整数問題（２０）［筑波大附属駒場高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１２年筑波大附属駒場高入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「次の問いに答えよ。

（１） １×２×３×・・・×２０１２ のように、１から２０１２までの整数をすべてかけてできた数は、一の位から０がいくつか連続して並んでいる。０は一の位から何個連続して並んでいるか。

（２） ２０１３から４０２４までの整数をすべてかけてできた数は、一の位から０がいくつか連続して並んでいる。０は一の位から何個連続して並んでいるか。

（３） １からａまでの整数をすべてかけてできた数は、一の位から０がちょうど２０１２個連続して並んだ。ａの値として考えられるものをすべて答えよ。なお、ａは１より大きい正の整数とすろ。」
です。

ｎ！ に含まれる素因数ｐの個数Ｎは、

ここで、［ｘ］はｘを超えない最大の整数
と表せることを利用すれば簡単です。

それでは（１）から始めましょう。

一の位から連続して並ぶ０の個数は、１０で割り切れる回数、つまり、２で割り切れる回数と５で割り切れる回数の少ないほうになります。

１×２×３×・・・×２０１２ の２で割り切れる回数は、

です。

一方、５で割り切れる回数は、

です。

したがって、一の位から連続して並ぶ０の個数は ５０１個 で、これが答えです。

次に（２）です。

５で割り切れる回数は２で割り切れる回数より少ないので、５で割り切れる回数だけを勘定します。

１×２×３×・・・×４０２４ の５で割り切れる回数は、

です。

（１）から、１×２×３×・・・×２０１２ の５で割り切れる回数は５０１回なので、２０１３×２０１４×２０１５×・・・×４０２４ の５で割り切れる回数は、
１００３－５０１＝５０２（回）
になります。

したがって、一の位から連続して並ぶ０の個数は ５０２個 で、これが答えです。

最後の（３）です。


の５で割り切れる回数は、

です。

つまり、
ｋ＝５のとき、７８１（回）
ｋ＝６のとき、３９０６（回）
で、ａのおよその値は、

と表すことができます。

ここで、

の５で割り切れる回数を見積もると、

から、これが２０１２になるのは、
Ａ＝２０１２/７８１
のときで、このときａのおよその値は、

になります。

ここで、１×２×３×・・・×８０５０ の５で割り切れる回数を計算すると、

で、まだ２回足りません。

そこで、５×２＝１０を足して８０６０として、１×２×３×・・・×８０６０ の５で割り切れる回数を計算すると、

になりました。（１×２×３×・・・×８０５９ の５で割り切れる回数は２０１２回より少なくなります）

さらに、８０６１、８０６２、８０６３、８０６４ は５を約数にもたないので、１からこれらの数までの整数をすべてかけてできた数の５で割り切れる回数は２０１２回になります。

以上から、ａの値として考えられるものは ８０６０、８０６１、８０６２、８０６３、８０６４ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｓｕｎｎｙ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２教科書の天候についての言葉のまとめに ｓｕｎｎｙ （日の照っている、晴れた）があって、その例文として、
Ｉｔ’ｌｌ　ｂｅ　ｓｕｎｎｙ　ｏｎ　Ｔｕｅｓｄａｙ．
（火曜日は晴れるでしょう）
が挙げてあります。

この ｓｕｎｎｙ に似た言葉に ｆｉｎｅ がありますが、これを ウィズダム英和辞典 で調べてみると、 ｆｉｎｅ を「晴れている」の意味で使うのは主にイギリス英語で、アメリカ英語では ｓｕｎｎｙ や ｎｉｃｅ などを用いることが多いとあり、さらに語法解説には、 「ｆｉｎｅ を天気の表現に用いるのは《英》で好まれる。 ｆｉｎｅ は晴天から何とか過ごせる状態まで表すことができるので、もともと雨の多い地方では多少日が出た程度や日差しはなくても雨がやんだ状態で用いられることも多い」と記してあります。

