―「文字数制限」をオバーするため、（01）～（14）を「省略」します。―
（15）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｒ∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｑ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｒ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｒ∨Ｑ ２３４５７∨Ｅ
という「計算」に於ける、
① Ｐ→Ｑ
② Ｒ∨Ｐ
③ Ｒ∨Ｑ
という「論理式」に於いて、
① は「仮定」により「真」であり、
② も「仮定」により「真」であり、
③ は『規則』により「真」である。
従って、
（15）により、
（16）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｒ∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｑ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｒ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｒ∨Ｑ ２３４５７∨Ｅ
１ （９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ２８ＣＰ
（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １９ＣＰ
という「計算」は「妥当」であり、それ故、
① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
然るに、
（16）により、
（17）
③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に於ける、
③ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「論式」は、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」であって、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は、「恒真式（トートロジー）である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という風に、
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（19）
１（１） ～（（ Ｐ→Ｑ）→ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） Ａ
１（２） ～（（～Ｐ∨Ｑ）→ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） １含意の定義
１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） ２含意の定義
１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））） ３含意の定義
１（５） （～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ４ド・モルガンの法則
１（６） （～Ｐ∨Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ５＆Ｅ
１（８） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１（９） Ｒ∨Ｐ ８＆Ｅ
１（ア） ～（Ｒ∨Ｑ） ８＆Ｅ
１（イ） ～Ｒ＆～Ｑ ア、ド・モルガンの法則
１（ウ） ～Ｒ イ＆Ｅ
１（エ） ～Ｑ イ＆Ｅ
１（オ） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１（カ） ～Ｐ エオＭＴＴ
１（キ） ～Ｒ＆～Ｐ ウカ＆Ｉ
１（ク） ～（Ｒ∨Ｐ） キ、ド・モルガンの法則
１（ケ） ～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ） ９ク＆Ｉ
従って、
（18）（19）により、
（20）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（21）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅲ）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅳ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ７∨Ｉ
１ （９）（ Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １含意の定義
（ⅴ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅵ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅶ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅷ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
３（３） ～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） Ａ
３（４） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ３含意の定義
３（５） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ４ド・モルガンの法則
３（６） Ｒ∨Ｐ ５＆Ｅ
３（７） ～（Ｒ∨Ｑ） ５＆Ｅ
３（８） ～Ｒ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３（９） ～Ｒ ８＆Ｅ
１３（ア） ～Ｒ＆～Ｐ ２９＆Ｉ
１３（イ） ～（Ｒ∨Ｐ） ア、ド・モルガンの法則
１３（ウ） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｐ） ６イ＆Ｉ
１ （エ） ～～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ３ウＲＡＡ
１ （オ） （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ＤＮ
１ （カ）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） オ∨Ｉ
１ （キ） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） カ含意の定義
従って、
（21）により、
（22）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
然るに、
（23）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ２含意の定義
１ （４）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ３含意の定義
５ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
５ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
５ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ６∨Ｉ
８ （８） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～（Ｒ∨Ｐ） Ａ
９ （ア） （～Ｒ＆～Ｐ） ９ド・モルガンの法則
９ （イ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ア∨Ｉ
ウ（ウ） （Ｒ∨Ｑ） Ａ
ウ（エ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ウ∨Ｉ
８ （オ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ８９イウエ∨Ｅ
８ （カ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） オ∨Ｉ
１ （キ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） １５７８カ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ４∨Ｉ
６ （６） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
７ （７） （～Ｒ＆～Ｐ） Ａ
７ （８） ～（Ｒ∨Ｐ） ７ド・モルガンの法則
