（467）「対偶」と「は・が」と「三上文法」と「述語論理」。

（01）
① Ａであって、Ｂである。
② Ｂであって、Ａである。
に於いて、
①＝② である。
ｃｆ.
「交換法則（commutative law）」といふ。
従って、
（02）
① Ａであって、Ｂでない。
② Ｂでなくて、Ａである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）
①（Ａであって、Ｂでない。）といふことはない。
②（Ｂでなくて、Ａである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
①（Ａであって、Ｂでない。）といふことはない。
②（Ｂでなくて、Ａである。）といふことはない。
といふことは、「順番」に、
③ Ａであるならば、Ｂである。
④ Ｂでないならば、Ａでない。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
③ Ａであるならば、Ｂである。
④ Ｂでないならば、Ａでない。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（06）
（ａ）
１　　（１）～（Ａ＆～Ｂ）　　Ａ
　２　（２）　　Ａ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｂ　　　Ａ
　２３（４）　　Ａ＆～Ｂ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ａ＆～Ｂ）＆
　　　　　　　（Ａ＆～Ｂ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｂ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｂ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ａ→　Ｂ　　　２７ＣＰ
（ｂ）
１　　（１）　　Ａ→　Ｂ　　　２７ＣＰ
　２　（２）　　Ａ＆～Ｂ　　　Ａ
　２　（３）　　Ａ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　　Ｂ　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　～Ｂ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　Ｂ＆～Ｂ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ａ＆～Ｂ）　　２６ＲＡＡ
（ｃ）
１　　（１）　　Ａ→　Ｂ　　　Ａ
　２　（２）　　　　～Ｂ　　　Ａ
　　３（３）　　Ａ　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　　Ｂ　　　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　～Ｂ＆Ｂ　　　２４＆Ｉ
１２　（６）　～Ａ　　　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　～Ｂ→～Ａ　　　２６ＣＰ
（ｄ）
１　　（１）　～Ｂ→～Ａ　　　Ａ
　２　（２）　　　　　Ａ　　　Ａ
　　３（３）　～Ｂ　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ａ　　　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　Ａ＆～Ａ　　　２４＆Ｉ
１２　（６）～～Ｂ　　　　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　Ｂ　　　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ａ→　Ｂ　　　２７ＣＰ
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ～（　Ａ＆～Ｂ）≡（Ａであって、Ｂでない。）といふことはない。
② ～（～Ｂ＆　Ａ）≡（Ｂでなくて、Ａである。）といふことはない。
③ 　　　Ａ→　Ｂ　≡　Ａであるならば、Ｂである。
④ 　　～Ｂ→～Ａ　≡　Ｂでないならば、Ａでない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
いづれにせよ、
③ Ａであるならば、Ｂである。
④ Ｂでないならば、Ａでない。
に於いて、
③＝④ であって、この「等式」を、「対偶（Contraposition）」といふ。
然るに、
（09）
③ Ａであるならば、Ｂである。
④ Ｂでないならば、Ａでない。
に於いて、
Ａ＝Ｂ
Ｂ＝Ａ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
② Ｂであるならば、Ａである。
③ Ａでないならば、Ｂでない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② Ｂであるならば、Ａである。
③ Ａでないならば、Ｂでない。
に於いて、
②＝③ であって、この「等式」を、「対偶（Contraposition）」といふ。
然るに、
（11）
② Ｂであるならば、Ａである。
③ Ａでないならば、Ｂでない。
といふことは、
② ＢはＡである。
③ Ａ以外はＢでない。
といふ、ことである。
従って、
（10）（11）により、
（12）
② ＢはＡである。
③ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
②＝③ であって、この「等式」を、「対偶（Contraposition）」といふ。
然るに、
（13）
① ＡはＢである。
② ＢはＡである。
に於いて、
①と②は、互いに、「逆（Converse）」である。
然るに、
（14）
ある命題とその逆の真偽は、必ずとも一致しない（逆は必ずしも真ならず）。この表現は日常生活や数学の中でことわざのように使用されることがある（ウィキペディア）。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
① ＡはＢである。
② ＢはＡである。
③ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
①＝② は、　「偶然」であるが、
②＝③ といふ「対偶」は、「必然」である。
従って、
（15）により、
（16）
例へば、
① 私は理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② は、　「偶然」であるが、
②＝③ といふ「対偶」は、「必然」である。
然るに、
（17）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
　理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
　タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（16）（17）
（18）
① 私は理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
④ 私が理事長です。
に於いて、
①＝② は、　「偶然」であるが、
②＝③ といふ「対偶」は、「必然」であって、
②＝④ であるといふ「事実」が、「よく知られている」。
従って、
（15）～（18）により、
（19）
「番号」を付け直すと、
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
①＝② ではないが、
　　②＝③＝④ である。
然るに。
（20）
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
といふのであれば、
① ＡはＢである。
従って、
（14）（20）により、
（21）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
に於いて、
② ならば、① であるが、
① ならば、② であるとは、限らない。
然るに、
（22）
１　　（１）②→　①　Ａ
　２　（２）　　～①　Ａ
　　３（３）②　　　　Ａ
１　３（４）　　　①　１３ＭＰＰ
１２３（５）～①＆①　２４＆Ｉ
１　３（６）　～～①  ２５ＲＡＡ
１　３（７）　　　①　６ＤＮ
従って、
（22）により、
（23）
② ならば、① である。
として、　 ① ではなく、その上、
② である。とすると、「矛盾」する。
従って、
（23）により、
（24）
② ならば、① である。
として、
② であるためには、
① でない、ではない。
といふことを、すなはち、
① であることを、「必要」とする。
従って、
（20）～（24）により、
（25）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
に於いて、
① であるといふことは、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない。
従って、
（25）により、
（26）
① 私は理事長である。
② 私が理事長である。
に於いて、
① であるといふことは、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない。
従って、
（17）（26）により、
（27）
① タゴール記念会は、私は理事長である。
② タゴール記念会は、私が理事長である。
に於いて、
① であるといふことは、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない。
然るに、
（28）
① タゴール記念会は、私は理事長である。
② タゴール記念会は、私が理事長である。
であれば、
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ］｝
② ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
といふ風に、書くことが出来、
① であるといふことは、確かに、
② であるといふことの、「必要条件」であって、「十分条件」ではない。
従って、
（28）により、
（29）
① タゴール記念会は、私は理事長である。
② タゴール記念会は、私が理事長である。