また、「いい天気ですね」を表す
（Ｉｔ’ｓ）　ｇｏｏｄ［ｎｉｃｅ］　ｗｅａｔｈｅｒ，ｉｓｎ’ｔ　ｉｔ？や
（Ｉｔ’ｓ　ａ）　ｎｉｃｅ［ｌｏｖｅｌｙ］　ｄａｙ，ｉｓｎ’ｔ　ｉｔ？は、英米ともに使われるそうです。

ちなみに オックスフォード現代英英辞典 を調べてみると、
ｓｕｎｎｙ　：　ｗｉｔｈ　ａ　ｌｏｔ　ｏｆ　ｂｒｉｇｈｔ　ｌｉｇｈｔ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｓｕｎ
ｆｉｎｅ　　：　ｂｒｉｇｈｔ　ａｎｄ　ｎｏｔ　ｒａｉｎｉｎｇ
ｆａｉｒ　　：　ｂｒｉｇｈｔ　ａｎｄ　ｎｏｔ　ｒａｉｎｉｎｇ
ｃｌｅａｒ　：　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｃｌｏｕｄ　ｏｒ　ｍｉｓｔ
とありました。

計算問題［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１３年灘高入試に出題された計算問題を取り上げます。

問題は、
「（１）の［　　］内に適する式を記入し、（２）の問いに答えよ。

（１）
　　　
を因数分解すると、［　　］となる。

（２） ｂ≠０、ｃ≠０、ｂ≠ｃ として、ａ、ｂ、ｃ が次の式をみたすとする。
　　　

① ａ＋ｂ＋ｃ の値を求めよ。

②
　　　
のとき、ａｂの値を求めよ。」
です。

（１）です。


で、これが答えです。

（２）の①に進みましょう。

与えられた２式を変形して、

とします。

ここで辺々を引くと、

になります。

このとき、ｂ－ｃ≠０ なので、両辺を ｂ－ｃで除すと

になり、これを整理して、

から

で、これが答えです。

最後の②です。


から

です。

これ（★）に代入して、

で、これから

です。

一方、

から

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｓｔａｉｒｓ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の教科書に、博物館を見学していた Ｐａｕｌ くんが案内係の人にトイレの場所を尋ねる場面があって、そのとき案内係の人は、
Ｉｔ’ｓ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｓｔａｉｒｓ．
（階段の下にあります）
と答えます。

この ｓｔａｉｒｓ について ウィズダム英和辞典 には、
（１） 〖通例複数形〗　階段
（２） （階段の）１段
（３） 《文語》〖単数形〗　一続きの階段
と記してあり、これらの用例を オックスフォード現代英英辞典 で探してみると、
（１）　Ｔｈｅ　ｃｈｉｌｄｒｅｎ　ｒａｎ　ｕｐ　ｔｈｅ　ｓｔａｉｒｓ．
　　　 （子供たちが会談を駆け上がった）

（２） Ｈｅ　ｓａｔ　ｗａｉｔｉｎｇ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂｏｔｔｏｍ　ｓｔａｉｒ．
　　　 （彼は階段の最下段に座って待っていた）

（３） Ｔｈｅ　ｈｏｕｓｅ　ｈａｄ　ａ　ｐａｎｅｌｌｅｄ　ｈａｌｌ　ａｎｄ　ａ　ｆｉｎｅ　ｏａｋ　ｓｔａｉｒ．
　　　 （その邸にはパネル張りのホールと上質なオーク材の階段があった）
などが見つかりました。

この ｓｔａｉｒｓ 以外にも、例えば、
ｓｔｅｐｓ　屋外の階段
ｓｔａｉｒｃａｓｅ　屋内の手すりを含めた一続きの階段
ｓｔａｉｒｗａｙ　　屋内外の手すりを含めた一続きの階段
ａ　ｆｌｉｇｈｔ　ｏｆ　ｓｔａｉｒｓ/ｓｔｅｐｓ　（向きが変わらない一続きの）階段
などがあり、それぞれの「階段」を表します。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

２次方程式の問題（２）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００９年灘高入試に出題された２次方程式の問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　　］内に適する数を記入せよ。

