合成関数の微分公式。

ちょうど一週間ほど前に気になっていた，「滑らかな関数と絶対連続な関数の合成関数の微分可能性」について落ち着いて考えてみたら何の苦労もなく解決した。

測度論的な考察を一切用いないので，Lebesgue 積分論の演習問題としては適切ではないかもしれない。


区間 I で絶対連続な関数 u は，ほとんどいたるところで微分可能であることが知られている。
よって，任意の a∈I-e に対して u が x=a で微分可能となるような，そんな零集合 e が取れる。

a∈I-e を固定し，b=u(a) とおく。

今，実数から実数への関数 G が y=b で微分可能であると仮定すると，Carathéodory の定式化により，y=b で連続なある関数 g があって，
G(y)=G(b)+g(y)(y-b)
かつ，g(b)=G ' (b) が成り立つ。

ここで y=u(x) とおくと，
G(u(x))-G(b)=g(u(x))(u(x)-b)
であり，この両辺を x-a で割ると
[G(u(x))-G(u(a))]/(x-a)=g(u(x))(u(x)-u(a))/(x-a)
となる。

x→a の極限をとると，仮定により右辺は g(u(a))u ' (a)=G ' (u(a))u ' (a) に収束する。
したがってもちろん左辺も収束するわけであるから，合成関数 G(u(x)) は x=a で微分可能であって，その微分係数は G ' (u(a))u ' (a) で与えられることが示された。