（01）
［公理］
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３ （５） ～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） ～Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｑ＆～Ｐ）＆
（～Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） ～Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
然るに、
（03）
（ⅰ）に於いて。
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～～Ｑ＆ ～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） ～～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆～～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆ ～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～～Ｑ Ａ
オ （オ） ～Ｐ Ａ
エオ （カ） ～～Ｑ＆ ～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ）＆
（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） ～～Ｑ→ Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～～Ｑ→ Ｐ） １コＣＰ
シ （シ）Ｐ Ａ
シ （ス） ～～Ｑ→ Ｐ サシＭＰＰ
セ（ソ） Ｑ Ａ
セ（セ） ～～Ｑ ソＤＮ
シセ（ソ） Ｐ スセＭＰＰ
シ （タ） Ｑ→ Ｐ セソＣＰ
（チ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） シタＣＰ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）
② Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）
に於いて、
② は、
① に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行った、「結果」であり、
① は、
② に於いて、
～Ｑ＝Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行った、「結果」であり、
尚且つ、
② は、「ルカジェヴィッツの公理１」である。
然るに、
（05）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
に於いて、
② は「恒真式（トートロジー）」であって、
① も「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
（１）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「ルカジェヴィッツの公理１」は、要するに、
（１）Ｐであるならば（Ｑであろうと、Ｑでなかろうと、いづれにせよ、Ｐである）。
といふ「意味」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３ （５） ～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） ～Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｑ＆～Ｐ）＆
（～Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
は、次（09）のやうに、「続ける」ことが出来る。
（09）
１ オ（ク） ～～Ｑ エキＲＡＡ
１ オ（ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→Ｑ オケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １コＣＰ
然るに、
（10）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（06）（08）（09）（10）により、
（11）
① Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
だけでなく、
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
であっても、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
が「偽」であるならば、
③ 真→（～Ｐ→Ｑ）
である。
（13）
③ 真→（～Ｐ→Ｑ）
であるならば、
③ 真→（～真→Ｑ）
である。
（14）
③ 真→（～真→Ｑ）
であるならば、
③ 真→（ 偽→Ｑ）
である。
然るに、
（15）
③ 真→（ 偽→Ｑ）
であるならば、
③ 真→（ 偽→真）
であっても、
③ 真→（ 偽→偽）
であっても、いづれにせよ、「真」である。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）
といふ「式」は、「偽」にはなれないし、同様に、
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）
といふ「式」も、「偽」にはなれない。
ｃｆ.
③ 真→（ 偽→ Ｑ）
④ 真→（ 偽→～Ｑ）
は、両方とも、「Ｑの真・偽」に拘らず、「恒に、真」である。
従って、
（11）（16）により、
（17）
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱでない）。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（18）
（ａ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ｂ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ８カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（18）により、
（19）
（ａ） Ｐ→Ｑ
（ｂ）～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
（ⅲ）
１ （１）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
１２ （３） ～Ｐ→Ｑ １２ＭＰＰ
１２ （４） ～～Ｐ∨Ｑ ３含意の定義
５ （５） ～～Ｐ Ａ
５ （６） Ｐ ５ＤＮ
５ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） Ｐ∨Ｑ ４５７８９∨Ｉ
１ （イ） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ２アＣＰ
１ （ウ）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） イ含意の定義
１ （エ）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ 結合法則
（ⅳ）
１ （１）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ Ａ
１ （２）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） １結合法則
１ （３） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ２含意の定義
４ （４） Ｐ Ａ
１４ （５） Ｐ∨Ｑ ３４ＭＰＰ
６ （６） Ｐ Ａ
６ （７） ～～Ｐ ６ＤＮ
６ （８） ～～Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
９（９） Ｑ Ａ
９（ア） ～～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１４ （イ） ～～Ｐ∨Ｑ ４６８９ア∨Ｅ
１４ （ウ） ～Ｐ→Ｑ イ含意の定義
１ （エ）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） ４ウＣＰ
従って、
（20）により、
（21）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（22）
（ⅳ）
１（１）～Ｐ∨Ｐ Ａ
１（２） Ｐ→Ｐ １含意の定義
（ⅴ）
１（１） Ｐ→Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １含意の定義
従って、
（21）（22）により、
（23）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
⑤ （Ｐ→Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（23）により、
（24）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（排中律）∨Ｑ
⑤（同一律）∨Ｑ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（24）により、
（25）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（恒真式）∨Ｑ
⑤（恒真式）∨Ｑ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
然るに、
（26）
④（恒真式）∨Ｑ
⑤（恒真式）∨Ｑ
に於いて、
④ は、「恒真式」であって、
⑤ は、「恒真式」である。
従って、
（26）により、
（27）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ 恒真式
⑤ 恒真式
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（11）（17）（27）により、
（28）
① Ｐ→（～Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱでない）。
といふ「４通り」は、全て、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（29）
（ｃ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（29）により、
（30）
（ｃ）～（Ｐ∨ Ｑ）
（ｄ） ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
（ｃ）＝（ｄ）であって、この「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（31）
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （４） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
４ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
３４ （６） ～（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｐ→Ｑ） ３５＆Ｉ
３ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ２３９アイ∨Ｅ
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３含意の定義
３ （５）～（Ｐ＆～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
２３ （６） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ３６ＲＡＡ
２ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １２８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
従って、
（31）により、
（32）
⑤（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
⑥（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（33）
⑥（真＆～Ｑ）∨真
であれば、
⑥（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
は、「真」であるが、
⑥（偽＆～Ｑ）∨偽
であれば、
⑥（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
は、「偽」である。
従って、
（32）（33）により、
（34）
⑤（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
といふ「式」は、「偽」であることもあるため、「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（28）（33）により、
（35）
① Ｐ→（～Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱでない）。
⑤ （Ｐ→Ｑ）→Ｐ ≡（ＰであるならばＱである）ならばＰである。
に於いて、
⑤ だけが、「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（01）（35）により、
（36）
② Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
⑤（ＰであるならばＱである）ならばＰである。
に於いて、
② は、「ルカジェヴィッツの公理１」であって、「恒真式（トートロジー）」であるが、
⑤ は、「ルカジェヴィッツの公理１」ではなく、「恒真式（トートロジー）」ではない。
といふことに、なる。
従って、
（36）により、
② Ｐであるならば、ＱであるならばＰである。
⑤ ＰであるならばＱである、ならばＰである。
に於いて、
②＝⑤ ではない。
といふ、ことになる。
（01）
ジョン・レモンが開発した自然演繹の体系は、証明の構文規則に関する次のような「１０個の基本的規則（10 Primitive rules）」だけを持つ。
１.仮定の規則（Ａ）
２.肯定肯定式（ＭＰＰ）
３.否定否定式（ＭＴＴ）
４.二重否定律（ＤＮ）
５.条件的証明（ＣＰ）
６.＆-導入 （＆Ｉ）
７.＆-除去 （＆Ｅ）
８.∨-導入 （∨Ｉ）
９.∨-除去 （∨Ｅ）
10.背理法 （ＲＡＡ）
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、５０・５１頁を参照）
然るに、
（02）
最後に注意してよいことは、ＭＴＴは原始的規則と解す必要はなく、他の規則から導出される規則としてえられるということである。つまり、
５５ Ｐ→Ｑ，～Ｑ├ ～Ｐ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、７８頁）
然るに、
（03）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１ ３（４）～Ｐ １３ＭＴＴ
１２３（５）Ｐ＆～Ｐ ２３＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
従って、
（02）（03）により、
（04）
「ＭＴＴは原始的規則と解す必要はなく、他の規則（ＭＰＰ）から導出される規則としてえられる」といふのであれば、
「ＭＰＰも原始的規則と解す必要はなく、他の規則（ＭＴＴ）から導出される規則としてえられる」といふことになる。
加へて、
（05）
練習問題
EXERCCISES
１ １０個の原始的規則のみを用ひて、次の連式を証明せよ。
１ Using only 10 Primitive rules, prove the following sequents;
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、７９頁）
従って、
（01）～（05）により、
（06）
「ジョン・レモンが開発した体系 L は、証明の構文規則に関する次のような ９つの基本的規則だけを持つ（ウィキペディア）。」といふのは、意図的なマチガイであって、
「ジョン・レモンが開発した体系 L は、証明の構文規則に関する次のような１０個の基本的規則だけを持つ。」とするのが、正しい。
然るに、
（07）
［公理］
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｐ→ Ｑ Ａ
１２ （４） Ｑ→Ｒ １２ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ ３（７） Ｐ→Ｒ ２６ＣＰ
１ （８） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ３７ＣＰ
（９）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］ １８ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２（２） Ｑ Ａ
２（３） ～～Ｑ ２ＤＮ
１２（４） ～～Ｐ １３ＭＴＴ
１２（５） Ｐ ４ＤＮ
１ （６） Ｑ→Ｐ ２５ＣＰ
（７）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ） １６ＣＰ
従って、
（01）（06）（07）（08）により、
（09）
フレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである所の、
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「ルカジェヴィッツによる３つの公理」は、「E.J.レモンの１０個の規則」によって、「証明」出来る。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｉ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オカＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～～Ｑ Ａ
３ （５） ～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～～Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｉ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ２３７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） ～Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｑ＆～Ｐ）
（～Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） ～Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
然るに、
（11）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
（１）Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（Ｑであるならば、Ｐである）。
（４）Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（Ｑでないならば、Ｐである）。
に於いて、
（１）は、「ルカジェヴィッツの公理」であって、
（４）は、「ルカジェヴィッツの公理」から導かれた、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
（１）Ｐであるならば（Ｑであるならば、Ｐである）。
（４）Ｐであるならば（Ｑでないならば、Ｐである）。
といふことは、
（１）Ｐであるならば（Ｑであろうと、Ｑでなかろうと、いづれにせよ、Ｐである）。
といふことである。
然るに、
（14）
（１）Ｐであるならば（Ｑであろうと、Ｑでなかろうと、いづれにせよ、Ｐである）。
といふことは、「明らかに、正しい」。
従って、
（13）（14）により、
（15）
（１）Ｐであるならば（Ｑであるならば、Ｐである）。
といふ「言ひ方」に、「不自然さ」を感じるのであれば、
（１）Ｐであるならば（Ｑであろうと、Ｑでなかろうと、いづれにせよ、Ｐである）。
といふ風に、「読み変へ」ても、かまはない。
然るに、
（16）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
従って、
（01）（16）により、
（17）
Ｐ→Ｐ≡Ｐであるならば、Ｐである。
といふ「同一律（Principle of identity）」は、「E.J.レモンの１０個の規則」によって、「証明」出来る。
然るに、
（18）
［公理］
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
［規則］
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
２ 推論の規則
論理式「Ｐ」と「Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。
―中略、―
いま、右の公理（ルカジェヴィッツ）と規則とから、新しいトートロジー
Ｐ→Ｐ
