科書に、
Ｔｈｉｓ　ｍａｋｅｓ　ｕｓ　ｓａｄ．
（これは私たちを悲しませます）
という文があります。

この ｓａｄ を ロングマン英英辞典 で引いてみると、 その 類義語 について、
● ｓａｄ
　ｎｏｔ　ｈａｐｐｙ
　（悲しい：うれしくないこと）

● ｕｎｈａｐｐｙ
　ｓａｄ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｆｏｒ　ａ　ｌｏｎｇ　ｔｉｍｅ
　（不幸せな：特に長い間、悲しいこと）

● ｈｏｍｅｓｉｃｋ
　ｓａｄ　ｂｅｃａｕｓｅ　ｙｏｕ　ａｒｅ　ａｗａｙ　ｆｒｏｍ　ｙｏｕｒ　ｈｏｍｅ， ｆａｍｉｌｙ， ａｎｄ　ｆｒｉｅｎｄｓ
　（ホームシックで：自宅、家族、友人と離れていて悲しいこと）

● ｄｏｗｎ
　ｆｅｅｌｉｎｇ　ｓａｄ　ｆｏｒ　ａ　ｆｅｗ　ｈｏｕｒｓ　ｏｒ　ｄａｙｓ， ｏｆｔｅｎ　ｆｏｒ　ｎｏ　ｒｅａｓｏｎ
　（気持ちが沈んだ：しばしば理由もなく数時間または数日悲しみを感じること）

● ｇｌｏｏｍｙ
　ｌｏｏｋｉｎｇ　ｏｒ　ｓｏｕｎｄｉｎｇ　ｓａｄ　ａｎｄ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｈｏｐｅ－ｕｓｅｄ　ａｂｏｕｔ　ｐｅｏｐｌｅ， ｐｌａｃｅｓ， ａｎｄ　ｗｅａｔｈｅｒ
　（憂鬱な：希望がなく悲しく見えたり聞こえるたりすること、人、場所、天候に用いる）

● ｄｅｊｅｃｔｅｄ/ｄｏｗｎｃａｓｔ
　ｌｏｏｋｉｎｇ　ｓａｄ　ａｎｄ　ｄｉｓａｐｐｏｉｎｔｅｄ　ｂｅｃａｕｓｅ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｙｏｕ　ｈｏｐｅｄ　ｆｏｒ　ｄｉｄ　ｎｏｔ　ｈａｐｐｅｎ
　（がっかりした：期待していたことが起こらずに悲しく落胆しているように見えること）

● ｍｏｕｒｎｆｕｌ
　ｌｏｏｋｉｎｇ　ｏｒ　ｓｏｕｎｄｉｎｇ　ｓａｄ
　（悲しみに沈んだ：悲しく見えたり聞こえたりすること）
と説明しています。

さらに、 ｖｅｒｙ　ｓａｄ を表す語として、 ｍｉｓｅｒａｂｌｅ，ｄｅｐｒｅｓｓｅｄ，ｈｅａｒｔｂｒｏｋｅｎ，ｄｉｓｔｒｅｓｓｅｄ，ｄｉｓｔｒａｕｇｈｔ，ｄｅｖａｓｔａｔｅｄ を挙げています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学入試問題Ｒ２（３３）[灘中]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度灘中の問題です。

問題は、
「下の図は、１辺の長さが６ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨです。

Ｐは辺ＡＢの真ん中の点、Ｑは辺ＦＧの真ん中の点、Ｒは辺ＧＨの真ん中の点です。この立方体を３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切ったとき、この平面は辺ＡＤの真ん中の点Ｓを通ります。

（１） 四角すいＣ－ＰＱＲＳの体積を求めなさい。

（２） ３点Ａ、Ｂ、Ｇを通る平面で四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたとき、点Ｑを含む方の立体の体積を求めなさい。

（３） ３点Ｂ、Ｄ、Ｆを通る平面で四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたとき、その切り口の面積は、四角形ＢＦＨＤの面積の[　　]倍で、点Ｑを含む方の立体の体積は[　　]ｃｍ3です。」
です。