ｘについての３つの２次方程式

が正の数ｋを共通な解にもつならば　ｂ＝［　　］、ｋ＝［　　］である。」
です。

３つの２次方程式が正の数ｋを共通な解にもつということは、


が成り立つということです。

ここで（１）、（２）、（３）からａとｂを消去してｋだけの方程式をつくり、それを解けばＯＫです。

（２）から

で、
（１）から

です。

（６）に（５）を代入して、

になります。

（６）と（７）を（３）に代入して、

で、これを整理して、

とｋだけの方程式になりました。

ここで（８）を

と因数分解すると、（４）から

なので、（９）を満たすｋは、

で、（４）から

であることが判ります。

これを（７）に代入して、

です。

以上から、

で、これが答えです。

もし（８）の４次方程式が嫌ならば、（１）＋（３）から

（２）×（ａ＋１）から

とし、（１０）－（１１）を計算すると、
（１－ａ）ｋ＋（１－ａ）（２＋ａ）＝０　（１２）
を得ます。

ここで、１－ａ≠０ の場合、（１２）から
ｋ＝－２－ａ　　　　　　　　　　　　　　（１３）
で、これを（２）に代入して、

が成り立ちます。

これを解の公式で解くと、

で、これを（１３）に代入して、

です。あとは初めの解き方と同じです。

また１－ａ＝０ の場合、ａ＝１ ですから、これを（２）に代入すると、

になり、これを満たす正の数ｋはありません。


簡単な問題です。

ｇｕｅｓｔ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３教科書の「自己紹介カードを書こう」という単元に、
Ｉ　ｗａｎｔ　ｔｏ　ｓｈｏｗ　ｔｈｅ　ｇｕｅｓｔｓ　‘ｓｈｏｄｏ’．
（私は招待客に書道を見せたい）
という文があります。

この ｇｕｅｓｔ の 類義語 を ウィズダム英和辞典 にまとめてあって、そこには、
・ ｇｕｅｓｔ　　　　家や晩餐(ばんさん)会・パーティー・儀式などの催しへの招待客のほか、ホテル・レストランなどの客も表す
・ ｖｉｓｉｔｏｒ　　特定の場所・地域･施設や人への訪問者を表す
・ ｃｕｓｔｏｍｅｒ　商店･企業からものを買ったりサービスを受ける客･顧客を表す
・ ｃｌｉｅｎｔ　　　お金を払って弁護士や医者といった専門家や専門機関へ依頼・相談をする人を表す
とあります。（ｖｉｓｉｔｏｒ は中２の英語教科書に、Ｗｅ　ｈｏｐｅ　ｔｈａｔ　ｏｕｒ　ｖｉｓｉｔｏｒｓ　ｗｉｌｌ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｔｈｉｓ． という文で登場します）

また 現代英語語法辞典 には、上記の単語以外に、
・ ｃａｌｌｅｒ　　　仕事や社交のため、また用件のいかんにかかわらず、家や事務所を短時間、通例、儀礼的に訪れる人を表す
も挙げています。

さらに オックスフォード現代英英辞典 には、
ｃｏｍｐａｎｙ　　　［ｕｎｃｏｕｎｔａｂｌｅ］（ｆｏｒｍａｌ）ｇｕｅｓｔｓ　ｉｎ　ｙｏｕｒ　ｈｏｕｓｅ
　　　　　　　　　　［不可算名詞］（堅い言葉）家に招待した客
とあり、例文として、
Ｉ　ｄｉｄｎ’ｔ　ｒｅａｌｉｚｅ　ｙｏｕ　ｈａｄ　ｃｏｍｐａｎｙ．
（来客中だとは知らなかったよ）
を記しています。


「客」を意味する単語もさまざまですが、頭に入れておくといいかもしれません。

２次方程式の問題［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１６年灘高入試に出題された２次方程式の問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　　］内に適する数または式を記入せよ。

