―「昨日(令和6年2月17日)」の「続き」を書きます。―
然るに、
(27)
(ⅰ)
1 (1)(~P∨P)&Q A
1 (2) ~P∨P 1&E
1 (3) Q 1&E
4 (4) ~P A
14 (5) ~P&Q 34&I
14 (6)(~P&Q)∨(P&Q) 5∨I
7(7) P A
7(8) P&Q 37&I
1 7(9)(~P&Q)∨(P&Q) 8∨I
1 (ア)(~P&Q)∨(P&Q) 24679∨E
(ⅱ)
1 (1)(~P&Q)∨(P&Q) A
2 (2) ~P&Q A
2 (3) ~P 2&E
2 (4) Q 2&E
2 (5) ~P∨P 3∨I
2 (6)(~P∨P)&Q 45&I
7(7) P&Q A
7(8) P 7&E
7(9) Q 7&E
7(ア) ~P∨P 8∨I
7(イ) (~P∨P)&Q 9ア&I
1 (ウ)(~P∨P)&Q 1267イ∨E
従って、
(27)により、
(28)
①(~P∨P)&Q
②(~P&Q)∨(P&Q)
に於いて、
①=② である(分配法則)。
然るに、
(29)
①(~P∨P)&Q
②(~P&Q)∨(P&Q)
が「真」であるならば、
① Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
② Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
然るに、
(30)
① Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
② Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
といふことは、要するに、
① Qである。
② Qである。
といふことに、「他ならない」。
従って、
(29)(30)により、
(31)
①(~P∨P)&Q
②(~P&Q)∨(P&Q)
といふ「論理式」は、
① Q
② Q
といふ「命題変数」に「等しい」が、言ふまでもなく、
① Q
② Q
といふ「命題変数」は「恒真式(トートロジー)」ではない。
従って、
(18)(31)により、
(32)
①(~P∨P)∨Q
②(~P∨P)&Q
に於いて、
① は「恒真式(トートロジー)」であるが、
② は「恒真式(トートロジー)」ではない。