関数方程式 f(f(x))=ax+b.

Berge の "Graphs and Hypergraphs" (1973) という本をページっていたとき，p.40 に，実数 a, b に対し φ(φ(x))=ax+b を満たす実数値関数を求めよ，という問題が載っていた。

次のページに Menger によるという解があるのをチラッと見てしまったが，自分なりにこの問題を考えてみたくなった。

とりあえず，ギリシャ文字の φ を入力するのが面倒なので，f に変えておく。

そもそもとっかかりがほとんどないが，ふと，1次関数同士の合成は1次関数であるということを思い出した。合成関数の微分について教える時にいつも自分が言っていることであった。

というわけで，f(x)=cx+d とおいて，c と d を求めることにしよう。このとき，

f(f(x))=cf(x)+d=c(cx+d)+d=c²x+(c+1)d

となるから，これが任意の実数 x に対して ax+b に一致するとき，a が正の数なら c=√a ととり，b=(c+1)d となるように d=b/(1+√a) と選べばよい。
これがまさに Menger の解そのものである。

ちなみに，a=1, b=0 であるとき，定義域を x≠0 に制限すれば f(x)=x だけでなく，f(x)=k/x （k は 0 でなければどんな実数でもよい）も解となる。

あ，f(x)=k-x も解だな。


また，f(f(x))=x² なんていう問題を考えたとすると，f(x)=|x|^√2 という解がある。

さて，a が負の時，例えば f(f(x))=-x を満たす関数 f が存在するかどうか，気になるところである。なんかこういう問題，何年か前にも考えたような気がするのだが・・・。大阪大学理学部数学科の HP 上で公開されている『全国紙上数学談話会』の南雲先生の論文にそういう話題が載っていたような記憶があるので，それを調べようとしたら，そもそも数学科の HP 自体にアクセスできないという事態が勃発した。なんかメンテナンスでもしているのだろうか。

ところで，1次関数同士の合成は再び1次関数になるのだが，1次分数関数同士も関数の合成について閉じている。こうした，「あるパラメータを持つ関数の族で，合成操作について閉じているものは他にあるか」という問題も，前々から気になっていたことではある。

話があちらこちらに飛んでしまったが，f(f(x))=-x の解についてはちょっと考えただけでは全然わからなかった。Berge の本の p.41 にその解答が述べられている。Differential games の研究者である Rufus Isaacs という人の解らしいのだが，情報源は不明である。Menger の解についてもどこから引用したかはわからない。

こうした関数方程式の専門書に載っているかどうか，また今度調べてみよう。