を導き出してみよう。この場合、この命題は公理と規則から導き出された定理であることが証明されたことになる。このようにして公理から導き出される式を定理とよぶ。
―中略、―
このためにはまずルカジェヴィッツの公理２から出発して、
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
のＲにＰを代入して、
（３）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
を得る。この（３）と、公理（１）である、
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
２ 推論の規則 をあてはめれば、
（４）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）
となる。 この（４）の Ｑに、
１ 代入の規則 により、 （Ｑ→Ｐ）を代入すると、
（５）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→（Ｐ→Ｐ）
となる。 この（５）と、
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）に対して、
２ 推論の規則 をあてはめれば、
（６）Ｐ→Ｐ
が導出できる（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３～１７５頁改）。
従って、
（18）により、
（19）
「ルカジェヴィッツによる３つの公理と、代入規則と、推論の規則」により、
「Ｐ→Ｐ≡Ｐであるならば、Ｐである。」といふ「同一律」が、「導出」出来る。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
例へば、
「Ｐ→Ｐ≡Ｐであるならば、Ｐである。」といふ「同一律」は、
「E.J.レモンの１０個の規則」を用ひても、
「ルカジェヴィッツによる３つの公理と、代入規則と、推論の規則」を用ひても、「証明」出来るものの、「その証明の仕方」は、「全く違ってゐる」。
然るに、
（21）
ゲンツェンのシークエント計算は、もっともっと私たちの直観から遠いものとなっています（簡単には説明できないので、ここではお見せしません）。
（小島寛之、論理と証明に強くなる、2017年、１３６頁）
（22）
この３つの演算システムは、演算能力は同一なのですが、見た目が違うし、それぞれに固有の特徴があります。
（小島寛之、論理と証明に強くなる、2017年、１３６頁）
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
「シークエント計算」に於いて、
「Ｐ→Ｐ≡Ｐであるならば、Ｐである。」といふ「同一律」が、「公理」ではないならば、
「シークエント計算」に於ける、
「Ｐ→Ｐ≡Ｐであるならば、Ｐである。」といふ「同一律」の「証明」は、
「ルカジェヴィッツによる３つの公理と、代入規則と、推論の規則」による「証明」よりも、「もっともっと私たちの直観から遠いもの」である。
といふことに、なりそうである。
（01）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
然るに、
（02）
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→ Ｐ
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ
といふことは、
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｐ を「演繹」出来る。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
［規則］
２ 推論の規則
論理式「Ｐ」と「Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３・４頁）
然るに、
（04）
論理式「Ｐ」と「Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。
といふことは、
② Ｐ を「仮定」し、その上、
① ＰならばＱ を「仮定」するならば、
③ Ｑ を「演繹」出来る。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
② Ｐ を「仮定」し、その上、
① ＰならばＱ を「仮定」するならば、
③ Ｑ を「演繹」出来る。
といふことは、
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｑ を「演繹」出来る。
といふことである。
従って、
（02）～（04）により、
（06）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＱ。
に於いて、
① は、「パースの法則」であって、
② は、「ラッセル・ホワイトヘッド、ヒルベルト・アッカーマン、ルカジェヴィッツ」が採用した「規則」である。
然るに、
（07）
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｑ を「演繹」出来る。
といふ「規則」は、「少しも変」ではなく、むしろ、さうでない方が、「変」である。
従って、
（07）により、
（08）
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｐと、 Ｑ も「演繹」出来る。
といふ「法則」も、「少しも変」ではなく、むしろ、さうでない方が、「変」である。
然るに、
（09）
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｐと、 Ｑ も「演繹」出来るのであれば、もちろん、
④ Ｐ は「演繹」出来る。
従って、
（09）により、
（10）
そのやうに、
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→ Ｐ
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ
を「理解」する限り、
① パースの法則
は「思ったほど、変なもの」であるとは、言へない。
然るに、
（11）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が「真」である。といふことは、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
は「偽」ではない。
といふことである。
然るに、
（12）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が「偽」であるためには、必ず、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→偽
でなければ、ならない。
然るに、
（13）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→偽
であるためには、
①（（偽→Ｑ）→偽）→偽
でなければ、ならない。
然るに、
（14）
①（（偽→Ｑ）→偽）→偽
であれば、
①（（偽→真）→偽）→偽
であるか、
①（（偽→偽）→偽）→偽
である。
然るに、
（15）
①（（偽→真）→偽）→偽
①（（偽→偽）→偽）→偽
は、両方とも、
①（（真）→偽）→偽
であって、
①（（真）→偽）→偽
であれば、
① 偽→偽
である。
然るに、
（16）
① 偽→偽 は、
① ～偽∨偽 であって、
① ～偽∨偽 は、
① 真∨偽 であって、
① 真∨偽 は、
② 恒真（恒に真）である。
従って、
（11）～（16）により、
（17）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（18）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
然るに、
（19）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（18）（19）により、
（20）
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「排中律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（21）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（20）（21）により、
（22）
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「排中律」は「恒真式（トートロジー）」であり、その「代入例」である、
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「排中律」も「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（23）
パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる（ウィキペディア）。
従って、
（01）（22）（23）により、
（24）
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「恒真式（トートロジー）」から、あるいは、
③ Ｐ
が、「演繹」出来るかも、知れない。
然るに、
（25）
（１） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） 排中律（代入例）
２ （２） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
３ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２３ （５） ～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） ＆Ｉ
２ （６）～（～Ｐ∨Ｑ） ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
２ （８） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ７∨Ｉ
９ （９） （Ｐ→Ｑ） Ａ
９ （ア） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ９∨Ｉ
（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） １２８９ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ＆～Ｑ Ａ
ウ （エ） Ｐ ウ＆Ｅ
オ （オ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
ウオ （カ） Ｑ エオＭＰＰ
ウオ （キ） ～Ｑ ウ＆Ｅ
ウオ （ク） ～Ｑ＆Ｑ カキ＆Ｉ
ウ （ケ） ～（Ｐ→Ｑ） オクＲＡＡ
コ（コ） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
コ（サ） Ｐ→Ｑ 含意の定義
ウ コ（シ） ～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） ケサ＆Ｉ
ウ （ス） ～（～Ｐ∨Ｑ） コシＲＡＡ
ウ （セ） Ｐ＆～Ｑ ス、ド・モルガンの法則
ウ （ソ） Ｐ セ＆Ｅ
（タ） Ｐ イウエオソ∨Ｅ
従って、
（24）（25）により、
（26）
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「恒真式（トートロジー）」から、確かに、
③ Ｐ
が、「演繹」出来る。
然るに、
（27）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
１２ （３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（６） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義（で、排中律の代入例）
従って、
（27）により、
（28）
① Ｐ→Ｑ
② Ｐ
から、
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
が、「演繹」出来る。
従って、
（25）～（28）により、
（29）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
１２ （３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（６） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義（で、排中律の代入例）
に対して、
７ （７） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
８ （８） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ→Ｑ ８含意の定義
７８ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） ７９＆Ｉ
７ （イ）～（～Ｐ∨Ｑ） ８アＲＡＡ
７ （ウ） Ｐ＆～Ｑ イ、ド・モルガンの法則
７ （エ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
オ （カ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） オ∨Ｉ
（キ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ６７エオカ∨Ｅ
ク （ク） Ｐ＆～Ｑ Ａ
ク （ケ） Ｐ ク＆Ｅ
コ （コ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
クコ （サ） Ｑ ケコＭＰＰ
クコ （シ） ～Ｑ ク＆Ｅ
クコ （ス） ～Ｑ＆Ｑ サシ＆Ｉ
ク （セ） ～（Ｐ→Ｑ） コスＲＡＡ
ソ（ソ） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
ソ（タ） Ｐ→Ｑ ソ含意の定義
ク ソ（チ） ～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） セタ＆Ｉ
ク （ツ） ～（～Ｐ∨Ｑ） ソチＲＡＡ
ク （テ） Ｐ＆～Ｑ ツ、ド・モルガンの法則
ク （ト） Ｐ テ＆Ｅ
（ナ） Ｐ キクケコト∨Ｅ
を加へれば、以上のやうに、
① Ｐ→Ｑ
② Ｐ
から、
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
が、「演繹」出来、
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
からは、
③ Ｐ
が、「演繹」出来る。
従って、
（05）（06）（29）により、
（30）
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｐ が「演繹」出来る。
といふこと、すなはち、
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→ Ｐ
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふこと、すなはち、「パースの法則」が、「証明」された。
ことになる。
然るに、
（31）
因みに、
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→ Ｐ
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
に対して、
Ｐ→ （Ｑ→ Ｐ）
Ｐならば（ＱならばＰ）。
は、「ルカジェビッツの公理（１）」であって、
Ｐ→ （Ｑ→ Ｐ）
Ｐならば（ＱならばＰ）。
の場合は、次（32）の通りである。
（32）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｉ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オカＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
然るに、
（33）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系 L は、証明の構文規則に関する次のような１０個の基本的規則だけを持つ。
１.仮定の規則（Ａ）
２.肯定肯定式（ＭＰＰ）
３.否定否定式（ＭＴＴ）
４.二重否定律（ＤＮ）
５.条件的証明（ＣＰ）
６.＆-導入 （＆Ｉ）
７.＆-除去 （＆Ｅ）
８.∨-導入 （∨Ｉ）
９.∨-除去 （∨Ｅ）
10.背理法 （ＲＡＡ）
（ウィキペディア改）
従って、
（31）（32）（33）により、
（34）
Ｐ→ （Ｑ→ Ｐ）
Ｐならば（ＱならばＰ）。
といふ「ルカジェヴィッツの公理（１）」であれば、
１.仮定の規則（Ａ）
４.二重否定律（ＤＮ）
５.条件的証明（ＣＰ）
６.＆-導入 （＆Ｉ）
７.＆-除去 （＆Ｅ）
８.∨-導入 （∨Ｉ）
９.∨-除去 （∨Ｅ）
10.背理法 （ＲＡＡ）
といふ、「ジョン・レモンの規則」で、「証明」されることになる。
従って、
（35）
もちろん、「他の公理（Axioms）」も、「１０個の規則（Rules）」で、「証明」される。
然るに、
（01）（23）により、
（36）
パースは、彼の最初の命題論理の公理化において、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ法則を公理に採用した。
従って、
（34）（35）（36）により、
（37）
Ｐ→ （Ｑ→ Ｐ）
Ｐならば（ＱならばＰ）。
といふ「公理」は、「１０個の規則（Rules）」で「証明」出来るのに、その一方で、
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→ Ｐ
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「公理」は、「１０個の規則（Rules）」で「証明」出来ない。といふことは、有ってはならない。
といふ、ことになる。
（01）
「乗法（連言）の交換法則」により、
①（Ｐであって、Ｑでない。）
②（Ｑでなくて、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（03）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
といふことは、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。が故に、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
に於いても、
①＝② であるものの、この「論証」を、「素朴・対偶論」とする。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
「素朴・対偶論」の「妥当性」は、
「乗法（連言）の交換法則」の「妥当性」に由来する。
然るに、
（06）
「乗法（連言）の交換法則」ではなく、
「加法（選言）の交換法則」により、
①（Ｐであるか、Ｑである。）
②（Ｑであるか、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
① Ｐであるか、Ｑである。然るに、Ｐでない。故に、Ｑである。
② Ｑであるか、Ｐである。然るに、Ｑでない。故に、Ｐである。
といふ「選言三段論法（消去法）」は、「妥当」である。
然るに、
（08）
① Ｐでない。故に、Ｑである。
② Ｑでない。故に、Ｐである。
といふことは、
③ Ｐでないならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐである。
といふことを、「前提」とする。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① Ｐであるか、Ｑである。
② Ｑであるか、Ｐである。
といふ「選言命題」は、「順番」に、
③ Ｐでないならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐである。
といふ「仮言命題」に、「等しい」。
従って、
（09）により、
（10）
「記号」で書くと、
① Ｐ∨Ｑ
② Ｑ∨Ｐ
といふ「選言命題」は、「順番」に、
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
といふ「仮言命題」に、「等しい」。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ウＲＡＡ
１ ウ （ケ） Ｑ キＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ ウケＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １４＆Ｉ
２ （５） ～Ｐ ３ＲＡＡ
１２ （６） Ｑ １５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） ～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） ２７＆Ｉ
１ （９）～～（Ｐ∨Ｑ） ２８＆ＲＡＡ
１ （ア） Ｐ∨Ｑ ９ＤＮ
従って、
（11）により、
（12）
「命題計算（Propositional calculus）」の結果も、
① Ｐ∨Ｑ
③ ～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（12）により、
（13）
① Ｐ∨Ｑ
③ ～Ｐ→Ｑ
に於いて、
Ｐ＝Ｑ
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
② Ｑ∨Ｐ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、
②＝④ である。
ｃｆ.
