―「含意の定義(Df.→)」―
(01)
1 (1) P→ Q A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
12 (4) Q 12MPP
2 (5) ~Q 2&E
12 (6) Q&~Q 45&I
1 (7) ~(P&~Q) 26RAA
8 (8) ~(~P∨Q) A
9 (9) ~P A
9 (ア) ~P∨Q 9∨I
89 (イ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 8ア&I
8 (ウ) ~~P 9イRAA
8 (エ) P ウDN
オ(オ) Q A
オ(カ) ~P∨Q オ∨I
8 オ(キ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 8カ&I
8 (ク) ~Q オキRAA
8 (ケ) P&~Q エク&I
1 8 (コ) ~(P&~Q)&
(P&~Q) 7ケ&I
1 (サ)~~(~P∨Q) 8コRAA
1 (シ) ~P∨Q サDN
(02)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
23 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA
7 (7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア)~(P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) P A
エ(エ) ~Q A
ウエ(オ) P&~Q ウエ&I
1 ウエ(カ)~(P&~Q)&
(P&~Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~~Q エカDN
1 ウ (ク) Q キDN
1 (ケ) P→ Q ウクCP
従って、
(01)(02)により、
(03)
(a) P→ Q
(b) P&~Q
(c)~P∨ Q
に於いて、
(a)と(b)は『矛盾』し、
(b)と(c)も『矛盾』し、それ故、
(a)と(c)は『等しい』。
従って、
(03)により、
(04)
① P→Q(Pであるならば、Qである)。
② ~P∨Q(Pでないか、または、Qである)。
③ ~~P→Q(Pでない、でないならば、Qである)。
に於いて、
①=②=③ である(含意の定義)。
例へば、
(05)
① P→Q,P├ Q
に於いて、
① P→QとP を 「連式の仮定」と言ひ。
① Q を「連式の結論」と言ふ。
然るに、
(06)
(a)「連式の仮定」に「偽」が「1つも無く(0個であって)」、
(b)「連式の結論」が「偽」でないならば、そのときに限って、その「連式」は「トートロジー的(tautologous)」である。
然るに、
(07)
(ⅰ)
1 (1) P→Q A
2(2) P A
12(3) Q 12MPP
1 (4) P→Q 23CP
(5)(P→Q)→(P→Q) 14CP
(ⅱ)
1(1) P&Q A
1(2) P 1&E
(3)(P&Q)→P 12CP
(ⅲ)
1(1)P A
1(2)P∨Q 1∨I
(3)P→(P∨Q) 12CP
従って、
(06)(07)により、
(08)
① P→Q,P├ Q
② P&Q├ P
③ P├ P∨Q
は「トートロジー的連式(sequents)」であるため、
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P&Q)→P
③├ P→(P∨Q)
も「トートロジー的連式(sequents)」である。
然るに、
(09)
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P&Q)→P
③├ P→(P∨Q)
といふ「トートロジー的連式(sequents)」に於ける、
①(P→Q)→(P→Q)
②(P&Q)→P
③ P→(P∨Q)
といふ「結論」は、それぞれ、
①「同一律 (トートロジー)」であって、
②「連言除去(トートロジー)」であって、
③「選言導入(トートロジー)」である。
従って、
(06)(09)により、
(10)
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P&Q)→P
③├ P→(P∨Q)
のやうに、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の「連式の結論」は、「恒真式(トートロジー)」である。
cf.
