（1311）「恒真式（トートロジー）」の「３つの定義」。

　―「含意の定義（Ｄｆ.→）」―
（01）
１　　　　（１）　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　Ｑ　　　１２ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　８ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　９イＲＡＡ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　オ∨Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　８カ＆Ｉ
　　８　　（ク）　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エク＆Ｉ
１　８　　（コ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　７ケ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　サＤＮ
（02）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２３　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＤＮ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ）　Ｐ→　Ｑ
（ｂ）　Ｐ＆～Ｑ
（ｃ）～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
（ａ）と（ｂ）は『矛盾』し、
（ｂ）と（ｃ）も『矛盾』し、それ故、
（ａ）と（ｃ）は『等しい』。
従って、
（03）により、
（04）
① 　　Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。
② 　～Ｐ∨Ｑ（Ｐでないか、または、Ｑである）。
③ ～～Ｐ→Ｑ（Ｐでない、でないならば、Ｑである）。
に於いて、
①＝②＝③ である（含意の定義）。

---

例へば、
（05）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
に於いて、
① Ｐ→ＱとＰ を　　 「連式の仮定」と言ひ。
①　　　　　　　Ｑ を「連式の結論」と言ふ。
然るに、
（06）
（ａ）「連式の仮定」に「偽」が「１つも無く（０個であって）」、
（ｂ）「連式の結論」が「偽」でないならば、そのときに限って、その「連式」は「トートロジー的（tautologous）」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１２（３）　　　Ｑ　　　　　　　　１２ＭＰＰ
１　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２３ＣＰ
　　（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　１４ＣＰ
（ⅱ）
　１（１）　Ｐ＆Ｑ　　　　　Ａ
　１（２）　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
　　（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　１２ＣＰ
（ⅲ）
　１（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
　１（２）Ｐ∨Ｑ　　　　　１∨Ｉ
　　（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　１２ＣＰ
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② 　　Ｐ＆Ｑ├ Ｐ
③　　　　 Ｐ├ Ｐ∨Ｑ
は「トートロジー的連式（sequents）」であるため、
　　　　　 ①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
　　　　　 ②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
　　　　　 ③├　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
も「トートロジー的連式（sequents）」である。
然るに、
（09）
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③├　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
といふ「トートロジー的連式（sequents）」に於ける、
①（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
といふ「結論」は、それぞれ、
①「同一律　（トートロジー）」であって、
②「連言除去（トートロジー）」であって、
③「選言導入（トートロジー）」である。
従って、
（06）（09）により、
（10）
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③├　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
のやうに、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「連式の結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
ｃｆ.
　　　「仮定の個数」が「０個」であるならば、固より、「偽なる仮定の個数」も「０個」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１（１）　～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）｝　１含意の定義
１（３）　　（Ｐ→Ｑ）＆～（Ｐ→Ｑ）　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）　　３＆Ｅ
１（６）　　　　　　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　５含意の定義
１（７）　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　６ド・モルガンの法則
１（８）　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　７＆Ｅ
１（９）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　４８ＭＰＰ
１（ア）　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　７＆Ｅ
１（イ）　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　８９＆Ｉ
　（ウ）～～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝　１ＲＡＡ
　（エ）　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　　ウＤＮ
（ⅱ）
１（１）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　１含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　～Ｐ　　３＆Ｅ
１（７）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　５６＆Ｉ
　（８）～～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　１７ＲＡＡ
　（９）　　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ　　８ＤＮ
（ⅲ）
１（１）　～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝　Ａ
１（２）～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝　１含意の定義
１（３）　　Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ）　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　Ｐ　　　　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　～（Ｐ∨Ｑ）　　３＆Ｅ
１（６）　　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　５ド・モルガンの法則
１（７）　　　　～Ｐ　　　　　　６＆Ｅ
１（８）　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　４７＆Ｉ
　（９）　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　　　１８ＲＡＡ
従って、
（11）により、
（12）
① ～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝├ Ｑ＆～Ｑ
② 　　　　～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝├ Ｐ＆～Ｐ
③ 　　　　～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝├ Ｐ＆～Ｐ
のやうに、
（ⅱ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（10）（12）により、
（13）
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式の結論（恒真式）」は、その一方で、
（ⅱ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」である。
然るに、
（14）
（ⅰ）
１（１）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ
１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義
（ⅱ）
１　（１）　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　Ａ
１　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（４）　　　　Ｑ　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１　（５）　　　～Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（６）　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　２６ＲＡＡ
１　（８）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　７∨Ｉ
１　（９）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　８含意の定義
（ⅲ）
１（１）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ

１（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ
１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義
（ⅳ）
１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ

１（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ
１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義
然るに、
（15）
（ⅰ）
１（１）　　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　２∨Ｉ
１（４）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　３含意の定義
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　２∨Ｉ
１（４）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　３含意の定義
（ⅲ）
１　（１）　～Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
１　（３）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　２（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　２５ＲＡＡ
１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　６∨Ｉ
１　（８）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　７含意の定義
（ⅳ）
１　（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
１　（３）　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
　２（４）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２（５）　　～Ｑ＆Ｑ　　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　２５ＲＡＡ
１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　６∨Ｉ
１　（８）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　７含意の定義
然るに、
（16）
（ⅰ）
１（１）　　　　Ｐ＆　Ｑ　Ａ
１（２）　　　　Ｐ　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　Ｐ∨Ｑ　　２∨Ｉ
１（４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　３∨Ｉ
１（５）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　４含意の定義
（ⅱ）
１（１）　　　　Ｐ＆～Ｑ　Ａ
１（２）　　　　Ｐ　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　Ｐ∨Ｑ　　２∨Ｉ
１（４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　３∨Ｉ
１（５）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　４含意の定義
（ⅲ）
１（１）　　　～Ｐ＆　Ｑ　Ａ
１（２）　　　～Ｐ　　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　３含意の定義
（ⅳ）
１（１）　　　～Ｐ＆～Ｑ　Ａ
１（２）　　　～Ｐ　　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　３含意の定義
従って、
（14）により、
（17）
① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
然るに、
（15）により、
（18）
① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
然るに、
（16）により、
（19）
① 　Ｐ＆　Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
従って、
（17）により、
（20）
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
然るに、
（18）により、
（21）
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
然るに、
（19）により、
（22）
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
然るに、
（23）
１（１）～Ｐ　　　　Ａ
　（２）～Ｐ→～Ｐ　１１ＣＰ
　（３）　Ｐ∨～Ｐ　２含意の定義
（ⅱ）
１　（１）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ
　２（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２（３）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１３＆Ｉ
１　（５）　　～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　５∨Ｉ
１　（７）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１６＆Ｉ
　　（８）～～（Ｐ∨～Ｐ）　　１７ＲＡＡ
　　（９）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　８ＤＮ
然るに、
（24）
　　　　　　　　（１）　　Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　ＴＩ（排中律）
　　　　　　　　（２）　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　　　ＴＩ（排中律）
３　　　　　　　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　４　　　　　　（４）　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
３４　　　　　　（５）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　３４＆Ｉ
３４　　　　　　（６）　　　　Ｑ　　　　　　　　５＆Ｅ
３４　　　　　　（７）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　６∨Ｉ
３４　　　　　　（８）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　７含意の定義
３４　　　　　　（９）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　８∨Ｉ
　　ア　　　　　（ア）　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
３　ア　　　　　（イ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　３ア＆Ｉ
　　　ウ　　　　（ウ）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　Ａ
３　ア　　　　　（エ）　　Ｐ　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
３　アウ　　　　（オ）　　　　　Ｑ　　　　　　　ウエＭＰＰ
３　ア　　　　　（カ）　　　　～Ｑ　　　　　　　イ＆Ｅ
３　アウ　　　　（キ）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　オカ＆Ｉ
３　ア　　　　　（ク）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　ウキＲＡＡ
３　ア　　　　　（ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ク∨Ｉ
３　　　　　　　（コ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　２４９アケ∨Ｅ
　　　　サ　　　（サ）　　　　～Ｐ　　　　　　　Ａ
　４　　サ　　　（シ）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　４サ＆Ｉ
　４　　サ　　　（ス）　～Ｐ　　　　　　　　　　シ＆Ｅ
　４　　サ　　　（セ）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　ス∨Ｉ
　４　　サ　　　（ソ）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　セ含意の定義
　４　　サ　　　（タ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ソ∨Ｉ
　　ア　サ　　　（ツ）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　アサ＆Ｉ
　　ア　サ　　　（テ）　　　　～Ｐ　　　　　　　ツ＆Ｅ
　　ア　サ　　　（ト）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　テ∨Ｉ
　　ア　サ　　　（ナ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　ト含意の定義
　　ア　サ　　　（ニ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ナ∨Ｉ
　　　　サ　　　（ヌ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　２４タアニ∨Ｅ
　　　　　　　　（ネ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　１３コサヌ∨Ｅ
　　　　　　　　（ノ）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　ネ含意の定義
従って、
（24）により、
（25）
① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」、すなはち、
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」は、４とつも、
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