（Ｓ１）証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見出され得る。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、６９頁）
然るに、
（14）
「加法（選言）の交換法則」により、
① Ｐ∨Ｑ
② Ｑ∨Ｐ
に於いて、
①＝② である。
ｃｆ.
（ⅰ）
１ （１）Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
２ （３）Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
３（４） Ｑ Ａ
３（５）Ｑ∨Ｐ ４∨Ｉ
１ （６）Ｑ∨Ｐ １２３４５∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）Ｑ∨Ｐ Ａ
２ （２）Ｑ Ａ
２ （３）Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
３（４） Ｐ Ａ
３（５）Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
１ （６）Ｐ∨Ｑ １２３４５∨Ｅ
従って、
（13）（14）により、
（15）
① Ｐ∨Ｑ
② Ｑ∨Ｐ
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ であって、
②＝④ である。
従って、
（15）により、
（16）
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（16）により、
（17）
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～～Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（17）により、
（18）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（18）により、
（19）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～Ｐ→ ～Ｑ
④ ～～Ｑ→～～Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（19）により、
（20）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～Ｐ→～Ｑ
④ Ｑ→ Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
④ Ｑ→ Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（22）
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふ。といふことは、
言はば、『裁判の途中で、証人が、自分の証言を、自分で否定してゐる場合』に、「譬へ」ることが出来る。
従って、
（19）（21）（22）により、
（23）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
④ Ｑ→ Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝③ ではないし、
②＝④ でもない。
従って、
（24）
「日本語」で言ふならば、
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｑでないならば、Ｐでない。
③ Ｐでないならば、Ｑでない。
④ Ｑであるならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝③ ではないし、
②＝④ でもない。
従って、
（25）
「論理学の用語」で言ふと、
①「順」
②「対偶」
③「裏」
④「逆」
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝③ ではないし、
②＝④ でもない。
従って、
（01）～（25）により、
（26）
論理学で「ある命題が真であるとすると、対偶は真であるが、逆と裏は必ずしも真ではない」とされています（弁護士と理数系の知識 - 西野法律事務所）。
といふことに、付け加へて、言ふならば、「逆と裏」の関係も、「対偶」である。といふ、ことになる。
（01）
「交換法則」により、
①（Ｐであって、Ｑでない。）
②（Ｑでなくて、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
「日本語話者の直観」として、
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
といふことは、
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｑでないならば、Ｐでない。
といふことに、他ならない。
従って、
（02）（03）により、
（04）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② であるが故に、
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝② であるものの、この「等式」を、「素朴・対偶論」とする。
然るに、
（05）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
といふ「日本語」は、「命題論理の記号」で表すと、
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② ～（～Ｑ＆Ｐ）
といふ風に、書くことになる。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１）～（～Ｑ＆Ｐ） Ａ
１ （２）～～Ｑ∨～Ｐ １ド・モルガンの法則
１ （３） ～Ｑ→～Ｐ ２含意の定義
（ⅳ）
１ （１） ～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｑ＆ Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｐ １３ＣＰ
２ （５） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
１ （７）～（～Ｑ＆Ｐ） ２６ＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→ Ｑ
③ ～（～Ｑ＆Ｐ）
④ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
１ （２） ～Ｐ∨ Ｑ １ド・モルガンの法則
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） Ｑ∨～Ｐ ３∨Ｉ
５（５） Ｑ Ａ
５（６） Ｑ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） Ｑ∨～Ｐ ２３４５６∨Ｅ
１ （８）～（～Ｑ＆Ｐ） ７ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１ （１）～（～Ｑ＆Ｐ） Ａ
１ （２） Ｑ∨～Ｐ １ド・モルガンの法則
３ （３） Ｑ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
５（５） ～Ｐ Ａ
５（６） ～Ｐ∨ Ｑ ５∨Ｉ
１ （７） ～Ｐ∨ Ｑ ２３４５６∨Ｅ
１ （８）～（Ｐ＆～Ｑ） ７ド・モルガンの法則
従って、
（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～（～Ｑ＆Ｐ）
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（07）（09）により、
（10）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→ Ｑ
③ ～（～Ｑ＆Ｐ）
④ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
①＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
「番号」を付け直すと、
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② ～（～Ｑ＆Ｐ）
に於いて、
①＝② であるが故に、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（11）により、
（12）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
② ～（～Ｑ＆Ｐ）≡（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② であるが故に、
① Ｐ→ Ｑ ≡Ｐであるならば、Ｑである。
② ～Ｑ→～Ｐ ≡Ｑでないならば、Ｐでない。
といふ「素朴・対偶論」は、「命題論理（Propositional logic）」としても、「正しい」。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１（１）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
１（２）∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ） １量化子の関係
１（３） ～（象ａ＆～動物ａ） ２ＵＥ
１（４） ～象ａ∨ 動物ａ ３ド・モルガンの法則
１（５） 象ａ→ 動物ａ ４含意の定義
１（６） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） ５ＵＩ
（ⅱ）
１（１） ∀ｘ（象ａ→ 動物ａ） Ａ
１（２） 象ａ→ 動物ａ １ＵＥ
１（３） ～象ａ∨ 動物ａ ２含意の定義
１（４） ～（象ａ＆～動物ａ） ３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ） ４ＵＩ
１（６）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） ５量化子の関係
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ（～動物ｘ＆ 象ｘ） Ａ
１（２）∀ｘ～（～動物ｘ＆ 象ｘ） 量化子の関係
１（３） ～（～動物ａ＆ 象ａ） ２ＵＥ
１（４） ～～動物ａ∨～象ａ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～動物ａ→～象ａ ４含意の定義
１（６） ∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ） ５ＵＩ
（ⅳ）
１（１） ∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ） Ａ
１（２） ～動物ａ→～象ａ １ＵＥ
１（３） ～～動物ａ∨～象ａ ２含意の定義
１（４） ～（～動物ａ＆ 象ａ） ３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（～動物ｘ＆ 象ｘ） ４ＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
① ～∃ｘ（ 象ｘ＆～動物ｘ）
② ∀ｘ（ 象ｘ→ 動物ｘ）
③ ～∃ｘ（～動物ｘ＆ 象ｘ）
④ ∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（15）
（ⅰ）
１ （１） ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
１ （２） ∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（象ａ＆～動物ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～象ａ∨ 動物ａ ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～象ａ Ａ
５ （６） 動物ａ∨～象ａ ５∨Ｉ
７（７） 動物ａ Ａ
７（８） 動物ａ∨～象ａ ７∨Ｉ
１ （９） 動物ａ∨～象ａ ４５６７８∨Ｅ
１ （ア） ～（～動物ａ＆ 象ａ） ９ド・モルガンの法則
１ （イ）∀ｘ～（～動物ｘ＆ 象ｘ） アＵＩ
１ （ウ）～∃ｘ（～動物ｘ＆ 象ｘ） イ量化子の関係
（ⅲ）
１ （１）～∃ｘ（～動物ｘ＆ 象ｘ） １
１ （２）∀ｘ～（～動物ｘ＆ 象ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（～動物ａ＆ 象ａ） ２ＵＥ
１ （４） 動物ａ∨～象ａ ３ド・モルガンの法則
５ （５） 動物ａ Ａ
５ （６） ～象ａ∨動物ａ ５∨Ｉ
７（７） ～象ａ Ａ
７（８） ～象ａ∨動物ａ ７∨Ｉ
１ （９） ～象ａ∨動物ａ ４５６７８∨Ｅ
１ （ア） ～（象ａ＆～動物ａ） ９ド・モルガンの法則
１ （イ） ∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ） アＵＩ
１ （ウ） ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） イＵＩ
従って、
（15）により、
（16）
① ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
③ ～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（14）（16）により、
（17）
① ～∃ｘ（ 象ｘ＆～動物ｘ）
② ∀ｘ（ 象ｘ→ 動物ｘ）
③ ～∃ｘ（～動物ｘ＆ 象ｘ）
④ ∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
①＝③ である。
従って、
（18）
「番号」を付け直すと、
① ～∃ｘ（ 象ｘ＆～動物ｘ）
② ～∃ｘ（～動物ｘ＆ 象ｘ）
に於いて、
①＝② であるが故に、
① ∀ｘ（ 象ｘ→ 動物ｘ）
② ∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（18）により、
（19）
① ～∃ｘ（ 象ｘ＆～動物ｘ）≡（象であって、動物でない。）といふことはない。
② ～∃ｘ（～動物ｘ＆ 象ｘ）≡（動物でなくて、象である。）といふことはない。
に於いて、
①＝② であるが故に、
① ∀ｘ（ 象ｘ→ 動物ｘ）≡象であるならば、動物である。
② ∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）≡動物でないならば、象である。
といふ「素朴・対偶論」は、「述語論理（Predicate logic）」としても、「正しい」。
（20）
表紙に、『風が吹けば桶屋が儲かる』と墨で書かれた「古文書」に、
「元和元年１月１９日、風吹く。」と墨書かれていゐて、
「元和元年１月２０日、儲かる。」と墨で書かれてゐたとすれば、「日付を示す、文字の筆跡の、集合」を考へることが、出来る。
従って、
（20）により、
（21）
「風が吹く日」 ではなく 「風が吹く日の、日付の、筆跡の集合」と、
「桶屋が儲かる日」ではなく「桶屋が儲かる日の、日付の、筆跡の集合」を考へれば、
