中学生でも解ける東大大学院入試問題（１０４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日は自宅の雪かきをしなければと思っていたのですが、ほとんど融けていてその必要もないようです。とは言っても、滑りやすいところもあるので転ばないように注意しましょう。

さて、今回は平成１６年度東大大学院工学系研究科環境海洋工学の入試問題です。

問題は、
「△ＡＢＣの面積をＳとする。ＢＸ：ＸＣ＝１：１、ＣＹ：ＹＡ＝２：３のとき、△ＯＡＺをＳで表せ。」
です。

▲問題図

まず、図１のように与えられた条件などを書き込みましょう。Ｘは辺ＢＣを１：１に、Ｙは辺ＣＡを２：３に内分しています。このことからチェバの定理を思い出せば簡単です。

▲図１．与えられた条件を書き込みました

チェバの定理から、
ＡＺ/ＢＺ・ＢＸ/ＣＸ・ＣＹ/ＡＹ＝１
が成り立ち、これにＢＸ/ＣＸ＝１、ＣＹ/ＡＹ＝２/３を代入すると、
ＡＺ/ＢＺ＝３/２
となります。

したがって、△ＯＡＺ：△ＯＢＺ＝３：２から
△ＯＡＢ＝５/３・△ＯＡＺ　　　　（１）
となります。

一方、△ＯＡＣ＝△ＯＡＢで、これと（１）から
△ＯＡＣ＝５/３・△ＯＡＺ
で、
△ＡＣＺ＝△ＯＡＣ＋△ＯＡＺ
　　　　＝８/３・△ＯＡＺ　　　　　（２）
です。

ここで、△ＡＣＺ＝３/５・Ｓなので、（２）から、
８/３・△ＯＡＺ＝３/５・Ｓ
△ＯＡＺ＝９/４０・Ｓ
となり、これが答えです。

もし、チェバの定理を思い出さなければ、図２に示すように△ＡＢＣ内の小さな三角形の面積をｘ、ａ、ｂ、ｃ、ＡＺ：ＢＺ＝ｍ：１とし、それらの方程式を解いて答えを求めます。

▲図２．方程式を使って解きます

まず、△ＡＢＣの面積はＳなので、
Ｓ＝ｘ＋２ａ＋５ｂ＋ｃ　　　　　　　（３）
です。

△ＡＢＸ：△ＡＣＸ＝１：１
から、
ｘ＋ａ＋ｃ＝ａ＋５ｂ
ｘ－５ｂ＋ｃ＝０　　　　　　　　　　（４）
です。

△ＢＡＹ：△ＢＣＹ＝３：２
から、
２（ｘ＋３ｂ＋ｃ）＝３（２ａ＋２ｂ）
ｘ－３ａ＋ｃ＝０　　　　　　　　　　（５）
です。

△ＡＣＺ：△ＢＣＺ＝ｍ：１
から、
ｘ＋５ｂ＝ｍ（２ａ＋ｃ）　　　　　　（６）
です。

さらに、△ＯＡＺ：△ＯＢＺ＝ｍ：１
から、　　　　　　
ｘ＝ｍｃ　　　　　　　　　　　　　　（７）
です。

ここで、まず、（４）（５）から、
５ｂ＝３ａ　　　　　　　　　　　　　（８）　　　　　　　　　　
を得ます。

次に、（６）（７）から、
５ｂ＝２ｍａ　　　　　　　　　　
で、これと（８）から
ｍ＝３/２　（←チェバの定理です）　（９）
となります。

さらに、（５）から
ｘ＋ｃ＝３ａ
で、
（７）（９）から
ｘ＝３/２・ｃ
なので、
ｘ＝９/５・ａ　　　　　　　　　　　（１０）
ｃ＝６/５・ａ　　　　　　　　　　　（１１）
です。

そこで、（８）（１０）（１１）を（３）に代入して、
Ｓ＝９/５・ａ＋２ａ＋３ａ＋６/５・ａ
　＝８ａ
から、、
ａ＝Ｓ/８　　　　　　　　　　　　　（１２）
となります。

最後に、（１２）を（１０）に代入して、
ｘ＝９/５・Ｓ/８
　＝９/４０・Ｓ
とチェバの定理を使った答えと一致しました。


後半の式での解法はもっとスマートにできるかもしれませんが、やはりチェバの定理を使うのが手っ取り早そうです。チェバの定理を覚えておくとよいでしょう。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（１０３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午前中の早い時間には、雪が雨に変わると思っていたのですが、昼までしっかり雪が降っていました。教室の前にも雪が積もっています。しばらくしたら雪かきします。

さて、今回は、平成１５年度東大大学院工学系研究科環境海洋工学の入試問題です。

問題は、
「暗号文「ＤＰＬＫＶＸＮＸＩ」は「福島」、暗号文「ＨＷＤＺＬ」は「岩手」と解読することができるという。このとき「神奈川」を暗号にするとどうなるか示せ。」
です。

暗号問題です。アルファベットの文字数を数えると、「ＤＰＬＫＶＸＮＸＩ」は９文字、「ＨＷＤＺＬ」は５文字です。

一方、「福島」をローマ字で書くと「ＦＵＫＵＳＨＩＭＡ」、「岩手」は「ＩＷＡＴＥ」とそれぞれ９文字、５文字になるので、アルファベット同士が対応している換字暗号と想像できます。

その対応関係を見つけるのですが、着目ポイントは２つの暗号文「ＤＰＬＫＶＸＮＸＩ」と「ＨＷＤＺＬ」に共通する文字と、「ＦＵＫＵＳＨＩＭＡ」と「ＩＷＡＴＥ」に共通する文字になります。

２つの暗号文に共通する文字は「Ｄ」と「Ｌ」で、「ＦＵＫＵＳＨＩＭＡ」と「ＩＷＡＴＥ」に共通する文字は「Ｉ」と「Ａ」ですから、
「Ｄ」⇔「Ｉ」、「Ｌ」⇔「Ａ」
または、
「Ｄ」⇔「Ａ」、「Ｌ」⇔「Ｉ」
となることが予想できます。

そこで下表のようにアルファベットを書き並べ、「Ｄ」「Ｌ」と「Ｉ」「Ａ」との位置関係を調べてみると、「Ｄ」から前に３文字移動すると「Ａ」、「Ｌ」から前に３文字移動すると「Ｉ」があることが判ります。

つまり、アルファベット順に、暗号文の文字から前に３文字移動すれば、暗号文の文字を換字できそうです。

▲表．アルファベット表

そこで、この規則を利用して暗号文「ＤＰＬＫＶＸＮＸＩ」と「ＨＷＤＺＬ」を換字してみると、それぞれ、「ＡＭＩＨＳＵＫＵＦ」と「ＥＴＡＷＩ」となり、文字を逆さまに並べると、
「ＦＵＫＵＳＨＩＭＡ」、「ＩＷＡＴＥ」になります。

以上より、暗号文を復号する規則は、「暗号文の文字をアルファベット順の３つ前の文字に換字し、逆さまに並び変える」ということです。

問題では「神奈川」を暗号化することを求められているので、早速やってみましょう。

「神奈川」をアルファベットで書くと、「ＫＡＮＡＧＡＷＡ」で、これらの文字を逆さまにして、「ＡＷＡＧＡＮＡＫ］とします。

ここで換字するのですが、暗号化するにはアルファベット順で３つ後ろの文字にすればよいので、「ＤＺＤＪＤＱＤＮ」が答えの暗号文になります。

もう一ひねりされると格段と難しくなり手が付けられなくなるのでしょうが、時間制限のある試験に出題される暗号はこの程度なのでしょう。しかし、難しくないと言っても、実際に解けると嬉しくなるのが暗号問題の魅力です。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（１０２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日より強くはありませんが、今日も北風が吹いていて寒い日になりました。積もることはないのでしょうが、明朝は雪が降るかもしれないようです。受験生の皆さんは暖かくして勉強してください。

さて、今回は平成２５年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「Ｅ1～Ｅ7はそれぞれ１桁の偶数、および、Ｏ1～Ｏ4はそれぞれ１桁の奇数である。以下の掛け算を満たすように、それぞれに具体的な数字を当てはめよ。ただし、同じ数字を何度使ってもよい。」