といふ風に、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
（20）～（25）により、
（26）
「同様」にして、
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「連式」と、
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
といふ「連式」も、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
（10）（25）（26）により、
（27）
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式の結論（恒真式）」は、その一方で、
（ⅲ）「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関わらず、「恒に真」である所の「論理式」である。
従って、
（13）（27）により、
（28）
（ⅰ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ⅱ）「仮定の個数」が「０個」である所の、　「連式の結論」であって、
（ⅲ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の　「論理式」であって、その上、
（ⅳ）「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。
然るに、
（29）
１　　（１）　　　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　Ａ
１　　（２）　　～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　１含意の定義
１　　（３）　～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ）　２含意の定義
１　　（４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ）　３含意の定義
１　　（５）　　　（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ　　４ド・モルガンの法則
１　　（６）　　　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ　　５ド・モルガンの法則
１　　（７）　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　　　６＆Ｅ
　８　（８）　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　８　（９）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　　（イ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　７８９アア∨Ｅ
１　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　６＆Ｅ
１　　（エ）　　　　　　Ｐ＆～Ｐ（矛盾）　　　　　イウ＆Ｉ
　　　（オ）　　～～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　１エＲＡＡ
　　　（カ）　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ　　オＤＮ
従って、
（30）
⑤├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「（仮定の個数が０である所の）連式」は「妥当」である。
然るに、
（31）
　（ⅰ）
　１（１）　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　Ａ
　１（２）　　　Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
　１（３）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　２∨Ｉ
　１（４） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３含意の定義
（ⅱ）
　１（１）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ
　１（２）　　　Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
　１（３）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　２∨Ｉ
　１（４） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３含意の定義
（ⅲ）
１　（１）　　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　Ａ
　２（２）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　（３）　　　　　Ｑ　　　　　　　１＆Ｅ
１　（４）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　３∨Ｉ
１　（５）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　４含意の定義
１２（６）　　　　　　　　Ｐ　　　　２５ＭＰＰ
１　（７）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（８）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　６７＆Ｉ
１　（９）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　２８ＲＡＡ
１　（ア）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　９∨Ｉ
１　（イ）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　ア含意の定義
（ⅳ）
１　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ
１　（２）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　（３）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　２∨Ｉ
１　（４）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　３含意の定義
　２（５）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１２（６）　　　　　　　　Ｐ　　　　４５ＭＰＰ
１２（７）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　２６＆Ｉ
１　（８）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　２７ＲＡＡ
１　（９）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　８∨Ｉ
１　（ア）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　８含意の定義
従って、
（20）～（25）、（31）により、
（32）
　　　　（１）Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（排中律）
　　　　（２）Ｑ∨～Ｑ　　　　　　　　ＴＩ（排中律）
３　　　（３）Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　４　　（４）　　～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　　５　（５）Ｑ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６（６）　　～Ｑ　　　　　　　　Ａ
３　５　（７）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３５ＳＩ（ⅰ）
３　　６（８）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３６ＳＩ（ⅱ）
　４５　（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３７ＳＩ（ⅲ）
　４　６（ア）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３８ＳＩ（ⅳ）
５　　　（イ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１３７４９∨Ｅ
　　　６（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１３８４ア∨Ｅ
　　　　（エ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　２５イ６ウ∨Ｅ
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１３頁改）
といふ「（排中律を用いた）計算」によって、
①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ風に、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式（パースの法則）」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
（09）（28）（32）により、
（33）
（ⅰ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ⅱ）「同一律・連言除去・選言導入・パースの法則」等がそうであるやうに、
（ⅲ）「仮定の個数」が「０個」である所の、　「連式の結論」であって、
（ⅳ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の　「論理式」であって、その上、
（ⅴ）「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。
従って、
（33）により、
（34）
トートロジー（英: tautology, 希: ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから）とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される。関連した概念に冗語があり、しばしば同じ意味で使われることもある。また、撞着語法はトートロジーの反対の技法である（ウィキペディア）。
といふ「説明」は、「恒真式（トートロジー）」の「説明」としては、「表面的」であって、「正しい」とは言へない。