『風が吹けば桶屋が儲かる』といふ「命題」は、
① ～∃ｘ（ 象ｘ＆～動物ｘ）≡（象であって、動物でない。）といふことはない。
② ～∃ｘ（～動物ｘ＆ 象ｘ）≡（動物でなくて、象である。）といふことはない。
① ∀ｘ（ 象ｘ→ 動物ｘ）≡ 象であるならば、動物である。
② ∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）≡ 動物でないならば、象である。
といふ「命題」と、「同じ種類の命題」であると、見做すことが出来る。
然るに、
（22）
① ～∃ｘ（ 象ｘ＆～動物ｘ）≡（象であって、動物でない。）といふことはない。
② ～∃ｘ（～動物ｘ＆ 象ｘ）≡（動物でなくて、象である。）といふことはない。
① ∀ｘ（ 象ｘ→ 動物ｘ）≡ 象であるならば、動物である。
② ∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）≡ 動物でないならば、象である。
といふ「命題」は、
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふ「意味」である。
然るに、
（23）
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふことは、
①「象の集合」が、「動物の集合」に、「含まれる」といふことであり、
①「象の集合」が、「動物の集合」に、「含まれる」といふことは、
①「象の集合」が、「動物の集合」の、「部分集合」である。
といふことである。
然るに、
（24）
① 地球上に、ただ一頭の象だけが、存在してゐて、その一頭が、「消滅」すれば、その時点で、「象の集合」は、「空集合φ」である。
然るに、
（25）
①「象の集合」が、「空集合φ」であるならば、
① 象は存在しないのだから、
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふ「仮言命題」自体が、「意味」をなさない。
従って、
（22）～（25）により、
（26）
① ～∃ｘ（ 象ｘ＆～動物ｘ）≡（象であって、動物でない。）といふことはない。
② ～∃ｘ（～動物ｘ＆ 象ｘ）≡（動物でなくて、象である。）といふことはない。
① ∀ｘ（ 象ｘ→ 動物ｘ）≡ 象であるならば、動物である。
② ∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）≡ 動物でないならば、象である。
といふ「命題」が、
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふ「意味」である以上、
① 象が存在しない。
といふことが、「確定」してゐるのであれば、その場合は、「これまでの説明」は、「意味」をなさない。
従って、
（20）～（26）により、
（27）
①「象の集合」が 「空集合φ」で、
②「風の吹く日の集合」が「空集合φ」である場合には、「素朴・対偶論」は、成立しない。
従って、
（28）
①「空集合φ」そのものに対して、「素朴・対偶論」を、用ひることは、出来ない。
従って、
（28）により、
（29）
「（468）「素朴・対偶論」について。2020-01-18 18:57:19 | 論理」でも書いた通り、
（10）
① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
といふことは、「素朴・対偶論」としても、「正しい」のだらうか。
と、「自問中」です。
（11）
自問した「結果」だけを書くものの、
① 風が吹けば、桶屋が儲かる。
② 桶屋が儲からなければ、風は吹かない。
に対して、
① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
は、「素朴・対偶論」ではありません。
といふ、ことになる。
然るに、
（30）
任意の集合Ａと、空集合φに対して、
∀ｘ｛ｘ∈φ→ｘ∈Ａ｝≡すべてのｘについて、ｘがφにの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ「命題」が、「真→真」としてではなく、「偽→偽」として、「真」である。
といふことは、私自身も、もちろん、知ってゐる。
然るに、
（31）
だからと言って、
① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
が、「素朴・対偶論」である。
といふことには、ならない。
（01）
chi********さん2013/4/1719:51:00
論理学について
法学部生や法曹を目指す人にとって、論理学はとった方がいい科目ですか？？
授業内容見ても、、
わからないもんで（^^;）
（02）
ベストアンサーに選ばれた回答
doc********さん 2013/4/1720:15:10
東大法卒のおっさんです。
法曹をめざすのに論理学はまったく必要ありません。
論理学的に厳密に法律を解釈しようとしても、破たんするだけです。
法律にはそういう解釈の幅をもたせてあります。
（03）
瀧田早苗、二七才、東京大学法学部卒、―中略―つまり、極めて優秀なエリートだということだ。―中略―、
「正義の定義によりますね。先生は、ずっと法律を知らないと不幸になると、おっしゃっています。まったく同感です。でも、多くの弁護士は、法律を知っているくせに、依頼者を幸福にできていません。」
（真山仁 作、レインメーカー）
然るに、
（04）
「先生は、 法律を知らないと 不幸になると、おっしゃっています。
でも、多くの弁護士は、法律を知っているくせに、依頼者を幸福にできていません（。だから、先生以外の、多くの弁護士は、なさけない）。」
といふ「主張」が成り立つためには、
① 法律を知らなければ、不幸になる（順）。
② 不幸になるならば、法律を知らない（逆）。
③ 法律を知っていれば、不幸にならない（裏）。
④ 不幸にならないならば、法律を知ってゐる（対偶）。
に於いて、
①＝③ でなければ、ならない。
然るに、
（05）
② 不幸になるならば、法律を知らない（逆）。
③ 法律を知っていれば、不幸にならない（裏）。
に於いて、
②＝③ は、「対偶」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
瀧田早苗、二七才、東京大学法学部卒、極めて優秀なエリート
といふ登場人物は、
① 法律を知らなければ、不幸になる（順）。
といふ「先生の言葉」を、
① 法律を知らなければ、不幸になるし（順）、
② 不幸になるならば、法律を知らない（逆）。
といふ風に、「理解」してゐることになる。
然るに、
（07）
ある命題とその逆の真偽は、必ずとも一致しない（逆は必ずしも真ならず）。この表現は日常生活や数学の中でことわざのように使用されることがある（ウィキペディア）。
従って、
（06）（07）により、
（08）
瀧田早苗、二七才、東京大学法学部卒、極めて優秀なエリートは、
① 法律を知らなければ、不幸になる（順）。
② 不幸になるならば、法律を知らない（逆）。
③ 法律を知っていれば、不幸にならない（裏）。
④ 不幸にならないならば、法律を知ってゐる（対偶）。
に於いて、
①＝④ であって、
②＝③ であるが、必ずしも、
①＝③ ではない。
といふ、「論理学の、基本中の基本」に対してさへ、普段から、「注意」が向いてゐない人物である。
といふ風に、「推定」される。
（09）
といふわけで、実際の、東大等の「法学部」では、「論理学」は、どのやうに、学ばれてゐるのだろうか。
といふことが、気になって、検索してみたところ、
ベストアンサーに選ばれた回答
doc********さん 2013/4/1720:15:10
東大法卒のおっさんです。
法曹をめざすのに論理学はまったく必要ありません。
といふそれを、読むことになった。といふ次第です。
加へて、
（10）
あと、集合の概念も重要です。
集合の概念が理解できていないと、論理学の理解は不可能でしょう。
論理学で「ある命題が真であるとすると、対偶は真であるが、逆と裏は必ずしも真ではない」とされています。
これは、さすがに、弁護士であれば通常理解しているのでしょうが、相手方弁護士の準備書面や尋問で、誤った主張が、まま見受けられます。
（弁護士と理数系の知識 - 西野法律事務所）
との、ことです。
（11）
次は、「素朴・対偶論（Ⅱ）」といふタイトルの記事を、今日の、３つ目の記事として書き、その中で、
① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
といふことは、「素朴・対偶論」としては、「マチガイ」であるといふ、「主張」をします。
（12）
因みに、私の場合は、社会学部の出身で、大学では、一般教養科目として、内田種臣先生の「論理学」を、履修したと思ふのですが、単位が取れたどうかは、覚えていません。
（01）
①（ＰとＱの、少なくとも、一方は「本当」である。）
②（Ｐは「ウソ」であり、その上、Ｑも「ウソ」である。）
に於いて、
①と② は、「矛盾」するため、どちらか一方は、「ウソ」である。
従って、
（01）により、
（02）
①（ＰとＱの、少なくとも、一方は「本当」である。）といふことはない。
②（Ｐは「ウソ」であり、その上、Ｑも「ウソ」である。）
とするならば、
①＝② である。
（03）
③（Ｐは「本当」であり、その上、Ｑも「本当」である。）
④（ＰとＱの、少なくとも、一方は「ウソ」である。）
に於いて、
③と④ は、「矛盾」するため、どちらか一方は、「ウソ」である。
従って、
（03）により、
（04）
③（Ｐは「本当」であり、その上、Ｑも「本当」である。）といふことはない。
④（ＰとＱの、少なくとも、一方は「ウソ」である。）
とするならば、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
①（ＰとＱの、少なくとも、一方は「本当」である。）といふことはない。
②（Ｐは「ウソ」であり、その上、Ｑも「ウソ」である。）
③（Ｐは「本当」であり、その上、Ｑも「本当」である。）といふことはない。
④（ＰとＱの、少なくとも、一方は「ウソ」である。）
に於いて、
①＝② であり、
③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
「命題論理」の「記号」で書くならば、
① ～（Ｐ∨ Ｑ）
② ～Ｐ＆～Ｑ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② であり、
③＝④ であるものの、この「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①（ＰとＱの、少なくとも、一方は「本当」である。）といふことはない。
②（Ｐは「ウソ」であり、その上、Ｑも「ウソ」である。）
③（Ｐは「本当」であり、その上、Ｑも「本当」である。）といふことはない。
④（ＰとＱの、少なくとも、一方は「ウソ」である。）
に於いて、
①＝② であり、
③＝④ である。
といふことが、「理解」出来るのであれば、その人は既に、「日本語」で、「ド・モルガンの法則」を、理解してゐる。
といふことになり、そのため、
のやうな、「ベン図」を用ひた「説明」を受ける必要はない。
然るに、
（08）
因みに、
① ～（Ｐ∨ Ｑ）
② ～Ｐ＆～Ｑ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
① ⇔ ② であり、
③ ⇔ ④ であることを、「命題計算」で、「証明」するならば、次（10・11）のやうになる。
ものの、「命題計算」は、「一種の、言葉」である。
従って、
（09）
次（10・11）の「命題計算」は、
① ～（Ｐ∨ Ｑ）
② ～Ｐ＆～Ｑ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
といふ「言葉の意味」を、「命題計算」といふ「言葉」で「説明」してゐる。
といふ風に、見れないことも、ない。
（10）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
５（７） Ｑ Ａ
１ （８） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ５（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
５（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
① ～（Ｐ∨ Ｑ）
② ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、① である。
（11）
（ⅲ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ キＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③ ならば、④ であり、
④ ならば、③ である。
（01）
① ＰとＱが「等しい」ならば、そのときに限って、
② Ｐである。といふことはない。
③ Ｑである。といふことはない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（02）
①「交換法則」により、
② Ａであって、Ｂでない。
③ Ｂでなくて、Ａである。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
②（Ａであって、Ｂでない）といふことはない。
③（Ｂでなくて、Ａである）といふことはない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（04）
②（Ａであって、Ｂでない）といふことはない。
③（Ｂでなくて、Ａである）といふことはない。
といふことは、
② Ａであるならば、Ｂである。
③ Ｂでないならば、Ａでない。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
② Ａであるならば、Ｂである。
③ Ｂでないならば、Ａでない。
に於いて、
②＝③ であるものの、このことを、「素朴・対偶論」とする。
然るに、
（06）
「空集合φ」は、「要素ｘを、１つも持たない」。
従って、
（06）により、
（07）
任意の集合Ａに於いて、
要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
従って、
（08）
「対偶」を取ると、
要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
然るに、
（07）（08）により、
（09）
要素ｘがφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
といふことは、
空集合φが、任意の集合Ａの、「部分集合」である。
といふことである。
然るに、
（10）
① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
といふことは、「素朴・対偶論」としても、「正しい」のだらうか。
と、「自問中」です（2020-01-18 15:21:28）。
（11）
自問した「結果」だけを書くものの、
① 風が吹けば、桶屋が儲かる。
② 桶屋が儲からなければ、風は吹かない。
に対して、
① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
は、「素朴・対偶論」ではありません。
（01）
① Ａであって、Ｂである。
② Ｂであって、Ａである。
に於いて、
①＝② である。
ｃｆ.