▲問題の掛け算

です。

添字があると書き難いので問題の掛け算を図１のように書き直します。大文字が偶数、小文字が奇数です。

▲図１．問題の掛け算を書き直しました

一目で判るのは、Ｆ＝Ｋ、Ｇ＝Ｉですが、これらの関係はあまり役に立ちません。掛け算の部分の「Ａｂ×Ｄ→ｅＦ」と「Ａｂ×ｃ→Ｇｈ」の桁が繰り上がらないところがポイントです。

「Ａｂ×Ｄ→ｅＦ」に着目すると、その積が２桁で、かつ、Ａ、Ｄは偶数なので、これを満たすＡ、Ｄの組合せ（Ａ，Ｄ）は、
（２，２）
（２，４）
（４，２）
のいずれかになります。そこで、これで場合分けして調べていきましょう。

（Ａ，Ｄ）＝（２，２）の場合

「Ａｂ×Ｄ→ｅＦ」において、Ａ（２）×Ｄ（２）＝４ですが、ｅが奇数なので１の位から奇数繰り上がらなければなりません。ところが、「ｂ×Ｄ（＝２）」は最大で１８なので、十の位に１繰り上がることになり、
ｅ＝５
で、さらに、
ｂ＝５、７、９　　　　（１）
のいずれかになります。

次に、「Ａｂ×ｃ→Ｇｈ」において、その積は２桁で、Ａ＝２、ｃは奇数であることから、
ｃ＝１、３
となります。

仮に、ｃ＝１とすると、（１）からｈ＝ｂ×ｃ≧５になり、ｅ＋ｈが繰り上がらないことに反するので、
ｃ≠１
です。

そこで、ｃ＝３とすると、（１）からｂ×ｃは、１５、２１、２７となり、ｈは、それぞれ５、１、７になりますが、先程と同じく、ｅ＋ｈが繰り上がらないことから
ｈ＝５
ｂ＝７
になります。

これで、掛け算をする２数が、２７と３２に決まったので、実際に計算すると、
２７×３２＝５４＋８１０
　　　　　＝８６４
で、（Ａ，ｂ，ｃ，Ｄ，ｅ，Ｆ，Ｇ，ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ）は、
（２，７，３，２，５，４，８，１，８，６，４）
になり、それらの偶奇性もＯＫです。

次に、（Ａ，Ｄ）＝（２，４）の場合です。

「Ａｂ×Ｄ→ｅＦ」において、Ａ（２）×Ｄ（４）＝８でｅが奇数なので１の位から１だけ繰り上がらなければなりません。したがって、
ｅ＝９
になります。

ところが、ｅ＝９であると、ｈ≧１なので、ｅ＋ｈ≧１０となり、繰り上がらないことに反してしまいます。

したがって、（Ａ，Ｄ）≠（２，４）です。

続いて、（Ａ，Ｄ）＝（４，２）の場合ですが、これも（Ａ，Ｄ）＝（４，２）の場合と同様で、「Ａｂ×Ｄ→ｅＦ」において、Ａ（４）×Ｄ（２）＝８でｅが奇数なので１の位から１だけ繰り上がらなくてはなりません。したがって、
ｅ＝９
になります。

ところが、ｅ＝９であると、ｈ≧１なので、ｅ＋ｈ≧１０となり、繰り上がらないことに反してしまいます。

したがって、（Ａ，Ｄ）≠（４，２）です。

以上から、、（Ａ，ｂ，ｃ，Ｄ，ｅ，Ｆ，Ｇ，ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ）は、
（２，７，３，２，５，４，８，１，８，６，４）
となり、念のため、図２に計算式を示します。

▲図２．答えの計算式

掛け算で桁が上がらないことは厳しい制限になるので、それを利用すると絞り込みができます。覆面算を解く機会はあまりないでしょうが、頭にいれておくと役に立つこともあるかも知れません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（１０１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

強い北風が吹いていて寒い日になりました。明日以降はもっと寒くなり、明後日は雪になるかもしれないようです。受験生の皆さんは暖かくして勉強してください。

さて、今回は平成２５年度東大大学院新領域科学研究科海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「２３１００枚の同じ大きさの正方形の板がある。これらをすべて使い、重ねることなく、隙間なく敷き詰めて、縦Ｍ枚、横Ｎ枚の長方形を作るものとする。長方形の縦の長さが、横の長さより大きく、横の長さの２倍より小さい場合、ＭとＮの組み合わせをすべて求めよ。
（参考：√２３１００＝１５１．９８６８．．．）」
です。

まず、問題に書かれている条件を立式しましょう。

ＭＮ＝２３１００　　　　（１）　
２Ｎ＞Ｍ＞Ｎ　　　　　　（２）
（Ｍ、Ｎは正の整数）
です。

（１）を見ると素因数分解したくなるので、
ＭＮ＝２^2×３×５^2×７×１１　　（３）　　　（２^2は２の２乗を表します）
として、（２）（３）でＭまたはＮを絞り込む方針でいきましょう。（但し、Ｍ、Ｎの因数をすべて書き出しても、３×２×３×２×２＝７２通りなのですべての場合を調べる方法もあります）

初めに、（２）にＮを掛けて、
２Ｎ^2＞ＭＮ＞Ｎ^2
から、（３）を代入して、
２Ｎ^2＞２^2×３×５^2×７×１１＞Ｎ^2　　　（４）
を得ます。

ここで、（４）の右側の不等式から、
Ｎ^2＜２^2×３×５^2×７×１１
で、問題にある（参考：√２３１００＝１５１．９８６８．．．）を使って、
Ｎ≦１５１
となります。

次に、（４）の左側の不等式から、
２Ｎ^2＞２^2×３×５^2×７×１１
で、
√２Ｎ≧１５２
から
Ｎ≧１０８
です。

したがって、
１０８＜Ｎ≦１５２　　　　（５）
とＮを絞り込むことができました。

あとは、２３１００の因数［２，２，３，５，５，７，１１］を適当に組み合わせたＮで（５）を満たすものを見つければＯＫです。

そこでＮの因数の個数を調べてみましょう。

Ｎの因数が１個のとき、
２≦Ｎ≦１１
なので、（５）を満たすＮはありません。

Ｎの因数が２個のとき、
４≦Ｎ≦７７
なので、（５）を満たすＮはありません。

Ｎの因数が３個のとき、
１２≦Ｎ≦３８５
なので、（５）を満たすＮがある可能性があります。

Ｎの因数が４個のとき、
６０≦Ｎ≦１９２５
なので、（５）を満たすＮがある可能性があります。

Ｎの因数が５個のとき、
３００≦Ｎ≦５７７５
なので、（５）を満たすＮはありません。

Ｎの因数が６または７個のときは、それぞれ
２１００≦Ｎ１１５５０
および
Ｎ＝２３１００
なので、（５）を満たすＮはありません。

つまり、Ｎの因数は、３または４個となります。

そこで、まずＮの因数が３個のときを調べます。

因数に１１があるとき、（５）から
１０≦Ｎ/１１≦１３　　　（６）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，７］のなかの２つの組み合わせで（６）を満たすのは、（２，５）の組み合わせだけで、Ｎは、２×５×１１＝１１０です。

次に、因数に７があるとき、（５）から
１６≦Ｎ/７≦２１　　　　（７）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，１１］のなかの２つの組み合わせで（７）を満たすものはありません。

因数に５、３または２があるときは、それぞれ
２２≦Ｎ/５≦３０　　残りの因数［２，２，３，５，７，１１］→（２，１１）
３６≦Ｎ/３≦５０　　残りの因数［２，２，５，５，７，１１］→なし
５４≦Ｎ/２≦７６　　残りの因数［２，３，５，５，７，１１］→（５，１１）
で、（５，２，１１）（２，５，１１）が条件を満たしますが、これらは前のＮと同じです。

