組合せの問題（２）［麻布中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１２年麻布中入試に出題された組合せの問題を取り上げます。

問題は、
「下の図のような６つのマス目があり、左上のマス目には１が書かれています。

残りの５マスに２から６までの数字を１つずつ書き入れることを考えます。ただし、横の３つの数は３で割った余りが異なるように書き入れ、たての２つの数は２で割った余りが異なるように書き入れます。

たとえば、下の図の２つは正しい書き入れ方です。

このとき、以下の問いに答えなさい。

（１）下の図で、残った３つの数字の書き入れ方は何通りですか。

（２）下の図で、残った３つの数字の書き入れ方は何通りですか。

（３）下の図せ、残った５つの数字の書き入れ方は何通りですか。

」

です。

早速、取り掛かりましょう。

１、２、３、４、５、６を３で割った余りは、それぞれ１、２、０、１、２、０なので、３で割った余りが異なる３つの数を選ぶと、残りの３つの数字も３で割った余りが異なる組合せになります。

ここで図１の上段の３つの数１、３、５を３で割った余りは、それぞれ１、０、２なので、横の３つの数は３で割った余りが異なるという条件を満たしていて、さらに残りの数字２、４、６を３で割った余りもすべて異なります。

▲図１．（１）のマス目です

一方、たての２つの数は２で割った余りが異なるということは、上下の２つの数が偶数と奇数の組になることです。

ここで図１の場合、上段の３つの数１、３、５はすべて奇数で、残りの数はすべて偶数なので、残りの３つの数は下段のいずれのマス目にも書き入れることができます。

このとき、左下のマス目の書き入れ方は３通り、中央下のマス目の書き入れ方は２通り、右下のマス目の書き入れ方は１通りですから、３つの数字の書き入れ方は３×２×１＝ ６通り で、これが答えです。（上段の３つの数が奇数のとき、下段の書き入れ方は６通りになります）

続いて（２）です。

図２の上段の３つの数１、５、６を３で割った余りは、それぞれ１、２、０で、横の３つの数は３で割った余りが異なるという条件を満たしています。

▲図２．（２）のマス目です

ここで、１、５、６はそれぞれ奇数、奇数、偶数なので、それぞれの数の下のマス目には偶数、偶数、奇数を書き入れなければなりません。

一方、残った数２、３、４のなかの奇数は３だけなので、３は６の下のマス目に書き入れられ、その他の２と４は、１と５の下のいずれのマス目にも書き入れることができます。

このとき、左下のマス目の書き入れ方は２通り、中央下のマス目の書き入れ方は１通りですから、３つの数字の書き入れ方は２×１＝ ２通り で、これが答えです。（上段の３つの数が奇数と偶数からなるとき、下段の書き入れ方は２通りになります）

最後に（３）です。

図３の上段に書き入れられる数の組合せは、（１，２，３）、（１，３，２）、（１，２，６）、（１，６，２）、（１，３，５）、（１，５，３）、（１，５，６）、（１，６，５）です。

▲図３．（３）のマス目です

これらの組合せのなかで３つの数がすべて奇数のものは、（１，３，５）、（１，５，３）の２組で、それぞれの組について、下段のマス目の数の書き入れ方は６通りなので、合わせて６×２＝ １２通り です。　

また、３つの数が奇数と偶数でなるものは、（１，２，３）、（１，３，２）、（１，２，６）、（１，６，２）、（１，５，６）、（１，６，５）の６組で、それぞれの組について、下段のマス目の数字の書き入れ方は２通りなので、合わせて２×６＝ １２通り です。

したがって、５つの数字の書き入れ方は１２＋１２＝ ２４通り で、これが答えです。


簡単な問題です。

強調構文

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

高２の塾生が大学入試に備えて英語長文読解のテキストに取り組んでいますが、さすがに大学入試レベルの英文ともなると、強調、倒置、挿入 など文の構造が複雑になります。

そこで今回は、強調 の代表格である 強調構文 について取り上げます。

Ｉｔ　ｉｓ ～ ｔｈａｔ ... の形をしたお馴染みの 強調構文 では、強調したい語句 を ～ の部分に入れることによって、その語句を強調することができます。

例えば、 表現のための実践ロイヤル英文法 には、
Ｊｏｈｎ　ｓａｗ　ａ　ｂｌａｃｋ　ｂｅａｒ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｅｓｔ　ｙｅｓｔｅｒｄａｙ．
（ジョンは昨日森の中で黒いクマを見た）
の、Ｊｏｈｎ、ａ　ｂｌａｃｋ　ｂｅａｒ、ｉｎ ｔｈｅ　ｆｏｒｅｓｔ および ｙｅｓｔｅｒｄａｙ の４つの語句を強調した文をそれぞれ例示していて、それらは、
・ Ｊｏｈｎ を強調する場合
Ｉｔ　ｗａｓ　Ｊｏｈｎ ｔｈａｔ［ｗｈｏ］　ｓａｗ　ａ　ｂｌａｃｋ　ｂｅａｒ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｅｓｔ　ｙｅｓｔｅｒｄａｙ．