「交換法則（commutative law）」といふ。
従って、
（02）
① Ａであって、Ｂでない。
② Ｂでなくて、Ａである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）
①（Ａであって、Ｂでない。）といふことはない。
②（Ｂでなくて、Ａである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
①（Ａであって、Ｂでない。）といふことはない。
②（Ｂでなくて、Ａである。）といふことはない。
といふことは、「順番」に、
③ Ａであるならば、Ｂである。
④ Ｂでないならば、Ａでない。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
③ Ａであるならば、Ｂである。
④ Ｂでないならば、Ａでない。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（06）
（ａ）
１ （１）～（Ａ＆～Ｂ） Ａ
２ （２） Ａ Ａ
３（３） ～Ｂ Ａ
２３（４） Ａ＆～Ｂ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ａ＆～Ｂ）＆
（Ａ＆～Ｂ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｂ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｂ ６ＤＮ
１ （８） Ａ→ Ｂ ２７ＣＰ
（ｂ）
１ （１） Ａ→ Ｂ ２７ＣＰ
２ （２） Ａ＆～Ｂ Ａ
２ （３） Ａ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｂ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｂ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｂ＆～Ｂ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ａ＆～Ｂ） ２６ＲＡＡ
（ｃ）
１ （１） Ａ→ Ｂ Ａ
２ （２） ～Ｂ Ａ
３（３） Ａ Ａ
１ ３（４） Ｂ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｂ＆Ｂ ２４＆Ｉ
１２ （６） ～Ａ ３５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｂ→～Ａ ２６ＣＰ
（ｄ）
１ （１） ～Ｂ→～Ａ Ａ
２ （２） Ａ Ａ
３（３） ～Ｂ Ａ
１ ３（４） ～Ａ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ａ＆～Ａ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｂ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｂ ６ＤＮ
１ （８） Ａ→ Ｂ ２７ＣＰ
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ～（ Ａ＆～Ｂ）≡（Ａであって、Ｂでない。）といふことはない。
② ～（～Ｂ＆ Ａ）≡（Ｂでなくて、Ａである。）といふことはない。
③ Ａ→ Ｂ ≡ Ａであるならば、Ｂである。
④ ～Ｂ→～Ａ ≡ Ｂでないならば、Ａでない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
いづれにせよ、
③ Ａであるならば、Ｂである。
④ Ｂでないならば、Ａでない。
に於いて、
③＝④ であって、この「等式」を、「対偶（Contraposition）」といふ。
然るに、
（09）
③ Ａであるならば、Ｂである。
④ Ｂでないならば、Ａでない。
に於いて、
Ａ＝Ｂ
Ｂ＝Ａ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
② Ｂであるならば、Ａである。
③ Ａでないならば、Ｂでない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② Ｂであるならば、Ａである。
③ Ａでないならば、Ｂでない。
に於いて、
②＝③ であって、この「等式」を、「対偶（Contraposition）」といふ。
然るに、
（11）
② Ｂであるならば、Ａである。
③ Ａでないならば、Ｂでない。
といふことは、
② ＢはＡである。
③ Ａ以外はＢでない。
といふ、ことである。
従って、
（10）（11）により、
（12）
② ＢはＡである。
③ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
②＝③ であって、この「等式」を、「対偶（Contraposition）」といふ。
然るに、
（13）
① ＡはＢである。
② ＢはＡである。
に於いて、
①と②は、互いに、「逆（Converse）」である。
然るに、
（14）
ある命題とその逆の真偽は、必ずとも一致しない（逆は必ずしも真ならず）。この表現は日常生活や数学の中でことわざのように使用されることがある（ウィキペディア）。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
① ＡはＢである。
② ＢはＡである。
③ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
①＝② は、 「偶然」であるが、
②＝③ といふ「対偶」は、「必然」である。
従って、
（15）により、
（16）
例へば、
① 私は理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② は、 「偶然」であるが、
②＝③ といふ「対偶」は、「必然」である。
然るに、
（17）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（16）（17）
（18）
① 私は理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
④ 私が理事長です。
に於いて、
①＝② は、 「偶然」であるが、
②＝③ といふ「対偶」は、「必然」であって、
②＝④ であるといふ「事実」が、「よく知られている」。
従って、
（15）～（18）により、
（19）
「番号」を付け直すと、
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
①＝② ではないが、
②＝③＝④ である。
然るに。
（20）
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
といふのであれば、
① ＡはＢである。
従って、
（14）（20）により、
（21）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
に於いて、
② ならば、① であるが、
① ならば、② であるとは、限らない。
然るに、
（22）
１ （１）②→ ① Ａ
２ （２） ～① Ａ
３（３）② Ａ
１ ３（４） ① １３ＭＰＰ
１２３（５）～①＆① ２４＆Ｉ
１ ３（６） ～～① ２５ＲＡＡ
１ ３（７） ① ６ＤＮ
従って、
（22）により、
（23）
② ならば、① である。
として、 ① ではなく、その上、
② である。とすると、「矛盾」する。
従って、
（23）により、
（24）
② ならば、① である。
として、
② であるためには、
① でない、ではない。
といふことを、すなはち、
① であることを、「必要」とする。
従って、
（20）～（24）により、
（25）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
に於いて、
① であるといふことは、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない。
従って、
（25）により、
（26）
① 私は理事長である。
② 私が理事長である。
に於いて、
① であるといふことは、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない。
従って、
（17）（26）により、
（27）
① タゴール記念会は、私は理事長である。
② タゴール記念会は、私が理事長である。
に於いて、
① であるといふことは、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない。
然るに、
（28）
① タゴール記念会は、私は理事長である。
② タゴール記念会は、私が理事長である。
であれば、
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ］｝
② ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
といふ風に、書くことが出来、
① であるといふことは、確かに、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない。
従って、
（28）により、
（29）
① タゴール記念会は、私は理事長である。
② タゴール記念会は、私が理事長である。
といふ「日本語」が、「真（本当）」であるためには、
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ］｝
② ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
といふ「条件」、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、私はｘの理事長である。
② すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「条件」を満たしてゐる、「必要」がある。
然るに、
（30）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ３４ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 倉田ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 倉田ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 倉田ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） ３ス＆Ｉ
１ ９ （シ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（30）により、
（31）
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
② ∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ）。従って、
③ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
② あるｚは倉田氏であって、私ではない。
③ すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは倉田氏であって、ｚはｘの理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（32）
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（29）～（32）により、
（33）
仮に、
① タゴール記念会は、私が理事長である。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。⇔
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「等式」から、
① ∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）。
① すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「条件」を除いてしまふのであれば、
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（34）
① ∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）。
① すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふことは、
① ｙ（私）以外は、ｘ（タゴール記念会）の理事長ではない。
といふことである。
従って、
（18）（33）（34）により、
（35）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
といふ「日本語」が、
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外はタゴール記念会の理事長ではない。
といふ「意味」でない。
とするならば、
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（33）～（36）により、
（36）
「対偶」で言ふならば、
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」が、「妥当」であるならば、
① タゴール記念会は、私が理事長である。
といふ「日本語」が、
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外はタゴール記念会の理事長ではない。
といふ「意味」ある。といふことを、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（37）
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（33）～（37）により、
（38）
① タゴール記念会は、私が理事長である。⇔
① タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。⇔
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「等式」は、三上章先生であっても、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（39）
少なくとも、
「三上章、象は鼻が長い、1992年、第２１版」、
「三上章、日本語の論理、1963年、第 １版」等を読む限り、三上章先生は、
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
① タゴール記念会は、私が理事長である≡∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。
といふ「解釈」をされては、ゐない。
然るに、
（40）
伝統的論理学を清水滉『論理学』（1916年）で代表させよう。わたしのもっているのが四十三年の第十九冊の一冊で、なお引き続き刊行だろうから、前後かなり多くの読者をもつ論理学書と考えられる。新興の記号論理学は、沢田允茂『現代論理学入門』（1962年）を参照することにする（三上章、日本語の論理、1963年、４頁）。
付録２ 近代論理学抄：”クセジュ文庫”（J.Chauvineau:La Logique moderne '57）第２章の初めの二節を、訳者の許しを得てここに再録します（三上章、象は鼻が長い、1992年、第２１版、２１６頁）。
従って、
（41）
三上章先生は、
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
① タゴール記念会は、私が理事長である≡∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。
といふ「解釈」はされてはゐないものの、「述語論理（Predicate logic）」に対しては、関心を寄せられてゐた。
従って、
（42）
三上章先生は、「述語論理」に対しては、関心を寄せられてゐたものの、惜しむらくは、
① 象は鼻が長い。
① タゴール記念会は、私が理事長である。
といふ「日本語」を、「述語論理」に「翻訳」するとしたら、「どのやうな訳」になるのか、といふことまでは、考へてはゐなかった。
といふ、ことである。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３）～～Ｐ ２
２ （４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
５ （５） Ｑ Ａ
５ （６）～～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （７）～～Ｐ∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～Ｐ→Ｑ ７含意の定義
９（９） ～Ｑ Ａ
１ ９（ア）～～Ｐ ８９ＭＴＴ
１ ９（イ） Ｐ ９ＤＮ
１ （ウ） ～Ｑ→Ｐ ９イＣＰ
１ （エ）～Ｐ→Ｑ＆～Ｑ→Ｐ ８ウ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→Ｑ＆～Ｑ→Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ→Ｑ １＆Ｉ
１ （３）～～Ｐ∨Ｑ ２含意の定義
４ （４）～～Ｐ Ａ
４ （５） Ｐ ４ＤＮ
４ （６） Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
１ （９） Ｐ∨Ｑ ３４６７８∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
１（８）含意の定義
１（３）含意の定義
といふ「定理（Theorem）」を用ひてもよいのであれば、
① Ｐであるか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、ＱでないならばＰである。
といふ「定理」は、「２２行の計算」で、「証明」出来る。
然るに、
（04）
１（８）含意の定義
１（３）含意の定義
