大阪府、大阪府豊能地区、大阪市、堺市教員採用試験 8

2021年出題。　　　　　　　　　　　　　　　　　　平面において、一辺の長さが6cmである正六角形を、直線lに沿ってすべらないように1回転させたとき、正六角形の頂点Pが描く軌跡は下図の太線のようになった。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　円周率をπとして、この軌跡の長さを①〜⑤から一つ選べ。ただし、直線lは動かないものとする。
①12πcm ②14πcm　③16πcm　　　　　　　　　　④（8+4√3）πcm　⑤（12+4√3）πcm　　　　　公式があるので、あとで紹介しますね。　　　　　　　　　　　　とりあえず、1回転がしましょう。
このとき、何が起こったのかというと、点Pは、60°回転したのです。　　　　　　　　　　　　もう少し詳しく説明すると、
正六角形が右側に転がるとき、60°だけ回転すると直線lにべちゃっとくっついてしまいます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正六角形が60°回転するのだから、点Pだって60°回転します。　　　　　　　　　　　　　　　　　回転の中心は点Qです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、点Pは、点Qを中心にして、60°回転します。その時の半径は6cm。　　　　　　　　　　　　では、その次、
やはり、60°回転しますね。　　　　　　　　　　　　　　　　ただ、このときの半径は6cmではありません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6√3cmです。
図で、四角形アイウエは、ひし形。　　　　　　　　　　　ひし形の対角線は直角に交わります。　　　　　　　　　　　　三角形アイオは辺の長さが1:2:√3の三角定規だから、アオ=3√3。　　　　　　　　　　　　　　　　　　よってアウ=6√3。　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、点Pは、点Rを中心にして、60°回転します。その時の半径は6√3cm。　　　　　　　　その次。
60°回転。半径は12cm。　　　　　　　　　　　　　　　点Pは、点Sを中心にして、60°回転します。その時の半径は12cm。　　　　　　　　　　　　　その次。
60°回転。半径は6√3cm。2回目の回転と同じですね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点Pは、点Tを中心にして、60°回転します。その時の半径は6√3cm。　　　　　　　　　　　　最後。
60°回転。半径は6cm。1回目の回転と同じです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点Pは、点Uを中心にして、60°回転します。その時の半径は6cm。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ピンク色の部分をすべてつなぎ合わせると、軌跡の長さが分かります。　　　　　　　　　　　　　　　一つ一つの長さを計算すると面倒なので、まとめます。　　　　　　　　　　　　　　　　　扇形の弧の長さは、2×半径×中心角/360でしたね。
ということになり、一般化した公式は、
本問の場合は、点Pが正六角形の頂点にあるので、ただし書きのように、6−1＝5つの長さを足して、2倍して、πをかけて、最後に60/360にすれば答えです。　　　　　　　　　　　　やってみましょう。
正解は、肢④です。