（01）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
（01）により、
（02）
① Ａが真で、Ｂも真、なので、Ｃは真である。
② Ａが真、なので、Ｂが真ならば、Ｃは真である。
③ なので、Ａが真ならば（Ｂが真ならば、Ｃは真である）。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
であれば、
① 真，真├ 真
② 真├ 真→真
③ ├ 真→（真→真）
である。
然るに、
（04）
③ ├ 真→（真→真）
であれば、
③ 真→（真→真）
である。
然るに、
（05）
「真理表（Truth table）」により、
① 真→（真→真）
② 真→（真）
③ 真
に於いて、
① ならば、② であって、
② ならば、③ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
であるならば、
④ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
は「真」である。
然るに、
（07）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｐ→Ｑ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ ２３ＣＰ
（５） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １４ＣＰ
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ
② Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
③ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
であるため、
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
は「真」である。
然るに、
（09）
「番号」を付け直すとして、
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
② は、① の「否定」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１（１） Ｐ→（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） ２含意の定義
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４） Ｐ→（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ３含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
と いふ「論理式」は、
① ～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）
と いふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、すなはち、
① ～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１（１）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ）｝ Ａ
１（２） Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３） Ｐ ２＆Ｅ
１（４） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ２＆Ｅ
１（５） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１（６） （～Ｐ∨Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１（８） Ｑ ３７ＭＰＰ
１（９） ～Ｑ ５＆Ｅ
１（ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
１（イ） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ） ３ア＆Ｉ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） （Ｑ＆～Ｑ） １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｑ ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
１（７） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ ５６＆Ｉ
１（８） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１（９） Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
１（ア）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ）｝ ９ド・モルガンの法則
従って、
（14）により、
（15）
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（矛盾）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（偽）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ 偽
に於いて、すなはち、
②＝③ である。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的 に、「偽」である。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ５含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ２ＲＡＡ
１ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ８含意の定義
１ （ア）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ９∨Ｉ
１ （イ） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ア含意の定義
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ５含意の定義
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ３含意の定義
従って、
（17）により、
（18）
① Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
といふ「連式」は、４つとも「正しい」。
従って、
（18）により、
（19）
① Ｐが真で、Ｑが真である、としても、
② Ｐが真で、Ｑが偽である、としても、
③ Ｐが偽で、Ｑが真である、としても、
④ Ｐが偽で、Ｑが偽である、としても、
いづれにしても、
① Ｐならば（（ＰならばＱである）ならばＱである）。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
従って、
（08）（16）（19）により、
（20）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ
② Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
③ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
であるため、
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
は「真」である。
といふことは、
④ の「否定」は「偽」であり、
④ は「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことに、「他ならない」。