・ ａ　ｂｌａｃｋ　ｂｅａｒ を強調する場合
Ｉｔ　ｗａｓ　ａ　ｂｌａｃｋ　ｂｅａｒ　ｔｈａｔ　Ｊｏｈｎ　ｓａｗ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｅｓｔ　ｙｅｓｔｅｒｄａｙ．

・ ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｅｓｔ を強調する場合
Ｉｔ　ｗａｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｅｓｔ　ｔｈａｔ　Ｊｏｈｎ　ｓａｗ　ａ　ｂｌａｃｋ　ｂｅａｒ　ｙｅｓｔｅｒｄａｙ．

・ ｙｅｓｔｅｒｄａｙ を強調する場合
Ｉｔ　ｗａｓ　ｙｅｓｔｅｒｄａｙ　ｔｈａｔ　Ｊｏｈｎ　ｓａｗ　ａ　ｂｌａｃｋ　ｂｅａｒ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｅｓｔ．
になります。

このように 強調構文 の基本ルールは簡単なのですが、疑問詞を強調する場合 少し複雑になります。

例えば、
Ｗｈａｔ　ｍａｋｅｓ　ｕｓ　ｈｕｍａｎｓ？
（何が我々を人間たらしめているか）
の ｗｈａｔ を強調する場合、
Ｗｈａｔ　ｉｓ　ｉｔ　ｔｈａｔ　ｍａｋｅｓ　ｕｓ　ｈｕｍａｎ？
となり、語順に注意が必要です。

さらに、高２の塾生が取り組んでいるテキストに載っていた英文は、
Ｂｕｔ　ｃａｎ　ｗｅ　ｒｅａｌｌｙ　ｂｅ　ｓｏ　ｓｕｒｅ　ｗｈａｔ　ｉｔ　ｉｓ　ｔｈａｔ　ｏｕｒ　ｅｙｅｓ　ｔｅｌｌ　ｕｓ？
（しかし、私たちは、目が教えてくれるもにおがいったい何なのか、本当にそんなに確信が持てるのだろうか）
というもので、かなり難しくなります。


特に、強調構文 で疑問詞を強調 するとき、その 語順に気をつけましょう。

２次方程式の問題［開成高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１１年開成高入試に出題された２次方程式の問題を取り上げます。

問題は、
「ｎを整数とする。ｘの２次方程式

は解を２つもち、そのうちの１つは正の数で、小数第１位で四捨五入すると１０になるという。考えられるｎの値のうち、最大のものと、最小のものを答えよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた２次方程式を解の公式を使って解くと、

になり、２つの解をα、β（α＞β）とすると、

です。

ここで、

とし、下図のようにグラフを描くと、α＞０、β≦０となるのは、
ｎ≦０　　　　　（★）
の場合であることが判ります。

▲図．α＞０、β≦０になるのはｎ≦０の場合です

一方、αは小数第１位で四捨五入すると１０になることから

が成り立ち、これを変形して、

で、これは（★）を満たしています。

以上から、ｎの 最大値は－３４、最小値は－４７ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｒｏｗ ｕｐｏｎ ｒｏｗ ｏｆ～ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

高２の塾生が大学入試準備のために読んでいる英語長文のなかに ｒｏｗ　ｕｐｏｎ　ｒｏｗ　ｏｆ～ という言葉が出てきました。

この ｒｏｗ　ｕｐｏｎ　ｒｏｗ　ｏｆ～ は、「幾重にも並んだ～」という意味で、例えば、ｒｏｗ　ｕｐｏｎ　ｒｏｗ　ｏｆ　ｈｏｕｓｅｓ で、「何列にも並んだ家」を表します。

ここで気になるのが、何故 ｏｎ ではなく ｕｐｏｎ を使うのかということですが、ウィズダム英和辞典 で ｕｐｏｎ を調べてみると、そこには、
「基本的な意味は ｏｎ とほぼ同じ； ｕｐｏｎ の方がかたく、文語で好まれるが、リズムにより決定される場合もある；慣用的に ｕｐｏｎ を用いるのものは、 ｏｎｃｅ　ｕｐｏｎ　ａ　ｔｉｍｅ（昔々）など」
と記してあります。

どうやら、ｒｏｗ　ｕｐｏｎ　ｒｏｗ ｏｆ～ の ｕｐｏｎ もリズムの良さから慣用的に使われているといったところでしょう。

ついでに、ｒｏｗ　ｕｐｏｎ　ｒｏｗ ｏｆ～ と ｒｏｗ　ｏｎ　ｒｏｗ　ｏｆ～ の使用比率を Ｇｏｏｇｌｅ　Ｎｇｒａｍ　Ｖｉｅｗｅｒ で調べてみると、
ｕｐｏｎ ： ｏｎ ＝１３ ： １
で、ｒｏｗ　ｏｎ　ｒｏｗ　ｏｆ～ も全く使われないということではないようです。

