（1310）「排中律」を使って「恒真式（トートロジー）」を証明する。

（01）
① Ｐ∨～Ｐ　（Ｐであるか、または、Ｑである）。
② Ｐ＆Ｑ→Ｐ（ＰであってＱであるならば、Ｐである）。
に於いて、すなはち、
①「排中律」。
②「連言除去」。
に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　（１）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ
　２（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２（３）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１３＆Ｉ
１　（５）　　～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　５∨Ｉ
１　（７）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１６＆Ｉ
　　（８）～～（Ｐ∨～Ｐ）　　１７ＲＡＡ
　　（９）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　８ＤＮ
（ⅱ）
１（１）　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
１（２）　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　１２ＣＰ
（〃）
１（１）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　１含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　～Ｐ　　３＆Ｅ
１（７）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　５６＆Ｉ
　（８）～～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　１７ＲＡＡ
　（９）　　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ　　８ＤＮ
従って、
（02）により、
（03）
①├  Ｐ∨～Ｐ　　（Ｐであるか、または、Ｑである）。
②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ（ＰであってＱであるならば、Ｐである）。
といふ「連式（Sequents）」は、２つとも「妥当（Valid）」である。
然るに、
（04）
③ Ａ├ Ｂ
に於いて、
③ Ａ は、「連式の仮定」であって、
③ Ｂ は、「連式の結論」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
①├ Ｐ∨～Ｐ
②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「連式」に於いては、
① 　Ｐ∨～Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「連式の結論」だけが有って、「連式の仮定」は「無い」。
従って、
（01）（05）により、
（06）
（ａ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ｂ）「仮定の数が０個」であると所の、
（ｃ）「連式の結論」である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　２∨Ｉ
１（４）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　３含意の定義
（ⅲ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　２∨Ｉ
１（４）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　３含意の定義
（ⅳ）
１　（１）　～Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
１　（３）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　２（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　２５ＲＡＡ
１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　６∨Ｉ
１　（８）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　７含意の定義
（ⅴ）
１　（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
１　（３）　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
　２（４）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２（５）　　～Ｑ＆Ｑ　　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　２５ＲＡＡ
１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　６∨Ｉ
１　（８）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　７含意の定義
従って、
（07）により、
（08）
③ 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「４つの連式」は、すべて「妥当」であって、
尚且つ「４つの連式」の「仮定の個数」は、すべて「２個」である。
従って、
（05）（06）（08）により、
（09）
（ａ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ｂ）「仮定の数が０個」である所の、
（ｃ）「連式の結論」である。
とするならば、その場合は、
②　　　　　 ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に於ける、
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
③（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
といふことになって、『矛盾』する。
然るに、
（10）
　　　　　　　　（１）Ｐ∨～Ｐ　　　　　ＴＩ（排中律）
　　　　　　　　（２）Ｑ∨～Ｑ　　　　　ＴＩ（排中律）
３　　　　　　　（３）Ｐ　　　　　　　　Ａ
　４　　　　　　（４）Ｑ　　　　　　　　Ａ
３４　　　　　　（５）Ｐ＆Ｑ　　　　　　３４＆Ｉ
３４　　　　　　（６）Ｐ　　　　　　　　５＆Ｅ
３４　　　　　　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　５∨Ｉ