といふ「定理（Theorem）」を用ひるためには、『含意の定義』といふ「定理（Theorem）」が、「証明済み」でなければならない。
然るに、
（05）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ Ｑ∨Ｐ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～Ｐ∨Ｑ
② （Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
③ Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
① ～Ｐ∨Ｑ
② （Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
③ Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふ「こと自体」が、「教科書」に載ってゐる、『含意の定義』そのものである。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３）～～Ｐ ２
２ （４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
５ （５） Ｑ Ａ
５ （６）～～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （７）～～Ｐ∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～Ｐ→Ｑ ７含意の定義
９（９） ～Ｑ Ａ
１ ９（ア）～～Ｐ ８９ＭＴＴ
１ ９（イ） Ｐ ９ＤＮ
１ （ウ） ～Ｑ→Ｐ ９イＣＰ
１ （エ）～Ｐ→Ｑ＆～Ｑ→Ｐ ８ウ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→Ｑ＆～Ｑ→Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ→Ｑ １＆Ｉ
１ （３）～～Ｐ∨Ｑ ２含意の定義
４ （４）～～Ｐ Ａ
４ （５） Ｐ ４ＤＮ
４ （６） Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
１ （９） Ｐ∨Ｑ ３４６７８∨Ｅ
といふ「２２行の計算」は、例へば、「次（08）」のやうな、「５４行の計算」に、書き換へなければ、ならない。
（08）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
ウエ （オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
コ （コ） ～Ｑ Ａ
１ コ （サ） ～～Ｐ ケコＭＴＴ
１ コ （シ） Ｐ サＤＮ
１ （ス） ～Ｑ→ Ｐ コシＣＰ
１ （ソ）（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） ケス＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２） ～Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
３ （３） ～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
４ （５） Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｐ ４６ＲＡＡ
１３ （８） Ｑ ２７ＭＰＰ
１３ （９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１３ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ） ３９＆Ｉ
１ （イ）～～（Ｐ∨Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） Ｐ∨Ｑ イＤＮ
１ （エ） ～Ｑ→Ｐ １＆Ｅ
オ （オ） ～（Ｑ∨Ｐ） Ａ
カ （カ） Ｑ Ａ
カ （キ） Ｑ∨Ｐ カ∨Ｉ
オカ （ク） ～（Ｑ∨Ｐ）＆（Ｑ∨Ｐ） オキ＆Ｉ
オ （ケ） ～Ｑ カクＲＡＡ
１ オ （コ） Ｐ エケＭＰＰ
１ オ （サ） Ｑ∨Ｐ コ∨Ｉ
１ オ （シ） ～（Ｑ∨Ｐ）＆（Ｑ∨Ｐ） オサ＆Ｉ
１ （ス）～～（Ｑ∨Ｐ） オスＲＡＡ
１ （セ） Ｑ∨Ｐ スＤＮ
ソ （ソ） Ｑ Ａ
ソ （タ） Ｐ∨Ｑ ソ∨Ｉ
チ（チ） Ｐ Ａ
チ（ツ） Ｐ∨Ｑ チ∨Ｉ
１ （テ） Ｐ∨Ｑ セソタチツ∨Ｅ
１ （ト）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ） ウテ＆Ｉ
１ （ナ） Ｐ∨Ｑ ト＆Ｅ
従って、
（07）（08）により、
（09）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、ＱでないならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
① Ｐ∨Ｑ≡Ａさんは男性であるか、Ａさんは女性である。
① Ｐ∨Ｑ≡Ａさんと、Ｂさんの、少なくとも、一方は、日本人である。
に於いて、「前者」を「排他的選言」といひ、「後者」を「両立的選言」といふ。
然るに、
（11）
「論理学」で用ひる、
① Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるか、Ｑである。
は、「両立的選言」である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
命題Ｐ＝Ａさんは日本人である。
命題Ｑ＝Ｂさんは日本人である。
として、
① Ｐであるか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、ＱでないならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
とりわけ、∨を両立的選言の方に決めておけば、排他的選言の方は∨と＆と～によって簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
（昭和堂、論理学の基礎、1994年、１１頁）
従って、
（10）（13）により、
（14）
① Ｐ∨Ｑ≡Ａさんは男性であるか、Ａさんは女性であるかの、いづれかである。
のやうな、「排他的選言」は、
命題Ｐ＝Ａさんは男性である。
命題Ｑ＝Ａさんは女性である。
として、
① （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
といふ風に、書くことになる。
然るに、
（15）
① Ａは犯人であるか、Ｂは犯人である。
といふ「言ひ方」よりも、
① Ａが犯人であるか、Ｂが犯人である。
といふ「言ひ方」の方が、「普通」である。
（16）
「単独犯であることが想定され、容疑者が、ＡとＢの、２しかゐない。」といふのであれば、
① Ａが犯人であるか、Ｂが犯人である。
といふのであって、
① Ａは犯人であるか、Ｂは犯人である。
とは、いはない。
従って、
（16）により、
（17）
① Ａが犯人である。
① Ｂが犯人である。
といふ「日本語」は、
① Ａは犯人であって、Ａ以外（Ｂ）は犯人ではない。
① Ｂは犯人であって、Ｂ以外（Ａ）は犯人ではない。
といふ、「意味」である。
然るに、
（18）
① Ａ以外は犯人ではない。
① Ｂ以外は犯人ではない。
の「対偶（Contraposition）」は、
① 犯人はＡ以外ではない。
① 犯人はＢ以外ではない。
である。
然るに、
（19）
① 犯人はＡ以外ではない。
① 犯人はＢ以外ではない。
といふことは、
① 犯人はＡである。
① 犯人はＢである。
といふことに、他ならない。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
① Ａが犯人である。⇔ Ａ以外は犯人ではない。⇔ 犯人はＡである。
① Ｂが犯人である。⇔ Ｂ以外は犯人ではない。⇔ 犯人はＢである。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（21）
１ （１）∀ｘ｛犯人ｘ→［（ｘ＝ａ）∨（ｘ＝ｂ）］＆～（ａ＝ｂ）｝ Ａ
１ （２） 犯人γ→［（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ）］＆～（ａ＝ｂ） １ＵＥ
３ （３） 犯人γ Ａ
１３ （４） ［（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ）］＆～（ａ＝ｂ） ２３ＭＰＰ
１３ （５） （γ＝ａ）∨（γ＝ｂ） ４＆Ｅ
６ （６） （γ＝ａ） Ａ
６ （７） ～～（γ＝ａ） ６ＤＮ
６ （８） ～～（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ） ７∨Ｉ
９ （９） （γ＝ｂ） Ａ
９ （ア） ～～（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ） ９∨Ｉ
１３ （イ） ～～（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ） ５６８９アＥＥ
１３ （ウ） ～（γ＝ａ）→（γ＝ｂ） イ含意の定義
エ （エ） ～（γ＝ｂ） Ａ
１３ エ （オ） ～～（γ＝ａ） ウエＭＴＴ
１３ エ （カ） （γ＝ａ） オＤＮ
１３ （キ） ～（γ＝ｂ）→（γ＝ａ） エカＣＰ
ク （ク） ∃ｘ（ｘ＝ａ＆犯人ｘ） Ａ
ケ（ケ） γ＝ａ＆犯人γ Ａ
ケ（コ） γ＝ａ ケ＆Ｅ
１ （サ） ～（ａ＝ｂ） ２＆Ｅ
１ ケ（シ） ～（γ＝ｂ） コサ＝Ｅ
１ ク （ス） ～（γ＝ｂ） クケシＥＥ
１３ ク （セ） （γ＝ａ） キスＭＰＰ
１ ク （ソ） 犯人γ→ （γ＝ａ） ３セＣＰ
１ ク （タ）∀ｘ｛犯人ｘ→ （ｘ＝ａ）｝ ソＵＩ
従って、
（21）により、
（22）
「ａとｂ」を「大文字」で書くと、
① ∀ｘ｛犯人ｘ→［（ｘ＝Ａ）∨（ｘ＝Ｂ）］＆～（Ａ＝Ｂ）｝。然るに、
② ∃ｘ（ｘ＝Ａ＆犯人ｘ）。従って、
③ ∀ｘ｛犯人ｘ→（ｘ＝Ａ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが犯人であるならば、ｘはＡであるか、ｘはＢであるが、ＡとＢは別人である。 然るに、
② あるｘはＡであって、ｘは犯人である。 従って、
③ すべてのｘについて、ｘが犯人であるならば、ｘはＡである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（23）
③ ∀ｘ｛犯人ｘ→（ｘ＝Ａ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが犯人であるならば、ｘはＡである。
といふことは、
③ Only Ａ is the 犯人.
といふことである。
従って、
（20）（23）により、
（24）
③ ∀ｘ｛犯人ｘ→（ｘ＝Ａ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが犯人であるならば、ｘはＡである。
といふことは、
① Ａが犯人である。⇔ Ａ以外は犯人ではない。⇔ 犯人はＡである。
といふ、ことである。
従って、
（15）～（24）により、
（25）
① Ａが犯人であるか、Ｂが犯人である。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛犯人ｘ→［（ｘ＝Ａ）∨（ｘ＝Ｂ）］＆～（Ａ＝Ｂ）｝
といふ「述語論理」に、対応する。
（01）
Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
に於いて、
Ａ＝１
Ｂ＝０
といふ「代入」を行ふと、
１＋０＝０＋１
（02）
Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
に於いて、
Ａ＝１０
Ｂ＝２０
といふ「代入」を行ふと、
１０＋２０＝２０＋１０
従って、
（01）（02）により、
（03）
Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
といふ「等式」は、
『ＡとＢに、「特定の数値」を代入した際に、「左辺の数値」と「右辺の数値」は「同じ」になる。』
といふ「意味」である。
（04）
① Ｐ∨Ｑ≡Ｑ∨Ｐ
といふ「（命題計算の）等式」も、
『ＰとＱに、「特定の数値」を代入した際に、「左辺の数値」と「右辺の数値」は「同じ」になる。』
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
「命題計算（Propositional calculus）」に於ける「数値」は、「１（真）」と「０（偽）」しかなく、これらの「値」を「真理値」といふ。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ∨Ｑ≡Ｑ∨Ｐ
といふことは、
① １＝１ であるか、
① ０＝０ であるかの、いづれか、一方である。
然るに、
（07）
② ～Ｐ∨ Ｐ は、「恒に、真（１）」であって、
② Ｐ∨～Ｐ も、「恒に、真（１）」である。
従って、
（07）により、
（08）
② ～Ｐ∨Ｐ≡Ｐ∨～Ｐ
の場合は、
② ０＝０ ではなく、必ず、恒に、
② １＝１ である。
然るに、
（09）
② ～Ｐ∨Ｐ≡Ｐ∨～Ｐ
③ ～（Ｑ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）≡（Ｑ＆Ｒ）∨～（Ｑ＆Ｒ）
に於いて、
③ は、② に対して、
Ｐ＝（Ｑ＆Ｒ）
といふ「代入（Substitutione）」を行った「結果」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② ～Ｐ∨Ｐ≡Ｐ∨～Ｐ
③ ～（Ｑ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）≡（Ｑ＆Ｒ）∨～（Ｑ＆Ｒ）
であれば、２つとも、必ず、
② １＝１ であって、
③ １＝１ である。
然るに、
（11）
④ Ｐ≡Ｐである。
⑤ ～Ｐ≡Ｐでない。
に於いて、
Ｐ＝１（真）
であれば、
～Ｐ＝０（偽）
であって、
Ｐ＝０（偽）
であれば、
～Ｐ＝０（真）
である。
然るに、
（12）
④ Ｐ≡Ｐである。
⑤ ～Ｐ≡Ｐでない。
⑥ ～～Ｐ≡Ｐではい。ではない。
に於いて、
⑤ は、④ に対して、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitutione）」を行った「結果」であり、
に於いて、
⑥ は、⑤ に対して、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitutione）」を行った「結果」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
④ Ｐ≡Ｐである。
⑤ ～Ｐ≡Ｐでない。
⑥ ～～Ｐ≡Ｐではい。ではない。
に於いて、
④ Ｐ＝１（真）
であれば、
⑤ ～Ｐ＝０（偽）
であって、
⑥ ～～Ｐ＝１（真）
であり、
④ Ｐ＝０（偽）
であれば、
⑤ ～Ｐ＝１（真）
であって、
⑥ ～～Ｐ＝０（偽）
である。
従って、
（13）により、
（14）
④ Ｐ≡Ｐである。
⑥ ～～Ｐ≡Ｐではい。ではない。
に於いて、
④＝⑥＝１（真） であるか、
④＝⑥＝０（偽） であるかの、いづれかである。
従って、
（14）により、
（15）
「真理値（１・０）」と「代入」といふ「観点」からすれば、必ず、
⑦ Ｐ≡～～Ｐ
である。
然るに、
（16）
⑦ Ｐ≡～～Ｐ
といふことは、「日本語」で書けば、
⑦「Ｐである。」≡「Ｐでない。はウソである。」
といふことになる。
従って、
（16）により、
（17）
⑦ Ｐ≡～～Ｐ
⑦「Ｐである。」≡「Ｐでない。はウソである。」
といふことは、「日常生活に於ける、公理（Axiom）」である。
と、言っても良い。
然るに、
（18）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３） Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４） ～～Ｐ ２３ＲＡＡ
（５）Ｐ→～～Ｐ １４ＣＰ
然るに、
（19）
⑦ Ｐ→～～Ｐ
といふ「記号」は、
⑦ Ｐならば、Ｐでないは、ウソである。
といふ、「意味」である。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
⑦ Ｐ→～～Ｐ
⑦ Ｐならば、Ｐでないは、ウソである。
であれば、「定理（Theorem）」として、「証明」出来る。
然るに、
（21）
⑦ ～～Ｐ→Ｐ
⑦ Ｐでないがウソならば、Ｐである。
の場合は、少なくとも、私には、「定理（Theorem）」として「証明」出来ないし、「証明出来ない」といふことも、「証明」出来ない。
（01）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３） Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４） ～～Ｐ ２３ＲＡＡ
（５）Ｐ→～～Ｐ １４ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
Ｐ→～～Ｐ≡Ｐならば、Ｐでない、ではない。
は、「定理（Theorem）」である。
（03）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） ６１＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
Ｐ∨～Ｐ≡Ｐであるか、Ｐでない。
すなはち、「排中律」は、「定理（Theorem）」である。
然るに、
（05）
（１） Ｐ→～～Ｐ ＴＩ（定理導入の規則）
（２）～Ｐ∨～～Ｐ １含意の定義
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～～Ｐ∨～Ｐ ３∨Ｉ
５（５） ～～Ｐ Ａ
５（６）～～Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
（７）～～Ｐ∨～Ｐ ２３４５６ＥＥ
（８） Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（定理導入の規則）
然るに、
（06）
Ｐ∨～Ｐ≡Ｐであるか、Ｐでない。