覆面算［開成高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１１年開成高入試に出題された覆面算の問題を取り上げます。

問題は、
「ａ、ｂ、ｃはそれぞれ１以上９以下の整数であり、下の筆算が３けたの自然数どうしの引き算として、正しい計算になっている。

（i） ｂの値は４以上である。その理由を簡潔に述べよ。
（ii） ａ、ｂ、ｃの値をそれぞれ求めよ。」

です。

（i）は、ｂの値を３以下としたとき矛盾が生じることを示せばよいでしょう。

ｂが３以下とすると、一の位の計算から、ａ＝１、２ になります。

次に、百の位に注目すると、ａ＝１または２のとき、ａ－２ は０以下で、すなわち、ｂは０以下になります。

これは、ｂが１以上９以下の整数であることと矛盾するので、ｂは３以下ありません。

したがって、ｂは４以上になります。

（ii）は、（i）を利用しましょう。

ｂは４以上の整数なので、一の位の計算を満たすａ、ｂの組合せ（ａ，ｂ）は、
（４，９）、（５，８）、（６，７）、（７，６）、（８，５）、（９，４）　　　　　　　　　　（１）
です。

次に、百の位に注目しましょう。

ここで、十の位の計算で繰り下がりがない場合、百の位の計算を満たすａ、ｂの組合せは、
（３，１）、（４，２）、（５，３）、（６、４）、（７，５）、（８，６）、（９，７）　　　　（２）
です。

また、十の位の計算で繰り下がりがある場合、百の位の計算を満たすａ、ｂの組合せは、　
（４，１）、（５，２）、（６，３）、（７，４）、（８，５）、（９，６）　　　　　　　　　　（３）
です。

（１）の組合せのなかで、（２）または（３）と共通するものは、（８，５）です。

これを与えられた筆算の式に入れて計算すると、

になります。

したがって、ａ＝８、ｂ＝５、ｃ＝６ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｔｅｒｍ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

高２の塾生が大学入試準備のために読んでいる英語長文のなかに ｏｎ　ｏｕｒ　ｏｗｎ　ｔｅｒｍｓ という言葉が出てきました。

これを ウィズダム英和辞典 で調べてみると、
ｏｎ　Ａ’ｓ （ｏｗｎ） ｔｅｒｍｓ ： Ａ<人>の出した条件で、 言い値で
とあり、 ここでの ｔｅｒｍｓ は、複数形で「（契約･合意･売買などの）条件、 条項； 価格」を意味します。

このほかにも ｔｅｒｍ にはいろいろな意味があり、例えば、
・「専門用語、言葉遣い」など言葉に関するもの
・「学期、任期」など期間に関するもの
・「条件、間柄」など状況に関するもの
などです。

これらは ｔｅｒｍ の原義が「限界」であることから、意味の範囲を限る→「（専門）用語」、時間の範囲を限る→「期間」、状況の在り方を限る→「条件、間柄」ということで、原義を頭に入れておくと役に立つかも知れません。

さらに、その他の重要な慣用句として、
ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　Ａ ： Ａの観点から
ｃｏｍｅ　ｔｏ　ｔｅｒｍｓ　ｗｉｔｈ ～ ： ～と条件の折り合いがつく、仲直りする
などがあります。


ｔｅｒｍ は頻出単語なので、しっかり覚えておきましょう。

座標とグラフの問題［開成高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００５年開成高入試に出題された座標とグラフの問題を取り上げます。

問題は、
「ＡＢ＝２０、ＢＣ＝２１、ＣＡ＝１３である鋭角三角形ＡＢＣの辺ＡＣ上に点Ｄがあり、ＡＤ：ＤＣ＝２０：１１を満たす。辺ＡＢ上に点ＰをとりＤＰを折り目として折ったところ、点Ａは辺ＢＣ上の点Ｑに重なった。この鋭角三角形ＡＢＣを座標平面上に、Ａをｙ軸の正の部分、Ｂをｘ軸の負の部分、Ｃをｘ軸の正の部分にのるようにおく。以下の問いに答えよ。

（１）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの座標を求めよ。
（２）Ｑの座標を求めよ。また、直線ＤＰの方程式を、ｙ＝ａｘ＋ｂ の形で表せ。
（３）ＡＰ：ＰＢを求めよ。　」

▲問題図

です。

早速、図１のように、問題に与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

（１）は、Ａのｙ座標とＢのｘ座標を変数とし、直角三角形ＡＢＯとＡＣＯについて三平方の定理で２つの方程式を立式して求めてもＯＫですが、ここではＡＣ＝１３に着目して解きましょう。

斜辺の長さが１３の直角三角形で思い起こされるのは、辺の長さが５、１２、１３のものです。

そこで、ＯＡ＝１２、ＯＣ＝５とすると、ＯＢ＝１６で、△ＡＢＯは、辺の長さが２０、１６、１２になり、これは、斜辺の長さが５、そのほかの２辺の長さが４と３の直角三角形と相似になります。