「仮定の個数」が「0個」であるならば、固より、「偽なる仮定の個数」も「0個」である。
然るに、
(11)
(ⅰ)
1(1) ~{(P→Q)→(P→Q)} A
1(2)~{~(P→Q)∨(P→Q)} 1含意の定義
1(3) (P→Q)&~(P→Q) 2ド・モルガンの法則
1(4) (P→Q) 3&E
1(5) ~(P→Q) 3&E
1(6) ~(~P∨Q) 5含意の定義
1(7) P&~Q 6ド・モルガンの法則
1(8) P 7&E
1(9) Q 48MPP
1(ア) ~Q 7&E
1(イ) Q&~Q 89&I
(ウ)~~{(P→Q)→(P→Q)} 1RAA
(エ) (P→Q)→(P→Q) ウDN
(ⅱ)
1(1) ~{(P&Q)→ P} A
1(2)~{~(P&Q)∨ P} 1含意の定義
1(3) (P&Q)&~P 2ド・モルガンの法則
1(4) P&Q 3&E
1(5) P 4&E
1(6) ~P 3&E
1(7) P&~P 56&I
(8)~~{(P&Q)→ P} 17RAA
(9) (P&Q)→ P 8DN
(ⅲ)
1(1) ~{P→(P∨Q)} A
1(2)~{~P∨(P∨Q)} 1含意の定義
1(3) P&~(P∨Q) 2ド・モルガンの法則
1(4) P 3&E
1(5) ~(P∨Q) 3&E
1(6) ~P&~Q 5ド・モルガンの法則
1(7) ~P 6&E
1(8) P&~P 47&I
(9) P→(P∨Q) 18RAA
従って、
(11)により、
(12)
① ~{(P→Q)→(P→Q)}├ Q&~Q
② ~{(P&Q)→P}├ P&~P
③ ~{P→(P∨Q)}├ P&~P
のやうに、
(ⅱ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(10)(12)により、
(13)
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式の結論(恒真式)」は、その一方で、
(ⅱ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」である。
然るに、
(14)
(ⅰ)
1(1) P&Q A
1(2) Q 1&E
1(3) ~P∨Q 2∨I
1(4) P→Q 3含意の定義
1(5)~(P→Q)∨(P→Q) 4∨I
1(6) (P→Q)→(P→Q) 5含意の定義
(ⅱ)
1 (1) P&~Q A
2(2) P→ Q A
1 (3) P 1&E
12(4) Q 23MPP
1 (5) ~Q 1&E
12(6) Q&~Q 45&I
1 (7)~(P→Q) 26RAA
1 (8)~(P→Q)∨(P→Q) 7∨I
1 (9) (P→Q)→(P→Q) 8含意の定義
(ⅲ)
1(1) ~P&Q A
1(2) ~P 1&E
1(3) ~P∨Q 2∨I
1(4) P→Q 3含意の定義
1(5)~(P→Q)∨(P→Q) 4∨I
1(6) (P→Q)→(P→Q) 5含意の定義
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q A
1(2) ~P 1&E
1(3) ~P∨Q 2∨I
1(4) P→Q 3含意の定義
1(5)~(P→Q)∨(P→Q) 4∨I
1(6) (P→Q)→(P→Q) 5含意の定義
然るに、
(15)
(ⅰ)
1(1) P&Q A
1(2) P 1&E
1(3)~(P&Q)∨P 2∨I
1(4) (P&Q)→P 3含意の定義
(ⅱ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
1(3)~(P&Q)∨P 2∨I
1(4) (P&Q)→P 3含意の定義
(ⅲ)
1 (1) ~P&Q A
2(2) P&Q A
1 (3) ~P 1&E
2(4) P 2&E
12(5) ~P&P 34&I
1 (6)~(P&Q) 25RAA
1 (7)~(P&Q)∨P 6∨I
1 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
(ⅳ)
1 (1) ~P&~Q A
2(2) P& Q A
1 (3) Q 1&E
2(4) ~Q 2&E
12(5) ~Q&Q 34&I
1 (6)~(P&Q) 25RAA
1 (7)~(P&Q)∨P 6∨I
1 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
然るに、
(16)
(ⅰ)
1(1) P& Q A
1(2) P 1&E
1(3) P∨Q 2∨I
1(4)~P∨(P∨Q) 3∨I
1(5) P→(P∨Q) 4含意の定義
(ⅱ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
1(3) P∨Q 2∨I
1(4)~P∨(P∨Q) 3∨I
1(5) P→(P∨Q) 4含意の定義
(ⅲ)
1(1) ~P& Q A
1(2) ~P 1&E
1(3)~P∨(P∨Q) 2∨I
1(4) P→(P∨Q) 3含意の定義
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q A
1(2) ~P 1&E
1(3)~P∨(P∨Q) 2∨I
1(4) P→(P∨Q) 3含意の定義
従って、
(14)により、
(17)
① P& Q├(P→Q)→(P→Q)
② P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
然るに、
(15)により、
(18)
① P& Q├(P&Q)→P
② P&~Q├(P&Q)→P
③ ~P& Q├(P&Q)→P
④ ~P&~Q├(P&Q)→P
然るに、
(16)により、
(19)
① P& Q├ P→(P∨Q)
② P&~Q├ P→(P∨Q)
③ ~P& Q├ P→(P∨Q)
④ ~P&~Q├ P→(P∨Q)
従って、
(17)により、
(20)
① P(真)&Q(真)├(P→Q)→(P→Q)
② P(真)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
③ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
④ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