が「排中律」であるならば、
～Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、Ｐでない。
も「排中律」であるに、違ひない。
然るに、
（07）
～Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、Ｐでない。
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitutione）」を行ふと、
～～Ｐ∨～Ｐ
である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
⑦ ～～Ｐ∨～Ｐ
⑧ Ｐ∨～Ｐ
に於いて、
⑦ は「排中律」であるし、
⑧ も「排中律」であるに、違ひない。
従って、
（08）により、
（09）
「排中律」が、「一つしか無い」とするならば、
⑦ ～～Ｐ∨～Ｐ
⑧ Ｐ∨～Ｐ
に於いて、
⑦＝⑧ である。
然るに、
（10）
「全体が等しければ、部分も等しい。」
従って、
（09）（10）により、
（11）
⑦ ～～Ｐ∨～Ｐ
⑧ Ｐ∨～Ｐ
に於いて、
⑦＝⑧ であるが故に、
⑦ ～～Ｐ
⑧ Ｐ
に於いても、
⑦＝⑧ である。
然るに、
（03）により、
（12）
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
に於いて、「ＤＮ（二重否定律）」が使はれてゐる。
然るに、
（13）
Ｐ→～～Ｐ≡Ｐならば、Ｐでない、ではない。
といふ「定理（Theorem）」に続いて、私が、「証明」したかったのは、その「逆」である、
～～Ｐ→Ｐ≡Ｐでない、ではない。ならば、Ｐである。
が「定理（Theorem）」である。といふことである。
従って、
（12）（13）により、
（14）
「証明」したいことがらを「証明」する過程で、
「証明」したいことがらを「使ってゐる」ので、「反則」である。
加へて、
（15）
「全体が等しければ、部分も等しい。」
といふのは、多分、「本当」であるが、「自然演繹（Natural deduction）」の本に、「そのやうなこと」は書かれてゐない。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
私には、
Ｐ→～～Ｐ≡Ｐならば、Ｐでない、ではない。
といふ「定理（Theorem）」は「証明」出来ても、
～～Ｐ→Ｐ≡Ｐでない、ではない。ならば、Ｐである。
が「定理（Theorem）」であることを、「証明」出来ない。
然るに、
（17）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系 L は、証明の構文規則に関する次のような１０個の基本的規則だけを持つ。
３.二重否定の規則 "The Rule of Double Negation"（DN）
（ウィキペディア改）
然るに、
（18）
「Ｐ→～～Ｐ＆～～Ｐ→Ｐ」と書けば、
３.二重否定の規則 "The Rule of Double Negation"（DN）
は、「論理式」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
自然演繹論理のあるバージョンには、「公理」が存在しない。
とは言ふものの、
「Ｐ→～～Ｐ＆～～Ｐ→Ｐ（二重否定の規則）」といふ「規則（Rule）」 は、ほとんど、
「Ｐ→～～Ｐ＆～～Ｐ→Ｐ（二重否定の公理）」といふ「公理（Axiom）」と、変はらない。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
ウエ （オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
コ （コ） ～Ｑ Ａ
サ（サ） ～Ｐ Ａ
コサ（シ） ～Ｐ＆～Ｑ サコ＆Ｉ
１ コサ（ス）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イサ＆Ｉ
１ コ （セ） ～～Ｐ サスＲＡＡ
１ コ （ソ） Ｐ セＤＮ
１ （タ） ～Ｑ→ Ｐ コソＣＰ
１ （チ）（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） ケタ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２） ～Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
３ （３） ～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
４ （５） Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｐ ４６ＲＡＡ
１３ （８） Ｑ ２７ＭＰＰ
１３ （９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１３ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ） ３９＆Ｉ
１ （イ）～～（Ｐ∨Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） Ｐ∨Ｑ イＤＮ
１ （エ） ～Ｑ→Ｐ １＆Ｅ
オ （オ） ～（Ｑ∨Ｐ） Ａ
カ （カ） Ｑ Ａ
カ （キ） Ｑ∨Ｐ カ∨Ｉ
オカ （ク） ～（Ｑ∨Ｐ）＆（Ｑ∨Ｐ） オキ＆Ｉ
オ （ケ） ～Ｑ カクＲＡＡ
１ オ （コ） Ｐ エケＭＰＰ
１ オ （サ） Ｑ∨Ｐ コ∨Ｉ
１ オ （シ） ～（Ｑ∨Ｐ）＆（Ｑ∨Ｐ） オサ＆Ｉ
１ （ス）～～（Ｑ∨Ｐ） オスＲＡＡ
１ （セ） Ｑ∨Ｐ スＤＮ
ソ （ソ） Ｑ Ａ
ソ （タ） Ｐ∨Ｑ ソ∨Ｉ
チ（チ） Ｐ Ａ
チ（ツ） Ｐ∨Ｑ チ∨Ｉ
１ （テ） Ｐ∨Ｑ セソタチツ∨Ｅ
１ （ト）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ） ウテ＆Ｉ
１ （ナ） Ｐ∨Ｑ ト＆Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、① である。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ （Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
然るに、
（05）
④ （Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
は、「対偶（Contraposition）」であるため、
④ （Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
⑤ Ｐ→Ｑ
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ Ｐ→Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
ｃｆ.
「含意の定義」といふ。
然るに、
（07）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
といふ「論理式」を、「日本語」で言ふと、
① Ｐか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、Ｑでないならば、Ｐである。
といふことになる。
従って、
（03）（07）により、
（08）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
といふ「論理式」は、
① Ｐか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、Ｑでないならば、Ｐである。
といふ「意味」であり、
①＝② である。
従って、
（08）により、
（09）
命題Ｐ＝自然数Ｎは偶数である。
命題Ｑ＝自然数Ｎは奇数である。
とすると、
① Ｎは偶数であるか、奇数である。
② Ｎが偶数でないならば、Ｎは奇数であり、Ｎが奇数でないならば、Ｎは偶数である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
といふ「論理式」は、「当り前」のことを、言ってゐるに、過ぎない。
従って、
（01）（10）により、
（11）
（01）で示した「命題計算（Propositional calculus）」は、「当り前」のことを「演繹」するために、「５６行もの計算」をしてゐる。
然るに、
（12）
仮に、
１（１） Ｐ∨Ｑ Ａ
１（２）（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） 選言の規則
のやうに、『選言の規則』といふ「規則（Rule）」を認めるとする。
然るに、
（13）
『仮定の規則（Ａ）、肯定肯定式（ＭＰＰ）、否定否定式（ＭＴＴ）、二重否定（ＤＮ）、条件的証明（ＣＰ）、連言導入（＆Ｉ）、連言除去（＆Ｅ）、選言導入（∨Ｉ）、選言除去（∨Ｅ）、背理法（ＲＡＡ）』は、ゲンツェン（G.Gentzen）に由来する、「自然演繹の規則（Rules）」である。
従って、
（01）（11）（12）（13）により、
（14）
仮に、ゲンツェン（G.Gentzen）が、「肯定肯定式」を「規則」とせずに、『選言の規則』を「規則」としてゐたならば、
（01）で示した「５６行の計算」は、「２行」で、「終はる」ことになる。
（15）
「命題計算（Propositional calculus）」は、「一種の、パズル」なので、「２行で終る計算」は、つまらなく、「５６行もかかる計算」の方が、楽しい。
（16）
① Ｐ∨ Ｑ
② （～Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝③ は、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（17）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２（２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
といふ風に、「仮定（Assumpt）」すれば、それだけで、「仮定（１）」と「仮定（２）」は「矛盾」する。
従って、
（18）
① Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝③ であることを、「証明」するためには、
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２（２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
に対して、「背理法（ＲＡＡ）」を用ひるべく、「選言除去（∨Ｅ）」を用ゐることなる。
従って、
（17）（18）により、
（19）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （カ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（19）により、
（20）
① Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
① ならば、③ であり、
③ ならば、① である。
従って、
（20）により、
（21）
① Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（03）（21）により、
（22）
① Ｐ∨ Ｑ
② （～Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（23）
① Ｐ∨ Ｑ
② （～Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」を、「日本語」で言ふと、
① Ｐか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、Ｑでないならば、Ｐである。
③ Ｐではないし、 Ｑでもない。といふことはない。
といふことになる。
従って、
（23）により、
（24）
命題Ｐ＝Ａさんは男性である。
命題Ｑ＝Ａさんは女性である。
とすると、
① Ａさんは男性であるか、Ａさんは女性である。
② Ａさんが男性でないならば、Ａさんは女性であり、Ａさんが女性でないならば、Ａさんは男性である。
③ Ａさんが男性ではなく、尚且つ、Ａさんが女性でない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（25）
① Ａさんは男性であるか、Ａさんは女性である。
② Ａさんが男性でないならば、Ａさんは女性であり、Ａさんが女性でないならば、Ａさんは男性である。
③ Ａさんが男性ではなく、尚且つ、Ａさんが女性でない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことを、理解できない、「日本語の話者」は、ゐないはずである。
従って、
（23）（24）（25）により、
（26）
① Ｐ∨ Ｑ
② （～Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことは、「日本語」としても、「正しい」。
然るに、
（27）
① Ｐ∨Ｑ≡Ａさんは男性であるか、Ａさんは女性である。
① Ｐ∨Ｑ≡少なくとも、Ａさんか、Ｂさんの、どちらかは、日本人である。
に於いて、「前者」を「排他的選言」といひ、「後者」を「両立的選言」といふ。
然るに、
（28）
①「少なくとも、Ａさんか、Ｂさんは、日本人である。」としても、
②「Ａさんが、日本人でない。」のであれば、「Ｂさんは日本人であり」、
②「Ｂさんが、日本人でない。」のであれば、「Ａさんは日本人であり」、
③「Ａさんが日本人ではく、Ｂさんも日本人ではない。」といふことはない。
従って、
（25）～（28）により、
（29）
① Ｐ∨ Ｑ
② （～Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
① が、「排他的選言」であっても、
① が、「両立的選言」であっても、
①＝②＝③ である。
といふことは、「日本語」としても、「正しい」。
然るに、
（30）
仮に、「論理学」に於いて、「Ｐ∨Ｑ」が、「両立的選言」ではなく、「排他的選言」であるならば、そのときに限って、
１ （１）Ｐ∨Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） ～Ｑ １２排他的選言
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（31）
１ （１）Ｐ∨Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） ～Ｑ １２排他的選言
といふ「計算」は、「マチガイ」であって、「正しくない」。
従って、
（29）（30）（31）により、
（32）
「論理学」に於ける「Ｐ∨Ｑ」は、「両立的選言」であって、「排他的選言」ではない。
然るに、
（33）
「論理学」に於ける「Ｐ∨Ｑ」は、「排他的選言」ではないにしても、
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ） １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２ド・モルガンの法則
１ （４） Ｐ→～Ｑ ３含意の定義
５ （５） Ｐ Ａ
１５ （６） ～Ｑ ４５ＭＰＰ
１ （７） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
７ （８） Ｐ Ａ
７ （９）～～Ｐ ８ＤＮ
７ （ア）～～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
イ （イ） Ｑ Ａ
イ （ウ）～～Ｐ∨Ｑ イ∨Ｉ
１ （エ）～～Ｐ∨Ｑ ７８アイウＥＥ
１ （オ） ～Ｐ→Ｑ エ含意の定義
カ（カ） ～Ｐ Ａ
１ カ（キ） Ｑ オカＭＰＰ
従って、
（33）により、
（34）
（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）であって、
Ｐならば、～Ｑであって、
～Ｐならば、 Ｑである。
従って、
（31）～（34）により、
（35）
「論理学」に於いて、
「Ｐ∨Ｑ」が、「排他的選言」ではなく、「両立的選言」であるにせよ、
「（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）」と書けば、
「（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）」は、「両立的選言」ではなく、「排他的選言」である。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ～～Ｐ ２ＤＮ
２ （４） ～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
５ （５） Ｑ Ａ
５ （６） ～～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （７） ～～Ｐ∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～Ｐ→Ｑ ７含意の定義
（９）Ｐ∨Ｑ→～Ｐ→Ｑ １８ＣＰ
ア（ア）Ｐ∨Ｑ＆～Ｐ Ａ
ア（イ）Ｐ∨Ｑ ア＆Ｅ
ア（ウ） ～Ｐ→Ｑ ９イＭＰＰ
ア（エ） ～Ｐ ア＆Ｅ
ア（オ） Ｑ ウエＭＰＰ
（カ）Ｐ∨Ｑ＆～Ｐ→Ｑ アオＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ～～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
４ （４） Ｑ Ａ
４ （５） ～～Ｑ ４ＤＮ
４ （６） ～～Ｑ∨Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～～Ｑ∨Ｐ １２３４６∨Ｅ
１ （８） ～Ｑ→Ｐ ７含意の定義
（９）Ｐ∨Ｑ→～Ｑ→Ｐ １８ＣＰ
ア（ア）Ｐ∨Ｑ＆～Ｑ Ａ
ア（イ）Ｐ∨Ｑ ア＆Ｅ
ア（ウ） ～Ｑ→Ｐ ９イＭＰＰ
ア（エ） ～Ｑ ア＆Ｅ
ア（オ） Ｐ ウエＭＰＰ
（カ）Ｐ∨Ｑ＆～Ｑ→Ｐ アオＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ＆～Ｐ→Ｑ
② Ｐ∨Ｑ＆～Ｑ→Ｐ
は、「定理（Theorem）」である。
ｃｆ.