７ （９） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） （Ｒ∨Ｑ） Ａ
ア（イ） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ア∨Ｉ
６ （ウ） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ６７９アイ∨Ｅ
６ （エ） （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ウ含意の定義
６ （オ） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） エ∨Ｉ
１ （カ） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １２５６オ∨Ｅ
１ （キ） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） カ含意の定義
従って、
（23）により、
（24）
①（Ｐ→ Ｑ）→（（Ｒ∨ Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（25）
（Ｒ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、４つとも、「妥当」である。
（26）
（Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、２つとも、「妥当」である。
（27）
（Ｐ＆～Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequent）」は、「妥当」である。
（28）
（～Ｒ＆～Ｐ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（24）～（29）により、
（29）
いずれにせよ、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（22）（24）（29）により、
（30）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（18）（20）（30）により、
（31）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（14）（31）により、
（32）
例えば、「同一律」と「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（32）により、
（33）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」が「妥当」であるからこそ、
「同一律」は、「恒に真」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」も、「恒に真」である。
然るに、
（34）
例えば、
～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｉ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） １含意の定義
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１３ （６）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ５６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ８ （イ）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
１ オ（ク）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
１ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （サ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ケコ＆Ｉ
従って、
（34）により、
（35）
① ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ
② ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（35）により、
（36）
例えば、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
という「連式（Sequent）」が「妥当」であるため、
⑥ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
という「論理式」の「否定」である所の、
⑥ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「論理式」に関しては、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「連式」の場合は、
（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒に真」である。
ということには「ならない」。
従って、
（33）（36）により、
（37）
⑥ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
然るに、
（38）
〈練習問題２〉
仮定がすべて真になり、結論が偽になるような、変数への付値を見出すことによって、つぎの論証のパターンが不妥当（非トートロジー的）であることを示せ。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）
〔私による、解答〕
（ａ）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｒ
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ 真→偽
③ 真＆Ｑ→偽├ 真→偽
④ 真＆偽→偽├ 真→偽
⑤ 偽 →偽├ 偽
⑥ 真 ├ 偽
（ｂ）
① Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ 真→偽
③ 真→偽∨Ｒ├ 真→偽
④ 真→偽∨真├ 真→偽
⑤ 真→ 真 ├ 偽
⑥ 真 ├ 偽
（ｃ）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ Ｑ→Ｒ
② Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ 真→偽
③ Ｐ→真，Ｐ→偽├ 真→偽
④ 偽→真，偽→偽├ 真→偽
⑤ 真 ， 真 ├ 偽
（ｄ）
① Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ 真→偽
③ 真→Ｒ，偽→Ｒ├ 真→偽
④ 真→真，偽→真├ 真→偽
⑤ 真 ， 真 ├ 偽
（ｅ）
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ Ｐ
② Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽
③ 偽→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽
④ 偽→（真→偽），真，～偽├ 偽
⑤ 偽→偽 ，真，真 ├ 偽
⑥ 真 ，真，真 ├ 偽
（ｆ）
① Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ Ｐ⇔Ｓ
② Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ 真⇔偽
③ 真⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～偽├ 真⇔偽
④ 真⇔～偽，偽⇔～真，真⇔～偽├ 真⇔偽
⑤ 真⇔真 ，偽⇔真 ，真⇔真 ├ 真⇔偽
従って、
従って、
（33）（37）（38）により、
（39）
（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）は、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
であるか、または、「そうではない」。
然るに、
（40）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） １８ＣＰ
であるものの（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））は、「岩波書店、現代論理学入門（1962年）」によると、「ルカジェヴィッツの公理（２）」である。
従って、
（39）（40）により、
（41）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
であるに、「違いない」。
然るに、
（42）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、「４つまとめて」、