したがって、Ｎの因数が３個のとき、条件を満たすＮ（Ｍ）は、１１０（Ｍ＝２１０）となります。

次にＮの因数が４個のときを調べるのですが、その代わりにＭの因数が３個のときを調べましょう。

（５）からＭの変域は、
１５２≦Ｍ≦２１３　　　（８）
になります。

まず、Ｍの因数に１１があるとき、（８）から
１４≦Ｍ/１１≦１９　　　（９）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，７］のなかの２つの組み合わせで（９）を満たすのは、（２，７）と（３，５）の２組で、それぞれ、２×７×１１＝１５４、および、３×５×１１＝１６５　となります。

次に因数に７があるとき、（８）から
２２≦Ｍ/７≦３０　　　　（１０）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，１１］のなかの２つの組み合わせで（１０）を満たすのは、（２，１１）（５，５）ですが、前者は前のＭと同じなので、新たなＭは、５×５×７＝１７５　となります。

さらに因数に５、３または２があるとき、それぞれ、
３１≦Ｍ/５≦４２　　　残りの因数［２，２，３，５，７，１１］→（３，１１）（５，７）
５１≦Ｍ/３≦７１　　　残りの因数［２，２，５，５，７，１１］→（５，１１）
７６≦Ｍ/２≦１０６　　残りの因数［２，３，５，５，７，１１］→（７，１１）　
となりますが、これらはすべて前のＭと同じです。

したがって、Ｍの因数が３個のとき、つまり、Ｎの因数が４個のとき、条件を満たすＭ（Ｎ）は、１５４（Ｎ＝１５０）、１６５（Ｎ＝１４０）、１７５（Ｎ＝１３２）の３通りになります。

以上をまとめると、条件を満たすＭ、Ｎの組み合わせ（Ｍ，Ｎ）は、
（２１０，１１０）（１７５，１３２）（１６５，１４０）（１５４，１５０）の４通りで、これらの組み合わせが答えになります。

少し力ずくと言った感じがしますが、スマートな解答があれば教えてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（１００）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

雨の予報でしたが外れたようで、昨日と同様暖かくなりました。都立高校推薦入試の２日目で受験生にとっても良かったですね。

さて、今回は平成２４年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「Ａ、Ｂ、Ｃの３人で試合を行う。１試合目は、Ａ対Ｂで行い、次の試合からは、勝者が残りの１人と試合を行う。２回連続して勝てば優勝であり、誰かが優勝するまで繰り返す。Ａ、Ｂ、Ｃのいずれも、各試合で勝つ確率が５割であるとする。

（１）４試合以内にＡが優勝する確率を求めよ。
（２）Ａが優勝する確率を求めよ。」
です。

大相撲などで行われる巴戦の問題です。例えば、３人で巴戦をした場合、各試合での勝つ確率が１/２のとき、計算上では、初めに待機した人が不利になることは有名な話です。

では、問題に取り掛かりましょう。

まず、（１）ですが、勝った人を順に並べ、最終的にＡが優勝する場合を調べていきましょう。例えば、［ＡＣＢ・・・］は、１試合目でＡが勝ち、２試合目でＣ、３試合目でＢ、・・・、と勝ったことを示します。

１試合目はＡとＢが対戦するので、Ａが勝つ場合とＢが勝つ場合があり、それらで場合分けします。

（１試合目でＡが勝つ場合）
Ａが優勝するのは、
［ＡＡ］　←２試合目でＡが優勝
［ＡＣＢＡＡ］　←５試合目でＡが優勝
［ＡＣＢＡＣＢＡＡ］　←８試合目でＡが優勝
［ＡＣＢＡＣＢＡＣＢＡＡ］　←１１試合目でＡが優勝
・・・・・
です。

したがって、４試合以内にＡが優勝するのは、［ＡＡ］のときだけで、その確率は、
（１/２）^2＝１/４
になります。

（１試合目にＢが勝つ場合）
Ａが優勝するのは、
［ＢＣＡＡ］　←４試合目にＡが優勝
［ＢＣＡＢＣＡＡ］　←７試合目にＡが優勝
［ＢＣＡＢＣＡＢＣＡＡ］　←１０試合目にＡが優勝
［ＢＣＡＢＣＡＢＣＡＢＣＡＡ］　←１３試合目にＡが優勝
・・・・・
です。

したがって、４試合以内にＡが優勝するのは、［ＢＣＡＡ］のときだけで、その確率は、
（１/２）^4＝１/１６
になります。

以上より、４試合以内にＡが優勝する確率は、
１/４＋１/１６＝５/１６
になります。

これを樹形図を使って解く場合は、図のように優勝が決定するしないにかかわらずすべての場合を書き出します。

▲樹形図

樹形図から、２試合目までのすべての場合の数が４通りに対して、Ａが連勝して優勝するのは１通りなので、２試合目でＡが優勝する確率は１/４になります。

３試合目までのすべての場合の数は８通りですがＡは連勝していないので、Ａが優勝する確率は０/８になります。

４試合目までのすべての場合の数は１６通りに対して、Ａが連勝するのは３通りありますが、そのうち２通りは、それ以前にＡまたはＢが優勝してしまっているので、結局、４試合目でＡが優勝する確率は、１/１６になります。

したがって、４試合以内にＡが優勝する確率は、
１/４＋０/８＋１/１６＝５/１６
になります。

次に（２）です。

（１）の［　　］を眺めると、１試合目にＡが勝ってＡが優勝する場合は、［ＡＡ］以外は、ＡＣＢを何回か繰り返したあと、ＡＡがきてＡが優勝する経過を辿ります。

つまり、Ａが優勝するのは、２、５、８、１１、１４試合目、・・・となり、Ａが優勝する確率は、
（１/２）^2＋（１/２）^5＋（１/２）^8＋（１/２）^11＋（１/２）^14＋・・・
となります。

ここで、
Ｓ＝（１/２）^2＋（１/２）^5＋（１/２）^8＋（１/２）^11＋（１/２）^14＋・・・
とすると、
（１/２）^3・Ｓ＝（１/２）^5＋（１/２）^8＋（１/２）^11＋（１/２）^14＋・・・
で、
Ｓ－（１/２）^3・Ｓ＝（１/２）^2
（１－（１/２）^3）Ｓ＝（１/２）^2
７/８・Ｓ＝１/４
Ｓ＝２/７
になります。　（等比数列の和の公式を導く手順です。高校で勉強します）

一方、１試合目にＢが勝ってＡが優勝する場合は、ＢＣＡを何回か繰り返したあと、ＡがきてＡが優勝する経過を辿ります。

つまり、Ａが優勝するのは、４、７、１０、１３、１６試合目、・・・となり、Ａが優勝する確率は、
（１/２）^4＋（１/２）^7＋（１/２）^10＋（１/２）^13＋（１/２）^16＋・・・
となります。

ここで、
Ｔ＝（１/２）^4＋（１/２）^7＋（１/２）^10＋（１/２）^13＋（１/２）^16＋・・・
とすると、上記と同じように、
Ｔ－（１/２）^3・Ｔ＝（１/２）^4
７/８・Ｔ＝１/１６
Ｔ＝１/１４
になります。

したがって、Ａが優勝する確率は、
Ｓ＋Ｔ＝２/７＋１/１４
　　　＝５/１４
になります。

因みに、Ｂの優勝確率はＡと同じなので５/１４となるので、Ｃの優勝確率は、
１－５/１４－５/１４＝４/１４＝２/７
になります。

他にもいろいろな解法があるので興味のある方は調べてみてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（９９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日から都立高校の推薦入試が始まりましたが、晴れて暖かい日になってよかったです。受験生の皆さんは頑張ってください。

さて、今回は平成２３年度東大大学院新領域創成科学研究科海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「４５人の男女にアンケート調査を行った。そのうち、車を所有している者は１７人、自転車を所有している者は、１９人いた。また、車も自転車も所有していない者が１５人いた。男性でかつ車も自転車も所有している者は４人いたが女性で車も自転車も所有していない者が７人いた。男性が所有する車と自転車の台数は、女性が所有する車と自転車の台数より１０台多い時、男の人数を求めよ。ただし、車及び自転車をそれぞれ２台以上所有している者はいない。」
です。