ａは定数とする。ａ＝［　　］のとき、ｘの方程式



を満たすｘの値はただ１つである。」
です。

与えられた方程式の左辺をいきなり因数分解できるなら、それで全く問題ないのですが、それが難しい場合、Ｘ＝（ａ＋２）ｘ として、左辺を変形しましょう。

すると方程式は、

になります。

ここで定数項を少しいじって、

とすると、定数項の２つの（　　）の和が、Ｘ項の係数の絶対値と等しくなっていることが判ります。

したがって、（１）は、

と因数分解できます。

また、ｘの値がただ１つということはＸの値もただ１つということで、そのようになるのは（２）の２つの解が等しい場合ですから
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
が成り立ち、これを解いて、

で、これが答えです。


少々計算が煩雑になりますが、判別式Ｄ＝０を利用しても解くことができます。興味のある人は調べてみて下さい。

ｇａｒｄｅｎ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２英語教科書の「ピーターラビットの物語」のなかに、
Ｗｈｅｎ　ｙｏｕ　ｇｏ　ｏｕｔｓｉｄｅ，ｎｅｖｅｒ　ｇｏ　ｉｎｔｏ　Ｍｒ　ＭｃＧｒｅｇｏｒ’ｓ　ｇａｒｄｅｎ．
（外に行っても絶対にマグレガーさんの庭に入ってはいけないよ）
という文があります。

この ｇａｒｄｅｎ を オクスフォード現代英英辞典 で引いてみると、
（Ｂｒｉｔｉｓｈ　Ｅｎｇｌｉｓｈ）（Ｎｏｒｔｈ　Ａｍｅｒｉｃａｎ　Ｅｎｇｌｉｓｈ　ｙａｒｄ）
ａ　ｐｉｅｃｅ　ｏｆ　ｌａｎｄ　ｎｅｘｔ　ｔｏ　ｏｒ　ａｒｏｕｎｄ　ｙｏｕｒ　ｈｏｕｓｅ　ｗｈｅｒｅ　ｙｏｕ　ｃａｎ　ｇｒｏｗ　ｆｌｏｗｅｒｓ，ｆｒｕｉｔ，ｖｅｇｅｔａｂｌｅｓ，ｅｔｃ．，ｕｓｕａｌｌｙ　ｗｉｔｈ　ａ　ｌａｗｎ（＝ａｎ　ａｒｅａ　ｏｆ　ｇｒａｓｓ）
「（イギリス英語）（アメリカ英語では ｙａｒｄ）
花、果物や野菜などを栽培できる家に隣接または周囲の土地で、ふつう芝地を伴う」
とあります。

ＴＨＥ　ＴＡＬＥ　ＯＦ　ＰＥＴＥＲ　ＲＡＢＢＩＴ の作者の Ｂｅａｔｒｉｘ　Ｐｏｔｔｅｒ はイギリス人なので、 ｙａｒｄ でなく ｇａｒｄｅｎ を使っているのでしょう。

ところで、この マグレガーさんの ｇａｒｄｅｎ は、教科書に出てくる野菜が ｒａｄｉｓｈ（ニンジン）と ｐａｒｓｅｌｙ（パセリ）だけなのであまり広くないように感じますが、実は、下の挿絵のように、かなり広そうな ｇａｒｄｅｎ で（原文では Ｐｅｔｅｒ が逃げ回る様子が描かれていてかなり広そうです）、そこでは ｌｅｔｔｕｃｅ（レタス）、Ｆｒｅｎｃｈ　ｂｅａｎ（サヤマメ）、ｃｕｃｕｍｂｅｒ（キュウリ）、ｃａｂｂａｇｅ（キャベツ）、ｐｏｔａｔｏ（ジャガイモ）も栽培されています。

▲ＴＨＥ　ＴＡＬＥ　ＯＦ　ＰＥＴＥＲ　ＲＡＢＢＩＴ の挿絵

　　　　


興味があれば、原文に目を通してみてください。

平方根を含む計算問題［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１２年灘高入試に出題された平方根を含む計算問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　　］内に適する数を記入せよ。