３４　　　　　　（８）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　７含意の定義
　　９　　　　　（９）　　～Ｑ　　　　　Ａ
３　９　　　　　（ア）Ｐ＆～Ｑ　　　　　３９＆Ｉ
３　９　　　　　（イ）Ｐ　　　　　　　　ア＆Ｅ
３　９　　　　　（ウ）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　イ∨Ｉ
３　９　　　　　（エ）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　ウ含意の定義
３　　　　　　　（オ）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　２４８９エ∨Ｅ
　　　カ　　　　（カ）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　　　キ　　　（キ）Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　　カキ　　　（ク）　～Ｐ＆Ｑ　　　　カキ＆Ｉ
　　　　　ケ　　（ケ）　　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
　　　カキ　　　（コ）　～Ｐ　　　　　　ク＆Ｅ
　　　　　ケ　　（ケ）　　Ｐ　　　　　　ケ＆Ｅ
　　　カキケ　　（サ）　～Ｐ＆Ｐ　　　　コサ＆Ｉ
　　　カキ　　　（シ）～（Ｐ＆Ｑ）　　　ケサＲＡＡ
　　　カキ　　　（ス）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　シ∨Ｉ
　　　カキ　　　（セ）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　ス含意の定義
　　　　　　ソ　（ソ）　　　～Ｑ　　　　Ａ
　　　カ　　ソ　（タ）～Ｐ＆～Ｑ　　　　カソ＆Ｉ
　　　　　　　チ（チ）　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ
　　　カ　　ソ　（ツ）　　　～Ｑ　　　　タ＆Ｅ
　　　　 　　 チ（テ）　　　　Ｑ　　　　チ＆Ｅ
　 　 カ　　ソチ（ト）　～Ｑ＆Ｑ　　　　ツテ＆Ｉ
　　　カ　　ソ　（ナ）～（Ｐ＆Ｑ）　　　チトＲＡＡ
　　　カ　　ソ　（ニ）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　ナ∨Ｉ
　　　カ　　ソ　（ヌ）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　ニ含意の定義
　　　カ　　　　（ネ）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　２キセソヌ∨Ｅ
　　　　　　　　（ノ）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　１３オカネ∨Ｅ
従って、
（09）（10）により、
（11）
①├ Ｐ∨～Ｐ（排中律）
②├ Ｑ∨～Ｑ（排中律）
といふ「恒真式（トートロジー）」によって、
③ 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「４つの連式」は、「４つとも」、
③├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「恒真式（トートロジー）」に「置き換へ」ることが出来る。
然るに、
（12）
③ 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「４つの連式」が、「４つとも妥当」であるといふことは、「（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ」といふ「論理式」は、「真理値表」で「真理値」を「確認」した際に、
（ⅰ）Ｐ（真）＆ Ｑ（真）
（ⅱ）Ｐ（真）＆ Ｑ（偽）
（ⅲ）Ｐ（偽）＆ Ｑ（真）
（ⅳ）Ｐ（偽）＆ Ｑ（偽）
といふ「４つのパターン」で「すべて真」になるといふことであり、
（ⅰ）Ｐ（真）＆ Ｑ（真）
（ⅱ）Ｐ（真）＆ Ｑ（偽）
（ⅲ）Ｐ（偽）＆ Ｑ（真）
（ⅳ）Ｐ（偽）＆ Ｑ（偽）
といふ「４つのパターン」で「すべて真」になるのであれば、「恒真（トートロジー）」である。
ｃｆ.
真理値表（しんりちひょう、Truth table）は、論理関数（真理関数）の、入力の全てのパターンとそれに対する結果の値を、表にしたものである（ウィキペディア）。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
「番号」を付け替へるとして、
① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②　 Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
ではなくて、
① 　Ｐ＆　Ｑ├（任意の式Ａ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├（任意の式Ａ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（任意の式Ａ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（任意の式Ａ）
であったとしても、
① 　Ｐ＆　Ｑ├（任意の式Ａ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├（任意の式Ａ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（任意の式Ａ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（任意の式Ａ）
といふ「連式」が「妥当」であるならば、すなはち、「任意の式Ａ」が、「恒真（トートロジー）」であるならば、そのとき限って、
　　　　（１）Ｐ∨～Ｐ　　　　ＴＩ（排中律）
　　　　（２）Ｑ∨～Ｑ　　　　ＴＩ（排中律）
３　　　（３）Ｐ　　　　　　　Ａ
　４　　（４）　　～Ｐ　　　　Ａ
　　５　（５）Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　６（６）　　～Ｑ　　　　Ａ
３　５　（７）（任意の式Ａ）　３５ＳＩ（ⅰ）
３　　６（８）（任意の式Ａ）　３６ＳＩ（ⅱ）
　４５　（９）（任意の式Ａ）　３７ＳＩ（ⅲ）
　４　６（ア）（任意の式Ａ）　３８ＳＩ（ⅳ）
５　　　（イ）（任意の式Ａ）　１３７４９∨Ｅ
　　　６（ウ）（任意の式Ａ）　１３８４ア∨Ｅ
　　　　（エ）（任意の式Ａ）　２５イ６ウ∨Ｅ
といふ「（排中律を用いた）計算」によって、
①├（任意の式Ａ）
②├（任意の式Ａ）
③├（任意の式Ａ）
④├（任意の式Ａ）
といふ「恒真式（トートロジー）」を、すなはち、
①├（任意の式Ａ）
は、「証明」出来る。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
以上の「説明」は、「十分」ではないが、概ね、「以上のような考え方」で、
すべてのトートロジー的連式は導出可能（deribable）である。
といふことが「証明（納得）」出来る。