図１に、与えられた条件を書き入れました。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

中学生ならば、三平方の定理を利用して解けそうですが、ここではそれを使わずに進めましょう。

立方体を辺ＤＨと辺ＢＦが重なるように辺ＤＨ側から眺めると、平面ＰＱＲＳは図２に緑色でマークした線分ＳＲになり、立方体は、平面ＰＱＲＳにより２等分されます。

▲図２．平面ＰＱＲＳは辺ＤＨの中点Ｙで交わります

また、平面ＰＱＲＳは辺ＤＨ、辺ＢＦの中点で交わり、したがって、立方体を平面ＰＱＲＳで切ったときの切り口は、図３のように、正六角形ＰＸＱＲＹＳになります。

▲図３．立方体を平面ＰＱＲＳで切ったときの切り口は正六角形ＰＸＱＲＹＳになります

ここで、正六角すいＣ－ＰＸＱＲＹＳの体積は、立方体の体積の半分から、図４に示す３つの三角すいＣ－ＰＢＸ、Ｃ－ＱＧＲ、Ｃ－ＹＤＳの体積を引いたものなので、

です。

▲図４．正六角すいＣ－ＰＸＱＲＹＳの体積は立方体の体積の半分から３つの三角すいＣ－ＰＢＸ、Ｃ－ＱＧＲ、Ｃ－ＹＤＳの体積を引いたものになります

このとき、正六角すいの底面の正六角形ＰＸＱＲＹＳに注目すると、これは正六角形の中心と各頂点を結んだ６つの合同な正三角形から成り、この正六角形からら長方形ＰＱＲＳを除いた図形は△ＸＰＱと△ＹＲＳで、これらの面積はいずれも正三角形の面積と等しくなります。

したがって、正六角形ＰＸＱＲＹＳと長方形ＰＱＲＳの面積比は６：４＝３：２になり、これから、
　
で、これが（１）の答えです。

次に（２）です。

３点Ａ、Ｂ、Ｇを通る平面は、図５の図のように、平面ＡＢＧＨ（青色でマーク）になり、直線ＰＲはこの平面上にあります。

▲図５．直線ＰＲは平面ＡＢＧＨ上にあります

ここで図６のように、直線ＢＧと直線ＣＱとの交点をＺとすると、平面ＡＢＧＨによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの点Ｑを含む立体は、三角すいＺ－ＰＱＲ（赤色でマーク）になります。

▲図６．体積を求める立体は三角すいＺ－ＰＱＲです

このとき、三角すいＺ－ＰＱＲの底面ＰＱＲは、四角すいＣ－ＰＱＲＳの底面ＰＱＲＳの半分なので、三角すいＺ－ＰＱＲと四角すいＣ－ＰＱＲＳの高さの比が判れば、（１）の答えから三角すいＺ－ＰＱＲの体積が計算できます。

そこで図６の右側の図のように、面ＢＦＧＣに注目すると、△ＺＱＧ∽△ＺＢＣ、ＱＧ：ＣＢ＝１：２から、ＺＱ：ＺＣ＝１：２になり、したがって、ＣＱ：ＺＱ＝３：１で、このとき四角すいＣ－ＰＱＲＳと三角すいＺ－ＰＱＲの高さの比はＣＯとＺＯの比に等しくなります。

したがって、

で、これが答えです。

最後の（３）です。

３点Ｂ、Ｄ、Ｆを通る平面は、図７の左側の図のように、平面ＢＦＨＤ（青色でマーク）になり、直線ＢＤと直線ＸＹはこの平面上にあります。

ここで直線ＢＤと直線ＰＣおよび直線ＳＣとの交点をそれぞれＴ、Ｕ、さらに、直線ＸＹと直線ＰＱおよび直線ＳＲとの交点をそれぞれＶ、Ｗとすると、平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの切り口は、台形ＴＶＷＵ（紺色でマーク）になります。

▲図７．平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの切り口は四角形ＴＶＷＵです

そこで図７の右側の図のように、面ＡＢＣＤに注目すると、△ＡＢＤ∽△ＡＰＳ、ＡＢ：ＡＰ＝２：１から、ＢＤ：ＰＳ＝２：１で、このとき、ＢＤの長さを２ｋ（ｃｍ）とすると、ＰＳ＝ｋ（ｃｍ）です。