したがって、Ａ（０，１２）、Ｂ（－１６，０）、Ｃ（５，０）になります。

また、Ｄは線分ＡＣを２０：１１に内分する点なので、
（Ｄのｘ座標）＝２０/３１×ＯＣ＝１００/３１
（Ｄのｙ座標）＝１１/３１×ＯＡ＝１３２/３１
です。

以上から、Ａ（０，１２）、Ｂ（－１６，０）、Ｃ（５，０）、Ｄ（１００/３１，１３２/３１）で、これが答えです。

次に（２）です。

ここでは図２のように、Ｑ（ｔ，０）とおき、線分ＤＡとＤＱの長さが等しいことを使えばよいでしょう。（△ＡＤＰと△ＱＤＰは直線ＤＰを対称軸とする線対称の図形になります）

▲図２．Ｑ（ｔ，０）とおきました

から、

が成り立ちます。

これを展開・整理して、

で、ここで、Ｔ＝３１ｔとおくと、

で、解の公式を使って、

です。

このとき、－１６≦ｔ≦５ → －４９６≦Ｔ≦１５５なので、Ｔ＝－１２４です。

したがって、ｔ＝－４から Ｑ（－４，０）で、これが答えです。

続いて直線ＤＰの式です。

図３のように、直線ＡＱとＤＰは直交するので、
（直線ＡＱの式の傾き）×（直線ＤＰの式の傾き）＝－１
が成り立ち、ここで直線ＡＱの式の傾きは３なので、直線ＤＰの式の傾きは－１/３になります。

▲図３．Ｐの座標を計算します

ここで直線ＤＰの式を

とすると、直線ＤＰはＲ（－２，６）を通るので、
６＝－１/３×（－２）＋ｂ
ｂ＝１６/３
です。

したがって、直線ＤＰの式は、

で、これが答えです。

最後の（３）です。

直線ＡＢの式は、

です。

このとき、Ｐの座標は（１）（２）の解で、Ｐのｘ座標は－８０/１３になります。

ここで図３のように、Ｐからｘ軸に垂線を下ろしその足をＰ’とすると、
ＡＰ：ＰＢ＝ＯＰ’：Ｐ’Ｂ
が成り立ち、ＯＰ’＝８０/１３、Ｐ’Ｂ＝１６－８０/１３＝１２８/１３から
ＡＰ：ＰＢ＝８０/１３：１２８/１３＝５：８
で、これが答えです。


簡単な問題です。　

Ｗｈａｔ ｄｏ ｙｏｕ ｍｅａｎ？ と Ｈｏｗ ｄｏ ｙｏｕ ｍｅａｎ？

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に
Ｗｈａｔ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？
（どういうこと？）
という英文が出てきたので、今回は、 Ｗｈａｔ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？ と、それと似た言葉の Ｈｏｗ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？ について取り上げます。

現代英語語法辞典 に、 Ｗｈａｔ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？ は、人が言ったことが理解できないときや、人の発言や行為に非常に驚いたり当惑したことを示して 「どういうことだ、どんなつもりだ」 の意で用いられるとあり、例文として、
Ｗｈａｔ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ　ｂｙ　ｃａｌｌｉｎｇ　ｍｅ　ａｔ　ｔｈｉｓ　ｔｉｍｅ　ｏｆ　ｎｉｇｈｔ？
（夜のこんな時間に電話してくるなんてどういうつもりだ？）
を挙げています。

それに対して、Ｈｏｗ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？ は、話し言葉 で、 人が言ったことに対してもっと説明してほしい気持ちを示す とあり、例文として、
“Ｉｎ　ｔｈｒｅｅ　ｈｏｕｒｓ’ ｔｉｍｅ， Ｉ’ｌｌ　ｂｅ　ａ　ｆｒｅｅ　ｍａｎ，”“Ｈｏｗ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？”
（「３時間たてば僕は自由の身だ」「どういうこと？」）
を挙げています。

さらに、これらの違いについて、 英辞郎 には、Ｗｈａｔ ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？　は、「どういう意味だ・不愉快だ・何を言おうとしているのか分からない・話を進めるのをやめて今言ったことをきちんと説明して欲しい」 などのニュアンスになるのに対し、 Ｈｏｗ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？ は、「もっと詳しく聞きたい・言いたいことは大体分かるがもう少し具体的に説明してほしい」 と先を促すニュアンスになると記してあり、さらに、Ｈｏｗ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？ は、主に フレンドリーな話し言葉 で、文法的には正しくないと見なされることもある と説明しています。


Ｗｈａｔ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？ と Ｈｏｗ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｍｅａｎ？ をセットで覚えておくといいかもしれません。

格子点の問題［開成高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００６年開成高入試に出題された格子点の問題を取り上げます。

問題は、
「次のオ～キを埋めよ。
ｎを正の整数とし、座標平面上で４点（ｎ，０）、（０，ｎ）、（－ｎ，０）、（０，－ｎ）を頂点とする正方形の内部または周上にある格子点の個数をＳ（ｎ）とする。ただし、格子点とはｘ座標、ｙ座標がともに整数である点のことである。
このとき、Ｓ（１）＝５、Ｓ（２）＝１３、Ｓ（３）＝［オ］、Ｓ（４）＝［カ］であり、Ｓ（ｎ）をｎの式で表すとＳ（ｎ）＝［ キ ］である。」
です。