といふ「日本語」が、「真（本当）」であるためには、
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ］｝
② ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
といふ「条件」、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、私はｘの理事長である。
② すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「条件」を満たしてゐる、「必要」がある。
然るに、
（30）
１　　　　　（１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　Ｔ会の会員ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　　　（４）　　　　　　　　　　∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　３４ＭＰＰ
　　５　　　（５）　　　　　　　　　　　　　私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　Ａ
　　５　　　（６）　　　　　　　　　　　　　私ｂ＆理事長ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　５　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　５＆Ｅ
　　５　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　理事長ｃａ→ｂ＝ｃ　　　　７ＵＥ
　　　９　　（９）　    　　∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（ア）　　    　　　　倉田ｃ＆～私ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（イ）　　　    　　　倉田ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　ア　（ウ）　　　　　　　　    　　～私ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　   　　 　ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　アエ（オ）　　　　　　　　　　　　～私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウエ＝Ｅ
　　５　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　５　アエ（キ）　　　　　　　　　　　　～私ｂ＆私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オカ＆Ｉ
　　５　ア　（ク）　　　　　　　　　　　　　　ｂ≠ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エキＲＡＡ
　　５　ア　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～理事長ｃａ　　　　　　　　８クＭＴＴ
　　５　ア　（コ）　　　　　　　　倉田ｃ＆～理事長ｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イケ＆Ｉ
　　５　ア　（サ）　　　　　∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コＥＩ
　　５９　　（シ）　　　　　∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９アサＥＥ
１３　９　　（ス）　　　　　∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５シＥＥ
１　　９　　（セ）　　　Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　３ス＆Ｉ
１　　９　　（シ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝　　　　　　　　　　　　　セＵＩ
従って、
（30）により、
（31）
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
② ∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ）。従って、
③ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
② あるｚは倉田氏であって、私ではない。
③ すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは倉田氏であって、ｚはｘの理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（32）
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（29）～（32）により、
（33）
仮に、
① タゴール記念会は、私が理事長である。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。⇔
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「等式」から、
① ∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）。
① すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「条件」を除いてしまふのであれば、
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（34）
① ∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）。
① すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふことは、
① ｙ（私）以外は、ｘ（タゴール記念会）の理事長ではない。
といふことである。
従って、
（18）（33）（34）により、
（35）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
といふ「日本語」が、
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外はタゴール記念会の理事長ではない。
といふ「意味」でない。
とするならば、
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（33）～（36）により、
（36）
「対偶」で言ふならば、
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」が、「妥当」であるならば、
① タゴール記念会は、私が理事長である。
といふ「日本語」が、
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外はタゴール記念会の理事長ではない。
といふ「意味」ある。といふことを、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（37）
① タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
② 倉田氏は私ではない。従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（33）～（37）により、
（38）
① タゴール記念会は、私が理事長である。⇔
① タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。⇔
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「等式」は、三上章先生であっても、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（39）
少なくとも、
「三上章、象は鼻が長い、1992年、第２１版」、
「三上章、日本語の論理、1963年、第　１版」等を読む限り、三上章先生は、
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
① タゴール記念会は、私が理事長である≡∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。
といふ「解釈」をされては、ゐない。
然るに、
（40）
伝統的論理学を清水滉『論理学』（1916年）で代表させよう。わたしのもっているのが四十三年の第十九冊の一冊で、なお引き続き刊行だろうから、前後かなり多くの読者をもつ論理学書と考えられる。新興の記号論理学は、沢田允茂『現代論理学入門』（1962年）を参照することにする（三上章、日本語の論理、1963年、４頁）。
付録２　近代論理学抄：”クセジュ文庫”（J.Chauvineau:La Logique moderne '57）第２章の初めの二節を、訳者の許しを得てここに再録します（三上章、象は鼻が長い、1992年、第２１版、２１６頁）。
従って、
（41）
三上章先生は、
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
① タゴール記念会は、私が理事長である≡∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。
といふ「解釈」はされてはゐないものの、「述語論理（Predicate logic）」に対しては、関心を寄せられてゐた。
従って、
（42）
三上章先生は、「述語論理」に対しては、関心を寄せられてゐたものの、惜しむらくは、
① 象は鼻が長い。
① タゴール記念会は、私が理事長である。
といふ「日本語」を、「述語論理」に「翻訳」するとしたら、「どのやうな訳」になるのか、といふことまでは、考へてはゐなかった。
といふ、ことである。