（1320）「恒真式（トートロジー」ではない「式」の作り方。

（01）
１（１）　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅱ）
１（１）　　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　Ｑ　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅲ
１（１）　　　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅳ
１　（１）　　　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１　（２）　　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ
　２（３）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ
　２（４）　　　　　　Ｑ　　　　３＆Ｅ
１２（５）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２５ＲＡＡ
１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ　　　６∨Ｉ
１　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　７∨Ｉ
１　（９）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　８含意の定義
（ⅴ
１（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅵ
１（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　Ｑ　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅶ
１（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅷ
１　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１　（２）　　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ
　２（３）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ
　２（４）　　　　　　Ｑ　　　　３＆Ｅ
１２（５）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２５ＲＡＡ
１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ　　　６∨Ｉ
１　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　７∨Ｉ
１　（９）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　８含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
① 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ 　（～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）に、「等しい」。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨　～Ｑ∨Ｒ　　Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　１結合法則
１（３）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）　２含意の定義
（〃）
１（１）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）　Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　１含意の定義
１（３）～Ｐ∨　～Ｑ∨Ｒ　　２結合法則
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ 　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）に、「等しく」、
⑥ 　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）は、「含意の定義」により、
⑥ 　　～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）に、「等しい」。
従って、
（07）により、
（08）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、
⑥ を「否定」すると、
⑥ 　　～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
であるため、「否定」をする前の、
⑥ 自体は、 「二重否定」により、
⑥ ～（～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
でなければ、ならない。
従って、
（02）（08）により、
（09）
この場合は、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
のやうに、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風には、ならずに、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風に、なるに「違ひない」。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１（１）　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～～Ｐ　　　　　　　２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　４∨Ｉ
１（６）　～Ｐ→Ｑ∨Ｒ　　　５∨Ｉ
（ⅲ）
１（１）　　　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅳ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～～Ｐ　　　　　　　２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　４∨Ｉ
１（６）　～Ｐ→Ｑ∨Ｒ　　　５∨Ｉ
（ⅴ）
１（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅵ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
１２　　（４）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　２３ＭＰＰ
　　５　（５）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
１　　　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　１＆Ｅ
１　５　（７）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　５６＆Ｉ
　　５　（８）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　１７ＲＡＡ
　　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　Ａ
１　　　（ア）　　　　　　　　～Ｒ　　１＆Ｅ
１　　９（イ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　９ア＆Ｉ
　　　９（ウ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　１イＲＡＡ
１２　　（エ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　４５８９ウ∨Ｅ
１２　　（オ）　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　２オＲＡＡ
（ⅶ）
１（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　　　２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　３∨Ｉ
１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　　　４含意の定義
（ⅷ）
１（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１（２）　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　　２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　３∨Ｉ
１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　　４含意の定義
従って、
（09）（10）により、
（11）
果たして、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である。
然るに、
（12）
（ⅵ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２　　（４）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　２３ＭＰＰ
　　５　（５）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　５　（７）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　６７＆Ｉ
　　５　（８）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１７ＲＡＡ
　　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
１　　　（ア）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　９（イ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　９ア＆Ｉ
　　　９（ウ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１イＲＡＡ
１２　　（エ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｉ
１２　　（オ）　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　２オＲＡＡ
（〃）
１　　　（１）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
１　　　（２）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　１含意の定義
　３　　（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　３　　（４）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　３　　（５）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　４∨Ｉ
１３　　（６）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　
　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２５＆Ｉ
１　　　（７）　　～Ｐ　　　　　　　　　５６ＲＡＡ
　　８　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　８　（９）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　８∨Ｉ
　　８　（ア）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ
１　８　（イ）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　
　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２ア＆Ｉ
１　　　（ウ）　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　（エ）　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　オ（カ）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　オ（キ）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　∨Ｉ
１　　オ（ク）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　
　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２キ＆Ｉ
１　　　（ケ）　　　　　　　　～Ｒ　　　オクＲＡＡ
１　　　（コ）　　～Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　（サ）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　ケコ＆Ｉ
従って、
（12）により、
（13）
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ 　├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
であるだけではなく、
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
である。
従って、
（11）（13）により、
（14）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である一方で、
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
であるため、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」、
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
⑥ 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことには、ならない。
従って、
（03）（14）により、
（15）
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
⑥ は、「恒真式（トートロジー）」ではない。