　２（√１０－√５） の小数部分をａとおくと、

である。

　ただし、正の数ｐに対して、ｎ≦ｐ＜ｎ＋１ となる整数ｎとして、
ｐ－ｎ をｐの小数部分という。」
です。

２（√１０－√５）＝２√５（√２－１）
として、これに
√２＝１．４１４２１３５６・・・（一夜一夜に人見頃）
√５＝２．２３６０６７９・・・　（富士山麓オウム鳴く）
を代入すると、
２√５（√２－１）≒２×２.２３６０６７９×（１．４１４２１３５６－１）
　　　　　　　　＝１．８５２４・・・
になり、２（√１０－√５）の整数部分は１であることが判ります。

すると、
ａ＝２（√１０－√５）－１
になり、これを与えられた式に代入して、

で、これが答えです。

もし、√２＝１．４１４２・・・、√５＝２．２３６０・・・を使わないならば、

（３＜√１０＜４、２＜√５＜９からスタートして地道に計算していくと導くことができます）から

として、２（√１０－√５）の整数部を求めることもできます。


簡単な問題です。

「思う」に相当する動詞 のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に
Ｉ　ｔｈｉｎｋ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｂｏｏｋ　ｉｓ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ．
「その本はおもしろいと思います」
という英文があります。

この ｔｈｉｎｋ の代わる 「思う」に相当する動詞 についての話が、 英語のセンスを磨く（行方昭夫著）にあって、それによると「思い」の強さは、 ｔｈｉｎｋ を中心に ｂｅｌｉｅｖｅ、ｋｎｏｗ と強くなり、その反対に ｓｕｐｐｏｓｅ、ｇｕｅｓｓ、ｉｍａｇｉｎｅ、ｆａｎｃｙ の順に弱くなります。

つまり、
ｆａｎｃｙ＜ｉｍａｇｉｎｅ＜ｇｕｅｓｓ＜ｓｕｐｐｏｓｅ＜ｔｈｉｎｋ＜ｂｅｌｉｅｖｅ＜ｋｎｏｗ
です。

すると、例えば、教科書の文の ｔｈｉｎｋ を ｋｎｏｗ に代えて、
Ｉ　ｋｎｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｂｏｏｋ　ｉｓ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ．とした場合、「その本がおもしろいことは絶対に確かだ」という意味合いになり、「知っている」より「堅く信じる」としたほうが通りがよいということです。

ちなみに　上記の動詞であまり見慣れない ｆａｎｃｙ を オックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、文語 ですが ｔｈａｔ節 を従える用法があって、例文として、
Ｓｈｅ　ｆａｎｃｉｅｄ （ｔｈａｔ） ｓｈｅ　ｃｏｕｌｄ　ｈｅａｒ　ｆｏｏｔｓｔｅｐｓ．
「（なんとなく彼女は足音を聞いたような気がした」
が挙がっていました。


頭に入れておくと役に立つかもしれません。

図形問題（１３）［開成高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００６年開成高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「図のように、△ＡＢＣの外接円上に点Ｍがあり、ＢＭ＝ＣＭである。線ＡＭと辺ＢＣの交点をＬとする。次の問いに答えよ。

▲問題図

（１） △ＡＢＭ∽△ＡＬＣ であることを証明せよ。

（２） ＡＢ＝ｂ、ＡＣ＝ｃ、ＢＬ＝ｐ、ＣＬ＝ｑ とするとき、線分ＡＬの長さを ｂ、ｃ、ｐ、ｑ を用いて表せ。」
です。

（１）は円周角の定理を使うだけです。

図１のように、ＢＭ＝ＣＭから弧ＢＭ＝弧ＣＭで、このとき円周角の定理により、
∠ＢＡＭ＝∠ＭＡＣ＝∠ＬＡＣ　　　［１］
です。

▲図１．∠ＢＡＭ＝∠ＬＡＣ、∠ＡＭＢ＝∠ＡＣＬです

また、弧ＡＢの円周角なので、
∠ＡＭＢ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＬ　　　［２］
です。

