2020年度大阪府、豊能地区、大阪市、堺市教員採用試験2

1辺2cmの立方体について、下図のように頂点Aと辺の中点B、Cをとる。点A、B、Cを通る平面でこの立方体を切断するとき、切断面としてできる図形の周の長さはいくらか。1〜5から一つ選べ。
切断の基本は、次の二つです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①同じ平面上の2点を見つけ、まっすぐ結ぶ。(同じ平面上ではない2点を結ぶと、そこでゲームオーバー)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②平行な面を見つけ、平行な線を書き入れる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カテゴリー「切断」に、本問と同じような記事が数個ありますので、参考にしていただければ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　さて、本問では、点Aと点Bは同じ面上にありますので、まっすぐ結びます。AとC、BとCは違う面上にあるので、決して結んではいけません。すると、
AとBを結ぶと、Dにたどり着きました。この点DとCは同じ平面上にあるので、結びます。
CとAを結んで、終わりにしたい気持ちは分かりますが、CとAは違う平面上にあるので、まだダメ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　今度は、平行な面を探します。　　　　　　　　　　　　　　　　　　探すと言っても、上の面と下の面が平行なのは当たり前ですから、下の面に、上の面の切り口と平行に線を引きます。
CとEは同じ平面上にあるので、結んで出来上がりです。
な〜にをくどくどとやってるんざ〜ますか〜。　　　　　　　　　　　　　　　　　立方体の形をした羊羹があって、AとBに包丁を当てて、そのままCに向かって切って見れば、すぐに分かるざ〜ますわ!などと言うなかれ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　なるほどこの一問に限って言えばその通りなのですが、もっと複雑な立体の切断を考えるときに用いる方法です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし、曲面の切断にはこれは通用しません。さて、周の長さは、
2＋√5＋2＋√5＝4＋2√5(cm)で、正解は、肢4です。ここをポチッとお願いします。→
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のび太分数。2020年度大阪府、豊能地区、大阪市、堺市教員採用試験1

濃度がa%の食塩水400gから100gの水を蒸発させたものに、濃度が5%の食塩水200gを加えたところ、濃度が8%の食塩水となった。このとき、aの値として正しいものはどれか。①〜⑤から一つ選べ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①7　②7.5　③8.5　④9　⑤10　　　　　　　　　　　　　　　　　　まず、食塩水の量だけ調べると、400g→300g(100gの水が蒸発したので)→500g(食塩水200gが加えられたので)。結局、最後は500gになっています。それが8%だったから、この中に食塩は500×0.08＝40g含まれていたということですねえ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　次に、5%の食塩水200gの中には、食塩は何g含まれているのでしょうか?　　　　　　　　　　　　　　　　　200×0.05＝10gですね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　それでは、a%の食塩水400gの中には食塩は何g含まれているのでしょうか?　　　　　　　　　　　　　　400×a/100＝4aグラムですね。　　　　　　　　　　　　　　　　　それだけ分かれば、あなたは簡単にこの問題を解くことができますよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ドラえもんの本編のお話しに、本当にそんな場面があるのかどうか分かりませんが、のび太は、分数の足し算や引き算をするときに、
こんなことをして、テストで０点をとってしまったとか言われています。(本当かどうか疑わしい。後でその証拠をお見せします。)　　　　　　　　　　　　　　　　　　ところで、分数というのは、世界の3つの地域で、別々の発展を遂げ、それが融合されて現在に至ると聞いたことがあるような、ないような。　　　　　　　　　　　　　　　　　　だから、この、のび太方式の分数も、どこかで使われていた(いる)に違いないと思われ、こののび太の解答も、一概にダメだとも言えないかもしれません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　こののび太方式の分数は、食塩水の一部分ずつをお互いに交換し合うような、難問を解くときに非常に便利で、僕もよく使います。さて、本問の場合は、こうなります。
正解は、肢②です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　さて、のび太だって、こんなことがあったんですよ。第25巻です。

帯分数を仮分数にして、割り算を掛け算に直してちゃんと逆数倍し、約分もできている。　　　　　　　　　　　　　　　　　　普通の小学生なら、0.25は、一旦100分の25にしてから約分して4分の1とするものなのに、0.25を一発で4分の1にしている。　　　　　　　　　　　　　　　　　　2問目など、Xの値もきちんと求めることができている。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただ、このテストには、分数の足し引きがありませんので、やはり、通分ができないのでは、という疑いは残りますが。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここをポチッとお願いします。→
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教員採用試験教養数学の鉄板問題その2(素数)