然るに、
(18)により、
(21)
① P(真)&Q(真)├(P&Q)→P
② P(真)&Q(偽)├(P&Q)→P
③ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
④ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
然るに、
(19)により、
(22)
① P(真)&Q(真)├ P→(P∨Q)
② P(真)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
③ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
④ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
然るに、
(23)
1(1)~P A
(2)~P→~P 11CP
(3) P∨~P 2含意の定義
(ⅱ)
1 (1) ~(P∨~P) A
2(2) P A
2(3) P∨~P 2∨I
12(4) ~(P∨~P)&
(P∨~P) 13&I
1 (5) ~P 24RAA
1 (6) P∨~P 5∨I
1 (7) ~(P∨~P)&
(P∨~P) 16&I
(8)~~(P∨~P) 17RAA
(9) P∨~P 8DN
然るに、
(24)
(1) P∨~P TI(排中律)
(2) Q∨~Q TI(排中律)
3 (3) P A
4 (4) Q A
34 (5) P&Q 34&I
34 (6) Q 5&E
34 (7) ~P∨Q 6∨I
34 (8) P→Q 7含意の定義
34 (9)~(P→Q)∨(P→Q) 8∨I
ア (ア) ~Q A
3 ア (イ) P&~Q 3ア&I
ウ (ウ) P→ Q A
3 ア (エ) P イ&E
3 アウ (オ) Q ウエMPP
3 ア (カ) ~Q イ&E
3 アウ (キ) Q&~Q オカ&I
3 ア (ク)~(P→Q) ウキRAA
3 ア (ケ)~(P→Q)∨(P→Q) ク∨I
3 (コ)~(P→Q)∨(P→Q) 249アケ∨E
サ (サ) ~P A
4 サ (シ) ~P&Q 4サ&I
4 サ (ス) ~P シ&E
4 サ (セ) ~P∨Q ス∨I
4 サ (ソ) P→Q セ含意の定義
4 サ (タ)~(P→Q)∨(P→Q) ソ∨I
ア サ (ツ) ~P&~Q アサ&I
ア サ (テ) ~P ツ&E
ア サ (ト) ~P∨Q テ∨I
ア サ (ナ) P→Q ト含意の定義
ア サ (ニ)~(P→Q)∨(P→Q) ナ∨I
サ (ヌ)~(P→Q)∨(P→Q) 24タアニ∨E
(ネ)~(P→Q)∨(P→Q) 13コサヌ∨E
(ノ) (P→Q)→(P→Q) ネ含意の定義
従って、
(24)により、
(25)
① P& Q├(P→Q)→(P→Q)
② P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
といふ「連式」、すなはち、
① P(真)&Q(真)├(P→Q)→(P→Q)
② P(真)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
③ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
④ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
といふ「連式」は、4とつも、
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P→Q)→(P→Q)
③├(P→Q)→(P→Q)
④├(P→Q)→(P→Q)
といふ風に、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
(20)~(25)により、
(26)
「同様」にして、
① P(真)&Q(真)├(P&Q)→P
② P(真)&Q(偽)├(P&Q)→P
③ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
④ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
といふ「連式」と、
① P(真)&Q(真)├ P→(P∨Q)
② P(真)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
③ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
④ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
といふ「連式」も、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
(10)(25)(26)により、
(27)
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式の結論(恒真式)」は、その一方で、
(ⅲ)「命題変数(PとQ)の真偽」に関わらず、「恒に真」である所の「論理式」である。
従って、
(13)(27)により、
(28)
(ⅰ)「恒真式(トートロジー)」とは、
(ⅱ)「仮定の個数」が「0個」である所の、 「連式の結論」であって、
(ⅲ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の 「論理式」であって、その上、
(ⅳ)「命題変数(PとQ)の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。
然るに、
(29)
1 (1) ~(((P→Q)→P)→ P) A
1 (2) ~(((~P∨Q)→P)→ P) 1含意の定義
1 (3) ~((~(~P∨Q)∨P)→ P) 2含意の定義
1 (4)~(~(~(~P∨Q)∨P)∨ P) 3含意の定義
1 (5) (~(~P∨Q)∨P)&~P 4ド・モルガンの法則
1 (6) ((P&~Q)∨P)&~P 5ド・モルガンの法則
1 (7) (P&~Q)∨P 6&E
8 (8) P&~Q A
8 (9) P 8&E
ア(ア) P A
1 (イ) P 789アア∨E
1 (ウ) ~P 6&E