１（１） Ｒ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｒ ２含意の定義
１（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ４含意の定義
１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ６∨Ｉ
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（43）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、「２つまとめて」、
１（１） ～Ｐ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｒ ２含意の定義
１（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ４含意の定義
１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ６∨Ｉ
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（44）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→（Ｑ→ Ｒ） Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ→ Ｒ ２３ＭＰＰ
１ （５） Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７） ～Ｒ １＆Ｅ
１２（８） Ｒ＆～Ｒ ６７＆Ｉ
１ （９）～（Ｐ→（Ｑ→ Ｒ）） ２８ＲＡＡ
１ （ア）～（Ｐ→（Ｑ→ Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ→（Ｑ→ Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ア含意の定義
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（45）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ８含意の定義
１ （ア）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ア含意の定義
従って、
（41）～（45）により、
（46）
果たして、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式（Sequents）」は「妥当」である。
従って、
（32）（33）（46）により、
（47）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「（４つとも）妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるからこそ、
「同一律（Law of identity）」は「恒真式（トートロジー）」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は「恒真式（トートロジー）」であって、
「ルカジェヴィッツの公理（２）」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（48）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
従って、
（47）（48）により、
（49）
（１） Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２） Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆ Ｑ ３４＆Ｉ
３４ （６） Ｑ ５＆Ｅ
３４ （７） ～Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
３４ （８） Ｐ→Ｑ ７含意の定義
３４ （９）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ８∨Ｉ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
３ ア （イ） Ｐ＆～Ｑ ３ア＆Ｉ
ウ （ウ） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ ア （エ） Ｐ イ＆Ｅ
３ アウ （オ） Ｑ ウエＭＰＰ
３ ア （カ） ～Ｑ イ＆Ｅ
３ アウ （キ） Ｑ＆～Ｑ オカ＆Ｉ
３ ア （ク）～（Ｐ→Ｑ） ウキＲＡＡ
３ ア （ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ク∨Ｉ
３ （コ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ２４９アケ∨Ｅ
サ （サ） ～Ｐ Ａ
４ サ （シ） ～Ｐ＆ Ｑ ４サ＆Ｉ
４ サ （ス） ～Ｐ シ＆Ｅ
４ サ （セ） ～Ｐ∨Ｑ ス∨Ｉ
４ サ （ソ） Ｐ→Ｑ セ含意の定義
４ サ （タ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ソ∨Ｉ
ア サ （ツ） ～Ｐ＆～Ｑ アサ＆Ｉ
ア サ （テ） ～Ｐ ツ＆Ｅ
ア サ （ト） ～Ｐ∨Ｑ テ∨Ｉ
ア サ （ナ） Ｐ→Ｑ ト含意の定義
ア サ （ニ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ナ∨Ｉ
サ （ヌ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ２４タアニ∨Ｅ
（ネ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） １３コサヌ∨Ｅ
（ノ） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ネ含意の定義
従って、
（49）により、
（50）
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３）Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５ （５）Ｑ Ａ
６（６） ～Ｑ Ａ
３ ５ （７）（任意の恒真式） ３５ＳＩ（ⅰ）
３ ６（８）（任意の恒真式） ３６ＳＩ（ⅱ）
４５ （９）（任意の恒真式） ３７ＳＩ（ⅲ）
４ ６（ア）（任意の恒真式） ３８ＳＩ（ⅳ）
５ （イ）（任意の恒真式） １３７４９∨Ｅ
６（ウ）（任意の恒真式） １３８４ア∨Ｅ
（エ）（任意の恒真式） ２５イ６ウ∨Ｅ
という「計算」により、例えば、
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式」は、
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（47）～（50）により、
（51）
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
（３）Ｒ∨～Ｒ ＴＩ（排中律）
によって、例えば、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式」は、
①├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（51）により、
（52）
（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）に対して、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるならば、
①├（任意の論理式Ａ）
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（16）（40）（52）により、
（53）
①├（任意の論理式Ａ）
という「連式（Sequents）」が、
②├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式」であるならば、これらの「連式」は、
② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
③ Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｒ
という「連式」に「書き換える」ことが出来るものの、「これらの連式」は、「妥当」である。
従って、
（51）（52）（53）により、
（54）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
の中の、「一つの例（instance）」として、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「連式（Sequents）」が「妥当」であるが故に、
② ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
という「連式（ヒルベルト・アッカーマンの公理４）」が「妥当」となる。