漸化式を利用すれば簡単です。

下図のように、
・４点（ｎ，０）、（０，ｎ）、（－ｎ，０）、（０，－ｎ）を頂点とする正方形（青色）の内部または周上にある格子点の個数をＳ（ｎ）
・４点（ｎ＋１，０）、（０，ｎ＋１）、（－ｎ－１，０）、（０，－ｎ－１）を頂点とする正方形（緑色）の内部または周上にある格子点の個数をＳ（ｎ＋１）
とします。

▲図．青色と緑色の正方形の格子点の個数をそれぞれＳ（ｎ）およびＳ（ｎ＋１）としました

ここで、緑色の正方形の各辺の直線の式は、
第１象限 ： ｙ＝－ｘ＋ｎ＋１
第２象限 ： ｙ＝ｘ＋ｎ＋１
第３象限 ： ｙ＝－ｘ－ｎ－１
第４象限 ： ｙ＝ｘ－ｎ－１
なので、ｘが整数のとき、ｙも整数になり、正方形の１辺に並ぶ格子点の個数は、正方形の一つの頂点を除くと、ｎ＋１個になります。

したがって、
Ｓ（ｎ＋１）＝Ｓ（ｎ）＋４（ｎ＋１）　　　（★）
が成り立ちます。

（★）に、ｎ＝２、３を代入すると、
Ｓ（３）＝Ｓ（２）＋４×３＝１３＋１２＝２５
Ｓ（４）＝Ｓ（３）＋４×４＝２５＋１６＝４１
で、 ［オ］＝２５、［カ］＝４１ が答えです。

続いて［キ］です。

（★）から、
Ｓ（ｎ）　　＝Ｓ（ｎ－１）＋４ｎ
Ｓ（ｎ－１）＝Ｓ（ｎ－２）＋４（ｎ－１）
Ｓ（ｎ－２）＝Ｓ（ｎ－３）＋４（ｎ－２）
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　　　　　　・
Ｓ（２）　　＝Ｓ（１）　　＋４×２
が成り立ち、これらの辺々を足し合わせると、
Ｓ（ｎ）＝Ｓ（１）＋４｛ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）＋・・・＋２｝
になります。

ここで、
Ｓ（１）＝５
ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）＋・・・＋２＝（ｎ＋２）（ｎ－１）/２
なので、

です。

したがって、［ キ ］は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。　

ｒｅｓｃｕｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に ｒｅｓｃｕｅ という単語が出てきました。

これは、遭難や災害のときに活躍する救助チームをレスキュー隊と呼ぶように、日本語のなかに浸透している言葉で、 ウィズダム英和辞典 には、「<人・物>を救う」とあります。

すると同様の意味を表す ｓａｖｅ との違いが知りたくなりますが、オックスフォード現代英英辞典 に、 ｓａｖｅ、ｒｅｓｃｕｅ、ｂａｉｌ　ｏｕｔ、ｒｅｄｅｅｍ についてまとめてありました。

そこには、
Ｔｈｅｓｅ　ｗｏｒｄｓ　ａｌｌ　ｍｅａｎ　ｔｏ　ｐｒｅｖｅｎｔ　ｓｏｍｅｂｏｄｙ/ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｆｒｏｍ　ｄｙｉｎｇ，ｌｏｓｉｎｇ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ，ｂｅｉｎｇ　ｈａｒｍｅｄ　ｏｒ　ｅｍｂａｒｒａｓｓｅｄ．
（これらの言葉はすべて、人やものが、死んだり、何かを失ったり、傷つけられたり、困っていることから防ぐことを意味する）
とあり、続いて、
・ｓａｖｅ
ｔｏ　ｐｒｅｖｅｎｔ　ｓｏｍｅｂｏｄｙ/ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｆｒｏｍ　ｄｙｉｎｇ，ｂｅｉｎｇ　ｈａｒｍｅｄ　ｏｒ　ｄｅｓｔｒｏｙｅｄ　ｏｒ　ｌｏｓｉｎｇ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ
（人やものが、死んだり、傷つけられたり、破壊されたり、何かを失ったりすることから防ぐ）
Ｄｏｃｔｏｒｓ　ｗｅｒｅ　ｕｎａｂｌｅ　ｔｏ　ｓａｖｅ　ｈｉｍ．
（医者らは彼を救えなかった）

・ｒｅｓｃｕｅ
ｔｏ　ｓａｖｅ　ｓｏｍｅｂｏｄｙ／ｓｏｎｅｔｈｉｎｇ　ｆｒｏｍ　ａ　ｄａｎｇｅｒｏｕｓ　ｏｒ　ｈａｒｍｆｕｌ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ
（人やものを危険な状態や害が与えられる状態から救う）
Ｔｈｅｙ　ｗｅｒｅ　ｒｅｓｃｕｅｄ　ｂｙ　ａ　ｐａｓｓｉｎｇ　ｃｒｕｉｓｅ　ｓｈｉｐ．
（彼らは通りかかった客船に助けられた）
＜以下省略＞
と記してあるのですが、ちょっとピンときません。