［１］と［２］から、２組の角がそれぞれ等しいので、△ＡＢＭ∽△ＡＬＣ が成り立ちます。

続いて（２）です。

もっとスマートな解き方があるのかもしれませんが、ここでは図２のように、ＡＬ＝ｘ、ＬＭ＝ｙ、ＢＭ＝ＣＭ＝ｚ とおき、相似三角形の辺の比の関係から３つの式を立て、ｙとｚを消去することで、ｘをｂ、ｃ、ｐ、ｑで表すこと方針でいきましょう。

▲図２．ＡＬ＝ｘ、ＬＭ＝ｙ、ＢＭ＝ＣＭ＝ｚ とおきました

（１）の △ＡＢＭ∽△ＡＬＣ から、


△ＬＡＢ∽△ＬＣＭ から


△ＬＡＣ∽△ＬＢＭ から

が成り立ちます。

［４］の左辺に［５］の右辺、［４］の右辺に［５］の左辺を掛けると、

になり、これから

です。

［６］を［３］に代入して整理すると、

になり、［７］の正の平方根をとれば、

と、ｘを ｂ、ｃ、ｑ で表すことができました。

ところが、問題には ｂ、ｃ、ｐ、ｑ を用いて表せとなっているので、ｂ、ｃ、ｐ、ｑ の関係式を導いて、［８］を変形しましょう。

直線ＡＬが∠Ａの２等分線なので、角の２等分線定理から

が成り立ち、これを［８］に代入すると、

になり、ｘを ｂ、ｃ、ｐ、ｑ の簡単な式で表すことができました。

以上から、線分ＡＬの長さは

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｅｖｅｒ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３英語教科書の 現在完了形経験用法 を取り上げた Ｌｅｓｓｏｎ に、
Ｈａｖｅ　ｙｏｕ　ｅｖｅｒ　ｂｅｅｎ　ｔｏ　Ｌａｋｅ　Ｂｉｗａ？
（琵琶湖に行ったことがありますか）
という文があり、この質問に対する返事は、 ｙｅｓ の場合、
Ｙｅｓ，Ｉ’ｖｅ　ｂｅｅｎ　ｔｈｅｒｅ．
（はい、行ったことがあります）
などとし、
× Ｙｅｓ，Ｉ　ｈａｖｅ　ｅｖｅｒ　ｂｅｅｎ　ｔｈｅｒｅ．
とはしません。

これについて ウィズダム英和辞典 には、 ｅｖｅｒ は 疑問文・否定文・ｉｆ節・強調 で用い、現在完了形 で「今までに」の意は表されているので、 経験を表す肯定文 では用いないと説明しています。

また、ｂｅｆｏｒｅ も 現在完了形 と共に「今よりも）前に」を表し、
Ｈａｖｅ　ｙｏｕ　ｂｅｅｎ　ｔｏ　Ｌａｋｅ　Ｂｉｗａ　ｂｅｆｏｒｅ？
という文も可能で、これは オックスフォード実例現代英語用法辞典 によると ｂｅｆｏｒｅ は現在の出来事に言及し、その出来事が別のとき生じたかを問うので、これは 「琵琶湖に来たことがありますか［聞き手は、おそらく琵琶湖にいる］」の意味を表すことになります。

ちなみに、 ｅｖｅｒ は（ ｂｅｆｏｒｅ を伴わないと）現在の出来事を指さないので、教科書の
Ｈａｖｅ　ｙｏｕ　ｅｖｅｒ　ｂｅｅｎ　ｔｏ　Ｌａｋｅ　Ｂｉｗａ？
では、聞き手は琵琶湖にいない ことです。


頭に入れておくと役に立つかもしれません。

図形問題（１２）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００９年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　　］内に適する数を記入せよ。

図のように２つの直角三角形ＡＢＣとＡＢＤがある。辺ＡＤと辺ＤＣの交点をＥとし、Ｅを通り辺ＡＢに垂直な直線と辺ＡＢとの交点をＦとする。
ＡＢ＝６５ｃｍ、ＡＣ＝３９ｃｍ、ＢＤ＝２５ｃｍ のとき、
ＥＦ＝［　　］ｃｍ である。」