このような問題を扱うには、図１のようなベン図を使いましょう。

▲図１．ベン図を描きました

図１のベン図から男性で車も自転車も所有していないのは８人と判ります。

また、車または自転車を所有しているのは、全員（４５人）から車も自転車も所有していない人数（１５人）を引いたもの、つまり、３０人です。

さらに、車または自転車、またはその両方を所有しているのは、合わせて３６人なので、その両方を所有しているのは、３６人から車または自転車を所有している３０人を引いたもので、それは６人になります。

そして、車と自転車の両方を所有している男性は４人なので、車と自転車を所有している女性は２人になります。

図２のベン図に、ここまでに判ったことを追記しました。

▲図２．新たに判ったことを追記したベン図

問題では男性の人数を問うているので、図２の情報を男女別に分けて表にすると良さそうです。車だけを所有する男性と女性の人数をそれぞれａとｂ、自転車だけを所有する男性と女性の人数をそれぞれｃとｄとして表を作ります。

▲表．男女別の表を作ります

あとはこの表に基づいて立てた式と残りの条件「男性が所有する車と自転車の台数は、女性が所有する車と自転車の台数より１０台多い」を連立させて、男性の人数ａ＋ｃ＋４＋８を計算すればお仕舞いです。

まず、車だけ所有している人数は１１人なので、
ａ＋ｂ＝１１　　　　　　（１）
です。

自転車だけ所有している人数は１３人なので、
ｃ＋ｄ＝１３　　　　　　（２）
です。

「男性が所有する車と自転車の台数は、女性が所有する車と自転車の台数より１０台多い」から、
ａ＋ｃ＋２×４＝ｂ＋ｄ＋２×２＋１０
ａ－ｂ＋ｃ－ｄ＝６　　　（３）
となります。

そこで、（１）＋（２）より、
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝２４　　（４）
となり、（３）＋（４）より、
２（ａ＋ｃ）＝３０
ａ＋ｃ＝１５　　　　　　（５）
となります。

一方、
男性の人数＝ａ＋ｃ＋１２
なので、（５）より、
男性の人数＝１５＋１２
　　　　　＝２７（人）
となり、これが答えになります。

小学校レベルの簡単な問題ですが、ベン図などの図表を使うとより簡単になります。面倒臭がらずに図表を書く習慣をつけましょう。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（９８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

風がなく陽射しがあるので日向は暖かく過ごしやすい日になりました。しかし、明日から天気は下り坂で、週の後半は寒さが厳しくなるようです。受験生の皆さんは暖かくして頑張ってください。

さて、今回は平成２４年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「（ｎ＋２）！－ｎ！が１１^6で割り切れるような最小の自然数ｎを求めよ。」
です。　（１１^6　は１１の６乗を表します）

“！”（階乗）は高校で勉強する記号で、ｎ！は、１からｎまでの掛け算、つまり、
ｎ！＝ｎ・（ｎ－１）・（ｎ－２）・・・・２・１
のことです。

すると、問題のなかの式は、
（ｎ＋２）！－ｎ！＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）ｎ！－ｎ！
　　　　　　　　　＝ｎ１（（ｎ＋２）（ｎ＋１）－１）
　　　　　　　　　＝ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）　　　　　　
となり、ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）が１１^6で割り切れるような最小の自然数ｎを求めるということになります。

仮に、ｎ^2＋３ｎ＋１の因数に１１がない場合、ｎ！が１１^6の倍数、つまり、因数として６個の１１を持つことになります。

そこでまず、ｎ！が１１の因数を６個持ち、かつ、ｎが最小の自然数になる場合を調べます。

１１は素数なので、ｎ！が因数として１１を６個持つのは、１１、２２、３３、４４、５５、６６を因数として持つ場合で、ｎが最小の自然数になるのは、ｎ＝６６の場合です。

したがって、ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）が１１^6で割り切れる最小の自然数ｎは、ｎ≦６６であることが判りました。

次に、ｎ^2＋３ｎ＋１の因数に１１がある場合を調べます。

まず、ｎ≦６６から、
ｎ^2＋３ｎ＋１≦６６^2＋３・６６＋１
　　　　　　　＝４５５５
　　　　　　　＜１１^4
となり、仮に、ｎ^2＋３ｎ＋１に因数として１１があったとしても、それは最大３個になります。

そこで、ｎ^2＋３ｎ＋１に因数として１１が３個ある場合、すなわち、
ｎ^2＋３ｎ＋１＝ｍ・１１^3
　　　　　　　＝１３３１ｍ　　（ｍは自然数）　　　（１）
と表される場合を調べます。

この場合、ｎ！にある因数１１は３個（１１、２２、３３の３個）になるので、
３４≦ｎ≦４３　　　　　（２）
となります。

そこで、（１）（２）から、
１２５９≦１３３１ｍ≦１９７９
となり、
ｍ＝１
となります。

これを（１）に代入すると、
ｎ^2＋３ｎ＋１＝１３３１
で、これを整理して、
ｎ^2＋３ｎ－１３３０＝０　　　　（３）
となります。

つまり、このｎの２次方程式が自然数の解を持てば、ｎ^2＋３ｎ＋１は因数として１１を３個持つことになります。

実際に（３）を解の公式を使って解くと、
ｎ＝（－３±√（３^2－４・（－１３３０））/２
　＝（－３±７３）/２
　＝－３８、３５
で、ｎ≧１なので、ｎ＝３５となります。

すなわち、ｎが３５のとき、ｎ！は、１１、２２、３３という３個の１１の倍数を持ち、ｎ^2＋３ｎ＋１　は、１３３１＝１１^3 と因数１１を３個持つので、ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）は因数として１１を６個、つまり、１１^6で割り切れることになります。

以上より、求める答えはｎ＝３５となります。


もっとスマートな解法がありそうな気もするので考えてみます。興味のある方は考えてみてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（９７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝は雲が多かったのですが昼過ぎから晴れてきました。少し寒く感じますが、明日は今日より気温が上がるようです。

さて、今回は平成２２年度東大大学院新領域創成科学研究科海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「１）円に内接する正三角形の全ての頂点を直線で結んで分割される円の領域の数を求めよ。
正方形、正五角形の場合も同様に求めよ。
２）円に内接する任意の六角形の全ての頂点を直線で結んで分割される領域の最大数を求めよ。」
です。

これはレオ・モーザーの円分割問題ですが、六角形程度であれば実際に図を描いて分割される領域を数えれば簡単です。図１から図４に正三角形、正方形、正五角形および六角形の場合を示します。

▲図１．正三角形の場合の分割数

▲図２．正方形の場合の分割数

▲図３．正五角形の場合の分割数

▲図４．六角形の場合の最大分割数

以上の４つの図から、
正三角形の場合⇒４
正方形の場合　⇒８
正五角形の場合⇒１６
六角形の場合　⇒３１
が答えになります。

ここで、正三角形、正方形、正五角形について、それらの頂点数をｎとした場合、分割数ｓnは、
ｓn＝２^(n-1) 　　（１）　　 （２^(n-1)　は２のｎ－１乗を表します）
となるので、六角形では（１）にｎ＝６を代入し、
ｓn＝３２
としてしまいそうですが、これは間違いなので注意しましょう。

そこでｎ角形での最大分割数Ｓnとｎの関係を調べてみましょう。

弦同士がお互いに交わらない弦によって、円は（弦の数＋１）個に分割され、弦同士が交点をもつ場合は、１交点につき分割数が１つ増加します。

つまり、最大分割数Ｓnは、
Ｓn＝（弦の数＋１）＋（交点の数）
になり、弦の数と交点の数をｎで表せば出来上がりです。

そこでまず、弦の数については、ｎ個の頂点から２点を選んで結んだ線分の数ですから、
nＣ2＝ｎ（ｎ－１）/（２・１）
　　＝ｎ（ｎ－１）/２
です。（高校で勉強する組合せを使いました）

次に、交点の数については、ｎ個の頂点から４点を選び２本の対角線を引くことで１個の頂点ができるので、
nＣ4＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）/（４・３・２・１）
　　＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）/２４
となります。

