ΔΣ変調は動作アルゴリズムに基づく「ノイズシェーピング」という特性を持っています。これは多くのWebサイトでも紹介されているように、量子化ノイズが対象信号よりも高い周波数に大きく分布し、対象信号帯域付近の量子化ノイズが小さくなると説明されます。添付図を見てください。下図のグラフがノイズシェーピングの特性です（シャープ技報 77号 2000年8月「1ビットディジタル」より引用）。ΔΣ変調回路の積分器の次数とノイズシェーピング特性は対応し、グラフでは1次～7次までの特性が示されています。このように次数が高いほど特性は急峻になり、対象信号帯域付近のノイズはより小さくなります。では、なぜΔΣ変調はノイズシェーピングの特性をもつのでしょうか？今回はこれを考えてみます。
始めに少し準備体操をしましょう。水色バックのブロック図は、ディジタル信号処理における微分器と積分器です。（「微分は引算、積分は足算」を参照してください）
この微分器と積分器の伝達関数を求めてみます。（伝達関数：ゲイン、周波数応答、等）
【微分器の伝達関数】
出力Yは入力XからX・Z^－1を引いたものだから
Y＝X－X・Z^－1
Y＝X（1－Z^－1）
よって、伝達関数は
Y/X＝1－Z^－1
【積分器の伝達関数】
出力Yは入力XにY・Z^－1を足したものだから
Y＝X＋Y・Z^－1
Y－Y・Z^－1＝X
Y（1－Z^－1）＝X
よって、伝達関数は
Y/X＝1/（1－Z^－1）
はい、微分器の伝達関数は：1－Z^－1 、積分器の伝達関数は：1/（1－Z^－1）となりました。互いに逆数になるのは想定通りですね。（この結果は、あとで使います）
さて、「ΔΣ変調ブロック図」のフォワードラインに存在する積分器は、上で伝達関数を求めた積分器の「積分ブロック図」として表すことができます。何故ならば、差分器を通過して積分器に入力される信号は、振幅はアナログ量ですが時間軸上では離散化されているからです。つまり縦軸（振幅）はアナログ、横軸（時間）はディジタルということですね。
では、ΔΣ変調ブロック図に量子化ノイズ：Nを想定して、入出力の関係を数式化してみましょう。
① 積分器に入力される信号：X－Y・Z^－1
② 積分器の伝達関数：1/（1－Z^－1）
③ 積分器の出力：（X－Y・Z^－1）/（1－Z^－1）
④ 量子化器の出力：（X－Y・Z^－1）/（1－Z^－1）＋N
となります。④の量子化器の出力は、本アルゴリズムの出力そのものですから
Y＝（X－Y・Z^－1）/（1－Z^－1）＋N -----(1)
となり、これをYについてまとめます。
Y（1－Z^－1）＝（X－Y・Z^－1）＋N（1－Z^－1）
Y（1－Z^－1）＋Y・Z^－1＝X ＋N（1－Z^－1）
Y＝X ＋N（1－Z^－1） -----(2)
となって、出力Yに現れる量子化ノイズは、N（1－Z^－1）となります。
さて、（1－Z^－1）とは何でしょう。準備体操でやりましたね。そう、微分器の伝達関数です。よって、帯域一様に分布する量子化ノイズNは、微分特性によって低域成分が減少し、高域成分が増加する形になります。これがノイズシェーピング特性ということですね。
シリーズ①でも引用させていただいた、Yoshimitsu Murahashiさんのサイト「ΔΣ変調の部屋」では、Java Appletを使って1次と2次のΔΣ変調器を動かしてノイズシェーピングの特性を見ることができます。これも非常にわかりやすいので、ぜひ訪問してみてください。「ΔΣ変調のスペクトル」
関連記事：
少し詳しいΔ∑変調③ 積分器の出力 2010-03-25
少し詳しいΔΣ変調①序 2010-03-21
始めに少し準備体操をしましょう。水色バックのブロック図は、ディジタル信号処理における微分器と積分器です。（「微分は引算、積分は足算」を参照してください）
この微分器と積分器の伝達関数を求めてみます。（伝達関数：ゲイン、周波数応答、等）
【微分器の伝達関数】
出力Yは入力XからX・Z^－1を引いたものだから
Y＝X－X・Z^－1
Y＝X（1－Z^－1）
よって、伝達関数は
Y/X＝1－Z^－1
【積分器の伝達関数】
出力Yは入力XにY・Z^－1を足したものだから
Y＝X＋Y・Z^－1
Y－Y・Z^－1＝X
Y（1－Z^－1）＝X
よって、伝達関数は
Y/X＝1/（1－Z^－1）
はい、微分器の伝達関数は：1－Z^－1 、積分器の伝達関数は：1/（1－Z^－1）となりました。互いに逆数になるのは想定通りですね。（この結果は、あとで使います）
さて、「ΔΣ変調ブロック図」のフォワードラインに存在する積分器は、上で伝達関数を求めた積分器の「積分ブロック図」として表すことができます。何故ならば、差分器を通過して積分器に入力される信号は、振幅はアナログ量ですが時間軸上では離散化されているからです。つまり縦軸（振幅）はアナログ、横軸（時間）はディジタルということですね。
では、ΔΣ変調ブロック図に量子化ノイズ：Nを想定して、入出力の関係を数式化してみましょう。
① 積分器に入力される信号：X－Y・Z^－1
② 積分器の伝達関数：1/（1－Z^－1）
③ 積分器の出力：（X－Y・Z^－1）/（1－Z^－1）
④ 量子化器の出力：（X－Y・Z^－1）/（1－Z^－1）＋N
となります。④の量子化器の出力は、本アルゴリズムの出力そのものですから
Y＝（X－Y・Z^－1）/（1－Z^－1）＋N -----(1)
となり、これをYについてまとめます。
Y（1－Z^－1）＝（X－Y・Z^－1）＋N（1－Z^－1）
Y（1－Z^－1）＋Y・Z^－1＝X ＋N（1－Z^－1）
Y＝X ＋N（1－Z^－1） -----(2)
となって、出力Yに現れる量子化ノイズは、N（1－Z^－1）となります。
さて、（1－Z^－1）とは何でしょう。準備体操でやりましたね。そう、微分器の伝達関数です。よって、帯域一様に分布する量子化ノイズNは、微分特性によって低域成分が減少し、高域成分が増加する形になります。これがノイズシェーピング特性ということですね。
シリーズ①でも引用させていただいた、Yoshimitsu Murahashiさんのサイト「ΔΣ変調の部屋」では、Java Appletを使って1次と2次のΔΣ変調器を動かしてノイズシェーピングの特性を見ることができます。これも非常にわかりやすいので、ぜひ訪問してみてください。「ΔΣ変調のスペクトル」
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少し詳しいΔΣ変調①序 2010-03-21