---

然るに、
（04）により、
（35）
もう一度、確認すると、
① 　Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。
② ～Ｐ∨Ｑ（Ｐでないか、または、Ｑである）。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（36）
１　　（１）～Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）～Ｐ　　　Ａ
　２　（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
　２　（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義
　　５（５）　　　Ｑ　Ａ
　　５（６）～Ｐ∨Ｑ　５∨Ｉ
　　５（７）　Ｐ→Ｑ　６含意の定義
１　　（８）　Ｐ→Ｑ　１２４５７∨Ｅ
従って、
（36）により、
（37）
１　　（１）～Ｐ∨Ｑ　Ａ
ではなく、
１　　（２）Ｐ＆～Ｑ　Ａ
であるならば、
　２　（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
　２　（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義
　　５（５）　　　Ｑ　Ａ
　　５（６）～Ｐ∨Ｑ　５∨Ｉ
　　５（７）　Ｐ→Ｑ　６含意の定義
１　　（８）　Ｐ→Ｑ　１２４５７∨Ｅ
といふことには、「ならない」。
従って、
（36）により、
（37）
① 　Ｐ＆　Ｑ├ 　　Ｐ→Ｑ
② 　Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├　　 Ｐ→Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├　　 Ｐ→Ｑ
然るに、
（38）
１（１）　～（Ｐ→Ｑ）　Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｑ）　１含意の定義
１（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　２ド・モルガンの法則
然るに、
（39）
① Ｐ＆～Ｐ
② Ｐ＆～Ｑ
に於いて、言ふまでもなく、
① は「矛盾」であるが、
② は「矛盾」ではない。
従って、
（38）（39）により、
（40）
（ⅰ）
１（１）　～（Ｐ→Ｐ）　Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｐ）　１含意の定義
１（３）　　Ｐ＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則
　（４）～～（Ｐ→Ｐ）　１３ＲＡＡ
　（５）　　　Ｐ→Ｐ　　４ＤＮ
に対して、
（ⅱ）
１（１）　～（Ｐ→Ｑ）　Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｑ）　１含意の定義
１（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　２ド・モルガンの法則
　（４）～～（Ｐ→Ｑ）　１３ＲＡＡ
　（５）　　　Ｐ→Ｑ　　４ＤＮ
ではない。
従って、
（33）～（40）により、
（41）
例へば、
① Ｐ→Ｐ（Ｐであるならば、Ｐである）。
② Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は、「恒真式（トートロジー）」ではない。