熱回路への誘い⑤

「熱回路への誘い④」の続きです。
ラプラス変換式を解いていきましょう。

ΔT＝(W/s)(Ra/sCS)/ (1/sCS＋Ra)　----- ③

式を変形します。
ΔT＝(W/s)(Ra)/(1＋sCSRa)　
ΔT＝(W/s)(1/CS)/(1/CSRa＋s)　
ΔT＝(W/CS) /s(1/CSRa＋s)　
ΔT＝(W/CS)(CSRa){1/s－1/(1/CSRa＋s)}　
ΔT＝(WRA){1/s－1/(1/CSRa＋s)}　

逆ラプラス変換します。
ΔT(t)＝WRa{1－e^－(1/CSRa)t } ----- 解

結果的にこれも1次遅れ特性になりました。

各パラメータに数値を入れます。
空気の熱抵抗：Ra＝103.2（K/W）

ですが、「放射」による熱の拡散を考慮して2/3を乗じた値とします。

空気の熱抵抗：Ra＝68.8（K/W）
セラミックの熱容量：Cs＝3.17（J/K）
熱（I2R）：W＝3　とします。

もとめる式は 1/ CsRa＝1/218.1　＝0.00459　だから

ΔT(t)＝206.4 (1－e^－0.00459t )　となります。

上図に、求めたΔTの応答波形を示します。

理論値による数値計算のみで求めたわりには、けっこういい線いっているようです。しかしながら、やはり実際との誤差はかなり大きく表れています。これを整合させるためには、恐らく、もっと多くの複雑なパラメータを考慮する必要があるのでしょう。抵抗メーカーや、ハンダコテメーカーが「温度上昇」に関しては、すべて測定値を仕様書に記載している理由がわかる気がします。複雑な計算のわりには実入りが少ない。

というわけで、今回計算で求めた値も、経験的値に基づいて強引に数値補正をします。

空気の熱抵抗：Ra＝68.8（K/W）　ですが
抵抗の実測温度 / 計算温度：206/344＝0.6　を補正係数としてかけます。

空気の熱抵抗：Ra＝68.8×0.6　＝41.3（K/W）　となります。
セラミックの熱容量：Cs＝3.17（J/K）
熱（I^2R）：W＝5　とします。

1/ CsRA＝1/131　＝0.007638　となって

ΔT(t)＝206.5 (1－e^－0.007638t )　となります。

下図に、得られたΔTの応答を示します。

これなら、まあ使えないこともないでしょう。しかし、「抵抗の上昇温度の算出」というテーマは、試みとしてはおもしろいけど、実利が薄いというのが結論ですね。完

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