また、△ＣＤＴ∽△ＰＢＴ、ＣＤ：ＰＢ＝２：１から、ＤＴ：ＢＴ＝２：１になり、したがって、ＢＤ：ＢＴ＝３：１で、同様に、ＢＤ：ＤＵ＝３：１になることから、

です。

このとき、ＰＳ＝ＶＷ＝ｋ（ｃｍ）から

です。

一方、
（長方形ＢＦＨＤの面積）＝２ｋ×６＝１２ｋ（ｃｍ2）
なので、台形ＴＶＷＵの面積は長方形ＢＦＨＤの面積の

です。

次に、平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの点Ｑを含む方の立体の体積を計算します。

この立体は、図８のように、四角すいＣ－ＰＱＲＳから立体ＰＳＷＶＴＵを除いたものなので、ここでは立体ＰＳＷＶＴＵの体積を求めて、それを四角すいＣ－ＰＱＲＳの体積から差し引くことにします。

▲図８．立体ＰＳＷＶＴＵは四角すいＣ－ＰＶＷＳから四角すいＣ－ＴＶＷＵを除いたものです

まず図８の右側の図のように、△ＣＤＴ∽△ＰＢＴ、ＣＤ：ＰＴ＝２：１から、ＣＴ：ＴＰ＝２：１、同様に、ＣＵ：ＵＳ＝２：１です。

次に図９のように、四角すいＣ－ＰＱＶＷを２つの三角すいＣ－ＰＶＳとＣ－ＶＷＳに分けると、これらの２つの三角すいは合同で、

です。

▲図９．四角すいＣ－ＰＱＶＷを２つの三角すいＣ－ＰＶＳとＣ－ＶＷＳに分けました

ここで図８の左側の図の三角すいＣ－ＰＶＳに注目すると、
（△ＣＰＳの面積）：（台形ＰＳＵＴの面積）＝９：５
から、

です。

続いて図９の右側の図の三角すいＣ－ＶＷＳに注目すると、
（△ＣＳＷの面積）：（△ＵＳＷの面積）＝３：１
から、

です。

したがって、

になり、平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの点Ｑを含む方の立体の体積は、
（四角すいＣ－ＰＱＲＳの体積）－（立体ＰＳＷＶＴＵの体積）＝５４－１２＝４２（ｃｍ3）
です。

以上をまとめると、１番目と２番目の[　　]は、それぞれ

で、これが答えです。

簡単な問題です。

ｆｉｅｌｄ ｔｒｉｐ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の教科書に、
Ｆｉｅｌｄ　Ｔｒｉｐ
（校外学習）
という Ｌｅｓｓｏｎ があります。

この ｆｉｅｌｄ　ｔｒｉｐ を オックスフォード現代英英辞典 で調べてみると、
● ａ　ｊｏｕｒｎｅｙ　ｍａｄｅ　ｂｙ　ａ　ｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ｐｅｏｐｌｅ， ｏｆｔｅｎ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ，　ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｉｎ　ｉｔｓ　ｎａｔｕｒａｌ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ
　（しばしば生徒などのグループで、自然環境の中にあるものを勉強するために行われる旅行）
とあり、
　Ｗｅ　ｗｅｎｔ　ｏｎ　ａ　ｇｅｏｌｏｇｙ　ｆｉｅｌｄ　ｔｒｉｐ．
　（私たちは地質についての校外学習に行った）
などの例文を挙げています。

また、 ウィズダム英和辞典 には、 ～ ｔｒｉｐ という言葉がまとめてあって、
・ ａ　ｒｏｕｎｄ　ｔｒｉｐ　：　往復旅行
・ ａ　ｏｎｅ－ｗａｙ　ｔｒｉｐ　：　片道旅行
・ ａ　ｓｃｈｏｏｌ　ｔｒｉｐ 　：　就学旅行
・ ａ　ｓｈｏｐｐｉｎｇ　ｔｒｉｐ　：　買い物（に行くこと）
・ ａ　ｄａｙ　ｔｒｉｐ　：　日帰り旅行
・ ａ　ｗｅｅｋｅｎｄ　ｔｒｉｐ　：　週末旅行
・ ａ　ｒｏｕｎｄ-ｔｈｅ-ｗｏｒｌｄ　ｔｒｉｐ　：　世界一周旅行
　≒ ａ　ｔｒｉｐ　ａｒｏｕｎｄ　ｔｈｅ　ｗｏｒｌｄ
・ ａ　ｃａｍｐｉｎｇ　ｔｒｉｐ　：　キャンプ旅行
・ ａ　ｆｉｓｈｉｎｇ　ｔｒｉｐ　：　釣り旅行
・ ａ　ｂｏａｔ　ｔｒｉｐ　：　ボートでの旅行[移動]
・ ａ　ｂｕｓ[《英》ｃｏａｃｈ]　ｔｒｉｐ　：　バス旅行[移動]
とあります。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