「選言三段論法（Disjunctive syllogism）」といふ。
従って、
（02）により、
（03）
「日本語」で言ふと、
① ＰかＱ であって、Ｐでない ならば、Ｑである。
② ＰかＱ であって、Ｑでない ならば、Ｐである。
は、「定理（Theorem）」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
５（７） Ｑ Ａ
１ （８） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ５（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
５（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
② ～（Ｐ∨ Ｑ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（06）
② ～（Ｐ∨ Ｑ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ
の「否定」は、
② Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（07）により、
（08）
② ＰかＱである。
③ Ｐでもないし、Ｑでもない。といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、
②＝③ である。
従って、
（03）（08）により、
（09）
① ＰかＱ であって、Ｑでない ならば、Ｐである。
② ＰかＱ であって、Ｐでない ならば、Ｑである。
③ Ｐでもないし、Ｑでもない。といふことはない。
といふ、ことになる。
然るに、
（10）
① Ｑでない ならば、Ｐである。
② Ｐでない ならば、Ｑである。
といふことは、
③ Ｐでもないし、Ｑでもない。といふことはない。
といふことに、他ならない。
従って、
（03）（10）により、
（11）
① ＰかＱである。
② ＰでないならばＱであり、ＱでないならばＰである。
③ Ｐでもないし、Ｑでもない。といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（01）～（11）により、
（12）
① ＰかＱである。
② ＰでないならばＱであり、ＱでないならばＰである。
③ Ｐでもないし、Ｑでもない。といふことはない。
といふ「日本語」は、
① Ｐ∨Ｑ
② Ｐ∨Ｑ＆～Ｑ→Ｐ＆～Ｐ→Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」に、対応する。
従って、
（12）により、
（13）
少なくとも、
① ＰかＱである。
② ＰでないならばＱであり、ＱでないならばＰである。
③ Ｐでもないし、Ｑでもない。といふことはない。
といふ「日本語」は、「論理的（logical）」であると、言はざるを得ない。
（01）
① ～Ｐ∨Ｑ
①いふ「式」は、
①（～Ｐと、Ｑが、同時に、真である。）といふことは有っても、
①（～Ｐと、Ｑが、同時に、偽である。）といふことは無い。
といふ「意味」である。
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
② ～Ｐが「偽」であるならば、 Ｑは「偽」ではなく、「真」であり、
③ Ｑが「偽」であるならば、～Ｐが「偽」ではなく、「真」である。
然るに
（03）
② Ｐが「真」であるならば、～Ｐは「偽」であり、
③ ～Ｑが「真」であるならば、 Ｑが「偽」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
② Ｐが「真」であるならば、 Ｑが「真」であり、
③ ～Ｑが「真」であるならば、～Ｐが「真」である。
（05）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「式」は、
①（Ｐと、～Ｑが、同時に、偽である。）といふことは有っても、
①（Ｐと、～Ｑが、同時に、真である。）といふことは無い。
といふ「意味」である。
従って、
（05）により、
（06）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
② Ｐが「真」であるならば、～Ｑは「真」ではなく、「偽」であり、
③ ～Ｑが「真」であるならば、 Ｐは「真」ではなく、「偽」である。
然るに、
（07）
② ～Ｑが「偽」であるならば、 Ｑが「真」であり、
③ Ｐが「偽」であるならば、～Ｐが「真」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
② Ｐが「真」であるならば、 Ｑが「真」であり、
③ ～Ｑが「真」であるならば、～Ｐが「真」である。
従って、
（04）（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨ Ｑ
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、両方とも、
② Ｐが「真」であるならば、 Ｑが「真」であり、
③ ～Ｑが「真」であるならば、～Ｐが「真」である。
然るに、
（10）
③ Ｐが「真」であるならば、 Ｑが「真」であり、
④ ～Ｑが「真」であるならば、～Ｐが「真」である。
といふことは、要するに、
③ Ｐであるならば、Ｑであり、
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
といふ、ことである。
然るに、
（11）
③ Ｐであるならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、両者は、「対偶（Contraposition）」であるため、
③＝④ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ→ Ｑ ≡Ｐであるならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨ Ｑ ≡Ｐでないか、 Ｑである。
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、 Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ であるが、特に、
②＝③ は、「ド・モルガンの法則」でもある。
然るに、
（13）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅲ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅳ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
果たして、「命題計算」の「結果」としても、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
①＝②＝③ である
従って、
（12）（14）により、
（15）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ＝Ｐ＆～Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ Ａ
２ （２）～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｑ Ａ
５（６） Ｐ ∨Ｑ ５∨Ｉ
５（７） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ １２４５７∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ Ａ
１ （２）（～Ｐ∨ Ｐ）∨Ｑ １結合法則
３ （３）（～Ｐ∨ Ｐ） Ａ
３ （４）～（Ｐ＆～Ｐ） ２ド・モルガンの法則
３ （５）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ２３５６７∨Ｅ
従って、
（16）により、
（17）
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（19）
③ ～Ｐ∨Ｐ∨Ｑ
といふ「式」は、
③（～Ｐと、Ｐと、Ｑが、同時に、真である。）といふことは有っても、
③（～Ｐと、Ｐと、Ｑが、同時に、偽である。）といふことは無い。
といふ「意味」である。
従って、
（19）により、
（20）
③ ～Ｐ∨Ｐ∨Ｑ
に於いて、
～Ｐ≡Ｐでない。 が「偽」であり、
Ｐ≡Ｐである。 も「偽」であるならば、
Ｑ≡Ｑである。 は「偽」ではなく、「真」である。
然るに、
（21）
～Ｐ≡Ｐでない。 が「偽」であるならば、そのときに限って、 Ｐ≡Ｐである。 は「真」であり、
Ｐ≡Ｐである。 が「偽」であるならば、そのときに限って、～Ｐ≡Ｐでない。 は「真」である。
従って、
（20）（21）により、
（22）
③ ～Ｐ∨Ｐ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ≡Ｐである。 が「真」であり、
～Ｐ≡Ｐでない。 も「真」であるならば、
Ｑ≡Ｑである。 は「偽」ではなく、「真」である。
従って、
（18）（22）により、
（23）
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ≡Ｐである。 が「真」であり、
～Ｐ≡Ｐでない。 も「真」であるならば、
Ｑ≡Ｑである。 は「偽」ではなく、「真」である。
然るに、
（24）
Ｐ≡Ｐである。 が「真」であるならば、
～Ｐ≡Ｐでない。 は「偽」である。
従って、
（23）（24）により、
（25）
Ｐ≡Ｐである。 が「真」であり、
～Ｐ≡Ｐでない。 も「真」である。
といふことは、「有り得ない」。
従って、
（23）（24）により、
（25）
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ≡Ｐである。 が「真」であり、
～Ｐ≡Ｐでない。 も「真」であるならば、
Ｑ≡Ｑである。 は「偽」ではなく、「真」である。
としも、「そのやうなこと」は、「有り得ない」。
従って、
（26）
（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ 然るに、
（Ｐ＆～Ｐ） 従って、
Ｑ。
といふ「三段論法（ＭＰＰ）」は、「有り得ない」。
従って、
（26）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
として、
太陽が東から昇り、太陽が東から昇らないのであれば、バカボンのパパは天才である。 然るに、
太陽は東から昇り、太陽は東から昇らない。 従って、
バカボンのパパは天才である。
といふ「三段論法（ＭＰＰ）」は、「有り得ない」。
ｃｆ.
西から昇ったおひさまが東へ沈む。（あ、たいへーん！）
これでいいのだ。これでいいのだ。
（アニメ、天才バカボン、主題歌）
然るに、
（27）
③ ～Ｐ∨Ｐ∨Ｑ
といふ「式」は、
③ ～真∨真∨Ｑ
であるか、
③ ～偽∨偽∨Ｑ
であるかの、いづれかである。
然るに、
（28）
③ ～真∨真∨Ｑ
③ ～偽∨偽∨Ｑ
であれば、
③ 偽∨真∨Ｑ
③ 真∨偽∨Ｑ
であり、
③ 偽∨真∨Ｑ
③ 真∨偽∨Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
（18）（26）（28）により、
（29）
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
とする限り、
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
① 太陽が東から昇り、太陽が東から昇らないのであれば、バカボンのパパは天才である。
といふ「仮言命題」は、「恒に真」であるが、
① 太陽が東から昇り、太陽が東から昇らない。
といふ「命題（矛盾）」は、「恒に偽」である。