▲問題図

です。

図１のように、与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

△ＡＢＣと△ＡＢＤにそれぞれ三平方の定理を適用し、ＢＣとＡＤの長さを計算すると、図２のように、
ＢＣ＝５２ｃｍ
ＡＤ＝６０ｃｍ
になります。（△ＡＢＣは、３辺の長さの比が５：４：３、△ＡＢＤは１３：１２：５の直角三角形であることを利用すると簡単です）

▲図２．ＢＣ＝５２ｃｍ、ＡＤ＝６０ｃｍです

一方、△ＡＣＥ∽△ＢＤＥでその相似比が３９/２５であることから、図３のように、ＡＥ＝３９ｐ、ＢＥ＝２５ｐ、ＣＥ＝３９ｑ、ＤＥ＝２５ｑとすることができます。

▲図３．ＡＥ＝３９ｐ、ＢＥ＝２５ｐ、ＣＥ＝３９ｑ、ＤＥ＝２５ｑとしました

このときＢＣ＝ＢＥ＋ＣＥ、ＡＤ＝ＡＥ＋ＤＥ から
５２＝２５ｐ＋３９ｑ　　　　　　　　　　　　（１）
６０＝３９ｐ＋２５ｑ　　　　　　　　　　　　（２）
が成り立ちます。

（１）＋（２）と（２）－（１）はそれぞれ、
６４（ｐ＋ｑ）＝１１２　→　ｐ＋ｑ＝７/４　　（３）
１４（ｐ－ｑ）＝８　　　→　ｐ－ｑ＝４/７　　（４）
になり、（３）＋（４）から
２ｐ＝７/４＋４/７＝６５/２８
　ｐ＝６５/５６
で、
ＡＥ＝３９×６５/５６（ｃｍ）
になります。

さらに図４のように、相似三角形△ＡＢＤと△ＡＥＦに注目すると、
ＢＤ/ＡＢ＝ＥＦ/ＡＥ　　　　　　　　　　　　（５）
が成り立ちます。

▲図４．△ＡＢＤ∽△ＡＥＦです

最後に（５）に、ＢＤ＝２５（ｃｍ）、ＡＢ＝６５（ｃｍ）、ＡＥ＝３９×６５/５６（ｃｍ）を代入すると、
ＥＦ＝２５/６５×３９×６５/５６＝２５×３９/５６＝９７５/５６（ｃｍ）
で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｌａｕｇｈｔｅｒ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に ‘Ｒａｋｕｇｏ　Ｇｏｅｓ　Ｏｖｅｒｓｅａｓ’ という文章があって、そのなかで、今後の計画を尋ねられた落語家の 希巳江（きみえ） さんが、
Ｔｏ　ｃｏｎｔｉｎｕｅ　ｓｐｒｅａｄｉｎｇ　ｌａｕｇｈｔｅｒ　ａｌｌ　ｏｖｅｒ　ｔｈｅ　ｗｏｒｌｄ．
（世界中に笑いを広げ続けていくこと）
と答えます。

この ｌａｕｇｈｔｅｒ の教科書にある日本語訳は「笑い」となっているのですが、すると ｌａｕｇｈ （名詞）との違いが気になるところです。

そこで、これらを ウィズダム英和辞典 で調べてみると、
ｌａｕｇｈｔｅｒ ： （不可算名詞）　笑い；笑い声
ｌａｕｇｈ　　　 ： （可算名詞）　　笑い；笑い声
とあり、両者の違いは 不可算名詞 か 可算名詞 かということで、例えば 不可算名詞 の ｍａｃｈｉｎｅｒｙ（機械［類］） と 可算名詞 の ｍａｃｈｉｎｅ（機械）で、前者が後者よりも 漠然とした意味をもつように、 ｌａｕｇｈｔｅｒ は ｌａｕｇｈ よりも 漠然とした一般的な「笑い［というもの］」を表しています。

ちなみに、「笑いは最良の薬」という諺では、 一般的な「笑い」 が相応しく、
Ｌａｕｇｈｔｅｒ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｂｅｓｔ　ｍｅｄｉｃｉｎｅ．
となります。


