（1316）「恒真式（トートロジー）」の「研究」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｐ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｐ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｐ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｐ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｐ＆～Ｐ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｐ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｐ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）　～（Ｐ＆～Ｐ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　２８＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～Ｐ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　～（Ｐ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
①　 ～Ｐ∨　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　　（１）　～（Ｐ＆～Ｐ）　　Ａ
　２　（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｐ　　　Ａ
　２３（４）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）　～（Ｐ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　１５＆Ｉ
１２　（６）　　　　Ｐ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　　Ｐ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　（Ｐ→　Ｐ）　　２７ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　　（Ｐ→　Ｐ）　Ａ
　２　（２）　　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　２　（３）　　　Ｐ　　　　　Ａ
１２　（４）　　　　　　Ｐ　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　　～Ｐ　　２＆Ｅ
１２　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　４５＆Ｉ
１　　（７）　～（Ｐ＆～Ｐ）　２６ＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③　　 Ｐ→　Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
①　 （～Ｐ∨Ｐ）は「排中律」。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」。
③ 　（Ｐ→　Ｐ）は「同一律」。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）　　　Ｐ　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ　１∨Ｉ
（ⅱ）
１（１）～Ｐ　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ　１∨Ｉ
従って、
（06）により、
（07）
① 　Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
①　 （～Ｐ∨Ｐ）は「排中律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③ 　（Ｐ→　Ｐ）は「同一律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１（１）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　３∨Ｉ
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　３∨Ｉ
（ⅲ）
１（１）　～Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
１（２）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　３∨Ｉ
（ⅳ）
１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
１（２）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　３∨Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
① 　Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
② 　Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
①　 （～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③ 　（Ｐ→　Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　　Ａ
１（２）　～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　１結合法則
１（３）　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　２含意の定義
（ⅳ）
１（１）　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　Ａ
１（２）　～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　１含意の定義
１（３）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　　２結合法則
従って、
（12）により、
（13）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
②　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
（ⅲ）
１（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　Ａ
１（２）　～Ｐ∨Ｐ　∨～Ｑ　１結合法則
１（３）　～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｐ　２交換法則
１（４）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ　３結合法則
１（５）～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ　４ド・モルガンの法則
１（６）　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ　５含意の定義
（ⅳ）
１（１）　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ　Ａ
１（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ　１含意の定義
１（３）　～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｐ　２ド・モルガンの法則
１（４）　～Ｐ∨Ｐ　∨～Ｑ　３交換法則
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　結合法則
従って、
（14）により、
（15）
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
④　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１（１）　　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　３∨Ｉ
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　３∨Ｉ
（ⅲ）
１（１）　～Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ
１（２）　～Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　３∨Ｉ
（ⅳ）
１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　Ａ
１（２）　～Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　３∨Ｉ
従って、
（16）により、
（17）
① 　Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
② 　Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
従って、
（10）（11）（13）（15）（17）により、
（18）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨　Ｑ　は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② 　 Ｐ→（Ｐ∨　Ｑ）は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
④　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ　は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
といふ「意味」では、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（18）により、
（19）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨　Ｑ
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
① は、「　Ｑ」であるが、
③ は、「～Ｑ」であるため、
①＝③ ではない。
従って、
（13）（15）（19）により、
（20）
②「選言導入（∨Ｉ）」である所の、　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」であって、
④「連言除去（＆Ｅ）」である所の、（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　も、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」であるものの、
②＝④ ではない。
然るに、
（21）
（ⅰ）
１（１）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
１（４）　～Ｐ∨Ｐ　　　　３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」である。
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
１（４）　～Ｐ∨Ｐ　　　　３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」ではない。
（ⅲ）
１（１）　～Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
１（２）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
１（４）　～Ｐ∨Ｐ　　　　３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」である。
（ⅳ）
１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
１（２）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
１（４）　～Ｐ∨Ｐ　　　　３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」ではない。
従って、
（21）により、
（22）
① 　Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
② 　Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
に於いて、
①と③ は「妥当」であるが、
②と④ は「妥当」ではなく、それ故、
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ は、「恒に真（トートロジー）」ではない。
従って、
（18）（22）により、
（23）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ は、「恒に、真（トートロジー）」であるが、
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ は、「恒には真（トートロジー）」ではない。
従って、
（23）により、
（24）
「結合法則・含意の定義」として、
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）。
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）。
であるものの、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
従って、
（24）により、
（25）
① Ｐであるならば（Ｐであるか、または、Ｑである）。
② Ｐであるならば（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）。
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
（26）
仮に、
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）。
であるならば、すなはち、
② Ｐであるならば（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）。
とするならば、
②「任意の命題」が「真」であるならば、「全ての命題」は「真」である。
といふことになるものの、
②「そのやうなこと」は、「有っては、ならない」。