(01)
(ⅰ)
1(1)P A
(2)P→P 11CP
(ⅱ)
1 (1) (P→Q)→P A
1 (2) ~(P→Q)∨P 1含意の定義
1 (3)~(~P∨Q)∨P 1含意の定義
4 (4)~(~P∨Q) A
4 (5) P&~Q 4ド・モルガンの法則
4 (6) P 5&E
7(7) P A
1 (8) P 34677∨E
(9)((P→Q)→P)→P 18CP
(ⅲ)
1 (1) P→Q A
2 (2) R∨P A
3 (3) R A
3 (4) R∨Q 3∨I
5(5) P A
1 5(6) Q 15MPP
1 5(7) R∨Q 6∨I
12 (8) R∨Q 23457∨E
1 (9)(R∨P)→(R∨Q) 28CP
(ア)(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 19CP
従って、
(01)により、
(02)
①├ P→P
②├((P→Q)→P)→P
③├ (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
従って、
(02)により、
(03)
① 同一律。
② パースの法則。
④ ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)。
に於いて、
① は「恒真式(トートロジー)」であって、
② も「恒真式(トートロジー)」であって、
③ も「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1(1) ~(P→P) A
1(2)~(~P∨P) 1含意の定義
1(3) P&~P 2ド・モルガンの法則
(ⅱ)
1 (1) ~(((P→Q)→P)→ P) A
1 (2) ~(((~P∨Q)→P)→ P) 1含意の定義
1 (3) ~((~(~P∨Q)∨P)→ P) 2含意の定義
1 (4)~(~(~(~P∨Q)∨P)∨ P) 3含意の定義
1 (5) (~(~P∨Q)∨P)&~P 4ド・モルガンの法則
1 (6) ((P&~Q)∨P)&~P 5ド・モルガンの法則
1 (7) (P&~Q)∨P 6&E
8 (8) P&~Q A
8 (9) P 8&E
ア(ア) P A
1 (イ) P 789アア∨E
1 (ウ) ~P 6&E
1 (エ) P&~P イウ&I
(ⅲ)
1(1)~( ( P→Q)→ ( (R∨P)→(R∨Q))) A
1(2)~( (~P∨Q)→ ( (R∨P)→(R∨Q))) 1含意の定義
1(3)~(~(~P∨Q)∨ ( (R∨P)→(R∨Q))) 2含意の定義
1(4)~(~(~P∨Q)∨ (~(R∨P)∨(R∨Q))) 3含意の定義
1(5) (~P∨Q)&~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 4含意の定義
1(6) (~P∨Q) 5&E
1(7) ~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 5&E
1(8) (R∨P)&~(R∨Q) 7ド・モルガンの法則
1(9) R∨P 8&E
1(ア) ~(R∨Q) 8&E
1(イ) ~R&~Q ア、ド・モルガンの法則
1(ウ) ~R イ&E
1(エ) ~Q イ&E
1(オ) P→Q 6含意の定義
1(カ) ~P エオMTT
1(キ) ~R&~P ウカ&I
1(ク) ~(R∨P) キ、ド・モルガンの法則
1(ケ) ~(R∨P)&(R∨P) 9ク&I
従って、
(03)(04)により、
(05)
① 同一律。
② パースの法則。
④ ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)。
に於いて、
① の「否定」は「矛盾」であり、
② の「否定」も「矛盾」であり、
③ の「否定」も「矛盾」である。
然るに、
(06)
1(1)~(~P→~Q∨R) A
1(2)~( P∨~Q∨R) 1含意の定義
1(3) ~P&Q&~R 2ド・モルガンの法則
従って、
(06)により、
(07)
例へば、
④ ~P→~Q∨R
の「否定」は、「矛盾」ではない。
然るに、
(08)
~(~P→~Q∨R) ┤├ ~P&Q&~R
(ⅳ)
1 (1)~(~P→~Q∨ R) A
1 (2)~( P∨~Q∨ R) 1含意の定義
3 (3) P A
3 (4) P∨~Q 3∨I
3 (5) P∨~Q∨ R 4∨I
13 (6)~( P∨~Q∨ R)&
( P∨~Q∨ R) 25&I
1 (7) ~P 56RAA
8 (8) ~Q A
8 (9) P∨~Q 8∨I
8 (ア) P∨~Q∨ R 9∨I
1 8 (イ)~( P∨~Q∨ R)&
( P∨~Q∨ R) 2ア&I
1 (ウ) ~~Q 8RAA
1 (エ) Q ウDN
オ(オ) R A
オ(カ) ~Q∨ R オ∨I
オ(キ) P∨~Q∨ R ∨I
1 オ(ク)~( P∨~Q∨ R)&
( P∨~Q∨ R) 2キ&I
1 (ケ) ~R オクRAA
1 (コ) ~P& Q 7エ&I
1 (サ) ~P& Q&~R ケコ&I
(ⅴ)
1 (1) ~P& Q&~R A
2 (2) ~P→~Q∨ R A
1 (3) ~P 1&E
12 (4) ~Q∨ R 23MPP
5 (5) ~Q A
1 (6) Q 1&E
1 5 (7) ~Q&Q 67&I
5 (8)~(~P& Q&~R) 17RAA
9(9) R A
1 (ア) ~R 1&E
1 9(イ) R&~R 9ア&I
9(ウ)~(~P& Q&~R) 1イRAA
12 (エ)~(~P& Q&~R) 4589ウ∨I
12 (オ) (~P& Q&~R)&
~(~P& Q&~R) 1エ&I
1 (カ)~(~P→~Q∨ R) 2オRAA
従って、
(08)により、
(09)
④ ~(~P→~Q∨R)
⑤ ~P&Q&~R
に於いて、
④=⑤ である。
従って、
(09)により、
(10)
⑤ P(偽),Q(真),R(偽)
であるときに限って、
④ ~P→~Q∨R
といふ「論理式」は、「偽」になる。
従って、
(10)により、
(11)
④ ~P→~Q∨R
といふ「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」ではない。
従って、
(01)~(11)により、
(12)
① P→P
②((P→Q)→P)→P
③ (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④ ~P→~Q∨R
に於いて、
④ だけが、「恒真式(トートロジー)」ではなく、
① ~(P→P)
② ~(((P→Q)→P)→P)
③ ~((P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)))
④ ~(~P→~Q∨R)
に於いて、
④ だけが、「矛盾」ではない。
従って、
(12)により、
(13)
(a)「恒真式(トートロジー)」とは、
(b)「否定」をすると、「矛盾」になる所の「論理式」である。
に、「違ひない」
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