そこでインターネットで調べてみると、ｓａｖｅ が「救出の結果や安全性に焦点がある」のに対し、ｒｅｓｃｕｅ は「救出の行為・過程に焦点がある」といったような説明が多いようで、そう言われると、 オックスフォード現代英英辞典 の説明にもそのような雰囲気を感じたりします。


なかなか難しいようですが、図書館で、もう少し調べてみようと思います。

数の問題（２）［開成高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００７年開成高入試に出題された数の問題を取り上げます。

問題は、
「次の空欄［コ］～［ス］に、適切な数、式を埋めよ。

２つの自然数ｍ、ｎについて

が自然数になるとき、ｍ：ｎ＝［コ］または［サ］である。

また、

が自然数になるｘは、［シ］と［ス］である。
ただし、［コ］と［サ］、［シ］と［ス］は解答の順序は問わない。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

まず前半は、与えられた式を

と変形すると、

になります。

さらに、

とすると、

または、

が成り立ちます。

したがって、

または

で、［コ］と［サ］は、２：１ と １：２ になります。

後半は、上の結果を利用すればよいでしょう。


が自然数になるので、

です。

このとき、


で、これらをまとめると、

です。



から、ｘ＝１、１３で、ｘ＞√７なので、ｘ＝１３になります。



から、ｘ＝４、－１/２で、ｘ＞√７なので、ｘ＝４になります。

以上から、［シ］と［ス］は、１３ と ４ になります。


分子を有理化すれば簡単です。

ａ ｐａｒｔ ｏｆ ～ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に
Ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｕｔｕｒｅ， ｒｏｂｏｔｓ　ｗｉｌｌ　ｐｌａｙ　ａ　ｂｉｇ　ｐａｒｔ　ｉｎ　ｏｕｒ　ｌｉｖｅｓ．
（将来、ロボットは私たちの生活のなかで大きな役割を果たすでしょう）
という ｐａｒｔ を含んだ英文があったので、今回は、 （ａ） ｐａｒｔ　ｏｆ について取り上げます。

ｐａｒｔ を ウィズダム英和辞典 で引いてみると、冒頭に、
《...の》部分《ｏｆ》〖（ａ）ｐａｒｔ　ｏｆ Ａ〗Ａ<物・事・場所などの>部分
という説明があり、その後に語法の解説が続きます。

そこには、
（１）形容詞を伴う場合は、不定冠詞 ａ を付けるが、伴わない場合は、ａ を省略するのが普通
　　　Ｔｈａｔ’ｓ ｐａｒｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｒｏｕｂｌｅ．
　　　（それが悩みの１つです）［Ｔｈａｔ’ｓ　ａ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｒｏｕｂｌｅ．より自然］

（２）（ａ） ｐａｒｔ　ｏｆ は複数名詞の前では用いない　　
　　　ｓｏｍｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｙｏｕｔｈｓ　（若者の一部）　　
　　　× （ａ） ｐａｒｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｙｏｕｔｈｓ
　　　ｍａｎｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　（学生の大部分）　　
　　　× ａ　ｌａｒｇｅ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｕｄｅｎｔｓ

（３）ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｍｏｓｔ　ｐａｒｔ （たいていは）や ｉｎ　ｍｏｓｔ　ｐａｒｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｗｏｒｌｄ （世界のほとんどの地域で）のような場合を除いて、通例 ｍｏｓｔ と ｐａｒｔ（ｓ） は同時に用いない
　　　ｓｐｅｎｄ　ｍｏｓｔ ［ｔｈｅ　ｇｒｅａｔｅｒ　ｐａｒｔ］ ｏｎｅ’ｓ　ｌｉｆｅ　ａｂｒｏａｄ
　　　（人生の大半を海外で過ごす）
　　　× ｓｐｅｎｄ　ｍｏｓｔ　ｐａｒｔｓ　ｏｆ　ｏｎｅ’ｓ　ｌｉｆｅ　ａｂｒｏａｄ
と記してあります。

また、オックスフォード実例現代英語用例辞典 にも、「形容詞を伴っていない場合は、ａ が ｐａｒｔ　ｏｆ の前で省略されるのが普通である」とあり、例文として、
Ｐａｒｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｏｏｆ　ｗａｓ　ｍｉｓｓｉｎｇ．
（屋根の一部がなくなっていた）
Ａ　ｌａｒｇｅ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｏｏｆ　ｗａｓ　ｍｉｓｓｉｎｇ．
（屋根の大部分がなくなっていた）
を挙げています。


（ａ） ｐａｒｔ　ｏｆ の使い方を覚えておくとよいでしょう。

作図問題［開成高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００７年開成高入試に出題された作図問題を取り上げます。

