縮小写像と不動点。

ちょっとだけ専門の研究めいたことを考えたとき，久々に『縮小写像の原理』と呼ばれる定理を使った。
Navier-Stokes方程式と呼ばれる方程式の時間局所解の存在を，あまりスタンダードではない方法で証明してみたのであった。

（と書いてみてふと疑問が生じた：あれ，そういえばコンパクト性を全然使わなかったぞ。ちょっと自分のやり方に自信がなくなってきたなぁ。）


そこで，ふと次のような問題を考えた。

＜＜注＞＞
僕の思わぬ勘違いで間違った問題になっているかもしれないので，問題に取り組む際にはくれぐれもその可能性をお忘れなきよう。


問題

X を有限個の要素からなる集合とする。
また，次のような写像 d および f があるとする：

ア．f は X から X への写像である。

イ．d は X の要素の組 (x, y) に対して実数を対応させる写像で，
以下をみたす。

(i) x と y が異なれば d(x,y)＞0 で，x と y が等しければ d(x,y)＝0.

(ii) d(x,y)=d(y,x).

(iii) X の要素 x, y, z に対し，d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z).

ウ．d と f には次のような関係がある。
(*) x と y が異なるとき，d(f(x),f(y))＜d(x,y).

以上の設定の下，次の問いに答えよ。

(1) f(x)=x をみたす x が存在することを示せ。
(2) f が全単射となることはあるかどうかを調べよ。

なお，(2) を考えるにあたり，必要ならば次の事実を用いてよい：X が有限集合であることから，f が全射であることと単射であることとは同値である。

おまけ：
(3) X が完備距離空間だから (1) は自明，だという方には，『距離空間 X の要素が有限個ならば完備である』ことの証明をもお願いしたい。