1 (エ) P&~P(矛盾) イウ&I
(オ) ~~(((P→Q)→P)→ P) 1エRAA
(カ) ((P→Q)→P)→ P オDN
従って、
(30)
⑤├((P→Q)→P)→P
といふ「(仮定の個数が0である所の)連式」は「妥当」である。
然るに、
(31)
(ⅰ)
1(1) P&Q A
1(2) P 1&E
1(3)~((P→Q)→P)∨P 2∨I
1(4) ((P→Q)→P)→P 3含意の定義
(ⅱ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
1(3)~((P→Q)→P)∨P 2∨I
1(4) ((P→Q)→P)→P 3含意の定義
(ⅲ)
1 (1) ~P&Q A
2(2) (P→Q)→P A
1 (3) Q 1&E
1 (4) ~P∨Q 3∨I
1 (5) P→Q 4含意の定義
12(6) P 25MPP
1 (7) ~P 1&E
12(8) ~P&P 67&I
1 (9)~((P→Q)→P) 28RAA
1 (ア)~((P→Q)→P)∨P 9∨I
1 (イ) ((P→Q)→P)→P ア含意の定義
(ⅳ)
1 (1) ~P&~Q A
1 (2) ~P 1&E
1 (3) ~P∨Q 2∨I
1 (4) P→Q 3含意の定義
2(5) (P→Q)→P A
12(6) P 45MPP
12(7) ~P&P 26&I
1 (8)~((P→Q)→P 27RAA
1 (9)~((P→Q)→P)∨P 8∨I
1 (ア) ((P→Q)→P)→P 8含意の定義
従って、
(20)~(25)、(31)により、
(32)
(1)P∨~P TI(排中律)
(2)Q∨~Q TI(排中律)
3 (3)P A
4 (4) ~P A
5 (5)Q A
6(6) ~Q A
3 5 (7)((P→Q)→P)→P 35SI(ⅰ)
3 6(8)((P→Q)→P)→P 36SI(ⅱ)
45 (9)((P→Q)→P)→P 37SI(ⅲ)
4 6(ア)((P→Q)→P)→P 38SI(ⅳ)
5 (イ)((P→Q)→P)→P 13749∨E
6(ウ)((P→Q)→P)→P 1384ア∨E
(エ)((P→Q)→P)→P 25イ6ウ∨E
(E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、113頁改)
といふ「(排中律を用いた)計算」によって、
①├((P→Q)→P)→P
②├((P→Q)→P)→P
③├((P→Q)→P)→P
④├((P→Q)→P)→P
といふ風に、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式(パースの法則)」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
(09)(28)(32)により、
(33)
(ⅰ)「恒真式(トートロジー)」とは、
(ⅱ)「同一律・連言除去・選言導入・パースの法則」等がそうであるやうに、
(ⅲ)「仮定の個数」が「0個」である所の、 「連式の結論」であって、
(ⅳ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の 「論理式」であって、その上、
(ⅴ)「命題変数(PとQ)の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。
従って、
(33)により、
(34)
トートロジー(英: tautology, 希: ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから)とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される。関連した概念に冗語があり、しばしば同じ意味で使われることもある。また、撞着語法はトートロジーの反対の技法である(ウィキペディア)。
といふ「説明」は、「恒真式(トートロジー)」の「説明」としては、「表面的」であって、「正しい」とは言へない。
然るに、
(04)により、
(35)
もう一度、確認すると、
① P→Q(Pであるならば、Qである)。
② ~P∨Q(Pでないか、または、Qである)。
に於いて、
①=② である(含意の定義)。
然るに、
(36)
1 (1)~P∨Q A
2 (2)~P A
2 (3)~P∨Q 2∨I
2 (4) P→Q 3含意の定義
5(5) Q A
5(6)~P∨Q 5∨I
5(7) P→Q 6含意の定義
1 (8) P→Q 12457∨E
従って、
(36)により、
(37)
1 (1)~P∨Q A
ではなく、
1 (2)P&~Q A
であるならば、
2 (3)~P∨Q 2∨I
2 (4) P→Q 3含意の定義
5(5) Q A
5(6)~P∨Q 5∨I
5(7) P→Q 6含意の定義
1 (8) P→Q 12457∨E
といふことには、「ならない」。
従って、
(36)により、
(37)
① P& Q├ P→Q
② P&~Q├ ~(P→Q)
③ ~P& Q├ P→Q
④ ~P&~Q├ P→Q
然るに、
(38)
1(1) ~(P→Q) A
1(2)~(~P∨Q) 1含意の定義
1(3) P&~Q 2ド・モルガンの法則
然るに、
(39)
① P&~P
② P&~Q
に於いて、言ふまでもなく、
① は「矛盾」であるが、
② は「矛盾」ではない。
従って、
(38)(39)により、
(40)
(ⅰ)
1(1) ~(P→P) A
1(2)~(~P∨P) 1含意の定義
1(3) P&~P 2ド・モルガンの法則
(4)~~(P→P) 13RAA
(5) P→P 4DN
に対して、
(ⅱ)
1(1) ~(P→Q) A
1(2)~(~P∨Q) 1含意の定義
1(3) P&~Q 2ド・モルガンの法則
(4)~~(P→Q) 13RAA
(5) P→Q 4DN
ではない。
従って、
(33)~(40)により、
(41)
例へば、
① P→P(Pであるならば、Pである)。
② P→Q(Pであるならば、Qである)。
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であるが、
② は、「恒真式(トートロジー)」ではない。
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