したがって、
Ｓn＝ｎ（ｎ－１）/２＋１＋ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）/２４
　 ＝（ｎ^4－６ｎ^3＋２３ｎ^2－１８ｎ＋２４）/２４
になります。

ｎ＝３、４、５、６で確かめてみると、
Ｓ3＝４
Ｓ4＝８
Ｓ5＝１６
Ｓ6＝３１
と図から求めた分割数と一致しました。

Ｓnを求めるには、頂点がｎからｎ＋１に増えたときの分割数の増分Ｓn+1－Ｓnを調べて漸化式を解く方法もあります。興味のある方は調べてみてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（９６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

風があるのですが冷たい風ではなく気温も９℃と過ごしやすい日になりました。週末も暖かい日が続くようです。

さて、今回は平成２６年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「点Ａ、Ｂはそれぞれ直線ｙ＝ｘ、ｙ＝２ｘ上にある。線分ＡＢの長さが６であるとき、線分ＡＢを２：１に内分する点Ｐの軌跡を表す方程式を求めよ。」
です。

図１にグラフを示します。点Ａ、点Ｂおよび点Ｐの座標をそれぞれ、（ｘ1，ｙ1）、（ｘ2，ｙ2）、（ｘ，ｙ）としました。

図１．グラフを書きます

解答の方針は、次の３つの条件、
（あ）点Ａ、点Ｂがそれぞれ直線ｙ＝ｘ、ｙ＝２ｘ上にあること
（い）線分ＡＢの長さが６であること
（う）点Ｐは線分ＡＢを２：１で内分する点であること
を使って、点Ｐ（ｘ，ｙ）の関係式を求めることになります。

まず、（あ）の条件から、
ｙ1＝ｘ1　　　　（１）
ｙ2＝２ｘ2　　　（２）
なので、点Ａ、Ｂの座標は、Ａ（ｘ1，ｘ1）、Ｂ（ｘ2，２ｘ2）になります。

次に（い）の条件から、三平方の定理を使って、
（ｘ2－ｘ1）^2＋（ｙ2－ｙ1）^2＝６^2　　　（３）　　（Ｘ^2はＸの２乗を表します）
となり、（３）に（１）（２）を代入して、
（ｘ2－ｘ1）^2＋（２ｘ2－ｘ1）^2＝３６　　（４）
となります。

最後に（う）の条件から、
ｘ＝（ｘ1＋２ｘ2）/３　　　　（５）
ｙ＝（ｙ1＋２ｙ2）/３　　　　（６）
となり、（６）に（１）（２）を代入して、
ｙ＝（ｘ1＋４ｘ2）/３　　　　（７）
となります。

したがって、（４）（５）（７）を使って、ｘとｙの関係式を求めることになります。
（ｘ2－ｘ1）^2＋（２ｘ2－ｘ1）^2＝３６　　（４）
ｘ＝（ｘ1＋２ｘ2）/３　　　　　　　　　 　（５）
ｙ＝（ｘ1＋４ｘ2）/３　　　　　　　　　　 （７）

ここでは、（５）（７）からｘ1、ｘ2をｘとｙの式で表し、それを（４）に代入してｘとｙの関係式を導きましょう。

（５）（６）を、
３ｘ＝ｘ1＋２ｘ2　　　　　（８）
３ｙ＝ｘ1＋４ｘ2　　　　　（９）
と変形し、（８）×２－（９）、（８）－（９）から
ｘ1＝３（２ｘ－ｙ）　　　　 （１０）
ｘ2＝３（－ｘ＋ｙ）/２　　　（１１）
を得ます。

続いて、（１０）（１１）から、
ｘ2－ｘ1　＝３（－ｘ＋ｙ）/２－３（２ｘ－ｙ）
　　　　　＝－１５ｘ/２＋９ｙ/２　　　　　　　　（１２）
２ｘ2－ｘ1＝３（－ｘ＋ｙ）－３（２ｘ－ｙ）
　　　　　＝－９ｘ＋６ｙ　　　　　　　　　　　　（１３）
をつくり、これを（４）に代入して、
（－１５ｘ/２＋９ｙ/２）^2＋（－９ｘ＋６ｙ）^2＝３６
とし、これを整理して、
６１ｘ^2－７８ｘｙ＋２５ｙ^2＝１６　　　　　　　（１４）
とｘとｙの関係式を求めることができました。

これが点Ｐの軌跡を表す方程式で答えになります。

この（１４）の式は２次式で中学数学でもお馴染みの放物線やその他に双曲線、楕円などを表します。

２次式の一般形を
Ａｘ^2＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ^2＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０
とした場合、
ＡＣ－（Ｂ/２）^2＞０　⇒楕円
ＡＣ－（Ｂ/２）^2＝０　⇒放物線
ＡＣ－（Ｂ/２）^2＜０　⇒双曲線
と判別できます。

ここで、（１４）を調べてみると、
６１×２５－（－７８/２）^2＝１５２５－１５２１
　　　　　　　　　　　　　 ＝４＞０
で楕円になることが判ります。

（１４）はｘとｙの項がないので、ｘ軸、ｙ軸を適当量回転させるだけで単純な楕円の式を導くことができますが、これは大学で勉強する範囲なのでスキップして、ここでは（１４）の楕円がどんなイメージかを調べてみます。

点Ａが原点から遠くなると、点Ａを中心にした半径６の円とｙ＝２ｘの交点がなくなります。

そこで、点Ａを中心にした半径６の円とｙ＝２ｘが接する場合を調べることにします。

高校数学の範囲では、円の方程式とｙ＝２ｘを使って２次方程式をつくり、これが重解を持つ条件で円の方程式を決定することができますが、ここでは円が直線と接するとき半径が接点で接線と直交することを使って接点を求めましょう。

ｙ＝２ｘに直交する直線ｙ＝－ｘ/２＋ｂ、ｙ＝２ｘ上の接点を（ｘ2，２ｘ2）とすると、
２ｘ2＝－ｘ2/２＋ｂより、
ｂ＝５ｘ2/２
となり、ｙ＝２ｘに直交する直線は、
ｙ＝－ｘ/２＋５ｘ2/２
となります。

この直線とｙ＝ｘとの交点は、（５ｘ2/３，５ｘ2/３）で、接点からの長さが６なので、三平方の定理により、
（ｘ2－５ｘ2/３）^2＋（２ｘ2－５ｘ2/３）＾2＝６^2
を導くことができます。

これを解くと、
ｘ2＝±１８√５/５
で、
接点の座標は（±１８√５/５，±３６√５/５）
円の中心の座標は（±６√５，±６√５）
になります。

すると、円の中心と接点とを結ぶ線分を２：１に内分する点のｘ、ｙ座標は、それぞれ、
（±６√５±３６√５/５）/３＝±２２√５/５
（±６√５±７２√５/５）/３＝±３４√５/５
になります。

つまり、（２２√５/５，３４√５/５）と（－２２√５/５、－３４√５/５）が楕円の長径の両端になります。正確ではありませんが図２に（１４）の楕円のイメージを示します。

▲図２．答えの楕円のイメージ図

放物線、双曲線や楕円などの２次曲線はたいへん面白いので調べてみるとよいでしょう。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（９５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と同様、雨が降り寒い日になりました。明日から天気は回復し、少し暖かくなるようです。受験生の皆さんは暖かくして勉強してください。

さて、今回は平成２４年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「６^2011を１００で割った余りを求めよ。」
です。（６^2011　は６の２０１１乗を表します）

よく目にする問題で、累乗数の余りは必ず循環することを思い出せば簡単です。

実際に６^1、６^2、６^3、・・・の１００で割った余りを計算してみましょう。

６^1÷１００＝０　　　　　・・・　６
６^2÷１００＝０　　　　　・・・３６
６^3÷１００＝２　　　　　・・・１６
６^4÷１００＝１２　　　　・・・９６
６^5÷１００＝７７　　　　・・・７６
６^6÷１００＝４６６　　　・・・５６
６^7÷１００＝２７９９　　・・・３６
６^8÷１００＝１６７９６　・・・１６
６^9÷１００＝１００７７６・・・９６
・・・
と余りが３６→１６→９６→７６→５６→３６→・・・と循環しています。

