【高校数学のツボ】相加平均と相乗平均の不等式。

過去にも話題にしたかもしれないが。

x と y が非負の数のとき，これらの相加平均 (x+y)/2 と相乗平均 √(xy) との間には

(x+y)/2≧√(xy)

が成り立つ。

これは非負の数が2つのときの不等式だが，n 個の非負の数についても同様の不等式が成り立つ。

ここでは 4 つの場合について述べる。ただし，扱いやすさも考えて，非負の数 a, b, c, d に対して

a⁴+b⁴+c⁴+d⁴≧4abcd

が成り立つかどうかを考える。

実は答えは簡単で，2 個の数に関する不等式を3回適用すればよい。今回取り上げたかったのは，そうした，不等式の反復適用というやり方である。

まず，おおもとの 2 個の数に関する不等式を

x²+y²≧2xy

と書き換えておく（最初に書いた不等式の x, y と同じ文字を使用しているが，それらとは別物とみなしていただきたい）。

x=a², y=b² とみれば

a⁴+b⁴≧2a²b²

が得られる。同様にして

c⁴+d⁴≧2c²d²

がわかる。これらを辺々足せば

a⁴+b⁴+c⁴+d⁴≧2(a²b²+c²d²)

となるが，右辺のかっこの中身は，x=ab, y=cd とみることによって

a²b²+c²d²=(ab)²+(cd)²≧2ab・cd=2abcd

となる。以上により，

a⁴+b⁴+c⁴+d⁴≧4abcd

が成り立つことが示された。等号は，a=b かつ c=d かつ ab=cd のとき，つまり a=b=c=d のときに成り立つ。