頭にいれておくと役に立つこともあるかもしれません。

図形問題（１１）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１１年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「１辺の長さが１の正十二角形の内部に１辺の長さが１の正三角形１６個を下図のように並べた（網掛け部分）。図の５つの頂点を Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ とする。

▲問題図

（１） ２点Ａ、Ｂ間の距離を求めよ。

（２） ２点Ｃ、Ｄ間の距離を求めよ。

（３） 五角形ＡＢＣＤＥの面積を求めよ。」
です。

図１のように、Ａから反時計回りに正十二角形の頂点をＦ、Ｇ、Ｈ、Ｉとし、さらに内部に図の位置にＫをとりましょう。

▲図１．Ａから反時計回りに正十二角形の頂点をＦ、Ｇ、Ｈ、Ｉ、内部にＫをとりました

初めに、直線ＡＨ上にＢがあることと、直線ＤＨ上にＣがあることを示します。

まず、直線ＡＨ上にＢがあることを示します。

ＡＨ//ＦＧで、正十二角形の外角は３０°なので、∠ＡＨＧ＝３０°です。

一方、正十二角形の内角が１５０°から∠ＧＨＩ＝１５０°で、∠ＢＨＩ＝１２０°ですから∠ＢＨＧ＝∠ＧＨＩ－∠ＢＨＩ＝３０°です。

したがって、直線ＡＨと直線ＢＨは一致し、直線ＡＨ上にＢがあることが判りました。

続いて、直線ＤＨ上にＣがあることを示します。

ＡＦ//ＤＨ　　　　　（★）
です。

一方、四角形ＡＨＧＦは等脚台形なので、∠ＦＡＨ＝３０°です。

また、四角形ＨＢＣＫはひし形で、その対角線は角を二等分するので、∠ＢＨＣ＝∠ＡＨＣ＝∠ＢＨＫ/２＝３０°になります。

このとき、∠ＦＡＨと∠ＡＨＫは直線ＡＦと直線ＣＨの錯角になり、これらが等しいのでＡＦ//ＣＨです。

これと（★）から直線ＤＨと直線ＣＨは一致し、直線ＤＨ上にＣがあることが判りました。

それでは（１）に取り掛かりましょう。

図３のように、線分ＡＨの長さは、１辺１の正三角形の高さの２つ分の長さと１辺１の正三角形の辺の１つ分の長さの和なので、

です。

▲図３．２点Ａ、ＢおよびＣ、Ｄの間の距離を計算します

一方、線分ＢＨの長さは、１辺１の正三角形の辺の２つ分の長さなので、
ＢＨ＝１×２＝２
です。

したがって、

から２点Ａ、Ｂ間の距離は、

で、これが答えです。

続いて（２）です。

線分ＤＨの長さは、１辺１の正三角形の辺の１/２の２つ分の長さと１辺１の正三角形の高さ２分の長さと１辺１の正三角形の辺の１つ分の長さの和なので、

です。

一方、線分ＣＨの長さは、１辺１の正三角形の高さの４つ分の長さなので、

です。

したがって、

から２点Ｃ、Ｄ間の距離は、

で、これが答えです。

最後の（３）です。

図４のように、五角形ＡＢＣＤＥを台形ＡＢＣＥと三角形ＥＤＣに分割してそれぞれの面積を計算しましょう。

▲図４．五角形ＡＢＣＤＥを台形ＡＢＣＥと三角形ＥＤＣに分割してそれぞれの面積を計算します

ここで、Ａから直線ＢＣに下ろした垂線の足をＰ、Ｅから直線ＣＤに下ろした垂線の足をＱとします。

初めに台形ＡＢＣＥの面積です。

△ＡＢＰは内角が３０°、６０°、９０°の直角三角形なので、

になります。

したがって、台形ＡＢＣＥの面積は、

です。

次に△ＥＣＤの面積です。

△ＥＤＱは内角が３０°、６０°、９０°の直角三角形なので、

になります。

したがって、△ＥＤＣの面積は、

です。

以上から、五角形ＡＢＣＤＥの面積は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

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