素数とは、1とその数自身しか約数を持たない(割り切ることができない)数のことで、1は除きます(1は素数ではありません)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　それがどうしたと言われると困ってしまうのですが、これが数学の世界では大変重要かつ興味深いもので、なんともかんともえらいことになっていくのですが、そんなに難しい問題が教養数学で出題はされませんので、とりあえず覚えて下さい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例えば、「20までの自然数のな中に含まれる素数は全部で何個あるか?」などと出題されています。　　　　　　　　　　　　　　　　　　一番小さい素数は2ですね。次は3、次は5、次は7、次は11、次は13、次は17、次は19。だから正解は8個です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　この8個は、覚えてしまってもいいでしょう。2、3、5、7ですから、「ふみ(文)こない」などと。あとの4つの覚え方は知りません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　でも、「50 までの自然数の中にに含まれる素数を全て足すといくらか？」などという鬼👹問題が出たらどうしましょう?実際にあったと思います。　　　　　　　　　　　　　　　　　　普段数学に親しんでいる者ならば、普通にやれますが、慣れていない人にとってはまさに👹問題ですね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　「エラトステネスのふるい」というものがあります。まず、1から50まで順番に数字を並べます。
1は、素数ではありませんから、1を消します。
その隣の2が素数です。なので2を○で囲みます。
今○で囲んだ2の倍数は、もはや素数ではないので、全て消します。　　　　　　　　　　　　　　　　　　○で囲んだ2の隣の3が素数です。なので3を○で囲みます。
○で囲んだ3の倍数は、もはや素数ではないので、消します。もう消えている6などは、わざわざもう一度消す必要はありません。ほっといて下さい。
この作業を、8以下まで繰り返せば出来上がりです。(なぜ8かは後述。えっ？最後までやれって?はいはい、承知しました。5を○で囲みます。
5の倍数を消しまして〜。
7を○で囲んで〜。
7の倍数消して〜。
すると、もう8は消えているので、残っているものを全て○で囲みます。
こいつらが50以下の素数です。ゆえにその和は、328です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ところで、なぜ8までやるのかというと、ルート50は7より大きくて8より小さいからです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　1から1000の範囲で素数を全て見つけたければ(そんな人はいないと思うのですが)、ルート1000は31と32の間ですから、(31×31＝961、32×32＝1024)32がくるまでこの地味な作業を繰り返せばよいのです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　1から1000まで書くのが一番辛い作業です。ここをポチッとするのは簡単な作業です。→
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教員採用試験教養数学の鉄板問題その1(四則計算)

単なる加減乗除の計算ですが、よく出題されます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　例えば、2019年度の神奈川県。正誤判定ですが、
実際は、これを計算すると20であるというのが正しいか誤りかを判定する問題です。　　　　　　　　　　　　　　　　　我々、小学生のとき、かっこがあれば、かっこの中を先に計算し、掛け算や割り算は、足し算や引き算よりも先に計算するべしと習ったわけですが、中学になると、指数が登場するので、結局、①指数②かっこ③乗除④加減の順に計算するということになりましたね。よって、こうなります。
ところで、計算問題をたくさん解いていると、0.25や0.75という小数がしょっちゅう出てきますね。　　　　　　　　　　　　　　　　　はじめのうちは、0.25は100分の25で、これを約分していくと4分の1になって、などとやるのですが、いつか、0.25は4分の1、0.75は4分の3だと覚えてしまいます。　　　　　　　　　　　　　　　　　もっと慣れてくると、0.125が8分の1、0.375が8分の3、0.625が8分の5、0.875が8分の7も覚えてしまい、3.5なども、7の半分だから、2分の7とできるようになります。　同じく2019年度愛媛県では、こうです。
やってみます。
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円周角、中心角。2019年度奈良県教員採用試験小学全科7

円Ｏの紙がある。円周上の1点が中心Ｏと重なるように紙を折り、折り目と円周の交点をＡ、Ｂとする。図のように長い方の弧ＡＢ上に点Ｃをとるとき、∠ＡＣＢの大きさとして正しいものを、下の１〜5から1つ選べ。
折り曲げたら、折り曲げた線に対して線対称になります。ゆえにこんな感じ。
　　さて、仮にこの円の半径が1㎝だとすると、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＯ'＝1㎝ですね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　線対称ですから、ＯＡが1㎝だったらＡＯ'も1㎝。ＯＢが1㎝だったらＢＯ'も1㎝。何もかも1㎝ですねえ。
△ＯＡＯ'は正三角形になるので、∠ＡＯＯ'＝60゜。　　　　　　　　　　　　　　　　△ＯＢＯ'も正三角形になるので、∠ＢＯＯ'＝60゜。　　　　　　　　　　　　　　　　よって、∠ＡＯＢ＝120゜と言うわけです。さらに、円周角は中心角の半分だから、∠ＡＣＢ＝60゜です。
正解は、肢3です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　先日、仕事で行った京都にて。
歴史を感じる道。師団街道沿いには警察学校もあります。こ、怖そう。　　　　　　　　　　　　　　　　　　すると、ガソリンスタンドが見えてきて、何気なく見ると、
おいおい、ドトールコーヒーあるし。ちょっと入りにくそう。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここをポチッとお願いします。→
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