問題は、
「△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝６である。このとき、次の問いに答えよ。

（１）∠ＡＣＢ＝６０°であるとき、△ＡＢＣの外接円における弧ＡＣＢの長さを求めよ。
（２）∠ＡＣＢ＝３０°、ＣＢ≦ＣＡとし、さらに△ＡＢＣの面積を６√３とする。このとき、△ＡＢＣを作図せよ。
　　　ただし、３点Ａ、Ｂ、Ｃは反時計回りに並ぶものとする。」
です。

まず図１のように、（１）の図を描きましょう。

▲図１．問題（１）の図を描きました

外接円の中心をＯとすると、∠ＡＯＢと∠ＡＣＢは中心角と円周角の関係なので、∠ＡＯＢ＝１２０°になります。

続いて図２のように、Ｏから線分ＡＢに垂線を下ろし、その足をＨとすると、△ＡＯＨは三角定規の直角二等辺三角形でないほうと相似な三角形で、
ＡＯ：ＡＨ＝２：√３
です。

▲図２．Ｏから線分ＡＢに垂線を下ろしました

ここで、ＡＢ＝６からＡＨ＝３なので、
ＡＯ＝３×２×１/√３＝２√３
です。

したがって、△ＡＢＣの外接円の直径は４√３で、その円周の長さは、４√３πです。

弧ＡＣＢの長さは、その中心角が２４０°の扇形の弧の長さですから、
（弧ＡＣＢの長さ）＝４√３π×２/３＝８√３π/３
で、これが答えです。

続いて（２）です。

△ＡＢＣの面積が６√３ということは、底辺をＡＢとすると、高さは２√３になり、これは正三角形の一辺と高さの関係を利用すれば作図できそうです。

そこで図３のように、線分ＡＢを一辺とする正三角形を描き、Ａ、Ｂでない頂点をＰとしましょう。

▲図３．線分ＡＢを一辺とする正三角形を描きました

このとき、ＡＢ（＝ＰＡ）：ＰＭ＝２：√３で、ＡＢ＝６からＰＭ＝３√３になります。

さらにＰとＡからそれぞれ線分ＡＢとＰＢに垂線を下ろし２本の垂線の交点をＧとすると、Ｇは正三角形ＰＡＢの重心なので、ＰＧ：ＧＭ＝２：１になり、このとき、ＰＭ＝３√３から、ＧＭ＝√３になります。

そこで図４のように、Ｇを中心として半径がＧＭの円を描き、その円周と線分ＰＭとの交点でＭでないほうをＱとすると、ＱＭ＝２√３になり、Ｑを通り直線ＡＢに平行な直線Ｌを引くと、Ｃは直線Ｌ上の点になります。

▲図４．Ｃは直線Ｌ上の点になります

あとは、直線Ｌ上にあって、∠ＡＣＢ＝３０°、ＣＢ≦ＣＡとなるＣを見つければＯＫで、これは円周角が中心角の１/２になることを利用すれば簡単です。

図５のように、Ｐを中心とし半径ＰＡの円Γを描くと中心角ＡＰＢ＝６０°から、弧ＡＢに対する円周角は３０°になるので、Ｃは円Γの円周上の点になります。

▲図５．Ｐを中心とし半径ＰＡの円Γを描くと、弧ＡＢに対する円周角は３０°になります

以上から、Ｃは直線Ｌと円Γの交点で、かつ、ＣＢ≦ＣＡを満たす点になり、したがって、△ＡＢＣは図５のようになります。


都立高校の作図問題に比べると少々難しいかもしれません。

ａ ｗａｙ ｏｆ ～ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、中２の英語教科書に出てきた ａ　ｗａｙ ｏｆ～ を取り上げます。

教科書に載っている英文は、
Ｉ　ｗｅｎｔ　ｔｈｅｒｅ　ｔｏ　ｌｅａｒｎ　ａｂｏｕｔ　ｎｅｗ　ｗａｙｓ　ｏｆ　ｎｕｒｓｉｎｇ．
（私は新しい介護の方法について学ぶためにそこに行きました）
で、ここでの ｗａｙ は「方法、やり方」を意味し、 ｗａｙｓ　ｏｆ　ｎｕｒｓｉｎｇ で 「介護の方法」 を表します。

これについて ウィズダム英和辞典 を調べてみると、 ａ　ｗａｙ　ｏｆ　ｄｏｉｎｇ で 「・・・する方法、やり方」 を表すとあり、その例文として、
Ｅ－ｍａｉｌ　ｉｓ　ａ　ｗａｙ　ｏｆ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｎｇ．
（Ｅメールはコミュニケーションの一手段である）
を挙げてあります。

さらに、それに続いて、「 『・・・の方法、手段』 と言う場合、 ａ　ｗａｙ　ｏｆ の後ろには通例動名詞を用い、名詞は用いない」 という注意書きがあり、したがって、上記の文は、
× Ｅ－ｍａｉｌ　ｉｓ　ａ　ｗａｙ　ｏｆ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ．
とはしません。