高校入試問題Ｒ２（２１）[都立日比谷高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度都立日比谷高の問題です。

問題は、
「下の図で、四角形ＡＢＣＤは、ＡＤ//ＢＣの台形である。点Ｐは辺ＢＣ上の点、点Ｑは辺ＡＤ上の点で、四角形ＡＰＣＱはひし形である。

解答欄に示した図をもとにして、ひし形ＡＰＣＱを定規とコンパスを用いて作図し、頂点Ｐ、Ｑの位置を表す文字Ｐ、Ｑも書け。
ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。」
です。

▲解答欄の図です

ひし形の対角線は、垂直に交わり、互いに二等分します。

したがって下図のように、ひし形ＡＰＣＱの対角線ＡＣの垂直二等分線と辺ＢＣ、辺ＡＤとの交点がそれぞれ点Ｐおよび点Ｑになります。

▲図．答え

あとは、点Ａと点Ｐ、点Ｐと点Ｃ、点Ｃと点Ｑ、点Ｑと点Ａを結んでひし形ＡＰＣＱを描き、ＰとＱを書き込んで出来上がりです。


簡単な問題です。

ｐｉｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の教科書に、
Ｗｈｅｎ　ｙｏｕｒ　ｆａｔｈｅｒ　ｗｅｎｔ　ｔｈｅｒｅ， Ｍｒ　ＭｃＧｒｅｇｏｒ　ｃａｕｇｈｔ　ｈｉｍ　ａｎｄ　ｐｕｔ　ｈｉｍ　ｉｎ　ａ　ｐｉｅ．
（お父さんがそこに行ったとき、マグレガーの奴がお父さんを捕まえてパイにしちゃったのよ）
という文があります。

この ｐｉｅ を 英語語義語源辞典 で引いてみると、
● イギリス英語 では普通、練り粉で包みこまれたものを指し、中味が見えるものは ｔａｒｔ または ｆｌａｎ と呼び、アメリカ英語 では中味が見えても見えなくても ｐｉｅ という
と解説していて、 そこで ｔａｒｔ、ｆｌａｎ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、
● ｔａｒｔ
　タルト（ジャムや果物などを入れたパイ生地のケーキ）

● ｆｌａｎ
　（イギリス英語） フラン（果物・チーズなどの入った円形のパイ）
　（アメリカ英語） カスタードプリン
とありました。

ちなみに、「ウサギのパイ」 を ＢＢＣ　ＦＯＯＤ で調べてみると、　Ｒａｂｂｉｔ　ａｎｄ　ｐａｎｃｅｔｔａ　ｐｏｔ　ｐｉｅｓ（ウサギと豚バラ肉のパイ）がありました。

▲Ｒａｂｂｉｔ　ａｎｄ　ｐａｎｃｅｔｔａ　ｐｏｔ　ｐｉｅｓ

そのほかには、 ｓｔｅｗ（シチュー）などの煮込み料理や ｓａｎｄｗｉｃｈ（サンドイッチ）などにして食されているようです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学入試問題Ｒ２（３２）[開成中]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度開成中の問題です。

問題は、
「平面上に、点Ａを中心とする半径１０ｍの円Ｘと半径２０ｍの円Ｙがあり、円Ｘの周上を動く点Ｂと円Ｙ上を動く点Ｃがあります。点Ｂは円Ｘの周上を一定の速さで反時計回りに進み、１時間で一周します。そして、点Ｃは円Ｙの周上を一定の速さで反時計回りに進み、３時間で一周します。
また、点Ｐがあり、点Ｐは、次の[移動１]、[移動２]、[移動３]ができます。