つまり、指数が２以上のとき、６^5n、６^(5n+1)、６^(5n+2)、６^(5n+3)および６^(5n+4)を１００で割った余りは、それぞれ、７６、５６、３６、１６、９６　となります。

あとは、指数の２０１１を５ｎ＋ｐで表したときのｐを求めればＯＫで、それは、
２０１１＝５×４０２＋１
なので、ｐ＝１となります。

つまり、６^2011を１００で割った余りは、６^6を１００で割った余りと等しく５６で、これが答えです。

この種類の問題は、上記のように累乗数の余りを実際に書き出して周期性を調べる方法や合同式、二項定理を使う方法があります。合同式は旧教育課程では扱わなかったのですが、新教育課程では「整数の性質」に登場します。興味のある人は調べてみてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（９４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

外気温が３℃で雪が降っています。インフルエンザで学級閉鎖も増えているようです。寒い日は暖かくして勉強しましょう。

さて、今回は平成２３年度東大大学院新領域創成科学研究科海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「黒い球と白い球が合計５個、左から右に一列に並んでいる。
黒い球同士は隣り合って並んでいない。
黒と白の配列は非対称になっている。
黒い球に－１点、白い球に＋１点を与え、奇数番目の球の点数の合計から偶数番目の球の点数の合計を引くと１点になる。
以上の条件を満たす球の色の配列をすべて示せ。」
です。

黒または白の球を５個並べるわけですから、その配列の場合の数は、２×２×２×２×２＝３２通りで、この程度の樹形図ならそれほど手間なく書くことができます。

その樹形図を見ながら、与えられた３つの条件に合致するか否かを調べれば正解できます。

ところが、７個の球を並べるとすると、その配列の場合の数は１２８通りになり、樹形図を書くのは大変そうです。

と言うことで、ここでは樹形図を使わずに解いてみましょう。

まず、与えられた３つの条件を使って、黒球と白球の個数を絞り込みます。

１番目の条件「黒い球同士は隣り合って並んでいない」から導きだせる必要条件は、「５個の球の内、黒球は３個以下」ということでしょう。

２番目の条件「黒と白の配列は非対称になっている」から導きだせる必要条件は、「５個全部黒球または白球ではない」ということでしょう。

この２つの必要条件から、黒球の個数が１、２または３個と絞り込み、さらに場合分けして調べていってもＯＫですが、それより残りの３番目の条件が一番厳しそうなので、それを使うのが良さそうです。

そこで、３番目の条件を使うため、奇数番目が白球３個、白球２個黒球１個、白球１個黒球２個、黒球３個、偶数番目が白球２個、白球１個黒球１個、黒球２個　とした場合の（奇数番目の合計点数－偶数番目の合計点数）を計算してみます。その結果を表１に示します。

▲表１．３番目の条件

表１から（奇数番目の合計点数－偶数番目の合計点数）＝＋１　となるのは、
（１）奇数番目：白球３個、偶数番目：白球２個
（２）奇数番目：白球２個黒球１個、偶数番目：白球１個黒球１個
（３）奇数番目：白球１個黒球２個、偶数番目：黒球２個
の３つの場合であることが判ります。

ところが（１）は２番目の条件「黒と白の配列は非対称になっている」に反するので不適となり、（３）は１番目の条件「黒い球同士は隣り合って並んでいない」に反するので、これも不適となります。

そこで残った（２）をさらに調べていきましょう。

まず２番目の条件については、偶数番目に白球と黒球を割り当てるのですからその配列は非対称になり、２番目の条件はクリアします。

次に１番目の条件については、中央（左から３番目）に黒球があった場合、２番目または４番目に黒球が割り当てられるので不適です。

さらに奇数番目の黒球が１番目にあるとき偶数番目の黒球は４番目、奇数番目の黒球が５番目にあるとき偶数番目の黒球は２番目になります。

以上をまとめると、
●○○●●
○●○○●
の配列が答えになります。

ついでに球が７個の場合を調べてみましょう。先程と同様、表２をつくりました。

▲表２．球が７個の場合

表２から（奇数番目の合計点数－偶数番目の合計点数）＝＋１　となるのは、
（４）奇数番目：白球４個、偶数番目：白球３個
（５）奇数番目：白球３個黒球１個、偶数番目：白球２個黒球１個
（６）奇数番目：白球２個黒球２個、偶数番目：白球１個黒球２個
（７）奇数番目：白球１個黒球３個、偶数番目：黒球３個
の４つの場合ですが、（４）は２番目の条件、（６）（７）は１番目の条件に反するので、残りは（５）になります。

（５）では、奇数番目と偶数番目に黒球を１個ずつ割り当てるので２番目の条件はクリアします。

そこで、１番目の条件に注意して配列をつくると、
●○○●○○○
●○○○○●○
○○●○○●○
○●○○●○○
○●○○○○●
○○○●○○●
の６つの配列が答えになります。

都立高校入試の「場合の数・確率」の問題では、大きな樹形図にはならないので、抜けがないようにしっかり樹形図を書くようにしましょう。さらに、数学好きの人は樹形図を使わない絞り込み方法を考えてみると面白いと思います。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（９３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

少し風がありますが気温は９℃と過ごしやすい日になりました。しかし、明日から天気が崩れるようです。受験生の皆さんは最後の一踏ん張りです。頑張ってください。

さて、今回は平成２４年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「下図には“ＢＯＲＲＯＷ　ＯＲ ＲＯＢ”という文を綴るための文字が並んでいる。文字列を１文字ずつ順に進んでこの文を綴る異なる方法は何通りあるか。ただし、進み方は上下左右のみであり、斜めには進めない。」

▲問題図

です。

少し問題の意味が掴み難いかもしれませんが、そんなときには実際に鉛筆で図をなぞってみましょう。２、３例やってみると、問題のポイントがはっきりすることがあります。

この問題で実際に“ＢＯＲＲＯＷ　ＯＲ ＲＯＢ”をなぞってみると、“Ｂ”は図の最外周部だけにあって、一方、“Ｗ”が図の中心に一つしかないので、最外周部のいずれかの“Ｂ”から出発し図の中心に向かって移動して“ＢＯＲＲＯＷ”を綴ることが判ります。

またそれと反対に、後半の“ＯＲ ＲＯＢ”は、中心の“Ｗ”から出発して最外周部のいずれかの“Ｂ”に向かって移動することになります。

次に最外周部の“Ｂ”から中心の“Ｗ”への移動の仕方を調べてみましょう。

図１のように図の左上側の“Ｂ”から出発する場合、右または下への移動は可能ですが、左および上への移動はできません。

▲図１．“Ｂ”から“Ｗ”への移動

これは、左上側以外の“Ｂ”から出発する場合にも同様で、出発位置と可能な移動方向の関係は次のようになります。
右上側→左または下
左下側→右または上、
右下側→左または上、
真上　→下
真下　→上
真左　→右
真右　→左

これらのことから本問は、図２のような格子経路での最短経路数を求めるものと判ります。

▲図２．３×３格子経路の最短経路数

そこで、格子経路の最短経路数について簡単な例で調べてみましょう。

図２は、ＳからＧに向かって移動する例で、全ての格子点にＳからの最短経路数が示してあります。

例えば、Ｇに到着する直前は、一番右で上から２番目の格子点または右から２番目で一番上の格子点にいる必要がありますが、それらの格子点までのＳからの最短経路数はどちらも１０通りなので、ＳからＧまでの最短経路数は１０＋１０＝２０通りになります。

これは、次のように求めることもできます。

まず、右への移動を「→」、上への移動を「↑」とすれば、ＳからＧまで移動するために３個の「→」と３個の「↑」が必要で、最短経路数はその並べ方の場合の数になります。

そこで、３個の「→」を１列に並べ、その両端を含む４つの間隔に、「↑」を割り当てることを考えます。

このとき、
（１）３個の「↑」を１つのグループとする場合
（２）２個の「↑」と１個の「↑」の２つのグループとする場合
（３）１個の「↑」で３つのグループとする場合
の３種類に場合分けします。