また、 オックスフォード実例現代英語用法辞典 には、
「名詞の前で ｗａｙ　ｏｆ は、（よく用いられる　ｗａｙ　ｏｆ　ｌｉｆｅ（世のならわし）という表現を除けば） まず用いない。その代わり、 ｍｅａｎｓ　ｏｆ または ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ を用いる」
とあり、したがって、上記の文を
Ｅ－ｍａｉｌ　ｉｓ　ａ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ．
と言い換えることができます。


ａ　ｗａｙ　ｏｆ　～ｉｎｇ（動名詞） を頭に入れておくとよいでしょう。

日本数学オリンピックの難しい問題（１９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００７年日本数学オリンピック本選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣの外接円をΓとする。辺ＡＢ、ＡＣに接し、Γに内接する円をΓA 、辺ＡＢ、ＢＣに接し、Γに内接する円をΓ B、辺ＡＣ、ＢＣに接し、Γに内接する円をΓC とする。円ΓとΓA 、Γ B、ΓC との接点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとおく。
　直線ＡＰ、ＢＱ、ＣＲは一点で交わることを示せ。」
です。

早速図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図２に示すように、円が円に内接するとき、その接点Ｘは相似の中心になります。

▲図２．接点Ｘは相似の中心です

つまり図１で、円Γと円ΓA について接点Ｐ、円Γと円ΓB について接点Ｑ、円Γと円ΓC について接点Ｒは相似の中心になります。

そこで図３のように、円Γに接し、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡに平行な直線を引き、それぞれの交点をＡ’、Ｂ’、Ｃ’とします。

▲図３．円Γに接し、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡに平行な直線を引き、それぞれの交点をＡ’、Ｂ’、Ｃ’としました

このとき、直線ＡＢとＡ’Ｂ’および直線ＡＣとＡ’Ｃ’は点Ｐを相似の中心として対応する直線になるので、直線Ａ’Ｂ’とＡ’Ｃ’の交点Ａ’は点Ａに対応します。

したがって、点Ｐ、Ａ、Ａ’は直線上にあります。

また、直線ＡＢとＡ’Ｂ’および直線ＢＣとＢ’Ｃ’は点Ｑを相似の中心として対応する直線になるので、直線Ａ’Ｂ’とＢ’Ｃ’の交点Ｂ’は点Ｂに対応します。

したがって、点Ｑ、Ｂ、Ｂ’は直線上にあります。

さらに、直線ＡＣとＡ’Ｃ’および直線ＢＣとＢ’Ｃ’は点Ｒを相似の中心として対応する直線になるので、直線Ａ’Ｃ’とＢ’Ｃ’の交点Ｃ’は点Ｃに対応します。

したがって、点Ｒ、Ｃ、Ｃ’は直線上にあります。

このとき、△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’は相似で、その相似比をｋとします。

次に図４のように、直線ＢＢ’とＣＣ’の交点をＯとすると、△ＯＢＣ∽△ＯＢ’Ｃ’で、その相似比はＢＣ/Ｂ’Ｃ’＝ｋですから、
ＯＢ/ＯＢ’＝ＯＣ/ＯＣ’＝ｋ　　　　　　　　　　　（１）
です。

▲図４．ＯＢ/ＯＢ’＝ＯＣ/ＯＣ’＝ｋです

また図５のように、直線ＡＡ’とＣＣ’の交点をＯ’とすると、△Ｏ’ＡＣ∽△Ｏ’Ａ’Ｃ’で、その相似比はＡＣ/Ａ’Ｃ’＝ｋですから、
Ｏ’Ｃ/Ｏ’Ｃ’＝Ｏ’Ａ/Ｏ’Ａ’＝ｋ　　　　　　　（２）
で、これと（１）からＯとＯ’は一致します。

▲図５．Ｏ’Ｃ/Ｏ’Ｃ’＝Ｏ’Ａ/Ｏ’Ａ’＝ｋです

さらに図６のように、直線ＡＡ’とＢＢ’の交点をＯ’’とすると、△Ｏ’’ＡＢ∽△Ｏ’’Ａ’Ｂ’で、その相似比はＡＢ/Ａ’Ｂ’＝ｋですから、
Ｏ’’Ａ/Ｏ’’Ａ’＝Ｏ’’Ｂ/Ｏ’’Ｂ’＝ｋ　　　（３）
で、これと（１）からＯとＯ’’は一致します。

▲図６．Ｏ’’Ａ/Ｏ’’Ａ’＝Ｏ’’Ｂ/Ｏ’’Ｂ’＝ｋです

以上から、直線ＡＡ’、ＢＢ’、ＣＣ’は一点で交わり、ここで、直線ＡＰ、ＢＱ、ＣＲはそれぞれ直線ＡＡ’、ＢＢ’、ＣＣ’と同じなので、直線Ａ、ＢＱ、ＣＰは一点で交わることになります。


図２ような円が円に内接する位置関係のとき、その接点Ｘは相似の中心になることを頭に入れておくとよいでしょう。