[移動１]：点Ａを通る直線上を１時間に５０ｍの速さで１２分間進む。
[移動２]：円Ｘの周上を点Ｂと一緒に進む。
[移動３]：円Ｙの周上を点Ｃと一緒に進む。

現在、３点Ａ、Ｂ、Ｃは図のように１列に並んでいて、点Ｐは点Ａと重なっています。

このあと、点Ｐが点Ａから移動して、以下のようにして点Ａに戻ってくることを考えます。

点Ｐの動き
① [移動１]で点Ａから点Ｂに移る。
② [移動２]で点Ｂと一緒に８分間進む。
③ [移動１]で点Ｂから点Ｃに移る。
④ [移動３]で点Ｃと一緒に何分間か進む。
⑤ [移動１]で点Ｃから点Ｂに移る。
⑥ [移動２]で点Ｂと一緒に８分間進む。
⑦ [移動１]で点Ｂから点Ａに移る。

点Ｐが上の動きを最後までできるように、①の移動の開始時と、④の移動の時間を調節します。

（１） ①の移動を開始してから③の移動で点Ｃに到着するまでの点Ｐの動きは下の図のようになります。解答らんの図に、①の移動開始時の点Ｂと点Ｃのおよその位置をそれぞれわかるように書きこみなさい。

（２） ①の移動開始時を現在から最短で何分後にすれば、③の移動までで点Ｐが点Ｃに到着することができますか。

（３） ①の移動を開始してから⑦の移動で点Ａに戻るまでに、点Ｐの動く道のりは最短で何ｍですか。四捨五入して小数第１位まで求めなさい。」
です。

初めに、各移動の様子を確認しましょう。

[移動１]では、点Ｐの進む道のりは、５０×１２÷６０＝１０（ｍ）で、これは、円Ｘの半径および円Ｙの半径と円Ｘの半径の差です。したがって、点Ｐは、１２分間で、点Ａと円Ｘおよび円Ｘと円Ｙの往来をすることになります。

[移動２]では、点Ｂは円Ｘを１時間で一周するので、点Ｂが動いた円Ｘの弧の両端と点Ａを結んでできるおうぎ形の中心角は、１分間で６°（＝３６０÷６０）変わり、したがって、８分間で６×８＝４８°になります。

[移動３]では、点Ｃは円Ｙを３時間で一周するので、点Ｃが動いた円Ｙの弧の両端と点Ａを結んでできるおうぎ形の中心角は、１分間で２°（＝３６０÷１８０）変わり、ｔ分間で２ｔ°になります。

それでは（１）を片付けましょう。

点Ｐが円Ｘに向かって点Ａを出発してタイミングよく点Ｂと出会うためには、図１のように、点Ｐの出発時に、点Ｂは、∠ＢＡＢ’＝６×１２＝７２°の位置にあることが必要です。

▲図１．（１）の答えです

また、点Ｐが点Ａを出発してから円Ｙの周上の点に到着するまでの時間は１２＋８＋１２＝３２（分）なので、点Ｐがタイミングよく点Ｃと出会うためには、図１のように、点Ｐの出発時に、点Ｃは、∠ＣＡＣ’＝２×３２＝６４°の位置にあることが必要です。

以上から、 図１ が（１）の答えです。

次に（２）です。

点Ｐがタイミングよく点Ｂおよび点Ｃに出会うためには、図２のように、点Ｐの出発時、点Ｂと点Ｃは、∠ＢＡＣ＝７２－（６４－４８）＝５６°の位置にあることが必要です。

ここで図２のように、現在の点Ｂと点Ｃの位置をそれぞれＢ0とＣ0とし、∠ＢＡＣ＝５６°になるまでに要する時間をｔ分とすると、
∠Ｂ0ＡＢ＝（６ｔ－３６０ｔ）°
∠Ｃ0ＡＣ＝２ｔ°
になります。（点Ｂは点Ｃより速く一周するので点Ｂは一周した後、図２の位置になります）