（１）の場合、「→」が並んだ列で割り当てることができるのは４ヶ所なので４通りです。

（２）の場合、２個の「↑」のグループを割り当てることができるのは４通りで、続いて１個の「↑」を割り当てることができるのは３通りになるので、４×３＝１２通りになります。

（３）の場合、４ヶ所の割り当て可能な場所で、「↑」を割り当てない場所を決めることと同じなので４通りになります。

これらの（１）（２）（３）の場合を合計して、
４＋１２＋４＝２０通り
と計算することができます。

さらに、高校で勉強する「同じものを含む順列」を使うと簡単に計算することができます。

前と同じように、右への移動を「→」、上への移動を「↑」とすれば、ＳからＧへの最短経路数は、「→」を３個と「↑」を３個を１列に並べる順列に等しくなり、それは、
６！/（３！・３！）＝６・５・４・３・２・１/（３・２・１・３・２・１）＝２０通り
と計算できます。

では、そろそろ本問に戻りましょう。

まず、“Ｂ”から“Ｗ”に移動する経路は、問題図を図３のように４つに分けて、その一つについての経路を４倍して求めましょう。

▲図３．４つに分けます

ここでは、左上側の赤色部分の経路を調べます。「→」を右移動、「↓」を下移動とします。

真上の“Ｂ”から“Ｗ”へは、５個の「↓」を並べる場合の数なので、１通りです。

１つ左の“Ｂ”からは、４個の「↓」と１個の「→」を並べる場合の数なので、５通りです。

２つ左の“Ｂ”からは、３個の「↓」と２個の「→」を並べる場合の数なので、１０通りです。

３つ左の“Ｂ”からは、２個の「↓」と３個の「→」を並べる場合の数なので、１０通りです。

４つ左の“Ｂ”からは、１個の「↓」と４個の「→」を並べる場合の数なので、５通りです。

以上を合計すると、左上側の（赤色部分の）“Ｂ”から出発して中心の“Ｗ”に移動する経路数は、
１＋５＋１０＋１０＋５＝３１通り
です。

したがって、全領域からの経路数は、
３１×４＝１２４通り
になります。

次に、中心の“Ｗ”から最外周の“Ｂ”に移動する経路数は、その逆の最外周の“Ｂ”から中心の“Ｗ”に移動する経路数と等しいので、１２４通りになります。

したがって、求めるべき“ＢＯＲＲＯＷ　ＯＲ　ＲＯＢ”を綴る方法は、
１２４×１２４＝１５３７６通り
で、これが答えになります。

問題の意味が掴み難いときには、具体例を当てはめてみて問題を理解することが有効なので実践するとよいでしょう。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（９２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜は息子と夕食（ほとんど飲んでいましたが）に出てしまったので、楽しみにしているＮＨＫ大河ドラマ「花燃ゆ」を観ることができませんでした。録画してあるので早めに観たいと思います。出足から低視聴率で第２回放送でもさらに下がりましたが、昨夜の第３回放送では少し持ち直したようで良かったです。

さて、今回は平成２４年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「最初、テーブルの上にトランプのカード５２枚が全て裏向けにして一列に並べられていた。１人目がやってきて、全てのカードを表にして行った。２人目がやってきて、左から偶数枚目のカードを全てひっくり返して行った。３人目がやってきて、左から３枚目、６枚目、９枚目、・・・と３枚おきにカードをひっくり返して行った。Ｎ人目がやってきて、左からＮ枚目ごとのカードをひっくり返して行った。最後に５２人目がやってきて、右端のカードをひっくり返して行った。５２人目が行ってしまった後、表を向いているカードは何枚あるか。」
です。

算数、数学の問題を解く上で図表を描いてみることは大切です。そこで次の表を作りました。

▲問題の操作を表にしました

この表から５２名の人が自分の順番の倍数となるカードをひっくり返して行くことが判ります。

そして、あるカードが何回ひっくり返されたかでそのカードの最終的な表裏が決まりますが、初めは全て裏向けだったので、奇数回ひっくり返されたカードが表向きになることが判ります。

つまり、１から５２までの自然数について、約数の個数が奇数個持つものがいくつあるかを調べればよいことが判ります。

ここまでくればあとは簡単で、１から５２までの自然数の約数を数え上げてもＯＫですし、少しい工夫するのも良いでしょう。

但し、カードが１０００枚とか多い場合には数え上げるのは一仕事なので、ここでは少し工夫して調べていきましょう。

まず、自然数と約数の個数の関係を思い出しましょう。

ある自然数ｎを素因数分解して、
ｎ＝ａ^p・ｂ^q・・・ｃ^r
と表すと、ｎの約数の個数ｍは、
ｍ＝（ｐ＋１）（ｑ＋１）・・・（ｒ＋１）
になります。

ここで、もしｐ、ｑ、・・・、ｒが全て偶数であれば、ｐ＋１、ｑ＋１、・・・、ｒ＋１は全て奇数になるので、ｍは奇数になります。（もし、ｐ、ｑ、・・・、ｒのいずれか一つでも奇数であれば、ｍは偶数になります）

これを手掛かりにして調べていきます。

ｎ（１≦ｎ≦５２、ｎは自然数）を素因数分解して、
ｎ＝ａ^p・ｂ^q・・・ｃ^r　　　　　（１）
と表すことができるとすると、
ｐ、ｑ、・・・、ｒが全て偶数のとき、ｎの約数は奇数個となります。

そこで、ｐ＝２ｐ'、ｑ＝２ｑ'、・・・、ｒ＝２ｒ'　（ｐ'、ｑ'、・・・、ｒ'は自然数）
とおき、（１）に代入すると、
ｎ＝ａ^2p'・ｂ^2q'・・・ｃ^2r'
　＝（ａ^p'・ｂ^q’・・・ｃ^r'）^2
となり、これはｎが平方数であることを表します。

したがって、１から５２までの自然数のうち、平方数であるものの個数を調べればＯＫで、それは、１、４、９、１６、２５、３６、４９の７個ですから、答えは７枚になります。


繰り返しになりますが、算数、数学の問題を解くときは、図表を使って考えることが大切なので、面倒臭がらず図表を描く習慣を身につけましょう。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（９１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

近くの地域センターで餅つきがあるようで臼などが置いてありました。底冷えする寒い日ですが、餅つきすれば直ぐに温まるでしょうから、今日は餅つき日和でしょう。

さて、今回は平成２３年度東大大学院新領域創成科学研究科海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「１から９まで書かれたカードがＮ枚ずつ、合計９Ｎ枚ある。ただしＮは１以上の整数である。任意に２枚抜き出したカードに書かれた数字の合計が１０になる確率を求めよ。」
です。

確率の問題です。場合の数・確率の問題は樹形図を描いて対応できますが、本問ではカードの枚数が９Ｎ枚と変数になっているので、樹形図に描ききることができません。そのため“・・・”などを使って表すのですが、今回は、確率の加法・乗法定理を使いましょう。

まず、１から９までの数字で２つの組合せが１０になる組合せは、１と９、２と８、３と７、４と６、５と５、６と４、７と３、８と２、９と１です。

ここで注意したいのは、５と５の組合せで、例えば、Ｎ＝１の場合、抜き出した２枚のカードの両方に５が書かれていることはないということです。

と言うことで、Ｎ＝１とＮ≧２に場合分けして調べていきましょう。

（１）Ｎ＝１の場合
例えば、１枚目のカードが１のとき２枚目のカードが９であれば、和が１０になります。さらに、和が１０となる組合せは８通りあるので、求める確率は、
（１/９・１/８）・８＝１/９
です。

（２）Ｎ≧２の場合
１枚目のカードが１である確率は、
Ｎ/９Ｎ＝１/９
で、
２枚目のカードが９である確率は、
Ｎ/（９Ｎ－１）
です。

つまり、１枚目カードが１で２枚目カードが９である確率は、
１/９・Ｎ/（９Ｎ－１）＝Ｎ/９（９Ｎ－１）
になります。

１枚目と２枚目のカードの数字が、２と８、３と７、４と６、６と４、７と３、８と２、９と１の場合も同様なので、５以外の数字で、１枚目と２枚目のカードの数字の和が１０となる確率は、
Ｎ/９（９Ｎ－１）・８＝８Ｎ/９（９Ｎ－１）　　　（１）　　　
となります。

