◆rise
vi（自動詞）
rise to one's feet 立ち上がる
rise on one's toes 背伸びをする
rise (up) early 早起きをする
rise in arms 武装蜂起する
Bubbles rose from the bottom of the pond. 池の底から泡が浮かび上がった
The sun rises in the east. 太陽は東から昇る
The building rises above the city's other skyscrapers. そのビルは町の他の摩天楼よりも高くそびえ立っている.
rise in the world 出世する
She quickly rose to a position of importance. 彼女は, 急速に重要な地位に昇進した.
His spirits rose (at the good news). (よい知らせを聞いて)彼は元気が出た.
The tide is rising rapidly. 潮が急速に満ちてきている.
because of a rising number of armed robberies 武装強盗が増え[増加し]ているせいで
n（名詞）
a gradual rise in prices [oil] 諸物価[石油]の漸騰
Prices are on the rise. 物価は上昇中である.
when inflation is on the rise インフレが昂進傾向にあるときに
a steep [gentle] rise in a road 急な[緩やかな]坂道.
give rise to …を起こす,生み出す,生じさせる
The industrial revolution gave rise to accelerated urbanization. 産業革命は都市化を促進する原因となった.
◆escalate (前出の３つの単語に比べて、使われる場面は圧倒的に少なくなります）
自動詞、他動詞ともにあり。
次第に上がって行く, 段階的に拡大[増大, 激化]する, 高まっていく;
〈価格など〉をつり上げる, ～を段階的に拡大[増大, 激化]させる、(…を)エスカレーターで上昇[下降]させる[する]
a time when prices escalate 物価が上昇する時期
escalate a war 戦争を段階的に拡大する.
参考：ランダムハウス、ビジネス技術大辞典