▲図２．現在を基準にした点Ｂと点Ｃの位置です

すると、
６ｔ－３６０＋５６＝２ｔ
が成り立ち、これから、
４ｔ＝３０４ → ｔ＝７６
になり、 ７６分後 が答えです。

最後の（３）です。

図３のように、点Ｐが点Ａを出発して点Ｃに到着し、再び点Ｃ’から点Ａに戻ってくるまでの道のり（青色矢印）は、

です。

▲図３．青色矢印と赤色矢印の和が道のりになります

したがって、図３の赤色矢印の道のりを計算し（★）に加えれば、道のりを求めることができます。

そこで、点Ｐが点Ｃに到着し（そのとき点Ｂ）、その後、ｔ分後に点Ｃ’を出発した（そのとき点Ｂ’）とすると、点Ｂ、点Ｃ、点Ｂ’、点Ｃ’の位置関係は図４のようになります。

▲図４．点Ｂ、点Ｃ、点Ｂ’、点Ｃ’の位置関係です

すると、
７２＋６ｔ＋７２－２ｔ＝３６０
が成り立ち、これから、
４ｔ＝２１６ → ｔ＝５４（分）
です。

すると、弧ＣＣ’の長さは、
２０×２×３．１４×５４×２/３６０＝３７．６８（ｍ）
になります。

したがって、求める道のりは、

になり、ここで小数第１位を四捨五入すると、 ９４．４ｍ で、これが答えです。　　　　　


簡単な問題です。

ｆａｒｍｅｒ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の教科書に、
Ｉ　ａｍ　ａ　ｒｉｃｅ　ｆａｒｍｅｒ　ｉｎ　Ｎｉｉｇａｔａ．
(私は新潟の米作り農家です）
という文があります。

この ｆａｒｍｅｒ を 英語語義語源辞典 で引いてみると、
● 自ら農場を経営している農場主、農場経営者、または農地を借りて農業を営む農民
とあり、さらに、
・ ａ　ｌａｎｄｅｄ　ｆａｒｍｅｒ
　（自作農 ： 農業経営に必要な土地の全部かほとんどを自分で所有している農家）

・ ａ　ｔｅｎａｎｔ　ｆａｒｍｅｒ
　（小作農 ： 農民が地主に借地料を払い、その土地を耕作して農業を営む農家）
と説明しています。

また ｐｅａｓａｎｔ については、
● 農場に雇われて最低生活水準で働く農業労働者、小作人
　（革命前のフランスや中国、現代では発展途上国などにみられる）
と記しています。

ちなみに、 ｐｅａｓａｎｔ の発音は ×[ｐｉ：ｚｎｔ] ではなく [ｐｅｚｎｔ] なので、気をつけてください。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

高校入試問題Ｒ２（２０）[都立西高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度都立西高の問題です。

問題は、
「２つの自然数ｘ、ｙは、

を満たしている。このとき、２つの自然数ｘ、ｙの値をそれぞれ求めよ。」
です。

与えられた等式の左辺を因数分解すると、
（ｘ－２ｙ）（ｘ＋２ｙ）＝１３　　　（１）
になります。

このとき、（１）の左辺は、ｘ、ｙが自然数であることから、
ｘ－２ｙ は整数
ｘ＋２ｙは自然数　　　　　　（２）
ｘ－２ｙ＜ｘ＋２ｙ　　　
になります。

一方、右辺の１３の約数が －１３、－１、１、１３ なので、ｘ－２ｙとｘ＋２ｙの組（ｘ－２ｙ，ｘ＋２ｙ）の候補は、
（－１３，－１）、（－１，－１３）、（１，１３）、（１３，１）
になり、これらのなかで（２）を満たす組は、（１，１３）で、したがって、
ｘ－２ｙ＝１　　　　　　 　　（３）
ｘ＋２ｙ＝１３　　　　　　 　（４）
が成り立ちます。

あとは（３）（４）の連立方程式を解けばお仕舞です。

（３）＋（４）から
２ｘ＝１４ → ｘ＝７
で、これを（３）に代入して、
７－２ｙ＝１ → ２ｙ＝６ → ｙ＝３
です。

以上から（１）を満たす自然数ｘ、ｙは、
ｘ＝７、ｙ＝３
で、これが答えです。


簡単な問題です。