(01)
① A,B├ C
② A├ B→C
③ ├ A→(B→C)
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
(01)により、
(02)
① Aが真で、Bも真、なので、Cは真である。
② Aが真、なので、Bが真ならば、Cは真である。
③ なので、Aが真ならば(Bが真ならば、Cは真である)。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① A,B├ C
② A├ B→C
③ ├ A→(B→C)
であれば、
① 真,真├ 真
② 真├ 真→真
③ ├ 真→(真→真)
である。
然るに、
(04)
③ ├ 真→(真→真)
であれば、
③ 真→(真→真)
である。
然るに、
(05)
「真理表(Truth table)」により、
① 真→(真→真)
② 真→(真)
③ 真
に於いて、
① ならば、② であって、
② ならば、③ である。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① A,B├ C
② A├ B→C
③ ├ A→(B→C)
であるならば、
④ A→(B→C)
は「真」である。
然るに、
(07)
1 (1) P A
2(2) P→Q A
12(3) Q 12MPP
1 (4)(P→Q)→Q 23CP
(5) P→((P→Q)→Q) 14CP
従って、
(06)(07)により、
(08)
① P,P→Q├ Q
② P├(P→Q)→Q
③ ├ P→((P→Q)→Q)
であるため、
④ P→((P→Q)→Q)
は「真」である。
然るに、
(09)
「番号」を付け直すとして、
① P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、
② は、① の「否定」である。
従って、
(08)(09)により、
(10)
① P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
(11)
(ⅰ)
1(1) P→( ( P→Q)→Q) A
1(2)~P∨( ( P→Q)→Q) 1含意の定義
1(3)~P∨( (~P∨Q)→Q) 2含意の定義
1(4)~P∨(~(~P∨Q)∨Q) 2含意の定義
(ⅱ)
1(1)~P∨(~(~P∨Q)∨Q) A
1(2)~P∨( (~P∨Q)→Q) 1含意の定義
1(3)~P∨( ( P→Q)→Q) 2含意の定義
1(4) P→( ( P→Q)→Q) 3含意の定義
従って、
(11)により、
(12)
① P→((P→Q)→Q)
と いふ「論理式」は、
① ~P∨(~(~P∨Q)∨Q)
と いふ「論理式」に「等しい」。
従って、
(10)(12)により、
(13)
① P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、すなはち、
① ~P∨(~(~P∨Q)∨Q)
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
(14)
(ⅱ)
1(1)~{~P∨(~(~P∨Q)∨ Q)} A
1(2) P&~(~(~P∨Q)∨ Q) 1ド・モルガンの法則
1(3) P 2&E
1(4) ~(~(~P∨Q)∨ Q) 2&E
1(5) (~P∨Q)&~Q 4ド・モルガンの法則
1(6) (~P∨Q) 5&E
1(7) P→Q 6含意の定義
1(8) Q 37MPP
1(9) ~Q 5&E
1(ア) Q&~Q 89&I
1(イ) P&(Q&~Q) 3ア&I
(ⅲ)
1(1) P&(Q&~Q) A
1(2) P 1&E
1(3) (Q&~Q) 1&E
1(4) Q 3&E
1(5) ~Q 3&E
1(6) ~P∨Q 4∨I
1(7) (~P∨Q)&~Q 56&I
1(8) ~(~(~P∨Q)∨ Q) 7ド・モルガンの法則
1(9) P&~(~(~P∨Q)∨ Q) 28&I
1(ア)~{~P∨(~(~P∨Q)∨ Q)} 9ド・モルガンの法則
従って、
(14)により、
(15)
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③ P&(Q&~Q)
に於いて、すなはち、
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③ P&(矛盾)
に於いて、すなはち、
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③ P&(偽)
に於いて、すなはち、
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③ 偽
に於いて、すなはち、
②=③ である。
従って、
(10)~(15)により、
(16)
① P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的 に、「偽」である。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
(17)
(ⅰ)
1(1) P& Q A
1(2) Q A
1(3) ~(P→Q)∨Q 2∨I
1(4) (P→Q)→Q 3含意の定義
1(5)~P∨((P→Q)→Q) 4∨I
1(6) P→((P→Q)→Q) 5含意の定義
(ⅱ)
1 (1) P&~Q A
2(2) P→ Q A
1 (3) P 1&E
12(4) Q 23MPP
1 (5) ~Q 1&E
12(6) Q&~Q 45&I
1 (7) ~(P→Q) 2RAA
1 (8) ~(P→Q)∨Q 7∨I
1 (9) (P→Q)→Q 8含意の定義
1 (ア)~P∨((P→Q)→Q) 9∨I
1 (イ) P→((P→Q)→Q) ア含意の定義
(ⅲ)
1(1) ~P& Q A
1(2) Q A
1(3) ~(P→Q)∨Q 2∨I
1(4) (P→Q)→Q 3含意の定義
1(5)~P∨((P→Q)→Q) 4∨I
1(6) P→((P→Q)→Q) 5含意の定義
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q A
1(2)~P 1&E
1(3)~P∨((P→Q)→Q) 2∨I
1(4) P→((P→Q)→Q) 3含意の定義
従って、
(17)により、
(18)
① P& Q├ P→((P→Q)→Q)
② P&~Q├ P→((P→Q)→Q)
③ ~P& Q├ P→((P→Q)→Q)
④ ~P&~Q├ P→((P→Q)→Q)
といふ「連式」は、4つとも「正しい」。
従って、
(18)により、
(19)
① Pが真で、Qが真である、としても、
② Pが真で、Qが偽である、としても、
③ Pが偽で、Qが真である、としても、
④ Pが偽で、Qが偽である、としても、
いづれにしても、
① Pならば((PならばQである)ならばQである)。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
従って、
(08)(16)(19)により、
(20)
① P,P→Q├ Q
② P├(P→Q)→Q
③ ├ P→((P→Q)→Q)
であるため、
④ P→((P→Q)→Q)
は「真」である。
といふことは、
④ の「否定」は「偽」であり、
④ は「命題変数(PとQ)の真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことに、「他ならない」。
最新の画像[もっと見る]
-
(219)「雜説・韓愈」の述語論理(Ⅱ):「返り点」に注意。 5年前
-
(148)足りないのは「和文力」。 5年前
-
(145)「雑説、韓愈」に於ける「連言の否定」(Ⅴ) 6年前
-
(142)「雑説、韓愈」に於ける「連言の否定」(Ⅱ)。 6年前
-
(141)「雑説、韓愈」と「連言の否定」。 6年前
-
(139)『括弧』と『返り点』。 6年前
-
(137)「君子不以其所以養人者害人」等の「不」について。 6年前
-
(135)「以十五城(副詞句)」の位置について。 6年前
-
(130)「白話文(北京語)」の、有り得ない「返り点」について。 6年前
-
(130)「白話文(北京語)」の、有り得ない「返り点」について。 6年前
※コメント投稿者のブログIDはブログ作成者のみに通知されます