一方、１枚目のカードが５である確率は、
Ｎ/９Ｎ＝１/９
で、
２枚目のカードも５である確率は、
（Ｎ－１）/（９Ｎ－１）
です。

つまり、１枚目と２枚目のカードが両方５である確率は、
１/９・（Ｎ－１）/（９Ｎ－１）＝（Ｎ－１）/９（９Ｎ－１）　　（２）
となります。

以上より、求める確率は（１）と（２）の和なので、
８Ｎ/９（９Ｎ－１）＋（Ｎ－１）/９（９Ｎ－１）
＝（９Ｎ－１）/９（９Ｎ－１）
＝１/９
となります。

以上の結果をまとめると、Ｎ＝１の場合でも、Ｎ≧２の場合でも、求める確率は１/９となります。

蛇足になりますが、（１）（２）を変形してそれらの極限を調べると、Ｎが大きくなると、５以外の数字で、１枚目と２枚目のカードの数字の和が１０になる確率は小さくなり、１枚目と２枚目のカードの数字が両方５で和が１０になる確率は大きくなることが判ります。

さらに、それらの和は、Ｎに依存せず、１/９と一定というのですから面白いものです。

今年の都立高校入試の大問１の小問７は、「資料の整理」から出題されるのか、「場合の数・確率」から出題されるのか判りませんが、これらの単元に自信のない受験生はしっかり見直ししておきましょう。　

中学生でも解ける東大大学院入試問題（９０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

気温は１１℃なのですが風があるので寒く感じます。センター試験が始まり本格的な入試シーズンに突入です。中学、高校、大学受験生の皆さん、体調に気をつけて頑張ってください。

さて、今回は平成２２年度東大大学院新領域創成科学研究科海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「濃度の異なる３種類食塩水Ａ、Ｂ、ＣがそれぞれＸグラムある。食塩水Ａの初期濃度ａ、食塩水Ｂの初期濃度ｂ、食塩水Ｃの初期濃度ｃの関係は、０＜ａ－ｂ＝ｂ－ｃである。各食塩水からＹグラムずつ同時に取り、食塩水Ａから取った食塩水を食塩水Ｂのところに、食塩水Ｂから取った食塩水を食塩水Ｃのところに、食塩水Ｃから取った食塩水を食塩水Ａのところに入れ混ぜる。この交換作業を２回繰り返した後、食塩水Ｂと食塩水Ｃの濃度が等しくなる場合のＸとＹとの関係を求めなさい。」
です。

中学入試で頻出の食塩水問題です。問題文は長いですが内容は簡単で、図１のように、３種類の食塩水においてバケツリレーのようにＹグラムの食塩水を隣の食塩水に２回移したところ、２つの濃度が等しくなったということです。これは、１回目の交換作業後の濃度を求めれば簡単に立式することができます。

▲図１．交換作業

まず初めに、食塩水問題で定番の表１を作りましょう。この表１の空欄を埋めれば、ほとんどお仕舞いです。

▲表１．食塩の質量と濃度

では早速、表１を完成させましょう。

まず１回目の交換作業で、食塩水Ａの食塩質量は、ａＹ（ｇ）減ってｃＹ（ｇ）増えるので、
ａＸ－ａＹ＋ｃＹ＝ａ（Ｘ－Ｙ）＋ｃＹ（ｇ）
になります。

そして、濃度は、
（ａ（Ｘ－Ｙ）＋ｃＹ）/Ｘ
です。

同様に、食塩水Ｂ、Ｃについても、
［食塩水Ｂ］
食塩質量：ｂ（Ｘ－Ｙ）＋ａＹ（ｇ）
濃度　　：（ｂ（Ｘ－Ｙ）＋ａＹ）/Ｘ

［食塩水Ｃ］
食塩質量：ｃ（Ｘ－Ｙ）＋ｂＹ（ｇ）
濃度　　：（ｃ（Ｘ－Ｙ）＋ｂＹ）/Ｘ
となります。

これらを表２に書き入れます。

▲表２．１回目交換作業終了時の結果

続いて２回目の交換作業です。（少し式が長くなります）

食塩水Ａの食塩質量は、（ａ（Ｘ－Ｙ）＋ｃＹ）/Ｘ・Ｙ（ｇ）減って、
（ｃ（Ｘ－Ｙ）＋ｂＹ）/Ｘ・Ｙ（ｇ）増えるので、
ａ（Ｘ－Ｙ）＋ｃＹ－（ａ（Ｘ－Ｙ）＋ｃ）/Ｘ・Ｙ＋（ｃ（Ｘ－Ｙ）＋ｂＹ）/Ｘ・Ｙ（ｇ）
になります。

同様に、食塩水Ｂ、Ｃの食塩質量についてもそれぞれ、
ｂ（Ｘ－Ｙ）＋ａＹ－（ｂ（Ｘ－Ｙ）＋ａＹ）/Ｘ・Ｙ＋（ａ（Ｘ－Ｙ）＋ｃＹ）/Ｘ・Ｙ（ｇ）
ｃ（Ｘ－Ｙ）＋ｂＹ－（ｃ（Ｘ－Ｙ）＋ｂＹ）/Ｘ・Ｙ＋（ｂ（Ｘ－Ｙ）＋ａＹ）/Ｘ・Ｙ（ｇ）
となります。

これらを表３に書き入れます。

▲表３．２回目交換作業終了時の結果

２回目の交換作業後、食塩水Ｂと食塩水Ｃの濃度が等しくなったのですから、それらの食塩質量が等しくなります。（食塩水質量はどちらもＸ（ｇ）なので）

つまり、
ｂ（Ｘ－Ｙ）＋ａＹ－（ｂ（Ｘ－Ｙ）＋ａＹ）/Ｘ・Ｙ＋（ａ（Ｘ－Ｙ）＋ｃＹ）/Ｘ・Ｙ
＝ｃ（Ｘ－Ｙ）＋ｂＹ－（ｃ（Ｘ－Ｙ）＋ｂＹ）/Ｘ・Ｙ＋（ｂ（Ｘ－Ｙ）＋ａＹ）/Ｘ・Ｙ
が成り立ちます。

あとは、この式と問題にあるａ－ｂ＝ｂ－ｃを使って、ＸとＹの関係も求めれば出来上がりです。

食塩質量の式の両辺にＸを掛けて整理すると、
ｂ（Ｘ－Ｙ）Ｘ＋ａＸＹ－ｂ（Ｘ－Ｙ）Ｙ－ａＹ^2＋ａ（Ｘ－Ｙ）Ｙ＋ｃＹ^2
＝ｃ（Ｘ－Ｙ）Ｘ＋ｂＸＹ－ｃ（Ｘ－Ｙ）Ｙ－ｂＹ^2＋ｂ（Ｘ－Ｙ）Ｙ＋ａＹ^2

ｂＸ^2－ｂＸＹ＋ａＸＹ－ｂＸＹ＋ｂＹ^2－ａＹ^2＋ａＸＹ－ａＹ^2＋ｃＹ^2
＝ｃＸ^2－ｃＸＹ＋ｂＸＹ－ｃＸＹ＋ｃＹ^2－ｂＹ^2＋ｂＸＹ－ｂＹ^2＋ａＹ^2

（ｂ－ｃ）Ｘ^2＋２（ａ－２ｂ＋ｃ）ＸＹ－３（ａ－ｂ）Ｙ^2＝０
となり、ａ－ｂ＝ｂ－ｃ（⇒２ｂ＝ａ＋ｃ）を代入して、
Ｘ^2＝３Ｙ^2
となり、したがって、
Ｘ＝√３Ｙ
となります。

途中の計算が煩雑でしたが、食塩水問題の基本は食塩の質量と食塩水の質量に分けて調べることです。そのとき表を使うと判りやすくなるので図表を活用しましょう。