1の3乗根で遊ぶ。

なるべく方程式を直接解かずにいろいろな事実を導いてみよう。


問. 方程式 x²+x+1=0 の解のひとつをωとおく。
(1) ωは実数ではないことを示せ。
(2) ω³=1 であることを示せ。
(3) ωの複素共役をω^†とおくとき，ω²=ω^†=1/ωであることを示せ。
(4) 実数 a，b に対し，a+bω=0 であることと a=b=0 であることとが同値であることを示せ。
(5) 実数 a, b, c, d が a+bω=c+dω をみたすことと，a=c かつ b=d とが同値であることを示せ。
(6) 実数 a, b, c, d, e, f が a+bω+cω²=d+eω+fω² をみたすとき，a-d=b-e=f-c=0 であると言えるか。